基于多元線性回歸模型的水質(zhì)優(yōu)化研究

黃克勤，吳海洋，賈德庚

（廣元中孚高精鋁材有限公司， 四川 廣元 628000）

1 建模與參數(shù)估計

根據(jù)過去的一年中每月補水情況（采用純水與工業(yè)水的添加比值）、排污量、月平均氣溫（來源為氣象局網(wǎng)站）統(tǒng)計了一組影響因子的數(shù)值，收集每月對應(yīng)的氯根化驗結(jié)果，在模型中使用純水和工業(yè)水添加比例的因子，實驗數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 實驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計表

假設(shè)因變量氯根Y與自變量純水/工業(yè)水比例x1、月平均溫度x2、排污量x3之間滿足公式（1）：

式中：β0、β1、β2、β3為回歸系數(shù)［2］，為了計算四個回歸系數(shù)的值，需要對（x1，x2，x3，Y）進(jìn)行12次觀察實驗，設(shè)線性方程式：（xi1，xi1，xi1，Yi），i是一個容量為12的樣本，即i=1，2…11,12，可以得到如公式（2）的樣本模型：

結(jié)合本設(shè)計中的實驗數(shù)據(jù)，將公式（2）用矩陣表示為:

則

所以

故氯根濃度與純水/工業(yè)水比例x1、月平均溫度x2、排污量x3之間的線性回歸模型為：

2 模型檢驗

2.1 線形模型有效性檢驗

如果要檢驗氯根濃度與純水/工業(yè)水比例x1、月平均溫度x2、排污量x3三個變量之間是否存在線性關(guān)系，只需驗證β1，β2，β33個回歸系數(shù)是否同時為0。如果回歸系數(shù)均為0，即不存在明顯線性關(guān)系，檢驗結(jié)果為線性回歸不顯著；反之則認(rèn)為線性回歸顯著，因此，假設(shè)：

將12組觀察值代入公式（6）中，檢測是否成立。若12組觀察值均滿足公式（6）所呈現(xiàn)的關(guān)系式，檢驗結(jié)果為線性回歸不顯著；反之，若12組觀察值不全滿足公式（6），檢驗結(jié)果為線形回歸顯著。當(dāng)H0成立時，有：

如果F值較大，更精確的說，即當(dāng)SSR/SSE比值較大時，則說明自變量x對Y的線性作用大于回歸系數(shù)對Y的線性作用，此時可以認(rèn)為H0不成立；如果F值較小，則說明回歸系數(shù)對Y起主要作用，因此H0成立。現(xiàn)給定顯著性水平α為0.05，對模型進(jìn)行檢驗：

代入計算后得F=16.19。

又因為α=0.05，所以：

因此線性模型顯著。

2.2 回歸系數(shù)的顯著性檢驗

在此三元線性模型中，在經(jīng)由線性模型有效性檢驗之后，可以得知：因變量氯根濃度Y和自變量x之間存在顯著線性關(guān)系，但由于自變量的不同，每個自變量xi對氯根濃度Y的影響不盡相同。因此在線性模型進(jìn)行有效性檢驗之后，可以忽略對氯根濃度Y產(chǎn)生影響微乎其微的自變量xi，只保留有效的重要因素，優(yōu)化為簡潔的線性模型，以便有利于實際應(yīng)用。故，xi對Y的檢驗假設(shè)：

H0:β1=0，β2=0，β3=0

得到拒絕域:

如果檢驗結(jié)果接受H0,即βi=0，應(yīng)將xi從回歸方程中刪除，如果有多個變量對Y的影響不顯著時，則每次只能刪除一個變量，重新建立回歸方程后，再進(jìn)行重復(fù)檢驗。

所以對β1,β3的檢驗結(jié)果拒絕H0，β2的檢驗結(jié)果接受H0，即純水/工業(yè)水比例、排污量對氯根濃度的影響顯著，環(huán)境溫度對氯根濃度的影響不顯著，應(yīng)將其從回歸方程中刪除。

3 回歸方程的改進(jìn)

根據(jù)上一節(jié)對回歸系數(shù)顯著性檢驗的結(jié)果，刪除回歸方程中的環(huán)境溫度影響因子，將剩下的兩個影響因子重新進(jìn)行建模和模型檢驗，得到如下結(jié)果：

回歸方程為：

線性模型有效性檢驗：F0.05(2,9)=4.26＜20.28=F,模型顯著；

回歸系數(shù)顯著性檢驗：

T12=31.24>F0.05(1,9)=5.12；

T22=7.56>F0.05(1,9)=5.12；

因此β1，β2都顯著不為0，剩余的兩個因子純水/工業(yè)水比例、排污量都能夠顯著影響氯根濃度。

4 預(yù)測

假設(shè)獲得了x1，x2這樣一組新的觀察值，記為（x01，x02），則可以根據(jù)公式1-1獲得點預(yù)測［3］。

區(qū)間預(yù)測：

其中：

現(xiàn)對x01=2.2，x02=26，相應(yīng)y0的置信度為0.95的區(qū)間進(jìn)行預(yù)測。

根據(jù)公式2 得到y(tǒng)0=162.41；t0.025(9)=2.2622；σ=

即氯根離子的濃度置信度為0.99的預(yù)測區(qū)間為（155.94，168.88）。

5 驗證

依據(jù)改進(jìn)后的回歸模型，在9月和10月份對對實際效果進(jìn)行驗證，如表2所示：

表2 氯根濃度的預(yù)測和驗證結(jié)果對比

最近兩個月的驗證結(jié)果在預(yù)測區(qū)間（155.94，168.88）內(nèi)，達(dá)到預(yù)期效果。

6 結(jié)論

本文主要是針對鋁業(yè)公司散熱器在運行中遇到的問題進(jìn)行分析，針對影響散熱器壽命的氯根腐蝕問題進(jìn)行建模、改進(jìn)，為后續(xù)維護(hù)管理提供決策依據(jù)，總結(jié)如下。

（1）結(jié)合實際，確定了溫度、排污量、純水添加比例三個對氯根濃度影響較大的因子，每月采集實驗數(shù)據(jù)。

（2）根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，利用高等工程數(shù)學(xué)知識，建立了氯根濃度與影響因子之間的多元線性關(guān)系。

（3）利用改進(jìn)設(shè)計后的方程進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)測，為詳細(xì)掌握氯根濃度提供科學(xué)依據(jù)。