邊界約束條件對箱形梁畸變效應的影響

王妍，張元海，王晨光

(蘭州交通大學土木工程學院，甘肅蘭州，730070)

箱梁截面在畸變時除了產(chǎn)生翹曲應力外，還會發(fā)生橫向彎曲，進而產(chǎn)生相應的橫向彎曲應力[1?3]。隨箱形梁壁厚逐漸減小以及波形鋼腹板箱梁等組合箱梁的應用，由截面畸變引起的翹曲正應力和橫向彎曲應力在箱梁橋總應力中所占的比例逐漸增大[4?7]。

目前應用最為廣泛的畸變效應解析方法為BEF Method[8?9]，該法選取左腹板與底板夾角在畸變變形中的改變量為基本未知量，利用畸變控制微分方程與彈性地基梁撓曲微分方程之間的比擬關(guān)系求解畸變效應，但是這種方法計算過程復雜，且不能與箱梁約束扭轉(zhuǎn)的解析理論相統(tǒng)一。針對此問題，張元海等[10?11]采用箱梁約束扭轉(zhuǎn)的思路，選取畸變中心處的直角在畸變變形中的改變量為基本未知量，建立了畸變效應解析公式。此外，畸變效應解析法還有廣義坐標法[12]、板元分析法[13]、紐瑪克法[14]等，各種方法計算精度以及對畸變變形未知量的選取和定義有所不同。在此基礎(chǔ)上，徐勛等[15?17]研究了剪切變形、截面幾何特性、列車運行時速等對箱梁畸變效應的影響，得出畸變變形受剪切變形的影響很小、能綜合反映畸變效應的幾何特性參數(shù)λ、單線活載偏心作用下箱梁跨中截面的翹曲比例系數(shù)可達10%左右。目前，有關(guān)畸變效應分析的文獻都以單一橋型為例揭示畸變效應，其中大多為簡支梁[18?19]，少數(shù)為懸臂梁[20]，針對邊界約束條件不同的箱梁綜合分析畸變效應的文獻較少。然而，實際工程中的箱梁很少采用單跨簡支體系，懸臂梁也僅是施工過程中存在的一種結(jié)構(gòu)狀態(tài)，更為常見的是連續(xù)體系，包括連續(xù)梁與連續(xù)剛構(gòu)。復雜連續(xù)體系可看作簡單體系的組合，例如連續(xù)剛構(gòu)橋的邊跨可近似認為是一端固定另一端簡支的受力狀態(tài)，而中跨就可近似認為是兩端固定的力學計算模型。因此，研究邊界條件不同的箱形梁橋畸變效應，有助于工程設(shè)計人員在設(shè)計中更加方便、快捷地考慮畸變效應。

本文采用張元海等[10]所提畸變效應解析思路，推導豎向偏心均布荷載作用下不同邊界組合情況下的箱梁畸變效應解析解。通過引入畸變效應邊界影響系數(shù)，結(jié)合數(shù)值算例詳細分析高寬比、懸臂板相對寬度變化時邊界約束條件對箱梁畸變效應的影響。

1 畸變控制微分方程

單室梯形箱梁橫截面畸變變形如圖1所示，其中，O?xyz為形心坐標系，q為豎向偏心荷載，e為荷載偏心距。D為畸變中心，A和B分別為以D為角點所組成的直角與箱壁的交點，選取直角∠ADB在畸變變形中的改變量為畸變角γD，A′和B′分別為直角∠ADB變形后A和B兩點所在位置，則γD=γD1+γD2，圖中其他變量為箱形梁截面尺寸。

圖1 箱梁畸變變形圖Fig.1 Distortion deformation of box girder

用ω表示箱梁截面的畸變扇性坐標，則畸變翹曲正應力σD可通過所選取的基本未知量即畸變角γD表達為

式中：E為彈性模量；ωD為以畸變角γD為基本未知量計算的畸變扇性坐標[10]。

由式(1)可求得畸變翹曲應變能U1為

式中：IωD為箱形梁畸變翹曲慣性矩；l為梁跨徑。

圖2所示為沿箱梁跨徑方向截取的單位長度梁段形成的橫向框架變形圖，根據(jù)轉(zhuǎn)角位移方程可求得圖2中所示點1和點2的橫向彎矩為

圖2 橫向框架變形圖Fig.2 Deformation of transverse frame

式中：IR1和IR2為箱形梁畸變框架特性參數(shù)。

因框架彎矩具有左、右反對稱性，故由式(3)可求得框架畸變撓曲應變能U2為

式中：IR為箱形梁畸變框架特性參數(shù)。

將箱梁上作用的豎向偏心荷載分解成的豎向反對稱荷載記為pD，則外荷載勢能V可表達為

畸變總勢能Π=U1+U2+V，則

對式(6)進行一階變分，得

根據(jù)最小勢能原理，令總勢能的一階變分為0，可得：

式(8)即為畸變控制微分方程，式(9)為邊界條件。化簡式(8)，可得

式中：λ為箱梁畸變特性參數(shù)，可綜合反映箱梁抵抗畸變變形的能力。

由邊界條件式(9)可知，畸變矩MD及畸變雙力矩BD的表達式為：

由式(1)和式(12)可得畸變翹曲正應力的一般表達式為

當箱形梁承受均布畸變矩荷載mD時，畸變控制微分方程式(10)的通解為

求解式(14)中4 個積分常數(shù)所用到的邊界條件為：固定端，γD=γ′D=0；簡支端(設(shè)置剛性橫隔板)，γD=γ″D=0；自由端，γ″D=γ?D=0。

2 不同邊界條件下箱形梁畸變效應

本文以SS箱梁、FS箱梁、FF箱梁分別表示簡支箱梁、左端固定右端簡支箱梁和兩端固定箱梁。

圖3所示為承受豎向偏心均布荷載q作用的SS箱梁，求解SS箱梁畸變角表達式(14)中的4個積分常數(shù)所需的邊界條件為：γD(0)=0，γ″D(0)=0；γD(l)=0，γ″D(l)=0。

圖3 SS箱梁承受均布荷載Fig.3 SS box girder subjected to uniform load

利用上述4 個邊界條件可求得SS 箱梁承受豎向偏心均布荷載q作用時的4 個積分常數(shù)C1SS，C2SS，C3SS和C4SS分別為

圖4所示為FS箱梁承受豎向偏心均布荷載q作用的示意，求解FS 箱梁畸變角表達式所需的邊界條件為：γD(0)=0，γ′D(0)=0；γD(l)=0，γ″D(l)=0。從而可求得FS 箱梁的4 個積分常數(shù)C1FS，C2FS，C3FS和C4FS分別為

圖4 FS箱梁承受均布荷載Fig.4 FS box girder subjected to uniform load

圖5所示為FF箱梁承受豎向偏心均布荷載q作用的示意，其兩端邊界條件為：γD(0)=0，γ′D(0)=0；γD(l)=0，γ′D(l)=0。從而可求得4 個積分常數(shù)C1FF，C2FF，C3FF和C4FF分別為

圖5 FF箱梁承受均布荷載Fig.5 FF box girder subjected to uniform load

將式(15)～(17)分別代入式(14)，即可得SS箱梁和FS 箱梁、FF 箱梁的畸變角解析解。對式(14)求二、三階導數(shù)后，代入式(11)與式(12)即可得3 種邊界約束條件下箱形梁承受豎向偏心均布荷載作用時的畸變矩、畸變雙力矩的解析解：

代入相對應的4 個積分常數(shù)，直接利用式(3)、式(13)、式(14)、式(18)和式(19)就可計算3 種邊界約束條件下箱梁的畸變效應。本文推導的3種邊界條件下箱形梁畸變效應解析式只適用于豎向偏心均布荷載作用的情況，對于豎向偏心集中荷載作用下的解析解需另行推導。

3 數(shù)值算例

箱形梁橫截面尺寸如圖6所示，圖中所示k1，k2和k3為計算關(guān)鍵點，箱梁承受豎向偏心均布荷載q=20 kN/m，荷載偏心距e=2.35 m，材料彈性模量E=35 GPa，跨度l=40 m?？捎嬎愠鲐Q向反對稱荷載pD=10 kN/m，均布畸變矩荷載mD=23.5 kN·m/m。

圖6 算例橫截面尺寸Fig.6 Cross section dimension of sample

為驗證本文所推導解析式的正確性，采用有限元軟件ANSYS中的SHELL63殼單元建立模型進行數(shù)值模擬，將作用在箱梁上的豎向偏心均布荷載分解得到的畸變荷載施加在箱梁各板元對應的單元節(jié)點上就能得出畸變效應結(jié)果。因有限元軟件ANSYS建模輸出的結(jié)果只能提取應力和橫向單寬彎矩，而畸變雙力矩、畸變矩、畸變角這些廣義內(nèi)力及位移無法直接獲得，故將ANSYS模型計算得到的箱梁跨中截面計算關(guān)鍵點的翹曲正應力及橫向單寬彎矩結(jié)果與用本文解析式計算的結(jié)果分別列于表1和表2進行比較。以SS箱梁跨中截面畸變效應值為基準，引入畸變效應邊界影響系數(shù)ζ，ζFS和ζFF分別為FS 箱梁或FF 箱梁跨中截面畸變效應值與SS箱梁對應值的比值。

從表1和表2可以看出：按ANSYS 模型計算得到的箱形梁跨中截面計算關(guān)鍵點的結(jié)果與用本文解析式計算的結(jié)果吻合良好。表1中FF 箱梁的跨中截面畸變翹曲正應力ANSYS值與解析解相對誤差較大的原因主要是，在推導解析解的過程中采用了3個假定[7]，而ANSYS模型能綜合考慮剪切變形、彎扭耦合等因素，且FF 箱梁在兩端節(jié)點上采用全約束使應力集中更為顯著。

表3和表4所示為箱形梁跨中截面的畸變角與畸變雙力矩結(jié)果。

對比表1和表3、表2和表4可發(fā)現(xiàn)：截面畸變角和橫向單寬彎矩、畸變雙力矩和翹曲正應力的邊界影響系數(shù)ζFS對應相等，ζFF也對應相等。

表1 跨中截面畸變翹曲正應力比較Table 1 Comparisons of midspan distortion warping normal stress kPa

表2 跨中截面橫向單寬彎矩比較Table 2 Comparisons of midspan transverse unit-width bending moment kN·m/m

表3 跨中截面畸變雙力矩比較Table 3 Comparison of midspan distortion bi-moment kN·m2

表4 跨中截面畸變角比較Table 4 Comparison of midspan distortion angle 10?5rad

為了分析邊界約束條件對箱形梁畸變效應的影響，保持圖6所示截面的尺寸、荷載及偏心距不變，按本文方法計算得出3種邊界約束條件下箱形梁畸變效應的縱向分布如圖7所示。因計算關(guān)鍵點k2和關(guān)鍵點k3之間存在應力比β[7,10]，故選取關(guān)鍵點k1和關(guān)鍵點k3來表征畸變翹曲正應力變化規(guī)律。

由圖7可以看出：FF 箱梁的畸變效應縱向分布曲線較為陡峭，SS 箱梁的畸變效應縱向分布曲線較為平緩，而FS 箱梁的畸變效應縱向分布曲線始終介于兩者之間。由此可知，梁端約束越強，畸變效應縱向分布曲線越陡峭。截面畸變角和橫向單寬彎矩、翹曲正應力和畸變雙力矩分別具有相同的縱向分布規(guī)律，這也印證了表1～4中對應的邊界影響系數(shù)對應相等的情況，故詳細分析畸變角和翹曲正應力的變化規(guī)律就可獲得橫向單寬彎矩和畸變雙力矩的變化規(guī)律。

圖7 箱形梁畸變效應縱向分布Fig.7 Longitudinal distributions of box girder distortion effect

定義高寬比為梁高與箱室寬度之比，求得高寬比變化時箱形梁跨中截面的畸變角、翹曲正應力變化曲線如圖8所示。

由圖8可以看出：隨高寬比增大，箱形梁跨中截面的畸變角先增大后減小，SS 箱梁跨中截面翹曲正應力單調(diào)增加，而FS箱梁和FF箱梁的則先增大后減小；當高寬比約為1.06 時，翹曲正應力的邊界影響系數(shù)相等；當高寬比小于1.06 時，SS 箱梁跨中截面翹曲正應力最小，F(xiàn)F 箱梁跨中截面翹曲正應力最大；當高寬比大于1.06 時則相反，但FS 箱梁跨中截面翹曲正應力始終介于兩者之間。高寬比越大，畸變效應的邊界影響系數(shù)越小，即隨高寬比增大，邊界約束對畸變效應的影響會減小。

定義懸臂板相對寬度為懸臂板寬度與箱室寬度之比，求得懸臂板相對寬度變化時箱形梁跨中截面的畸變角、翹曲正應力變化曲線如圖9所示。

由圖9可以看出：隨懸臂板相對寬度增大，畸變角的邊界影響系數(shù)逐漸減??；當懸臂板相對寬度約為0.157時，畸變角的邊界影響系數(shù)相等；當懸臂板相對寬度小于0.157時，SS箱梁跨中截面畸變角最小，F(xiàn)F 箱梁跨中截面畸變角最大；當懸臂板相對寬度大于0.157時則相反，但FS箱梁跨中截面畸變角始終介于兩者之間；SS 箱梁跨中截面畸變角單調(diào)增加，而FF箱梁和FS箱梁的則先增大后減小。隨懸臂板相對寬度增大，SS 箱梁跨中截面畸變翹曲正應力發(fā)生變號，且3種邊界條件下箱形梁的跨中截面計算關(guān)鍵點k1和k3的翹曲正應力變化規(guī)律不再相同；翹曲正應力邊界影響系數(shù)變化劇烈，ζFS能達到15，ζFF甚至大于25，即隨懸臂板相對寬度變化，F(xiàn)S 箱梁跨中截面畸變翹曲正應力能達到SS 箱梁對應值的15 倍，而FF 箱梁跨中截面畸變翹曲正應力能達到SS 箱梁對應值的25 倍以上。這說明如果帶懸臂板的箱形梁其懸臂板寬度取值不合理，邊界條件會對跨中截面翹曲正應力產(chǎn)生巨大影響。

圖9 懸臂板相對寬度對跨中截面畸變效應的影響Fig.9 Influence of relative width of cantilever slab on distortion effect of midspan

4 結(jié)論

1)導出了3種不同邊界條件下箱形梁在偏心均布荷載作用下的畸變效應解析解，建立ANSYS模型驗證了所推公式的正確性，引入畸變效應邊界影響系數(shù)分析了不同邊界約束條件對箱形梁畸變效應的影響。

2)梁端約束越強，畸變效應縱向分布曲線越陡峭，當截面幾何參數(shù)變化時，邊界約束條件對畸變角的影響較小。

3)高寬比越大，畸變效應邊界影響系數(shù)越??；當高寬比大于1.06 時，翹曲正應力邊界影響系數(shù)比較接近，即當高寬比大于1.06 時，邊界約束對翹曲正應力的影響會減小。

4)懸臂板相對寬度對翹曲正應力邊界影響系數(shù)的影響較大，當相對寬度小于0.25 時，翹曲正應力變化較大。