基于分形理論的盾構(gòu)壁后注漿壓濾擴(kuò)散模型

秦楠，葉飛，韓興博，梁興，蘇恩杰

(長安大學(xué)公路學(xué)院，陜西西安，710064)

盾構(gòu)隧道施工工序主要包括盾構(gòu)掘進(jìn)、管片拼裝、壁后注漿等[1]，其中開挖期間，由于刀盤開挖半徑比管片外徑大，這部分土體損失若不及時注漿填充將會造成地表沉降過大[2?3]，這也是壁后注漿的主要目的，除此之外，壁后注漿還有防止管片上浮、優(yōu)化管片受力等作用[4?5]。在對壁后注漿過程進(jìn)行分析時，一般將其劃分為充填注漿、滲透注漿、壓密注漿和劈裂注漿[6]4 個過程，對不同的注漿過程研究方法也不同，充填注漿主要從漿液單元體的受力分析出發(fā)，利用力學(xué)平衡原理進(jìn)行分析[7?9]；滲透注漿則是利用Darcy定律或廣義Darcy 定律進(jìn)行分析[10?12]；壓密注漿以擴(kuò)孔理論為依據(jù)進(jìn)行分析[13]。目前，對于壁后注漿壓濾模型研究較少。

MANDELBROT提出了“分形(fractal)”一詞，隨后提出分形理論[14?15]。分形理論可以用來描述極不規(guī)則的形狀[16]，在巖土工程領(lǐng)域可以用來研究巖石破裂[17]、巖體節(jié)理[18?19]、巖土體孔隙[20]等，本文作者據(jù)此，考慮土體孔隙存在的分形關(guān)系，將分形理論應(yīng)用于壁后注漿的理論研究中。

在注漿過程中，如果漿液顆粒粒徑比土體孔隙大，漿液顆粒會逐漸在滲透邊界上沉積，最后堵塞滲透通道，但漿液中的水體依然能透過土體，這時簡化的模型稱為壓濾擴(kuò)散模型(圖1)，此時作用在管片上的總應(yīng)力可分為Ⅰ區(qū)漿液泡的擠壓應(yīng)力和Ⅱ區(qū)體土體的擠壓應(yīng)力及漿液滲流壓力。本文作者通過引用分形理論描述土體孔隙，并考慮孔隙率減小等因素推導(dǎo)壁后注漿壓濾擴(kuò)散模型。從以往研究中可以看出壁后注漿的理論研究落后于工程實踐，注漿參數(shù)往往依據(jù)工程經(jīng)驗選取[22?23]，然而不同工程地質(zhì)環(huán)境存在巨大差異，使經(jīng)驗取值不具普適性，存在一定的風(fēng)險。因此，有必要對壁后注漿進(jìn)行深入研究，將研究成果應(yīng)用于實際工程。

圖1 壓濾擴(kuò)散模型Fig.1 Model of pressure filtration diffusion

1 壓濾模型推導(dǎo)

1.1 模型假定

在推導(dǎo)壓濾模型前，本文進(jìn)行如下假設(shè)：1) 由于管片半徑R遠(yuǎn)比漿液擴(kuò)散半徑R(t)大，即R>>R(t)，因此，忽略管片曲率的影響；2)漿液按照半球形的模式進(jìn)行擴(kuò)散；3)漿液顆粒堵塞滲透的通道后，漿液內(nèi)的水體依然可以滲入土體內(nèi)部；4)在漿液中水體發(fā)生滲流后，忽略漿液泡的體積變化。模型推導(dǎo)示意圖如圖2所示。

圖2 壁后注漿壓濾模型推導(dǎo)示意圖Fig.2 Schematic diagram of derivation of back-filled grouting filtration diffusion model

壁后注漿對于管片的作用力包括2個部分：漿液堵塞土體空隙造成周圍土體壓縮的擠壓應(yīng)力和濾出滲流漿液的孔隙壓力(不考慮原土體對于管片的荷載)?；诖?，采用TERZAGHI提出的有效應(yīng)力進(jìn)行計算[24]：

式中：σ為土體所承受的總應(yīng)力；σe為土體結(jié)構(gòu)(土體顆粒)所承受的有效應(yīng)力；p孔隙流體壓力。式(1)可表達(dá)為[25]

?為孔隙率，對于巖土體而言，巖土體孔隙分形可通過分形模型Sierpinski三角形來模擬[26](圖4)。邊長為L的等邊三角形是一個巖土體空腔，迭代中不斷去掉小三角形的過程可看作土體顆粒不斷地填充巖土體空腔的過程。這樣經(jīng)過n步后，空間僅由邊長為r(r=L/2n)的正三角形組成，可得孔隙率的計算式[27]為

圖4 Sierpinski三角形Fig.4 Sierpinski triangle

式中：C為常數(shù)；Vp為土中孔隙體積；V為土的體積；N為迭代次數(shù)；L為孔隙尺寸的上限值；r為孔隙半徑的下限值，即L=rmax，r=rmin。式(3)即為巖土體孔隙介質(zhì)數(shù)學(xué)分形模型，表明了巖土體分形孔隙的平均統(tǒng)計特征，孔隙率分形維數(shù)D的取值范圍為2～3。相比于經(jīng)典孔隙模型，分形孔隙模型更復(fù)雜，但考慮更多細(xì)節(jié)，更符合巖土體的實際結(jié)構(gòu)。在近似求解時可取C=1，即

當(dāng)漿液泡壓縮土體時，土體結(jié)構(gòu)會發(fā)生變化，土體孔隙率會隨之減小，基于此效應(yīng)使用等效孔隙率的概念對初始孔隙率進(jìn)行修正。土體顆粒壓縮變形可分為2種變形姿態(tài)：一種是土體顆粒位置產(chǎn)生錯位，稱滑移變形(圖5(a))，此種變形為塑性變形，主要是孔隙結(jié)構(gòu)的變化；另一種是土體骨架顆粒受力壓縮變形而導(dǎo)致的變形，稱壓縮變形(圖5(b))，此種變形為彈性變形，即可恢復(fù)的變形?？紤]土體顆粒壓縮模量較大，因此，僅認(rèn)為土體壓縮存在滑移變形。根據(jù)本文作者提出的等效孔隙率，將其參數(shù)定義如下：

圖5 土體變形示意圖Fig.5 Schematic diagrams of soil deformation

式中：VPS為注漿影響體積，對應(yīng)半徑為mR(t)；m為比例系數(shù)，在參數(shù)分析中取m=3；VG為注入漿液的體積。式(5)中，將土體壓縮變形所減少的孔隙體積均勻等效于注漿影響范圍內(nèi)土體的體積減去漿液體積。

1.2 土體的有效應(yīng)力計算

有效應(yīng)力主要考慮漿液泡對于土體的擠壓應(yīng)力，在漿液泡膨脹過程中可看作球?qū)ΨQ問題進(jìn)行分析，其對應(yīng)的平衡力學(xué)方程為[28]

式中：σr和σθ分別為徑向與環(huán)向應(yīng)力分量，

εr和εθ分別為徑向與環(huán)向應(yīng)變分量，μ為泊松比，E為彈性模量，幾何方程為

ur為徑向位移，邊界條件為

R(t)為漿液泡半徑；rw為已知地下水壓力處半徑，p0為擴(kuò)散邊界處的漿液壓力，聯(lián)立式(6)～(9)解得

1.3 土體的孔隙應(yīng)力計算

土體被漿液泡壓密，土體結(jié)構(gòu)較致密，滲流的漿液對于土體顆粒的拖曳作用可忽略不計，僅考慮土體中漿液滲流對于周圍土體的附加應(yīng)力。無源不可壓縮流體連續(xù)性方程可化簡為Laplace方程[29]：

式中：p為流體壓力。在球坐標(biāo)系中式(11)可改寫為

式中：r為球半徑；φ和θ分別為球半徑與坐標(biāo)系夾角。忽略土體的各向異性，對于牛頓流體半球形滲透擴(kuò)散方程可簡化為

根據(jù)式(9)解得

1.4 作用在管片上的應(yīng)力

根據(jù)有效應(yīng)力原理，將式(10)及式(14)代入式(2)得

如圖3所示，作用在管片上的應(yīng)力為總應(yīng)力σ，管片受力可通過以下積分進(jìn)行求解：

式中：Fs為管片所受漿液壓力。

2 參數(shù)分析

在分析中取地下水在rw=5m 處的壓力為0.06 MPa，分別分析注漿初始壓力p0、注漿體積VG、孔隙率分形維數(shù)D對漿液壓力分布及管片壓力的影響。漿液泡半徑可用下式計算：

2.1 注漿壓力的影響

在進(jìn)行參數(shù)分析時，注漿體積VG取0.5 m3，其余參數(shù)取值分別為rmin=0.025 mm，rmax=10 mm，D=2.7?？紤]注漿壓力p0分別為0.15，0.20，0.25，0.30，0.35 和0.40 MPa 時，滲流漿液壓力分布及漿液對管片應(yīng)力的影響，計算結(jié)果如圖6和圖7所示。

圖6 不同注漿壓力下漿液壓降曲線Fig.6 Grout hydraulic pressure drop curves with different grouting pressures

由圖6可知：漿液壓力隨漿液擴(kuò)散半徑增加逐漸減小，且土體與漿液的交界面處壓力(圖中曲線起點(diǎn)位置)并非漿液的初始注漿壓力，由于交界面前后的介質(zhì)發(fā)生了較大改變，因此，漿液壓力在此界面后明顯減小。

由圖7可以看出：不同注漿壓力下對應(yīng)的管片壓力分別為564，672，780，888，996和1 105 kN，管片壓力隨注漿壓力增大大致呈線性增大，通過線性擬合可得管片壓力與注漿壓力滿足線性關(guān)系：

圖7 不同注漿壓力下的管片所受注漿壓力Fig.7 Pressure of grout on segment with different grouting pressures

在實際工程應(yīng)用中可考慮使用式(19)進(jìn)行簡化計算。

2.2 注漿體積的影響

考慮注漿體積影響時注漿壓力p0=0.3MPa，其余參數(shù)取值與2.1節(jié)中的相同，分別考慮漿液注漿體積為0.3，0.4，0.5，0.6 和0.7 m3時漿液壓力分布及管片壓力的變化，結(jié)果如圖8和圖9所示。

圖8 不同注漿體積下漿液壓降曲線Fig.8 Grouting hydraulic pressure drop curves with different grouting amounts

由圖8可知：根據(jù)假設(shè)土體為各向同性(土體各項參數(shù)不隨擴(kuò)散半徑變化)，隨注漿體積VG的增加，漿液壓降曲線在擴(kuò)散半徑上發(fā)生了平移，各曲線變化規(guī)律相同，但是對于管片應(yīng)力而言，在相同擴(kuò)散半徑內(nèi)，隨注漿體積增大，管片所受壓力也隨之增大(圖9)。通過線性擬合可以得到管片壓力與注漿量亦滿足線性關(guān)系：

圖9 不同注漿體積下管片所受注漿壓力Fig.9 Pressure of grout on segment with different grouting amounts

2.3 孔隙率分形維數(shù)的影響

計算參數(shù)與3.1節(jié)相同，孔隙率分形維數(shù)取值范圍為2～3，分別取D為2.65，2.70 和2.75 進(jìn)行分析，計算結(jié)果如圖10和圖11所示。

圖10 不同孔隙率分形維數(shù)下漿液壓降曲線Fig.10 Grouting hydraulic pressure drop curve with different porosity fractal dimensions

由圖10可以看出：隨D增大，漿液壓力隨之增大，曲線發(fā)生了明顯的上移；D增大會引起孔隙率?增大，體現(xiàn)在計算公式σ=?p+(1-?)σθ中，則是孔隙水壓力的比例增大，同時，孔隙水壓力(初始壓力為注漿壓力)明顯比有效應(yīng)力大，因此，隨D增大，漿液壓力也隨之增大。由圖11可以看出：管片壓力隨孔隙率分形維數(shù)增大而增大，孔隙率分形維數(shù)為2.65，2.70和2.75時對應(yīng)的管片壓力分別為944，968 和1 000 kN，孔隙分形維數(shù)D對于管片壓力影響顯著，在實際工程中應(yīng)根據(jù)地層特性，進(jìn)行具體分析。同樣，通過擬合可以得到管片壓力與孔隙率分形維數(shù)滿足二次函數(shù)關(guān)系：

圖11 不同孔隙率分形維數(shù)下漿液管片壓力Fig.11 Pressure of grout on segment with different porosity fractal dimensions

3 模型對比

選取未考慮漿液中水體滲流的管片壓力模型，即未考慮滲流的模型，對比不同注漿壓力p0時的壓降曲線和管片所受壓力。注漿體積VG取0.5 m3；rmin=0.025 mm，rmax=10 mm，D=2.70，計算結(jié)果如圖12和圖13所示。

由圖12可知：隨漿液擴(kuò)散范圍增大，2種模型管片所受壓力的變化量均緩慢減小，且趨于同一值，考慮滲透的模型漿液壓力總是比未考慮滲透的模型的漿液壓力大。即在考慮滲透的模型下，管片所受壓力更大，計算結(jié)果更保守。由圖13可知：考慮滲透模型(本文模型)下管片壓力在不同注漿壓力下均比未考慮滲透模型的壓力大，注漿壓力越大，兩模型差值越大(圖13)，當(dāng)注漿壓力較大時，應(yīng)考慮漿液的滲流效應(yīng)。

圖12 壓降曲線對比Fig.12 Comparison of pressure drop curves

圖13 漿液對管片壓力對比Fig.13 Comparison of grout pressure on segments

4 結(jié)論

1)基于有效應(yīng)力原理，漿液泡周圍土體的壓力主要包括漿液泡擠壓周圍土體的有效應(yīng)力和漿液滲流的孔隙水壓力2部分。

2)漿液壓力隨擴(kuò)散半徑增大逐漸減小，且在土體與漿液的交界面處漿液壓力發(fā)生突變，漿液壓力比初始的注漿壓力小。管片壓力隨注漿壓力呈線性增大，在實際工程應(yīng)用中可考慮采用擬合公式簡化計算。

3)孔隙率分形維數(shù)的增大將會引起孔隙率?增大，而體現(xiàn)在計算公式σ=?p+(1-?)σθ中，則是總應(yīng)力中孔隙水壓力比例的上升，孔隙水壓力(初始壓力為注漿壓力)明顯比有效應(yīng)力大，管片壓力隨孔隙率分形維數(shù)增大而增大，孔隙分形維數(shù)對于管片壓力影響顯著，在實際工程中應(yīng)根據(jù)地層條件進(jìn)行具體分析。

4)考慮滲透模型(本文模型)和未考慮滲透模型中漿液壓力均逐漸趨于平緩，考慮滲透的模型漿液壓力總是比未考慮滲透的模型的漿液壓力大，因此，考慮滲透的模型對于管片的壓力更大，計算結(jié)果更保守。管片壓力對比結(jié)果也與漿液壓力相類似，且注漿壓力越大，兩模型差值越大，因此，在注漿壓力較大時，漿液的滲流效應(yīng)越不可忽略。