分級(jí)循環(huán)加卸載作用下煤巖損傷本構(gòu)模型研究

經(jīng)來旺，李學(xué)帥，嚴(yán) 悅，彭紹馳，李樹文，經(jīng) 緯

（1.安徽理工大學(xué) 力學(xué)與光電物理學(xué)院，安徽 淮南 232001；2.安徽理工大學(xué) 土木建筑學(xué)院，安徽 淮南 232001）

在煤礦工程領(lǐng)域，煤巖體經(jīng)常受到反復(fù)加卸載作用，如煤巷掘進(jìn)過程掘進(jìn)機(jī)對(duì)前方煤巖體的擾動(dòng)、工作面回采期間頂板巖層周期來壓、地震等構(gòu)造應(yīng)力使煤巖體受到周期荷載作用[1]，在循環(huán)荷載作用下煤巖體力學(xué)性質(zhì)逐漸劣化，承載能力逐漸降低，對(duì)采煤工作面的安全性產(chǎn)生較大影響[2]。因此，研究不同應(yīng)力等級(jí)循環(huán)加卸載作用下煤巖體的損傷力學(xué)特性具有重要的實(shí)際意義和工程價(jià)值。

巖石受到循環(huán)加卸載的歷程就是損傷逐漸積累的過程。為了準(zhǔn)確地反映巖石損傷的本構(gòu)關(guān)系，基于有效應(yīng)力概念和應(yīng)變等價(jià)原理，引入損傷變量建立損傷本構(gòu)模型是研究巖石損傷本構(gòu)關(guān)系的重要方法[3]。張慧梅等[4]將連續(xù)損傷理論與非平衡統(tǒng)計(jì)方法相結(jié)合，建立了等圍壓作用下巖石的損傷本構(gòu)模型；汪杰等[5]利用損傷力學(xué)理論，綜合考慮巖體結(jié)構(gòu)效應(yīng)與荷載耦合作用，建立了不同傾角單一貫通節(jié)理巖體損傷演化模型及損傷本構(gòu)模型；魯會(huì)軍等[6]通過砂巖在平行層理方向、垂直層理方向的單軸循環(huán)加卸載試驗(yàn)以及聲發(fā)射裝置研究了不同方向頻繁擾動(dòng)對(duì)節(jié)理巖體力學(xué)特性及損傷規(guī)律的影響；許江等[7]采用加軸壓、卸圍壓的應(yīng)力控制方式開展煤巖加卸載試驗(yàn)，分析加卸載條件下煤巖變形特性和滲透特征的演化規(guī)律；周家文等[8]結(jié)合巖石內(nèi)部微裂紋的細(xì)觀力學(xué)分析，對(duì)脆性巖石單軸循環(huán)加卸載的應(yīng)力-應(yīng)變曲線特征、峰值強(qiáng)度及斷裂損傷力學(xué)特性等進(jìn)行了詳細(xì)研究；EBERHARDT[9-10]在單軸壓縮循環(huán)加卸載試驗(yàn)基礎(chǔ)上，對(duì)脆性巖石單軸循環(huán)加卸載過程中的斷裂損傷力學(xué)特性進(jìn)行了分析；李江騰等[11]對(duì)紅砂巖試件開展低頻率單軸循環(huán)加卸載試驗(yàn)，研究該條件下紅砂巖的疲勞變形、損傷特性及能量演化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)紅砂巖軸向變形呈現(xiàn)3個(gè)階段，疲勞壽命隨應(yīng)力上限增加而急劇減少；孫夢(mèng)成等[12]在連續(xù)損傷理論框架下引入最小耗能原理，將巖石統(tǒng)一能量屈服準(zhǔn)則作為耗能約束條件，基于各向同性基本假定構(gòu)建了1種新型損傷本構(gòu)模型；劉之喜[13]基于裂紋數(shù)服從Weibull分布以及裂紋擴(kuò)展服從Griffith準(zhǔn)則，建立了高圍壓下巖石循環(huán)加-卸載統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型，明確了模型參數(shù)的物理意義和演化規(guī)律；張慧梅等[14]以巖石的初始損傷狀態(tài)為基準(zhǔn)狀態(tài)，運(yùn)用損傷力學(xué)理論及推廣后的應(yīng)變等價(jià)原理，建立了凍融受荷巖石損傷本構(gòu)模型，來描述巖石材料細(xì)觀結(jié)構(gòu)的損傷演化及其宏觀損傷行為，研究結(jié)果表明凍融與荷載的共同作用使巖石總損傷加劇，并表現(xiàn)出明顯的非線性特征，而其耦合效應(yīng)使總損傷有所弱化；石崇等[15]基于Hoek-Brown準(zhǔn)則，結(jié)合Weibull分布下?lián)p傷參量的解法，推導(dǎo)了在三維應(yīng)力狀態(tài)下各向同性巖石受壓損傷本構(gòu)模型，并在考慮殘余強(qiáng)度的基礎(chǔ)上對(duì)損傷參量做了修正，引進(jìn)了修正系數(shù)η，探討了模型參數(shù)對(duì)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響。這些學(xué)者主要從事巖石損傷本構(gòu)模型及損傷規(guī)律的研究，很少對(duì)煤巖進(jìn)行循環(huán)加卸載損傷分析，且建立的本構(gòu)模型復(fù)雜、參數(shù)較多。為此，以煤巖為試驗(yàn)材料，進(jìn)行單軸分級(jí)循環(huán)加卸載試驗(yàn)，基于Mises屈服準(zhǔn)則構(gòu)建了煤巖損傷本構(gòu)模型[16]，通過非線性擬合驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性，并分析了模型參數(shù)m和F0的實(shí)際物理意義。

1 煤巖損傷本構(gòu)模型

1.1 損傷變量和應(yīng)變等價(jià)原理

1）損傷變量。煤巖在荷載的反復(fù)作用下其內(nèi)部微裂隙逐漸增多，所能承受的極限荷載逐漸減弱，損傷越來越大。定義損傷變量D為：

式中：Aw為試件橫截面積上出現(xiàn)孔隙的總面積；A為試件產(chǎn)生損傷后的瞬時(shí)表觀面積。

2）應(yīng)變等價(jià)原理。由于測(cè)定受損傷材料的孔隙面積比較困難，為了能間接地測(cè)定材料損傷，Lemaitre提出了應(yīng)變等價(jià)原理[17]。

式中：ε為應(yīng)變張量；E*為有效彈性模量；E為完整材料的彈性模量；σ*為有效應(yīng)力張量；σ為名義應(yīng)力張量。

1.2 煤巖微元體強(qiáng)度

把煤巖分成若干個(gè)含有不同缺陷的微元體，微元體被劃分得比較小，可以對(duì)微元體做這樣的假設(shè)：微元體符合廣義虎克定律；微元體破壞符合Mises屈服準(zhǔn)則。由于每個(gè)微元體所含的缺陷不同，煤巖微元體的強(qiáng)度也就各不相同。為了表示每個(gè)微元體強(qiáng)度特性，在此引用Weibull統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)[18]：

式中：m、F0為Weibull分布標(biāo)度和形態(tài)參數(shù)；F為煤巖微元體強(qiáng)度；P（F）為煤巖強(qiáng)度為F時(shí)微元體的破壞概率。

由Misses屈服準(zhǔn)則，煤巖微元體強(qiáng)度F為:

式中：σ1*、σ2*、σ3*為3個(gè)方向的有效主應(yīng)力。

1.3 三軸作用下和單軸作用下?lián)p傷本構(gòu)模型

根據(jù)式（3），損傷變量D可以表示為：

式中：P（x）為煤巖強(qiáng)度為x時(shí)微元體破壞概率。

由廣義虎克定律得：

式中：E為完整煤巖彈性模量；μ為煤巖泊松比；ε1為σ1方向的主應(yīng)變。

當(dāng)σ2=σ3時(shí)：

由式（2）、式（7）可得：

由式（4）、式（8）可得：

式中：σ1、σ2、σ3分別為3個(gè)方向主應(yīng)力，且σ1≥σ2≥σ3。

可得煤巖三軸作用下?lián)p傷本構(gòu)模型：

當(dāng)煤巖僅受單軸循環(huán)荷載作用時(shí)，將σ3=0代入式（10）可得單軸作用下?lián)p傷本構(gòu)模型：

1.4 模型適用條件及其在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用

結(jié)合工程背景，地下工程巖體經(jīng)常受到復(fù)雜的循環(huán)加卸載作用，該損傷本構(gòu)模型主要適用于煤巖的分等級(jí)循環(huán)加卸載試驗(yàn)條件，煤巖微元體強(qiáng)度符合Mises屈服準(zhǔn)則，因?yàn)镸ises屈服準(zhǔn)則能夠完整地描述復(fù)雜結(jié)構(gòu)或復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的巖石破壞特征。在ABAQUS、LS-DYNA等軟件中可得到Mises應(yīng)力云圖，基于損傷本構(gòu)模型，運(yùn)用數(shù)值模擬軟件可以分析受荷損傷巖體的應(yīng)力、變形云圖，從而來預(yù)測(cè)巖體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和可靠性，給工程實(shí)踐加以指導(dǎo)。

2 試件制備及試驗(yàn)開展

將煤巖取心、切割、打磨，制成尺寸為50mm×100mm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱體試件。試件兩端面平行誤差和試件垂直誤差均控制在0.02mm范圍。試件制備嚴(yán)格按照國際巖石力學(xué)學(xué)會(huì)建議方法進(jìn)行[19]。

試驗(yàn)方法為分等級(jí)單軸循環(huán)加卸載，試驗(yàn)儀器采用型號(hào)為DDL200型電子蠕變持久試驗(yàn)機(jī)。首先取用3個(gè)煤巖試件進(jìn)行單軸壓縮試驗(yàn)，測(cè)定煤巖的平均單軸抗壓強(qiáng)度為34.33MPa。根據(jù)煤巖的單軸抗壓強(qiáng)度將加卸載等級(jí)分為5級(jí)，分別為10、15、20、25、30MPa。加卸載速率為0.2MPa/s，每個(gè)等級(jí)加載至上限應(yīng)力后進(jìn)行卸載，卸載至0后第1等級(jí)加卸載結(jié)束，繼續(xù)進(jìn)行第2等級(jí)加卸載，按照此加卸載方式依次進(jìn)行到第5等級(jí)直至試件破壞。具體加卸載方式如圖1。

圖1 循環(huán)加卸載方式Fig.1 Cyclic loading and unloading mode

3 試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

煤巖在循環(huán)加卸載下變形的發(fā)展過程分為4個(gè)階段：微裂隙壓密階段、彈性變形階段、穩(wěn)定破裂階段、不穩(wěn)定破裂階段。在逐級(jí)加卸載作用下，煤巖體內(nèi)裂紋充分地發(fā)展、貫通，在第5加載等級(jí)應(yīng)力為30.13MPa時(shí)煤巖承載力迅速降低，同時(shí)煤巖突然破壞并伴有崩裂的響聲，且無明顯預(yù)兆，說明了煤巖破壞屬于脆性破壞。煤巖的循環(huán)加卸載應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線如圖2。

圖2 循環(huán)加卸載應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線Fig.2 Stress-strain curves of cyclic loading and unloading

3.1 彈性模量及殘余應(yīng)變變化分析

由圖2可以看出，煤巖后一等級(jí)加載曲線會(huì)沿著前一等級(jí)的卸載曲線發(fā)展，這就是煤巖的“記憶效應(yīng)”[20]。由于加載曲線會(huì)受到“記憶效應(yīng)”的影響，加載階段的彈性模量也因此會(huì)受到影響，所以采用卸載階段的彈性模量來分析煤巖在加卸載作用下彈性模量的變化是比較合適的。煤巖各循環(huán)等級(jí)的彈性模量和殘余應(yīng)變?nèi)鐖D3。

圖3 不同等級(jí)循環(huán)加卸載下煤巖的殘余應(yīng)變和彈性模量Fig.3 Residual strain and elastic modulus of coal under different levels of cyclic loading and unloading

循環(huán)加卸載作用下煤巖彈性模量變化趨勢(shì)是先增大后減小。彈性模量先增大是因?yàn)樵诘?等級(jí)加載作用下，煤巖逐漸被壓密實(shí)，內(nèi)部初始微裂隙閉合，煤巖強(qiáng)度提高，彈性模量逐漸增大。隨著加載等級(jí)提高，煤巖所受應(yīng)力逐漸增大，內(nèi)部微裂隙也逐漸擴(kuò)展，損傷程度越來越高，導(dǎo)致其彈性模量逐漸降低。

在循環(huán)加卸載過程中，加載階段的應(yīng)變包括塑性和彈性應(yīng)變，而卸載階段僅恢復(fù)彈性應(yīng)變，不可恢復(fù)的應(yīng)變?yōu)闅堄鄳?yīng)變。隨著加卸載等級(jí)的提高，煤巖內(nèi)部損傷程度加大，其殘余應(yīng)變也逐漸增大。其中第1等級(jí)循環(huán)下的殘余應(yīng)變最大，占總殘余應(yīng)變的77.04 %。因?yàn)槊簬r本身存在微孔隙，在第1等級(jí)循環(huán)荷載作用下煤巖被壓密實(shí)，應(yīng)變量較大，可恢復(fù)的彈性變形較小，導(dǎo)致殘余應(yīng)變量最大。

3.2 滯回環(huán)變化分析

由于加卸載曲線的不重合，各等級(jí)循環(huán)加卸載曲線會(huì)形成1個(gè)滯回環(huán)。滯回環(huán)的形成伴隨著能量的耗散，隨著加卸載等級(jí)的提高，煤巖體原生裂隙由受壓閉合到逐漸張開，次生裂隙也逐漸增多，應(yīng)變?cè)絹碓酱?，隨著殘余應(yīng)變的逐漸積累，滯回環(huán)也不斷變化。不同循環(huán)等級(jí)的煤巖滯回環(huán)如圖4。

圖4 不同循環(huán)等級(jí)的煤巖滯回環(huán)Fig.4 Coal hysteresis loops with different cycle grades

根據(jù)能量原理，在循環(huán)加卸載應(yīng)力-應(yīng)變曲線中，由加載曲線和坐標(biāo)軸圍成的面積是輸入能密度；卸載曲線和坐標(biāo)軸圍成的面積是彈性能密度；加、卸載曲線中間的面積則是耗散能密度；所以滯回環(huán)的面積就是耗散能密度[21]。由曲線積分計(jì)算可知4個(gè)等級(jí)的耗散能密度分別為4.2×10-3、2.8×10-3、4.4×10-3、7.1×10-3MJ/m3。

隨著循環(huán)加卸載等級(jí)的提高，滯回環(huán)形狀變化可以描述為“胖”-“瘦”-“胖”的過程，第1循環(huán)等級(jí)是煤巖壓密階段，除第1循環(huán)等級(jí)外，滯回環(huán)面積逐漸增大，耗散能密度逐漸增大。由于在第1等級(jí)加卸載作用下煤巖體內(nèi)部原始微裂隙發(fā)生閉合，導(dǎo)致殘余應(yīng)變較大，用于塑性變形的耗散能較多；第2、第3等級(jí)加卸載對(duì)應(yīng)的滯回環(huán)處于穩(wěn)定發(fā)展階段，由于煤巖已經(jīng)壓密，在應(yīng)力作用下煤巖體內(nèi)部初始裂隙逐漸開展；第4等級(jí)加卸載對(duì)應(yīng)的滯回環(huán)最大，由于加卸載等級(jí)的進(jìn)一步提高，煤巖體所受應(yīng)力越來越大其原始裂紋進(jìn)一步發(fā)展，新生裂隙也逐漸增多，表現(xiàn)為塑性應(yīng)變?cè)絹碓酱?，損傷逐漸積累。

4 損傷本構(gòu)模型驗(yàn)證及參數(shù)分析

4.1 煤巖損傷本構(gòu)模型驗(yàn)證

采用單軸分等級(jí)循環(huán)加卸載的試驗(yàn)方法來驗(yàn)證基于Mises屈服準(zhǔn)則的煤巖損傷本構(gòu)模型。首先，將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理分析得到各等級(jí)的循環(huán)加卸載應(yīng)力-應(yīng)變曲線；利用Matlab數(shù)學(xué)計(jì)算軟件中的曲線擬合功能，將帶有未知參數(shù)m、F0的損傷本構(gòu)模型函數(shù)擬合各加卸載等級(jí)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線，得到相應(yīng)的擬合參數(shù)m、F0。各循環(huán)等級(jí)加卸載試驗(yàn)曲線和擬合曲線如圖5和圖6。各加卸載等級(jí)擬合得到的模型參數(shù)見表1。

由圖5、圖6和表1可知，損傷本構(gòu)模型能夠很好地?cái)M合煤巖循環(huán)加、卸載試驗(yàn)曲線，擬合校正系數(shù)均在0.997 以上。擬合參數(shù)m隨著加、卸載等級(jí)提高而逐漸減小，且同等級(jí)荷載作用下卸載階段擬合參數(shù)m比加載階段??；擬合參數(shù)F0隨著加卸載等級(jí)的提高而逐漸增大，且同等級(jí)荷載作用下卸載階段擬合參數(shù)F0比加載階段大，卸載階段整體擬合效果比加載階段擬合效果好。第1等級(jí)加載初始階段不能較好地?cái)M合是因?yàn)槊簬r體原始孔隙較多，在應(yīng)力作用下孔隙壓密需要消耗較多的耗散能。

表1 各加卸載等級(jí)擬合參數(shù)Table1 Fitting parameters of loading and unloading stages

圖5 各等級(jí)加載階段曲線擬合Fig.5 Curves fitting of various loading stages

圖6 各等級(jí)卸載階段曲線擬合Fig.6 Curves fitting of various unloading stages

4.2 加卸載參數(shù)敏感性分析

為了分析統(tǒng)計(jì)參數(shù)m和F0實(shí)際物理意義和循環(huán)加卸載條件下對(duì)煤巖強(qiáng)度損傷的影響，采用控制變量的方法分析煤巖循環(huán)加卸載損傷應(yīng)力-應(yīng)變曲線而變化特點(diǎn)。參數(shù)m、F0的敏感性分析如圖7。

圖7 參數(shù)m、F0的敏感性分析Fig.7 Sensitivity analysis of parameters m and F0

對(duì)分等級(jí)循環(huán)加卸載曲線參數(shù)m的敏感性進(jìn)行分析。參數(shù)F0取為10，m分別取-0.5 、-1.0 、-1.5 、-2.0 。由圖7（a）可知：m小于0的損傷應(yīng)力-應(yīng)變曲線是循環(huán)加載階段或卸載階段，主要處于彈性階段和應(yīng)變硬化階段，當(dāng)應(yīng)力小于4.33MPa時(shí)，m越小，煤巖初始強(qiáng)度上升越慢；當(dāng)應(yīng)力大于4.33MPa時(shí)，參數(shù)m越小，應(yīng)力增長速率越大，煤巖強(qiáng)度增長越快，脆性也越來越大。所以，參數(shù)m與煤巖微元體強(qiáng)度分布的集中程度有關(guān)，參數(shù)m越小，煤巖微元體強(qiáng)度分布集中程度越高。

同理，為了分析參數(shù)F0的敏感性。參數(shù)m取為-1.5 ，參數(shù)F0分別取為10、15、20、25。由圖7（b）可知：參數(shù)F0越大，煤巖體應(yīng)力增長越慢，強(qiáng)度越低，延性越大。所以，參數(shù)F0與煤巖的宏觀平均強(qiáng)度有關(guān)，參數(shù)F0越大煤巖體宏觀平均強(qiáng)度越低。

通過調(diào)整加卸載擬合參數(shù)m、F0的取值可以分析其全應(yīng)力-應(yīng)變曲線隨擬合參數(shù)m、F0的變化情況。全應(yīng)力-應(yīng)變曲線中參數(shù)m、F0的敏感性分析如圖8。

圖8 全應(yīng)力-應(yīng)變曲線的參數(shù)敏感性分析Fig.8 Parameters sensitivity analysis of total stress-strain curves

參數(shù)F0固定、參數(shù)m改變，分析參數(shù)m的敏感性：取參數(shù)F0為35，參數(shù)m分別取為5、10、15、20，由圖8（a）可知，m大于0是加載全過程煤巖的損傷全應(yīng)力-應(yīng)變曲線，包含煤巖從開始受力到最終破壞的整個(gè)生命周期，隨著參數(shù)m增大，峰前彈性模量基本相等，峰后彈性模量逐漸增大，煤巖體強(qiáng)度越高，脆性越大，也可反映參數(shù)m和煤巖微元體強(qiáng)度分布集中程度有關(guān)。同理分析參數(shù)F0所代表的物理意義，取參數(shù)m=4，參數(shù)F0分別等于30、35、40、45，由圖8（b）可知，隨著參數(shù)F0的增大，煤巖體峰值應(yīng)力和峰值應(yīng)變?cè)絹碓酱?，煤巖體宏觀平均強(qiáng)度越大。

由以上分析可知：m值的正負(fù)決定煤巖損傷應(yīng)力-應(yīng)變曲線的加載階段，參數(shù)m與煤巖微元體強(qiáng)度分布集中程度有關(guān)，且參數(shù)m的絕對(duì)值越大，煤巖微元體強(qiáng)度分布集中程度越高，煤巖體強(qiáng)度越大，脆性越大；參數(shù)F0與煤巖體的宏觀平均強(qiáng)度有關(guān)，且當(dāng)m小于0時(shí)，F(xiàn)0越大，煤巖體宏觀平均強(qiáng)度越低，當(dāng)m大于0時(shí)，F(xiàn)0越大，煤巖體宏觀平均強(qiáng)度越高。

5 結(jié) 論

1）建立了基于Weibull分布的分級(jí)循環(huán)加卸載煤巖損傷本構(gòu)模型。該模型和各循環(huán)等級(jí)加卸載曲線擬合程度很高，能夠準(zhǔn)確反映煤巖在循環(huán)加卸載條件下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。

2）隨著加卸載等級(jí)的提高，煤巖彈性模量先增大后減小；殘余應(yīng)變逐漸累積，第1循環(huán)等級(jí)殘余應(yīng)變最大，占累積殘余應(yīng)變的77.04 %，之后增長速率趨于穩(wěn)定。

3）隨著循環(huán)加卸載等級(jí)的提高，滯回環(huán)形狀表現(xiàn)為“胖”-“瘦”-“胖”的特點(diǎn)，除第1循環(huán)等級(jí)外，滯回環(huán)面積越來越大，耗散能也越來越大。

4）參數(shù)m與煤巖微元體強(qiáng)度分布集中程度有關(guān)，參數(shù)F0與煤巖體的宏觀平均強(qiáng)度有關(guān)。參數(shù)m絕對(duì)值越大，煤巖微元體強(qiáng)度分布集中程度越高，煤巖體強(qiáng)度越高且脆性越大；參數(shù)m小于0時(shí)，參數(shù)F0越大，煤巖體宏觀平均強(qiáng)度越低，當(dāng)參數(shù)m大于0時(shí)，參數(shù)F0越大，煤巖體宏觀平均強(qiáng)度越高。