面向在軌裝配的冗余索并聯(lián)機(jī)構(gòu)變剛度控制

于金山，李 瀟，王國星，陶建國*，王浩威

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094；3.北京衛(wèi)星制造廠有限公司，北京 100094）

1 引言

隨著航天技術(shù)的發(fā)展，航天器的結(jié)構(gòu)尺寸越來越大。很多大型航天器如空間天線、大型SAR衛(wèi)星等，其結(jié)構(gòu)尺寸超出了運(yùn)載火箭的裝載體積。因此，大型空間結(jié)構(gòu)需要采用在軌裝配的方式［1］。按照有無人直接參與，在軌裝配可分為有人在軌裝配和無人在軌裝配兩種類型［2］。有人在軌裝配是指由航天員操縱工具直接進(jìn)行在軌裝配作業(yè)，在此過程中航天員身體會(huì)暴露在惡劣的空間環(huán)境中，因此該方式具有很大的危險(xiǎn)性。無人在軌裝配是指借助空間機(jī)器人或機(jī)械臂采用遙操作或自主操作的方式進(jìn)行在軌裝配作業(yè)。該方式具有很高的安全性，可以滿足長期工作要求，因此成為了在軌裝配的主要方式。

目前，空間在軌裝配操作任務(wù)所采用的機(jī)械臂多為桿支撐串聯(lián)機(jī)械臂［3］。這種機(jī)械臂的特點(diǎn)是控制方便；但是當(dāng)關(guān)節(jié)數(shù)量較多時(shí)質(zhì)量會(huì)極大地增加，提高了系統(tǒng)能耗，此外，當(dāng)臂桿較長時(shí)機(jī)械臂的剛度會(huì)降低，因此難以滿足大跨度、高精度的在軌裝配需求。相對(duì)于桿支撐串聯(lián)機(jī)構(gòu)，索并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)合了繩索驅(qū)動(dòng)的優(yōu)勢和并聯(lián)機(jī)構(gòu)［4-5］的特性，具有結(jié)構(gòu)簡單、易于構(gòu)建、質(zhì)量輕、工作空間大以及承載能力強(qiáng)的特點(diǎn)［6］，廣泛應(yīng)用在起重［7］、天文觀測［8］及飛行器風(fēng)洞試驗(yàn)［9］等領(lǐng)域。由于具有這些特點(diǎn)，索并聯(lián)機(jī)構(gòu)在空間在軌裝配領(lǐng)域具有良好的應(yīng)用前景。

索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度是影響其工作性能的一項(xiàng)重要指標(biāo)，它在提高系統(tǒng)穩(wěn)定性以及降低系統(tǒng)振動(dòng)方面扮演著重要角色。繩索作為柔性體具有彈性，這不可避免地對(duì)系統(tǒng)的剛度產(chǎn)生了消極的影響，尤其是在繩索較長的情況下。這種影響造成機(jī)構(gòu)定位精度下降。然而，較低的剛度能提高機(jī)構(gòu)的柔順性，這對(duì)于一些接觸性作業(yè)是有利的。Verhoeven 等研究了索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間、剛度和奇異性，并通過仿真分析了不同位置處機(jī)構(gòu)的剛度，但在研究過程中忽略了繩索拉力對(duì)機(jī)構(gòu)剛度的影響［10］。事實(shí)上，由于應(yīng)力剛化原理［11］，繩索拉力對(duì)索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度具有重要影響。王克義等對(duì)一種索牽引康復(fù)機(jī)器人進(jìn)行了研究，在運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程的基礎(chǔ)上，通過仿真分析了繩索彈性對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制的非線性影響，但在繩索彈性對(duì)機(jī)器人影響機(jī)理方面缺乏更為深入的研究［12］。隋春平等根據(jù)微分變換原理對(duì)一種3 自由度索驅(qū)動(dòng)并聯(lián)操作臂的剛度進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)操作臂的剛度與繩索拉力有關(guān)，在此基礎(chǔ)上通過位置和張力混合控制策略對(duì)操作臂進(jìn)行了剛度控制［13］。但該方法只針對(duì)具有一個(gè)冗余度的四索三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，對(duì)于更多冗余度的索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度控制有待進(jìn)一步的研究。Behzadipour 等首先建立了單根繩索的剛度模型，然后進(jìn)一步建立了多根繩索組成的索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度模型［14］。該研究在建立索并聯(lián)機(jī)構(gòu)完整剛度模型的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)研究了機(jī)構(gòu)穩(wěn)定性與剛度模型的關(guān)系，卻未對(duì)機(jī)構(gòu)的變剛度問題進(jìn)行深入研究。劉欣等基于微分變換和線幾何理論，建立了包含關(guān)節(jié)彈性變形以及繩索張力等因素的索并聯(lián)機(jī)器人剛度模型，通過大射電望遠(yuǎn)鏡5 m 縮尺模型進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證［15］，但未在該模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行剛度控制方面的研究。Yeo 等研究了索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的變剛度特性，考慮到在繩索張力范圍較小的情況下，通過改變繩索張力難以使機(jī)構(gòu)剛度產(chǎn)生有效的變化，因此設(shè)計(jì)了一種由扭矩彈簧組成的變剛度機(jī)構(gòu)，但該機(jī)構(gòu)的引入增加了系統(tǒng)設(shè)計(jì)和控制的復(fù)雜性［16］。Jamshidifar 等設(shè)計(jì)了一種冗余運(yùn)動(dòng)學(xué)約束的索并聯(lián)機(jī)構(gòu)，對(duì)冗余繩索張力對(duì)機(jī)構(gòu)剛度的影響進(jìn)行了研究，并且以期望方向的剛度最大化為目標(biāo)對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了剛度控制［17］，但在控制過程中只考慮了繩索拉力約束，未進(jìn)一步考慮避免外界擾動(dòng)力導(dǎo)致繩索過度張緊或松弛的安全邊界。Nelson 提出了一種提高索并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度的方法，即將繩索與運(yùn)動(dòng)平臺(tái)鉸接點(diǎn)變?yōu)榛?，繩索穿過該滑輪后再與支架固連，這種方法可以使實(shí)際繩索數(shù)量增加為原來的一倍，顯著提高了機(jī)構(gòu)的剛度［18］，但該方法增加了滑輪的數(shù)量，一定程度上也增加了繩索的數(shù)量，提高了系統(tǒng)的復(fù)雜性，還會(huì)導(dǎo)致機(jī)構(gòu)的工作空間有所減小。Picard 等提出了一種面向剛度的索并聯(lián)機(jī)構(gòu)張力分布算法，用來降低運(yùn)動(dòng)平臺(tái)因外力干擾導(dǎo)致的位移，通過仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性［19］，但該研究只考慮了機(jī)構(gòu)某單一方向（側(cè)向）的剛度，未能建立考慮多個(gè)方向剛度的張力分布算法，在應(yīng)用中具有一定的局限性。

以上研究中，有些對(duì)影響索并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度的因素考慮不全面，所建立的剛度模型不完整，從而限制了它在控制中的應(yīng)用；有些改變機(jī)構(gòu)剛度的策略只能應(yīng)用于某一種特定構(gòu)型的機(jī)構(gòu)，局限性很大；還有一些研究提出了用來改變機(jī)構(gòu)剛度的設(shè)計(jì)方案，但增加了機(jī)構(gòu)元件的數(shù)量，提高了系統(tǒng)的復(fù)雜性。本文針對(duì)大型空間結(jié)構(gòu)的在軌裝配任務(wù)，提出了大跨度索并聯(lián)機(jī)構(gòu)方案，即通過驅(qū)動(dòng)多根繩索牽引執(zhí)行器進(jìn)行在軌裝配作業(yè)。針對(duì)該冗余索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度展開研究，為了提高它在不同工況下的工作性能，提出了一種變剛度控制算法，該算法無需增加元件，通過直接調(diào)節(jié)繩索張力的方式使期望方向的剛度達(dá)到理想要求；同時(shí)考慮機(jī)構(gòu)不同方向的剛度，通過分配權(quán)重的方式對(duì)多個(gè)方向的剛度進(jìn)行不同優(yōu)先級(jí)的控制。仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該變剛度控制算法的性能，尤其在改變索并聯(lián)機(jī)構(gòu)薄弱方向的剛度方面具有良好的效果。本文所提的變剛度控制算法也可應(yīng)用于不同類型的冗余索并聯(lián)機(jī)構(gòu)中。

2 機(jī)構(gòu)描述及剛度模型建立

2.1 機(jī)構(gòu)描述

圖1 為面向在軌裝配的索并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖，它主要由框架、驅(qū)動(dòng)單元、繩索以及運(yùn)動(dòng)平臺(tái)組成。驅(qū)動(dòng)單元包含電機(jī)、減速器及滑輪等元件，通過驅(qū)動(dòng)繩索牽引運(yùn)動(dòng)平臺(tái)實(shí)現(xiàn)大范圍的運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上面安裝有各種適配器［20］，用于執(zhí)行在軌裝配過程中的夾持、旋擰等操作。

圖1 面向在軌裝配的索并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of cable-driven parallel mecha?nism for on-rail assembly

本文所設(shè)計(jì)的索并聯(lián)機(jī)構(gòu)預(yù)期安裝空間為一長方體區(qū)域，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)形狀為長方體，其幾何參數(shù)如表1 所示。由于繩索具有單向受力性，因此索并聯(lián)機(jī)構(gòu)必須采用冗余驅(qū)動(dòng)的方式，即繩索數(shù)量必須大于運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的自由度數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的完全約束［21］。在軌裝配作業(yè)中，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)需要實(shí)現(xiàn)空間內(nèi)6 個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)。為了滿足機(jī)構(gòu)約束要求，同時(shí)使布局具有對(duì)稱性，選取繩索數(shù)量為8，其構(gòu)型如圖2 所示。

圖2 索并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型示意圖Fig.2 Schematic diagram of cable-driven parallel mecha?nism configuration

表1 索并聯(lián)機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)Tab.1 Geometric parameters of cable-driven parallel mechanism

該構(gòu)型采用繩索上下交叉布局的方式，即頂部的4 個(gè)出繩點(diǎn)通過繩索與運(yùn)動(dòng)平臺(tái)底部的4 個(gè)頂點(diǎn)相連，底部的4 個(gè)出繩點(diǎn)與運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上部相連。為了避免繩索發(fā)生干涉，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上部的4個(gè)繩索連接點(diǎn)并不位于頂點(diǎn)位置，而是向中間移動(dòng)一段距離。這種構(gòu)型可以使機(jī)構(gòu)具有更大的承載能力，同時(shí)可以使運(yùn)動(dòng)平臺(tái)實(shí)現(xiàn)更大的傾轉(zhuǎn)角度［22］。

在空間環(huán)境中，繩索不會(huì)產(chǎn)生由于重力作用導(dǎo)致的懸鏈線變形，因此可以直接建立為直線模型。圖2 中，O-XYZ為全局坐標(biāo)系，P-xyz為局部坐標(biāo)系。Bi和Pi（i=1，2，...，8）分別表示繩索出線點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)平臺(tái)連接點(diǎn)。Obi為出繩點(diǎn)在全局坐標(biāo)系中的位置矢量，O p為局部坐標(biāo)系原點(diǎn)在全局坐標(biāo)系中的位置矢量，pi為繩索與運(yùn)動(dòng)平臺(tái)連接點(diǎn)在局部坐標(biāo)系中的位置矢量，ORP為局部坐標(biāo)系到全局坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣。

單位繩索矢量可表示為：

令ti=tiui(i=1，2，...，8)為繩索拉力矢量，ti為繩索拉力值，fp為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)所受外力，τp為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)所受外力矩。由力平衡條件可得：

式（2）和式（3）合并得到：

2.2 剛度矩陣

當(dāng)作用在運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上一個(gè)微小外力旋量dF時(shí)，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)微小位姿變化dX，因此索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度可表示為：

式中K為索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度矩陣。把式（4）代入式（5），得：

可以看到索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度矩陣由兩部分組成，將這兩部分分別設(shè)為K1和K2。對(duì)K1進(jìn)行計(jì)算得到：

索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣為：

式中：L為繩索長度矩陣，L=[l1l2...l8]T。J與索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)矩陣互為轉(zhuǎn)置。

把式（9）代入式（8），得：

令ki為繩索i的剛度，則：

式中：Ei為繩索i的彈性模量，Ai為繩索i的截面面積，loi為繩索i的初始長度。則式（10）中：

把式（12）代入式（10），得到：

于是得到索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的完整剛度矩陣：

3 索并聯(lián)機(jī)構(gòu)變剛度控制策略

由式（14）可以看出，索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度不僅與繩索剛度有關(guān)，還與繩索張力有關(guān)，因此，與繩索剛度有關(guān)的K2稱為被動(dòng)剛度，與繩索張力有關(guān)的K1稱為主動(dòng)剛度［15］。在索并聯(lián)機(jī)構(gòu)位姿確定的情況下，通過調(diào)節(jié)繩索張力可以改變索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度，實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)的變剛度控制。對(duì)式（4）進(jìn)行求解，得：

式中：JT+為JT的Moore-Penrose 逆，JT+F為式（4）的特解。N=nul（lJT）為結(jié)構(gòu)矩陣JT的零空間，N∈R8×2，λ=[λ1λ2]T為任意矢量。Nλ為式（4）的齊次（零空間）解，其表現(xiàn)為索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的內(nèi)力，對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)整體不產(chǎn)生力作用。由于繩索只能受拉而不能受壓，因此繩索張力必須大于零。而在求解過程中，并不能保證特解JT+F的所有元素為正，這會(huì)違反繩索張力大于零的要求，因此可以通過設(shè)置任意矢量λ的值來調(diào)節(jié)齊次解部分，使整體繩索拉力大于零。

在實(shí)際應(yīng)用過程中，為了避免繩索發(fā)生虛牽，索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的繩索拉力應(yīng)高于一個(gè)最小值-t。此外，受驅(qū)動(dòng)器最大驅(qū)動(dòng)力矩以及繩索許用拉力（與繩索抗拉強(qiáng)度、繩索橫截面積等有關(guān)）的限制，繩索拉力存在上限值-t。因此，繩索拉力的約束條件為：

于是，求解索并聯(lián)機(jī)構(gòu)繩索拉力矩陣T的問題可以簡化為求解λ，使之滿足繩索拉力約束條件式（16）。令滿足約束條件的矢量λ的集合為Λ，其在二維空間內(nèi)呈現(xiàn)為多邊形，如圖3所示。

圖3 矢量λ 集合Λ 的可行多邊形Fig.3 Feasible polygon of λ set Λ

綜上，當(dāng)索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位姿確定時(shí)，在滿足繩索拉力約束條件的情況下，通過調(diào)節(jié)任意矢量λ可以改變繩索的拉力分布，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)構(gòu)的變剛度控制。

剛度矩陣中的主對(duì)角線元素分別為機(jī)構(gòu)沿x，y，z軸的平動(dòng)剛度Kx，Ky，Kz以及繞各軸的旋轉(zhuǎn)剛度Kα，Kβ，Kγ，非對(duì)角線元素為不同方向的耦合剛度，如下：

由于非對(duì)角線元素相對(duì)整個(gè)剛度矩陣的影響很小，因此在研究中通常只針對(duì)主對(duì)角線元素進(jìn)行分析。以運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位姿X=［00 12.5000］T為例，設(shè)置繩索拉力下限值-t和上限值-t分別為100 N 和2 000 N，繩索采用直徑為2 mm 的Dyneema 繩。當(dāng)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)所受外力為0 時(shí)，計(jì)算得到不同繩索拉力分布對(duì)索并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度的影響，如表2 所示。

由表2 可以看出，主動(dòng)剛度K1與被動(dòng)剛度K2相比較小。以繩索張力約為100 N 時(shí)為例，索并聯(lián)機(jī)構(gòu)由主動(dòng)剛度K1產(chǎn)生的3 個(gè)平動(dòng)方向的剛度（K1（1，1），K1（2，2），K1（3，3））遠(yuǎn)小于被動(dòng)剛度K2的3個(gè)平動(dòng)方向剛度（K2（1，1），K2（2，2），K2（3，3））。隨著索并聯(lián)機(jī)構(gòu)張力的增加，主動(dòng)剛度K1的值顯著增大，但與被動(dòng)剛度K2相比仍然具有很大差距。因此，在被動(dòng)剛度較大的情況下，通過改變繩索張力的方式調(diào)整機(jī)構(gòu)整體剛度不會(huì)產(chǎn)生明顯的效果。值得注意的是，在被動(dòng)剛度較小的方向（繞z軸的旋轉(zhuǎn)剛度Kγ），通過增大繩索拉力可以顯著提高該方向的剛度。在繩索拉力約為100 N 時(shí)，繞z軸的旋轉(zhuǎn)剛度Kγ=1 714 N/rad；當(dāng)繩索張力增加到約1 000 N 和2 000N 時(shí)，該方向的旋轉(zhuǎn)剛度分別達(dá)到7 130 N/rad 和13 200 N/rad，因此，在索并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度較低的方向，通過改變繩索張力的方式可以取得良好的變剛度效果。此外，非主對(duì)角線元素位置的耦合剛度相對(duì)極小，對(duì)整體剛度的影響可以忽略。

表2 不同繩索拉力分布對(duì)索并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度的影響Tab.2 Influence of different tension distribution on stiffness of cable-driven parallel mechanism

進(jìn)一步分析矢量λ變化對(duì)旋轉(zhuǎn)剛度Kγ的影響，如圖4 所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨矢量λ的變化，旋轉(zhuǎn)剛度Kγ變化顯著，且剛度極值發(fā)生在繩索約束條件的極限部分。

圖4 矢量λ 變化對(duì)Kγ 的影響Fig.4 Influence of λ on Kγ

考慮到在矢量λ集合Λ 的可行多邊形邊界位置處，繩索拉力處于約束條件的極限值，此時(shí)在有外力擾動(dòng)的情況下，繩索會(huì)發(fā)生過度張緊或松弛，使得繩索拉力超出約束條件的邊界值，導(dǎo)致系統(tǒng)失效或破壞。為了避免這種情況，定義了可行多邊形的安全邊界［19］，如圖5 所示。圖中，λBC為可行多邊形的質(zhì)心，λM和λSM分別是可行多邊形邊界和安全邊界上的點(diǎn)，且為介于(0，1)之間的系數(shù)，用于限定安全邊界所包含區(qū)域的范圍。

圖5 矢量λ 可行多邊形安全邊界Fig.5 Safe margin of feasible polygon of λ set

為提高計(jì)算效率，消除剛度矩陣中對(duì)整體影響極小的耦合項(xiàng)，只保留主對(duì)角線元素，將它改寫為矢量形式：

期望剛度為：

期望剛度與實(shí)際剛度的差值為：

于是索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的變剛度控制可轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題（見式（21）），即在滿足安全邊界條件的情況下，通過調(diào)節(jié)矢量λ來改變繩索張力，從而使實(shí)際剛度最大程度接近期望剛度。

式中 ：W為權(quán)重對(duì)角矩陣，W=由于使索并聯(lián)機(jī)構(gòu)所有方向的剛度均達(dá)到期望剛度值是不可能也是不必要的，因此，可以通過分配權(quán)重的方式使機(jī)構(gòu)某個(gè)方向的剛度優(yōu)先被控制，從而達(dá)到理想的變剛度效果。該優(yōu)化問題的求解算法流程如圖6 所示。

圖6 求解優(yōu)化問題算法的流程Fig.6 Flow chart of algorithm for solving optimization problems

4 仿真與實(shí)驗(yàn)

4.1 ADAMS 仿真

以運(yùn)動(dòng)平臺(tái)搭載適配器進(jìn)行旋擰操作為例，如圖7 所示。操作時(shí)，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)需要承受z向的擾動(dòng)力fp和擾動(dòng)力矩τp，因此要求機(jī)構(gòu)在這兩個(gè)方向上具有較強(qiáng)的剛度。設(shè)在位姿X=［0012.5000］T處，z方向平動(dòng)剛度的期望值Kdz=8 000 N/m，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度期望值Kdγ=12 000 N/rad。由表2 知z方向的平動(dòng)剛度較大，且繩索拉力分布對(duì)其影響不明顯，因此只考慮z方向旋轉(zhuǎn)剛度的控制，取權(quán)重對(duì)角矩陣W的元素w66=1，其余元素為0，安全邊界系數(shù)ξ設(shè)為0.8，則通過變剛度控制算法計(jì)算得出繩索張力分布為：

圖7 旋擰操作時(shí)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)受力Fig.7 Force diagram of moving platform during screwing operation

此時(shí)Kz=9 309 N/m，Kγ=10 091 N/rad。由于受安全邊界限制，為了避免繩索張力在擾動(dòng)力的作用下超出約束條件，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度值Kγ未能達(dá)到期望值，而在安全邊界處達(dá)到最大值。

在ADAMS 環(huán)境下采用繩索模塊建立索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的模型，如圖8 所示。對(duì)8 根繩索分別施加由變剛度控制算法得出的拉力分布值，在運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上施加微小載荷，求解載荷方向的變形量，從而測量索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的實(shí)際剛度，計(jì)算結(jié)果與理論結(jié)果如表3 所示。

圖8 ADAMS 中索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的模型Fig.8 Model of cable-driven parallel mechanism in AD?AMS

表3 索并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度的理論值與測量值比較Tab.3 Comparison of theoretical and measured stiffness of cable-driven parallel mechanism

對(duì)比剛度的測量值與理論值，發(fā)現(xiàn)測量值相對(duì)理論值較小，這是由于在ADAMS 環(huán)境中建模時(shí)，為了使繩索可以繞過滑輪，對(duì)繩索進(jìn)行了一定程度的延長，從而降低了機(jī)構(gòu)的剛度。此外，引入滑輪使得出線點(diǎn)的實(shí)際位置相對(duì)理論位置發(fā)生了較小的變化，帶來了一定的誤差。整體來看，測量值與理論值的誤差不大，驗(yàn)證了剛度模型的正確性。

在該模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步驗(yàn)證變剛度控制的性能。在運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的z方向施加擾動(dòng)力fpz（t）和擾動(dòng)力矩τpz（t）如下：

分別對(duì)8 根繩索施加采用本文提出的變剛度控制算法求解出的繩索張力以及未考慮變剛度的質(zhì)心法（即λ取值為可行多邊形質(zhì)心λBC［23］）求解出的繩索張力，分析施加上述擾動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的振動(dòng)情況，結(jié)果如圖9 所示。

圖9 擾動(dòng)力和力矩導(dǎo)致的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的振動(dòng)Fig.9 Vibration of moving platform caused by distur?bance force and torque respectively

由圖9（a）可以看出，兩種不同求解方法求解得到的繩索張力在抵抗z向擾動(dòng)力方面的作用沒有明顯區(qū)別。這是由于本文所研究的索并聯(lián)機(jī)構(gòu)在z向具有較強(qiáng)的被動(dòng)剛度，因此在該方向上，由繩索張力產(chǎn)生的主動(dòng)剛度對(duì)整體剛度無顯著影響。而對(duì)于z向轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，由于該方向的被動(dòng)剛度較弱，因此通過改變繩索張力的方法可以明顯改善整體剛度。由圖9（b）可以看出，對(duì)繩索施加由未考慮剛度的繩索張力分布算法得出的繩索張力時(shí)，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)在擾動(dòng)力矩的作用下產(chǎn)生較強(qiáng)的振動(dòng)。而在該方向設(shè)定較強(qiáng)的期望剛度時(shí)，對(duì)繩索施加通過變剛度控制算法得出的繩索張力后，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的振幅明顯減弱，由2°降為1.3°，振動(dòng)降低了35%。因此，本文提出的變剛度控制算法可以有效改變索并聯(lián)機(jī)構(gòu)薄弱方向的剛度，使該方向的剛度滿足期望要求，從而極大地改善系統(tǒng)的性能。

4.2 樣機(jī)實(shí)驗(yàn)

本文所提出的索并聯(lián)機(jī)構(gòu)變剛度控制算法不只適用于冗余度為2 的索并聯(lián)機(jī)構(gòu)，也可適用于冗余度為1 或更高冗余度的索并聯(lián)機(jī)構(gòu)。其區(qū)別在于當(dāng)冗余度為1 時(shí)，λ可行多邊形降維成一條線段，而對(duì)于冗余度較高的索并聯(lián)機(jī)構(gòu)，λ可行多邊形轉(zhuǎn)化為空間三維多面體或更高維度的超多面體，其安全邊界也會(huì)相應(yīng)發(fā)生變化。本文在已有的一種四索并聯(lián)機(jī)構(gòu)樣機(jī)（圖10）的基礎(chǔ)上，對(duì)變剛度控制算法的性能進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。該四索并聯(lián)機(jī)構(gòu)由4 臺(tái)伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)卷軸轉(zhuǎn)動(dòng)，進(jìn)而帶動(dòng)繩索牽引運(yùn)動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)。每根繩索一端與卷軸連接，另一端繞過拉力傳感器與運(yùn)動(dòng)平臺(tái)相連。拉力傳感器可以對(duì)繩索拉力進(jìn)行實(shí)時(shí)測量，用于樣機(jī)的力反饋過程。樣機(jī)的相關(guān)參數(shù)如表4 所示。

圖10 四索并聯(lián)機(jī)構(gòu)樣機(jī)Fig.10 Prototype of four-cable driven parallel mechanism

表4 四索并聯(lián)機(jī)構(gòu)樣機(jī)參數(shù)Tab.4 Prototype parameters of four-cable parallel mecha?nism （mm）

該索并聯(lián)機(jī)構(gòu)在豎直方向上（z向）的被動(dòng)剛度為0，因此，可以通過控制繩索拉力的方式提高其z向的主動(dòng)剛度，從而提高該方向的整體剛度。以運(yùn)動(dòng)平臺(tái)處于中心位置為例，設(shè)置繩索拉力為[10，300]N，只考慮z向剛度，取權(quán)重對(duì)角矩陣W的元素w33=1，其余元素為0，安全邊界系數(shù)ξ設(shè)為0.9，通過變剛度控制算法使其z向理論剛度值分別達(dá)到800 N/m 和1 000 N/m。將運(yùn)動(dòng)平臺(tái)懸空放置，在z向施加一系列不同大小的力，測量其微小位移量，計(jì)算得出實(shí)際剛度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖11 所示。

從圖11 可以看出，四索并聯(lián)機(jī)構(gòu)樣機(jī)在z方向的剛度測量值小于理論值，這是因?yàn)槊扛K索的實(shí)際長度大于理論長度。此外，卷軸受力后也產(chǎn)生了一定的變形量，這也是造成樣機(jī)剛度測量值降低的一個(gè)重要因素［19］。兩種情況下剛度測量值的相對(duì)理論值誤差分別為16.3% 和14.6%，結(jié)合文獻(xiàn)［19］，該誤差在可接受的范圍內(nèi)。

圖11 四索并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度測量結(jié)果Fig.11 Measurement results of stiffness of four-cable driven parallel machenism

5 結(jié)論

本文對(duì)一種面向在軌裝配的冗余索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度進(jìn)行了分析，建立了其完整剛度模型。其次，分析了繩索張力分布對(duì)不同方向剛度的影響。然后，考慮影響繩索張力分布的矢量λ的安全邊界，建立了索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的變剛度控制算法，該算法消除了剛度模型中對(duì)整體影響較小的耦合剛度，提高了計(jì)算效率，并且可以通過分配權(quán)重的方式對(duì)不同方向的剛度進(jìn)行不同優(yōu)先級(jí)的控制。最后，以旋擰操作為例進(jìn)行仿真，結(jié)果表明：在對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)施加擾動(dòng)力時(shí)，相較于未考慮變剛度的索力分布，采用變剛度控制算法求解出的索力分布可以使薄弱方向的振動(dòng)降低35%。樣機(jī)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在對(duì)索并聯(lián)機(jī)構(gòu)樣機(jī)進(jìn)行剛度控制后，剛度的測量值與理論值具有較強(qiáng)的擬合性，誤差分別為16.3%和14.6%。本文的變剛度控制方法可以有效改變索并聯(lián)機(jī)構(gòu)薄弱方向的剛度，使其達(dá)到預(yù)期剛度值。這對(duì)于提高系統(tǒng)的性能具有重要意義。