深度學(xué)習(xí)視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施
——以《數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念》為例

廣西南寧市第三中學(xué) (530021) 鄒信武 林 凡

1 引言

深度學(xué)習(xí)理念下的學(xué)習(xí)過程是對(duì)“現(xiàn)學(xué)知識(shí)”與“先前知識(shí)”之間關(guān)系的深刻理解，是學(xué)習(xí)者對(duì)于學(xué)習(xí)過程的調(diào)節(jié)和監(jiān)控，進(jìn)而生成意義感和價(jià)值感的過程.深度學(xué)習(xí)作為落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要路徑，對(duì)發(fā)展學(xué)生“理性思維”及“科學(xué)精神”有著重要推動(dòng)作用.本文以《數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念》一課為例，討論在深度學(xué)習(xí)視角下數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的關(guān)鍵環(huán)節(jié).

2 高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)關(guān)鍵環(huán)節(jié)

2.1 關(guān)聯(lián)與結(jié)構(gòu)化

在課堂中，數(shù)學(xué)知識(shí)不是零散的、碎片化的、雜亂無章的信息，而是有邏輯、有結(jié)構(gòu)、有系統(tǒng)的知識(shí).數(shù)學(xué)教學(xué)前，教師應(yīng)關(guān)注“先前知識(shí)”與“現(xiàn)學(xué)知識(shí)”之間在數(shù)學(xué)系統(tǒng)內(nèi)的整體性、邏輯關(guān)系上的連貫性和思想方法上的一致性.實(shí)際教學(xué)中，教師需把握好教學(xué)內(nèi)容的：?jiǎn)卧Y(jié)構(gòu)和課堂教學(xué)結(jié)構(gòu).

2.1.1 單元結(jié)構(gòu)

關(guān)于數(shù)學(xué)“單元”，喻平教授歸納為“問題解決過程線索”、“建立個(gè)體CPF結(jié)構(gòu)”、“概念生長(zhǎng)”和“數(shù)學(xué)思想方法解決問題”四種模式.本課時(shí)屬于“概念生長(zhǎng)”模型，在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2020修訂版)(以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》)中的該內(nèi)容的要求是：幫助學(xué)生通過方程求解，理解引入復(fù)數(shù)的必要性，了解數(shù)系的擴(kuò)充，掌握復(fù)數(shù)的表示、運(yùn)算及其幾何意義.人教版普通高中教材《數(shù)學(xué)》必修第二冊(cè)中，復(fù)數(shù)章節(jié)單元知識(shí)結(jié)構(gòu)可以歸納為圖1：

圖1 復(fù)數(shù)章節(jié)單元知識(shí)結(jié)構(gòu)

2.1.2課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)

課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)是為完成教學(xué)目標(biāo)，對(duì)構(gòu)成教學(xué)的各種因素進(jìn)行統(tǒng)籌規(guī)劃，進(jìn)而形成的穩(wěn)定、有序的組合形式和活動(dòng)方案.教學(xué)結(jié)構(gòu)有一定穩(wěn)定性，但也需“因勢(shì)制宜”.“勢(shì)”指學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)和教學(xué)內(nèi)容.數(shù)學(xué)知識(shí)具有高度的抽象性、確定性和應(yīng)用的廣泛性，因而數(shù)學(xué)課堂教學(xué)更依賴教師依據(jù)教學(xué)內(nèi)容及學(xué)生實(shí)際恰當(dāng)?shù)卣{(diào)整教學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，統(tǒng)籌配置教學(xué)要素及其關(guān)系.如本課時(shí)中，如圖2，構(gòu)建復(fù)數(shù)概念，大致可分為問題情境→過往經(jīng)驗(yàn)→構(gòu)建復(fù)數(shù)系→應(yīng)用與遷移四個(gè)階段，其中過往經(jīng)驗(yàn)是構(gòu)建復(fù)數(shù)系的關(guān)鍵，同時(shí)也是后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何意義與運(yùn)算的思維基礎(chǔ).此外，教師還應(yīng)考慮使用各種信息技術(shù)使學(xué)生在活動(dòng)中師生、生生交流更加便捷與高效.

圖2 《數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念》課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)

2.2 素養(yǎng)導(dǎo)向目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)活動(dòng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，是教學(xué)活動(dòng)的“定海神針”.深度學(xué)習(xí)中的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)該是教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生的發(fā)展和教師的活動(dòng)統(tǒng)一體，是引導(dǎo)教學(xué)活動(dòng)、實(shí)施持續(xù)性評(píng)價(jià)的依據(jù).簡(jiǎn)言之，教學(xué)目標(biāo)的作用就是“導(dǎo)教、導(dǎo)學(xué)、導(dǎo)測(cè)評(píng)”.在本課時(shí)中，設(shè)置如下教學(xué)目標(biāo)：

(1)通過問題情境，體會(huì)引入復(fù)數(shù)的必要性.

(2)回顧實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充過程，發(fā)現(xiàn)擴(kuò)充“規(guī)則”，實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)系向復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充，體會(huì)“理性思維”在擴(kuò)充中的作用.

(3)經(jīng)歷復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)集概念的構(gòu)建過程，理解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及相關(guān)概念，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).

(4)對(duì)比實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充過程及規(guī)律，了解復(fù)數(shù)研究的基本路徑，預(yù)測(cè)后續(xù)研究的相關(guān)內(nèi)容.

2.3 重整教學(xué)素材與情境

在深度學(xué)習(xí)觀念下，教學(xué)素材既包含數(shù)學(xué)知識(shí)的具象，也包含教師為學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)的活動(dòng)方式、路徑、環(huán)節(jié)等引領(lǐng)學(xué)生素養(yǎng)形成的過程設(shè)計(jì).在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)課堂的推進(jìn)依賴于問題解決，而問題又來源于數(shù)學(xué)情境.在數(shù)學(xué)教學(xué)中常見情境有：現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境及科學(xué)情境.依據(jù)前文“聯(lián)系與結(jié)構(gòu)”的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)課堂的情境應(yīng)盡可能選擇數(shù)學(xué)情境.數(shù)學(xué)情境的選擇，需考慮以下幾個(gè)方面：關(guān)聯(lián)教學(xué)內(nèi)容、反映數(shù)學(xué)本質(zhì)、尊重學(xué)生認(rèn)知和體現(xiàn)德育要素.在本節(jié)課中，可以創(chuàng)設(shè)以下情境作為引入：

1572年，意大利數(shù)學(xué)家邦貝利在他的《代數(shù)》一書中，討論過一元三次方程x3=15x+4解的問題.

2.4 注重教學(xué)知識(shí)背后的方法論價(jià)值

在深度學(xué)習(xí)理念下，學(xué)生不僅獲得具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，還經(jīng)歷和體會(huì)了數(shù)學(xué)知識(shí)的過程.基于學(xué)生知識(shí)獲取的角度，教師不僅要運(yùn)用研究數(shù)學(xué)問題的一般方法教學(xué)，更重要的是教給學(xué)生研究問題的一般方法.所謂一般方法，弗里德曼認(rèn)為，創(chuàng)建研究對(duì)象的概念，分析研究對(duì)象的性質(zhì)、尋找研究對(duì)象運(yùn)動(dòng)變化中的不變性質(zhì)、把若干不同對(duì)象聯(lián)系起來概括出它們之間的關(guān)系——是科學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)的一般方法，它是現(xiàn)代科學(xué)理論思維的本質(zhì)特征[2].在數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用研究問題的一般方法設(shè)計(jì)教學(xué)路線，使學(xué)生體會(huì)一般方法既是對(duì)一種現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)研究，也是對(duì)一種現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象產(chǎn)生的一類或幾類現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)解決的普遍方法.在本節(jié)課中，恰好是運(yùn)用研究問題的一般方法教學(xué)的典型體現(xiàn).以下是本節(jié)課設(shè)計(jì)的幾個(gè)重要環(huán)節(jié)(簡(jiǎn)述).

環(huán)節(jié)1：提出問題

環(huán)節(jié)2：尋找解決問題的方法

(1)在以前學(xué)習(xí)中有沒有遇到過相似的問題？

(2)如果遇到過，當(dāng)時(shí)解決了什么問題，是如何解決的？

環(huán)節(jié)3：探索數(shù)集擴(kuò)充的規(guī)則

(1)解決的過程中有什么共同的特點(diǎn)？

(2)在原有的數(shù)集中加入某些“新數(shù)”，它不是一個(gè)孤立的個(gè)體，“新數(shù)與新數(shù)” 之間，“新數(shù)與舊數(shù)”之間會(huì)發(fā)生什么呢？你能歸納出它們規(guī)律嗎？

環(huán)節(jié)4：構(gòu)建復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)集

(1)這些規(guī)則對(duì)我們解決x2=-1有何借鑒之處？

(2)引入i就可以和實(shí)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，會(huì)產(chǎn)生哪些“新數(shù)”呢？它們能不能用統(tǒng)一的形式表示？

(3)一個(gè)集合需要滿足什么條件？我們想構(gòu)建復(fù)數(shù)集需要先定義什么？我們應(yīng)該如何開始呢？

(4)復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)有什么關(guān)系？你覺得復(fù)數(shù)可以分成幾種不同形式？你能用圖形表示出它們的關(guān)系嗎？

環(huán)節(jié)5：簡(jiǎn)單應(yīng)用

環(huán)節(jié)6：小結(jié)與展望

(1)本節(jié)課我們碰到了什么問題？我們是如何解決這個(gè)問題的？

(2)我們引入i，又帶來了什么新問題？我們是怎么研究的？得到了哪些關(guān)系與結(jié)論？

(3)你覺得下一步我們還需要研究什么？

在這個(gè)過程中，學(xué)生經(jīng)歷了——形成問題、建構(gòu)概念、尋找方法、提出假設(shè)、驗(yàn)證猜想、語言表述、構(gòu)建理論的過程.這個(gè)過程就是運(yùn)用一般方法解決問題的過程.

2.5 問題鏈發(fā)展思維

問題是課堂活力的源泉.學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決并產(chǎn)生新問題的過程，就是獲得數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)的過程.數(shù)學(xué)知識(shí)作為解決問題的工具被探索、被發(fā)現(xiàn)的過程，就是實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的過程.課堂中的數(shù)學(xué)問題對(duì)學(xué)生應(yīng)該是有挑戰(zhàn)性的，問題與問題之間應(yīng)該有邏輯性，問題的設(shè)問應(yīng)該有層次性，問題對(duì)學(xué)生應(yīng)該有啟發(fā)性和可模仿性.例如，本課教學(xué)中，回顧和歸納了數(shù)的擴(kuò)充規(guī)則之后，提出以下問題：

問題1 按照剛才的方法，我們要解決x2+1=0在實(shí)數(shù)系中無解的問題，我們?cè)撛趺崔k？

追問1：根據(jù)“規(guī)則”，我們希望新引進(jìn)的數(shù)i與實(shí)數(shù)間仍然能像實(shí)數(shù)那樣進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，這樣就會(huì)增加哪些數(shù)呢？你能把它們寫出來嗎？你能不能寫出一個(gè)形式把你寫的數(shù)全部包含在內(nèi)嗎？

追問2：我們希望將a+bi(a∈R,b∈R)這樣的數(shù)組成一個(gè)集合，集合有什么性質(zhì)？那我們就需要先明確什么關(guān)系？

追問3：你覺得a+bi(a∈R,b∈R)和c+di(c∈R,d∈R)相等的條件是什么？

追問:4：你能寫出新數(shù)構(gòu)成的集合嗎？

問題2 我們已經(jīng)將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集，根據(jù)復(fù)數(shù)z=a+bi(a∈R,b∈R)的結(jié)構(gòu)特征，與之前的實(shí)數(shù)有什么關(guān)系？你覺得應(yīng)該怎樣對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類？

追問1：請(qǐng)用Venn圖表示它們之間的關(guān)系.

追問2：請(qǐng)你列舉一些虛數(shù)和純虛數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}1是復(fù)數(shù)概念的構(gòu)建與形成過程.從引進(jìn)新數(shù)i到構(gòu)建復(fù)數(shù)集，通過層層設(shè)問，學(xué)生經(jīng)歷比較、分析、綜合、類比、歸納、推斷等思維活動(dòng)，從特殊到一般，從自然語言到符號(hào)語言，發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理兩大核心素養(yǎng).問題2則是概念深化過程，挖掘復(fù)數(shù)概念的內(nèi)涵與外延.在數(shù)學(xué)的一般思維引導(dǎo)下，我們獲取了研究對(duì)象的定義，往往就要研究它的性質(zhì)、分類，而分類的方式往往是將研究對(duì)象的組成部分特殊化.在層層追問中，學(xué)生在經(jīng)歷一般——特殊思維方法、經(jīng)歷符號(hào)語言、文字語言與圖形語言的交替轉(zhuǎn)化與使用，發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象與直觀想象兩個(gè)核心素養(yǎng).

2.6 教師主導(dǎo)的課堂互動(dòng)

深度學(xué)習(xí)的顯著標(biāo)志，是學(xué)生能夠?qū)W(xué)到的知識(shí)、技能、方法運(yùn)用到真是世界的問題解決之中，以及學(xué)生表現(xiàn)出主動(dòng)探索未知世界的好奇心和求知欲[3].數(shù)學(xué)是一門重思維的學(xué)科，學(xué)習(xí)者的分析、綜合、比較、抽象、概括判斷和推理等思維活動(dòng)，都是內(nèi)省的思維.《標(biāo)準(zhǔn)》也指出，提倡課堂上采用獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式相結(jié)合.深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課堂中的提倡的互動(dòng)方式是教師組織與主導(dǎo)，師生之間、生生之間、學(xué)生與學(xué)習(xí)任務(wù)間的深度交流.

師生間的深度互動(dòng)，是促成深度學(xué)習(xí)的重要保障.在數(shù)學(xué)課堂上，往往有兩類問題：一類是前文已經(jīng)闡述的“問題鏈”；還有一類是為更好地解決“問題鏈”中的數(shù)學(xué)問題過程中，“師生對(duì)話”中提出的問題.前者中的問題設(shè)置大都指向結(jié)果，后者“對(duì)話”中的問題往往指向問題解決的過程.在課堂中，教師根據(jù)課堂生成，往往需要臨時(shí)搭設(shè)支架，指導(dǎo)學(xué)生厘清思路、提煉方法，幫助有困難的學(xué)生逐步解決問題；為了引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問題、拓展思路，需要適時(shí)質(zhì)疑和引導(dǎo)其他學(xué)生質(zhì)疑，進(jìn)而促進(jìn)其批判性思維和創(chuàng)新能力發(fā)展.因此，“師生對(duì)話”中的問題更多指向?qū)W生的“元認(rèn)知活動(dòng)”，落實(shí)在計(jì)劃、監(jiān)控、評(píng)價(jià)自己的思維過程，審慎地選擇解決問題的策略等.

例如，在本節(jié)課中的實(shí)際教學(xué)中，形成了如下教學(xué)過程：

環(huán)節(jié)2：尋找解決問題的方法

(1)在以前學(xué)習(xí)中有沒有遇到過相似的問題？

(2)如果遇到過，當(dāng)時(shí)解決了什么問題，是如何解決的？

生1：方程2x-1=0無整數(shù)解，我們引入分?jǐn)?shù).

師：很好，引入了分?jǐn)?shù)后，我們?cè)瓉淼恼麛?shù)集發(fā)生了什么變化？

生1：變大了，變成有理數(shù)集.

師：非常準(zhǔn)確，其他同學(xué)還能聯(lián)想起什么嗎？

生2：在正方形對(duì)角線不能用有理數(shù)表示，引入了無理數(shù)，變成實(shí)數(shù)集.

(兩位同學(xué)發(fā)言之后其他同學(xué)模仿說出了：解決等分問題引入分?jǐn)?shù)、方程沒有實(shí)數(shù)解等，教師一一記錄在黑板上)

師：同學(xué)們都說得很好，這些都是我們以前碰到的相似問題，但是現(xiàn)在我們列舉的問題有些雜亂，我們可以把它們梳理一下嗎？依據(jù)是什么？

生3：可以分兩類，一類是實(shí)際問題，另一類是解方程問題.

師：×同學(xué)觀察很仔細(xì)，他們的屬性不一樣，可以分為現(xiàn)實(shí)需求和數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展兩類.在每類問題中，我們還可以進(jìn)一步梳理嗎？依據(jù)是什么？

生4：可以按集合的“大小”為線索從小到大整理.幾個(gè)集合間有包含關(guān)系.

師：你覺得需要列舉哪些集合？

生4：自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集和實(shí)數(shù)集.

師：×同學(xué)為我們找到了剛才列舉的問題的內(nèi)在線索，請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合剛才的例子，完成現(xiàn)實(shí)需求線索圖.

(師生一起按集合擴(kuò)充順序梳理如圖3)

圖3 數(shù)系擴(kuò)充的現(xiàn)實(shí)需求

師：我們用了一個(gè)線索圖梳理了現(xiàn)實(shí)需求的線索，下面我們梳理數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要.我們還做一個(gè)線索圖嗎？還是有更好的方式？

生5：不一樣，方程2x-1=0在有理數(shù)集內(nèi)有解，其實(shí)在實(shí)數(shù)集也有解.我們得多考慮一些.

師：×同學(xué)的發(fā)現(xiàn)非常有價(jià)值，大家想個(gè)辦法能不能把×同學(xué)思路用具體形式表達(dá)出來.

(學(xué)生沒有回應(yīng))

師：其實(shí)可以首先考慮需要表述的有幾個(gè)方面？分別是什么？

生：(集體)方程和數(shù)集.

師：那使用什么樣的形式記錄這樣二維數(shù)據(jù)呢？

生：(部分學(xué)生)表格.

師：那怎么設(shè)計(jì)表格呢？如何分行分列呢？

生6：我設(shè)計(jì)了一個(gè)表格，豎列是方程，橫列是集合關(guān)系.

師：×同學(xué)設(shè)計(jì)很好的兼顧了一個(gè)方程組不同數(shù)集內(nèi)解的情況.請(qǐng)同學(xué)們以他的設(shè)計(jì)為模板梳理數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展需求.

(師生共同完成表1)

表1 數(shù)系擴(kuò)充的數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展需求

環(huán)節(jié)3：探索數(shù)集擴(kuò)充的規(guī)則

(1)解決的過程中有什么共同的特點(diǎn)？

(2)在原有的數(shù)集中加入某些“新數(shù)”，這些“新數(shù)”不是一個(gè)孤立的個(gè)體，“新數(shù)與新數(shù)” 之間，“新數(shù)與舊數(shù)”之間，會(huì)發(fā)生什么呢？你能歸納出它們的共同特征嗎？

生：(集體)運(yùn)算.

師：那請(qǐng)大家舉例說明它們“運(yùn)算”上有哪些共同特征.

(師生一起歸納數(shù)系擴(kuò)充中“運(yùn)算法則”協(xié)調(diào)一致)

這是本節(jié)課中關(guān)鍵的教學(xué)活動(dòng).在這個(gè)教學(xué)片段中，教師沒有直接告知學(xué)生結(jié)果，而是引導(dǎo)學(xué)生們相互幫助，相互啟發(fā)，教師承擔(dān)了“引導(dǎo)者”的作用，使教學(xué)在“三個(gè)互動(dòng)”中推進(jìn)，整個(gè)過程充滿了大量的“數(shù)學(xué)性思考”.在學(xué)生面對(duì)陌生、復(fù)雜度較高的問題時(shí)，能夠創(chuàng)造性地分析、較快形成解決思路、迅速進(jìn)行決策、快速整合資源解決問題的可遷移的素養(yǎng)，是深度學(xué)習(xí)學(xué)科育人的追求.

3 結(jié)束語

在新技術(shù)日新月異、社會(huì)高速發(fā)展的時(shí)代，學(xué)生的學(xué)習(xí)從傾聽、記憶、模仿和練習(xí)為主的復(fù)制型學(xué)習(xí)，轉(zhuǎn)為以實(shí)踐、體驗(yàn)、理解和遷移為特征的“深度學(xué)習(xí)”既是學(xué)習(xí)者的內(nèi)在需求，也是社會(huì)發(fā)展的必然.教育工作者應(yīng)重視這樣的“轉(zhuǎn)變”，培養(yǎng)更多的“獨(dú)立、會(huì)思考、會(huì)批判、會(huì)創(chuàng)造又有合作精神”的學(xué)習(xí)者.