三原則整體最小二乘用于平面自由網(wǎng)平差計(jì)算

郭紹禹

(江西理工大學(xué)，江西 贛州 341000)

“整體最小二乘理論”應(yīng)用到測(cè)繪領(lǐng)域是一種新理論，是近十年來(lái)許多學(xué)者的研究方向，并取得了算法和應(yīng)用方面的研究成果[1-12]。但是，還缺少適用于平面自由網(wǎng)平差的研究成果。

由Adcock[13]提出的“系數(shù)矩陣A有誤差ΔA”需添加改正數(shù)VA的整體最小二乘模型可寫為：

(1)

(2)

文中在“平面網(wǎng)平差”中應(yīng)用了“整體最小二乘理念”，獲得一種“三原則整體最小二乘”新方法，它能消除“系數(shù)誤差ΔA和參數(shù)系統(tǒng)誤差Δx”，適用于平面自由網(wǎng)平差。

1 最小二乘的模型和誤差

(3)

(4)

(5)

(6)

Δxj=xj-d=QjATPAd-d.

(7)

當(dāng)XO的誤差ΔX=XO-XⅡ≈XⅠ-XⅡ=-d的絕對(duì)值小于0.3 m(作者實(shí)驗(yàn)值)時(shí)，誤差ΔA對(duì)V沒(méi)有影響。

當(dāng)誤差ΔX大時(shí)，用XO計(jì)算的系數(shù)矩陣A有誤差ΔA，其非線性誤差會(huì)影響平差而使V增加新誤差ΔV。為了去掉ΔV，應(yīng)該消除系數(shù)誤差ΔA。

2 三原則整體最小二乘的模型

(8)

(9)

的三原則整體最小二乘即TPTLS新方法。

為了保持式(9)中各量的相同數(shù)量級(jí)，文中設(shè)定檢驗(yàn)V，VA，VX末位數(shù)值的單位是：V單位(″)；在VA=VA×107之后VA=1；VX單位mm。

算例實(shí)驗(yàn)容易實(shí)現(xiàn)VA，VX的絕對(duì)值小于0.01，明確規(guī)定0.5是檢驗(yàn)數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)由電腦檢驗(yàn)VA，VX的Abs(V)<0.5時(shí)，則顯示VA=0，VX=0(注意這里的0不是數(shù)學(xué)0，而是顯示為0)，則分別消除了原先的誤差ΔA，Δxj。

由此觀念和經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)：TPTLS模型是“經(jīng)過(guò)很多次的平差”，還要“多次的由電腦檢驗(yàn)VA=0，VX=0”的模型式。

3 三原則整體最小二乘的解算方法

TPTLS解算方法不是唯一的，文中介紹兩種方法。

第一種TPTLS解算方法：靈活采用LS解算法，很多次循環(huán)運(yùn)行LS，多次換用“參考點(diǎn)組”或“近似坐標(biāo)”，逐次改變A等各種值趨近最終值，最后實(shí)現(xiàn)“VA=0，VX=0”而滿足三原則的準(zhǔn)則。

逆陣Qj的計(jì)算式為：

(10)

(11)

協(xié)因數(shù)Qxx的計(jì)算式為：

Qxx=Qj(ATPA)Qj.

(12)

當(dāng)平差運(yùn)行到第2)大平差步驟時(shí)才需要計(jì)算改正數(shù)VA，VX，其計(jì)算式：

VA=Ai-Ai-1,

(13)

(14)

第i次運(yùn)行VA，VX的檢驗(yàn)過(guò)程如下：

4)檢驗(yàn)絕對(duì)值：VA=VA×107， Abs(VA)<0.5,Abs(VX)<0.5 mm(在數(shù)組中分別保存VA，VX值供最后輸出用) 。

當(dāng)檢驗(yàn)絕對(duì)值均小于0.5時(shí)，即顯示VA，VX為0，結(jié)束循環(huán)運(yùn)行；否則繼續(xù)。

穩(wěn)定性檢驗(yàn)用文獻(xiàn)[17]的單點(diǎn)檢驗(yàn)，判別式為：

(15)

在文中，系數(shù)誤差是“系數(shù)矩陣A的誤差”的簡(jiǎn)稱。因?yàn)槭庆`活采用LS解算法，因此不需要組成“系數(shù)矩陣誤差”。

4 TPTLS的平差步驟

TPTLS自由網(wǎng)平差的要求：

2)要消除→誤差ΔA，系統(tǒng)誤差Δxj，粗差值L；

3)要“各個(gè)參考系”都得出相同的“各種平差值”。

TPTLS自由網(wǎng)平差的兩大平差步驟為：

1)多次換用“參考點(diǎn)組”，選出w個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)：LS自由網(wǎng)平差多次循環(huán)運(yùn)行；多次換用“參考點(diǎn)組”，利用式(10)—式(12)、式(15)求解；每次單點(diǎn)穩(wěn)定性檢驗(yàn)去掉一個(gè)參考點(diǎn)，最后選出w個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)的w號(hào)點(diǎn)組，結(jié)束循環(huán)。

2)多次換用“近似坐標(biāo)”，消除誤差ΔA，Δxj：LS自由網(wǎng)平差多次循環(huán)運(yùn)行；多次換用“新近似坐標(biāo)”，w號(hào)點(diǎn)組不變，利用式(10)—式(14)求解；每次檢驗(yàn)是否Abs(VX)<0.5 mm，當(dāng)滿足此式時(shí)結(jié)束循環(huán)。然后運(yùn)行“粗差檢驗(yàn)”；最后按指定的參考點(diǎn)組利用式(10)～式(12)、式(15)求解一次后輸出成果。

5 模擬算例

模擬算例的數(shù)據(jù)來(lái)源：假設(shè)Ⅰ，Ⅱ期的真坐標(biāo)XⅠ，XⅡ，計(jì)算真位移d=(XⅡ-XⅠ)，d作為Ⅱ期檢驗(yàn)系統(tǒng)誤差的依據(jù)；反算出真觀測(cè)值LⅠ，LⅡ，添加隨機(jī)誤差得出觀測(cè)值LⅠ，LⅡ。

模擬算例說(shuō)明(用Basic 6.0 企業(yè)版編制的通用程序)：

1)權(quán)P=1未打印，成果是最后一次的，進(jìn)行粗差檢驗(yàn)；

2)新Xo是最后的Xo；VA是VA；Vx是VX；Δx是Δxj；

3)VX全部輸出；VA因太多而只輸出兩個(gè)方程的VA值。

5.1 證明TPTLS消除誤差ΔA，Δxj

理論上證明“誤差ΔA， 系統(tǒng)誤差Δxj”是否消除的最好方法是：采用真坐標(biāo)X，真觀測(cè)值L，近似坐標(biāo)XO，分別運(yùn)行各種平差方法：

2)運(yùn)行TPTLS，得改正數(shù)V=0，平差值L′=L，平差坐標(biāo)X′=X，則證明誤差ΔA，Δxj已消除。

因真觀測(cè)值無(wú)誤差，應(yīng)該是V=0 ，X′=X。

表1是用真觀測(cè)值的TPTLS自由網(wǎng)平差算例：真觀測(cè)值L，S是與真坐標(biāo)X配套的，近似坐標(biāo)XO是前期的，平差能得出改正數(shù)V=0、平差坐標(biāo)X′=X，這是從理論上嚴(yán)密證明：TPTLS消除了誤差ΔA，Δxj。

表1 用真觀測(cè)值三原則整體最小二乘平面自由網(wǎng)平差

表2是用真觀測(cè)值的LS自由網(wǎng)平差算例：原始數(shù)據(jù)同于表1，平差得出V≠0、平差坐標(biāo)X′≠X，這是從理論上證明：LS結(jié)果含有誤差ΔA，Δxj影響。該算例是用來(lái)對(duì)比表1，證明TPTLS消除了誤差ΔA，Δxj。

表1可看出：平差值L′=真觀測(cè)值L；V=0；VA=0；穩(wěn)定點(diǎn)的位移x=0；X′=X；Vx=0；Δx=0。

表2 用真觀測(cè)值最小二乘平面自由網(wǎng)平差

表2可看出：L′≠L，V是增加新誤差，證明有ΔA影響；穩(wěn)定點(diǎn)位移x≠0；X′≠X；Δx≠0，證明有Δxj影響。

5.2 TPTLS的各個(gè)參考系均得出相同結(jié)果

表3、表4是用觀測(cè)值的TPTLS自由網(wǎng)平差算例：原始數(shù)據(jù)相同，參考系不同，即表3的參考點(diǎn)組(ABDEFG )與表4的(ADF)不同，平差均能得出“各種平差值”完全相同，這也證明：TPTLS消除了誤差ΔA，Δxj。

表3 三原則整體最小二乘平面自由網(wǎng)平差(ABDEFG)

表4 三原則整體最小二乘平面自由網(wǎng)平差(ADF)

表3、表4可看出：V，X′,位移x等“各種平差值”完全相同。

含有位移點(diǎn)的不同點(diǎn)組共有(26-23)=56組，定義56個(gè)不同參考系，采用TPTLS均能得出相同的“各種平差值”結(jié)果，即與參考系的選擇無(wú)關(guān)。

表5為表1—表4的平差方法結(jié)果對(duì)比。采用LS則得出不同的結(jié)果；采用滿足式(2)的TLS則得出V相同、位移x不同的結(jié)果。

表5 平差方法結(jié)果對(duì)比

6 結(jié)束語(yǔ)

2)TPTLS解算方法不是唯一的。文中采用LS解算法：先多次換用參考點(diǎn)組，后換用近似坐標(biāo)，用LS的很多次平差運(yùn)行來(lái)滿足三原則的準(zhǔn)則式(9)。這種解算方法能夠消除“系數(shù)誤差ΔA和參數(shù)系統(tǒng)誤差Δxj”，各個(gè)參考系均能得出相同的“各種平差值”，且符合實(shí)際的無(wú)偏估計(jì)。

3)TPTLS方法適用于平面自由網(wǎng)平差，其最大的優(yōu)點(diǎn)是：Ⅱ期選用“各個(gè)參考系”均能得出相同的“各種平差值”(即與參考系的選擇無(wú)關(guān))，且能得出真位移d的無(wú)偏估計(jì)的位移x。經(jīng)典的LS方法存在有“多個(gè)參考系得出多套位移x”的系統(tǒng)誤差問(wèn)題，TPTLS方法有效解決了此類問(wèn)題。