細觀集合問題之三點剖析

江西省鄱陽縣第一中學 (333199) 周方旦

在中學階段，集合是一個大家族，許多問題都可以納入到集合中來.在這些問題當中，主要有三種問題值得重視，它們分別是集合的對象問題、空集問題及補集思想，鑒于這三點在集合中的重要性，本文以具體的例題加以闡述.

1 集合的對象問題

我們知道把指定的對象放在一起就是一個集合，然而這個確定的對象是什么應(yīng)該要搞清楚，其中表現(xiàn)突出的是點集和數(shù)集的區(qū)分，這一點同學們?nèi)菀谆煜?，一般點的集合表示為{(x,y)|p(x,y)}，而數(shù)的集合表示{x|p(x)}.

例1 已知M={x|y=x2+1}，N={(x,y)|y=-x+1}，則M∩N=( ).

A.{0,-1} B.{(-1,0)，(0,1)}

C.{0,1} D.Φ

解析：首先我們要明確集合中的元素是什么，M集合中的元素是直線y=x+1上點的橫坐標，而N={(x，y)|y=-x2+1}中的元素則是拋物線y=-x2+1所有的點，因此M與N之間是沒有交集的，因為它們是不同的類，故選D，而實際上有許多同學會選擇A或B，主要是因為沒有清楚集合的對象是什么而導(dǎo)致錯誤的.

例2 已知P={(x,y)|y=x+1}，Q={(x,y)|y=-x+1)}，那么集合P∩Q=( ).

A.x=0,y=1 B.(0,1)

C.{0,1} D {(0,1)}

解析：只要明確集合中的對象是什么，本題幾乎不用任何計算，因為集合P，Q都是點的集合，因此它們的交集一定是由點組成的集合，故選D.

2 補集思想

補集思想在數(shù)學問題中有廣泛的應(yīng)用，有些問題，我們?nèi)绻m當運用補集思想有時會使問題解決起來更加簡便.

例4 若命題“?x∈R使得ax2+2x+a≤0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為________ .

分析：本題若我們直接去做，需要分a>0,a=0,a<0，同時結(jié)合Δ=b2-4ac加以討論，另外，可以運用補集思想，把問題轉(zhuǎn)化為?x∈R,ax2+2x+a>0恒成立.

例5 已知方程x2+ax+1-2a=0至少有一個負根，求實數(shù)a的范圍.

分析：此題若從正面直接去做，容易漏解，不如反其道而行之，運用補集的思路來考慮.由于方程x2+ax+1-2a=0至少有一個負根，把問題轉(zhuǎn)化為方程x2+ax+1-2a=0沒有負根，由此求出a的范圍，再求補集即可.

3.空集別忽視，否則悔不及

空集作為集合中一個真實的存在，學生總是容易忽視，它就像幽靈一樣存在于集合中時而跑出來帶來不少麻煩，因此應(yīng)當警惕.

例7 已知集合A={x|x2-2x-3=0}，集合B={x|ax-2=0}，且B?A，求實數(shù)a構(gòu)成的集合M.

例8 已知A={x|1≤x≤6},B={x|m+1