基于閉環(huán)子空間辨識的直升機橫向模型修正

高莘青，馬 釗

(航空工業(yè)西安飛行自動控制研究所，陜西 西安 710076)

1 引言

由于直升機旋翼氣動特性的復(fù)雜性，基于機理的正向建模方法較難獲取具有較高精度的直升機模型。在實際工程應(yīng)用中，數(shù)據(jù)驅(qū)動式的基于辨識理論的逆向建模方法得到了較多關(guān)注。系統(tǒng)辨識建模的特點在于，將直升機動力學(xué)特性抽象為黑箱或灰箱式的輸入輸出模型，利用飛行試驗數(shù)據(jù)并通過優(yōu)化方法，通過優(yōu)化技術(shù)搜索能最佳擬配飛行數(shù)據(jù)的模型。系統(tǒng)辨識技術(shù)顯著降低了直升機的建模成本，取得了較大關(guān)注，相關(guān)應(yīng)用見參考文獻[1-5]。

常見的系統(tǒng)辨識方法包括最小二乘法、預(yù)報誤差法與極大似然法等[6]。上述方法合理應(yīng)用的前提為待辨識的系統(tǒng)處于開環(huán)條件。由于直升機氣動具有穩(wěn)定性差、非線性與軸間耦合性強等特點，自動飛行控制系統(tǒng)對于保障飛行試驗的安全具有不可替代的作用。在閉環(huán)條件下，由于反饋的引入，導(dǎo)致了系統(tǒng)輸入與擾動具有較強的相關(guān)性。直接應(yīng)用開環(huán)辨識方法，將導(dǎo)致辨識結(jié)果產(chǎn)生顯著的偏差，甚至辨識結(jié)果完全不可信[7]。

閉環(huán)條件下如何克服系統(tǒng)輸入與擾動的相關(guān)性是系統(tǒng)辨識所需解決的核心問題。針對上述問題，閉環(huán)子空間辨識理論利用與外擾不相關(guān)的激勵信號張成了與擾動信號正交的數(shù)據(jù)空間，并將系統(tǒng)輸入與輸出投影向上述正交空間進行投影，從而消除干擾的相關(guān)性對辨識造成的影響，最終得到系統(tǒng)參數(shù)的一致無偏估計[7]。閉環(huán)子空間辨識理論應(yīng)用的前提是存在與系統(tǒng)干擾無關(guān)的有效外部激勵。在實際的飛行試驗中，系統(tǒng)激勵由飛行員桿指令進行給定，通過合理的指令設(shè)計，能夠滿足與系統(tǒng)干擾不相關(guān)的要求。此外子空間辨識方法具有數(shù)值計算穩(wěn)定的優(yōu)點，具有良好的工程可應(yīng)用性。

盡管子空間辨識技術(shù)可基于實驗數(shù)據(jù)建立線性空間模型，但是需要注意，上述線性空間模型僅僅能放映系統(tǒng)輸入與輸出之間的動態(tài)關(guān)系，而辨識出的模型參數(shù)本身并無實際物理意義，且與直升機模型的氣動導(dǎo)數(shù)并無關(guān)聯(lián)。子空間辨識方法本質(zhì)上仍可歸類與黑箱建模方法，將物理學(xué)的建模問題轉(zhuǎn)換為數(shù)據(jù)驅(qū)動的黑箱建模問題，可從大量的飛行試驗數(shù)據(jù)中提取直升機的動態(tài)特性信息，降低了對直升機動力學(xué)特性領(lǐng)域知識的依賴，彌補了物理建模的不足。盡管系統(tǒng)辨識技術(shù)具有上述優(yōu)點，但是在實際應(yīng)用中，并不適宜將直升機的建模視作純粹的黑箱方法。直升機模型具有高維度、多輸入、強耦合等特點。盡管理論上可將直升機建模問題視作“純黑箱”的數(shù)據(jù)驅(qū)動建模問題，然而這將導(dǎo)致模型參數(shù)搜索空間過大、搜索難度高，并且所辨識的模型不保證符合實際物理特性，可解釋性差，因此影響模型的可用性。考慮上述問題，需要解析直升機的模型結(jié)構(gòu)，并融合已有的對直升機物理和氣動特性的先驗知識，對辨識模型的結(jié)構(gòu)進行合理的約束，并分離關(guān)鍵出的待辨識的參數(shù)，從而保證辨識結(jié)果的合理性和準確性。

需要關(guān)注的是，在實際的工程應(yīng)用中通常對動力學(xué)模型參數(shù)(氣動導(dǎo)數(shù)與操縱導(dǎo)數(shù))具有一定的先驗知識。為了進一步提高模型的精度與合理性，在辨識的過程中需要合理融合模型先驗知識。針對上述問題，本文基于正則化方法，利用飛行試驗數(shù)據(jù)，提出了模型修正的兩步法：第1步通過閉環(huán)子空間辨識理論，在閉環(huán)條件下計算系統(tǒng)輸出響應(yīng)的無偏估計；第2步通過正則化方法融合先驗的模型知識與后驗的數(shù)據(jù)驅(qū)動式的動態(tài)頻域信息，對已有的模型參數(shù)進行修正，利用飛行數(shù)據(jù)提高模型的精度，并同時保證模型的合理性與可用性。通過飛行模擬器的仿真飛行試驗，本文對模型修正方法的有效性進行了驗證。

2 直升機橫向線性模型

線性化的直升機橫向模型形式如下

(1)

其中，v、p和r分別為體軸系下側(cè)向速度、滾轉(zhuǎn)角速度和偏航角速度，φ為滾轉(zhuǎn)角，Wx和Wz分別為橫向周期變距與尾槳距，θ0、u0和w0別為配平狀態(tài)下的俯仰角、體軸縱向速度和垂向速度。

針對上述線性化的直升機橫向模型，橫測向運動模態(tài)可劃分為荷蘭滾、滾轉(zhuǎn)衰減模態(tài)與螺旋模態(tài)。需要注意的是，子空間辨識方法本質(zhì)上屬于時域方法，其能應(yīng)用的前提是模型本身是穩(wěn)定的。對于直升機的橫向短周期模態(tài)，尤其是重型直升機，荷蘭滾模態(tài)與滾轉(zhuǎn)衰減模態(tài)通常是穩(wěn)定的。長周期螺旋模態(tài)有可能發(fā)散，但是需要注意到，其倍幅時間較長，通常在1分鐘以上，故對于短周期以及中等周期的響應(yīng)，可忽略螺旋模態(tài)的影響。盡管螺旋模態(tài)本身存在發(fā)散的可能，但是利用子空間辨識仍可從數(shù)據(jù)中估計短周期與中等周期的荷蘭滾與滾轉(zhuǎn)衰減模態(tài)，且上述短周期模態(tài)是直升機橫測向控制設(shè)計所重點關(guān)注的模態(tài)。綜述所述，子空間辨識對于直升機橫測向模型的辨識具有合理的工程可應(yīng)用性。

3 閉環(huán)子空間辨識算法

3.1 基于投影理論的模型辨識算法

考慮如下離散形式的線性模型

xt+1=Axt+But+Ket

yt=Cxt+Dut+et

(2)

其中，xt∈Rn，yt∈Rm，ut∈Rp分別為系統(tǒng)狀態(tài)、輸出與輸入，et為m維的殘差序列，其可視為卡爾曼濾波的新息，K為卡爾曼增益。

在子空間辨識理論的框架下，將模型狀態(tài)、輸入與輸出重新排列為Hankel矩陣形式

(3)

定義Xp=X0|i-1，Xf=Xi|2i-1。系統(tǒng)輸入矩陣Up、Uf，輸出矩陣Yp、Yf，殘差矩陣Ep和Ef定義類似。

根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)方程，顯然

(4)

其中

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

子空間辨識算法本質(zhì)上基于投影理論，實現(xiàn)系統(tǒng)矩陣的估計。斜投影的示意圖如圖1所示。

圖1 斜投影示例

B的斜投影B/AC表征“沿著與空間A平行的方向，向量B到空間C上的投影”。關(guān)于斜投影的詳細定義與性質(zhì)可參考文獻[8]。根據(jù)斜投影的定義，顯然

A/AC=0

(10)

A/CA=A

(11)

(12)

3.2 閉環(huán)子空間辨識

在閉環(huán)辨識的框架下，輔助變量法是常見的閉環(huán)辨識方法。通過選擇適當(dāng)?shù)妮o助變量以處理由反饋引入的辨識偏差問題。輔助變量的選取需滿足如下兩個條件：

1)輔助變量與殘差序列不相關(guān)，以保證對系統(tǒng)矩陣的無偏估計；

2)輔助變量本身與系統(tǒng)輸入以及輸出具有顯著的相關(guān)性。

在實際飛行中，具有良好激勵條件的駕駛桿操縱數(shù)據(jù)，通常為飛行試驗中的駕駛桿掃頻輸入信號，可作為合適的輔助變量，如圖2所示。第一，在實際的工程應(yīng)用中，掃頻數(shù)據(jù)為預(yù)先設(shè)計好的確定性數(shù)據(jù)，通常與系統(tǒng)噪聲以及外界擾動不相關(guān)。第二，駕駛桿掃頻輸入信號為系統(tǒng)輸入與輸出的激勵數(shù)據(jù)，其本身與系統(tǒng)輸入輸出具有很高的相關(guān)性。此外，良好設(shè)計的掃頻數(shù)據(jù)可合理覆蓋直升機正常操縱區(qū)間的頻率范圍，能有效反映關(guān)鍵頻段的動態(tài)特性。

圖2 直升機閉環(huán)控制示意

利用駕駛員操縱數(shù)據(jù)rt，按照式(3)同樣的方式構(gòu)造Hankel矩陣R。利用正交投影，將系統(tǒng)輸入、輸出和殘差矩陣投影至R的行空間

=U/R

=Y/R

=E/R

(13)

其中，符號“/”表示正交投影算子。因為rt與et不相關(guān)，故=0。對式(4)應(yīng)用正交投影算子

(14)

4 基于正則化的直升機模型修正

圖3 直升機模型修正兩步法

需要注意的是，盡管子空間所辨識的模型并不具有真實的物理意義，但其能夠反映系統(tǒng)的真實動態(tài)特性：所辨識的狀態(tài)空間模型可視為真實狀態(tài)空間模型的相似變換。因此，盡管所辨識的模型并不具有真實的物理意義，但其頻率或時域響應(yīng)卻與真實系統(tǒng)是相同的。直升機模型修正采用為二步法，如下圖所示。第一步通過子空間方法，利用閉環(huán)數(shù)據(jù)估計系統(tǒng)模型的無偏估計，盡管該模型不能反映系統(tǒng)真實物理參數(shù)，但能從數(shù)據(jù)中提取系統(tǒng)輸入輸出的動態(tài)信息；第二步則是基于所辨識的模型估計的無偏頻率響應(yīng)，通過融合真實系統(tǒng)機理信息與從數(shù)據(jù)中提取的系統(tǒng)輸入輸出動態(tài)信息，對模型進行修正，保證模型的準確性與可實用性。

對于模型的修正，可基于正則實現(xiàn)數(shù)據(jù)信息與機理信息的融合[10]

+λ(Θ-Θ0)TW(Θ-Θ0)

(15)

其中，Θ為待優(yōu)化的模型參數(shù)，G(jωk|Θ)為給定參數(shù)Θ基于真實模型結(jié)構(gòu)所計算的頻率響應(yīng)。λ(Θ-Θ0)TW(Θ-Θ0)為正則項，其中Θ0表征系統(tǒng)模型參數(shù)的先驗信息，W為正則權(quán)重矩陣。上述正則項可視為對模型參數(shù)的軟約束：待修正的模型參數(shù)不僅需要盡可能最小化模型誤差，同時應(yīng)盡可能符合對模型參數(shù)的先驗認識。通過引入正則化，實現(xiàn)數(shù)據(jù)信息與先驗機理信息的合理融合，實現(xiàn)辨識結(jié)果準確性與可靠性之間的權(quán)衡。

5 算例分析

考慮某重型直升機飛行模擬器仿真模型懸停模態(tài)的橫測向動力學(xué)模型的模型修正問題，其模型結(jié)構(gòu)已經(jīng)在第2節(jié)給出。直升機處于閉環(huán)控制的狀態(tài)，對橫滾桿與腳蹬注入掃頻激勵信號，對橫滾桿的響應(yīng)曲線見圖4，對腳蹬的響應(yīng)曲線見圖5。在進行辨識之前，對數(shù)據(jù)的預(yù)處理包括：數(shù)據(jù)野點的剔除、數(shù)據(jù)的內(nèi)插以及數(shù)據(jù)相容性檢查等。掃頻的頻率范圍是0.2～5Hz。

圖4 橫滾桿響應(yīng)曲線

圖5 腳蹬響應(yīng)曲線

根據(jù)響應(yīng)曲線，對于橫滾桿的激勵，橫滾角速率信號具有較滿意的信噪比，而對于腳蹬的激勵，偏航角速率具有較滿意的信噪比。因此對辨識數(shù)據(jù)進行如下輸入輸出數(shù)據(jù)的匹配：利用橫滾桿激勵數(shù)據(jù)辨識對滾轉(zhuǎn)角速率通道的模型，利用腳蹬激勵信號辨識對偏航角速率的模型。

基于閉環(huán)-子空間辨識方法，可實現(xiàn)頻譜的無偏估計。橫向周期變距對橫滾角速率以及尾槳距對偏航角速率的頻率特性響應(yīng)(Bode圖)分別見圖6與圖7。

圖6 橫向周期變距對橫滾角速率的頻率響應(yīng)

圖7 尾槳距對橫滾角速率的頻率響應(yīng)

基于上述頻域響應(yīng)曲線，可根據(jù)式(15)所定義的優(yōu)化目標對橫向通道的模型參數(shù)進行修正。對于式(1)所定義的模型結(jié)構(gòu)，根據(jù)對機體橫向氣動的先驗信息，側(cè)向力在懸停段與側(cè)向速度相關(guān)性較小，故Yv≈0；此外，滾轉(zhuǎn)阻尼Lp與航向阻尼Nr具有較高的確認度，故對于正則的設(shè)置，Yv、Lp和Nr具有較高的正則權(quán)重，其余的氣動導(dǎo)數(shù)的不確定性較高，故其正則權(quán)重項較小。根據(jù)式(15)的優(yōu)化計算，可獲取對橫向模型的參數(shù)修正結(jié)果。

為了驗證方法在閉環(huán)條件下的有效性，需要針對辨識結(jié)果進行驗證。作為對比，采用了開環(huán)子空間辨識算法利用上述掃頻數(shù)據(jù)進行辨識。由于掃頻輸入的頻率范圍覆蓋了正常的操縱頻率，故在飛行模擬器上對橫桿和腳蹬進行中等周期倍脈沖操縱，通過采集系統(tǒng)的輸出，并將其與模型的預(yù)測進行對比。橫滾與航向通道的模型校驗結(jié)果分別見圖8和圖9。

圖8 橫滾通道模型驗證

圖9 航向通道模型驗證

根據(jù)驗證結(jié)果，在閉環(huán)條件下，本文所提出方法的辨識結(jié)果能實現(xiàn)較為準確的預(yù)測，而直接通過開環(huán)子空間辨識法出現(xiàn)了較大偏差，其原因是因為閉環(huán)反饋導(dǎo)致殘差與模型輸入具有顯著的相關(guān)性，無法實現(xiàn)模型的無偏估計。上述實驗對方法在閉環(huán)條件下的實用性進行了有效的驗證。

6 結(jié)論

本文提出了基于閉環(huán)子空間的直升機橫測向通道模型的修正方法。對于實際試飛，由于直升機本身操縱耦合性強與穩(wěn)定性弱等特性，飛行控制系統(tǒng)必須實時介入，因此必然引入較強的反饋。反饋的引入導(dǎo)致外擾與系統(tǒng)輸入具有強相關(guān)性，直接應(yīng)用開環(huán)辨識算法難以實現(xiàn)模型參數(shù)的無偏估計。此外，由于直升機模型參數(shù)較多，也需考慮參數(shù)相容性與適用性。針對上述問題，一方面，本文提出的閉環(huán)辨識方法通過正交投影對輸入與輸出數(shù)據(jù)進行白化，克服了反饋對辨識精度的不利影響；另一方面，通過引入正則項，在模型辨識階段實現(xiàn)先驗機理信息與后驗數(shù)據(jù)信息的融合，降低了模型參數(shù)搜索的空間，保證了數(shù)值計算的穩(wěn)定性與辨識結(jié)果的合理性。