先張法預(yù)應(yīng)力混凝土應(yīng)力傳遞解析

成 晟

(泰州市公路事業(yè)發(fā)展中心，泰州 225300)

先張法預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)因其構(gòu)筑工藝較為簡單，被廣泛應(yīng)用于相關(guān)工程中，先張法預(yù)應(yīng)力混凝土簡支空心板也在我國公路中、小橋工程中普遍使用。預(yù)應(yīng)力空心板的典型病害為梁底縱向裂縫，其裂縫數(shù)量明顯多于普通鋼筋混凝土板，但裂縫成因目前尚未明確統(tǒng)一。

預(yù)應(yīng)力筋和混凝土的界面黏結(jié)是先張法預(yù)應(yīng)力體系的基礎(chǔ)，一般認為界面黏結(jié)力由化學(xué)黏附力、摩擦力和機械咬合力等組成，受力筋直徑、初始應(yīng)力以及混凝土強度等因素影響。力筋放張后，混凝土自由端未立即形成有效應(yīng)力，含有一段傳遞長度，在傳遞長度內(nèi)混凝土縱向應(yīng)力逐漸增大，力筋與混凝土相對滑移逐漸減少，最終形成穩(wěn)定黏結(jié)。

對先張法預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)的試驗研究較多，成果多為試驗數(shù)據(jù)和經(jīng)驗公式[1-2]，試驗研究的缺點一是受成本限制，難以建立全尺寸模型；二是受測量技術(shù)限制，不易獲取全部數(shù)據(jù)。由于計算機技術(shù)的發(fā)展，近年來利用有限元方法對混凝土、預(yù)應(yīng)力筋以及層間黏結(jié)建模取得一定成果[3-4]，我國《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計規(guī)范》(JTG 3362—2018)[5]也給出了彈性收縮和傳遞長度的計算公式。

先張法研究總體缺乏系統(tǒng)的力學(xué)理論與模型，對預(yù)應(yīng)力的傳遞和形成以及局部應(yīng)力分布等認識不足，有必要建立有效的力學(xué)模型對結(jié)構(gòu)受力進行解析描述?；诤癖趫A筒理論，研究采用彈性力學(xué)方法對先張法預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)的應(yīng)力損失、傳遞長度、滑移距離和應(yīng)力應(yīng)變分布等進行解析，推導(dǎo)出通用計算公式，并對不同計算方法進行比較。

1 厚壁圓筒模型

已有研究者嘗試用厚壁圓筒理論分析先張法預(yù)應(yīng)力，Benítez等[6]給出了預(yù)應(yīng)力損失的解析解，Abdelatif等[3]演示了傳遞長度的部分推導(dǎo)，并用有限元方法證明了厚壁圓筒模型的適用性。但計算所需假定條件、變量定義、初始與終止?fàn)顟B(tài)的界定、滑移距離和應(yīng)力分布計算以及解析解的數(shù)值實現(xiàn)等在相關(guān)文獻中有所欠缺。為理清思路，方便復(fù)現(xiàn)和驗證，本研究從彈性力學(xué)基本理論出發(fā)，明確假設(shè)條件與變量定義，逐步推演，給出應(yīng)力損失、傳遞長度、滑移距離和應(yīng)力應(yīng)變分布的全部解析解。

厚壁圓筒模型如圖1所示，預(yù)應(yīng)力筋為內(nèi)筒，外徑由r1表示，內(nèi)徑由a表示(因預(yù)應(yīng)力筋內(nèi)部無孔隙，故a→0)；混凝土為外筒，外徑由b表示，內(nèi)徑由r1表示，b取預(yù)應(yīng)力筋最小覆蓋層厚度處預(yù)應(yīng)力筋中心到混凝土外表面的距離。因預(yù)應(yīng)力筋內(nèi)部無外力作用，故內(nèi)徑a處徑向應(yīng)力恒為0；因混凝土自由表面無正應(yīng)力，故外徑b處徑向應(yīng)力亦恒為0。界面r1處內(nèi)外桶的徑向應(yīng)力都為-p(壓應(yīng)力)，由對稱性可知剪應(yīng)力τrθ=τθr=0。

圖1 厚壁圓筒模型

1.1 受力狀態(tài)

放張前預(yù)應(yīng)力筋和混凝土處于初始狀態(tài)，放張后二者在外力作用下變形，并最終達到平衡狀態(tài)。

1.1.1 初始狀態(tài)

預(yù)應(yīng)力筋截面積為As，半徑為r1，縱向應(yīng)力為0，半徑a處徑向應(yīng)力為0。

混凝土截面積為Ac，縱向應(yīng)力為0，半徑b處徑向應(yīng)力為0。

1.1.2 平衡狀態(tài)

預(yù)應(yīng)力筋縱向應(yīng)力σzs=-Δσ(z)，半徑a處徑向應(yīng)力為0。

注意事項如下。

(1) 根據(jù)彈性力學(xué)小變形假設(shè)，計算時不考慮變形前后預(yù)應(yīng)力筋、混凝土半徑及截面積的變化，全部取初始狀態(tài)值。

(2) 預(yù)應(yīng)力筋初始半徑r1為張拉后放張前的半徑。

(3) 雖然預(yù)應(yīng)力筋放張前有初始縱向應(yīng)力σ0，但計算力筋放張后的變形時，只考慮變化量-Δσ，故初始應(yīng)力取變化前的相對值0；而計算混凝土縱向應(yīng)力時，需考慮初始應(yīng)力σ0。

1.2 假定條件

用厚壁圓筒理論進行先張法預(yù)應(yīng)力分析，應(yīng)明確下列假定條件。

(3) 彈性力學(xué)基本假定[7]：物體連續(xù)、彈性、均勻且各向同性，位移和形變微小。

2 基本方程

系統(tǒng)為軸對稱體系，三維應(yīng)力如圖2所示，坐標(biāo)原點位于自由端的預(yù)應(yīng)力筋圓心處，系統(tǒng)位于z軸正方向。

圖2 三維應(yīng)力

因體力為0，故徑向平衡方程[7]如下：

(1)

幾何方程[7]如式(2)和式(3)所示。

(2)

(3)

對式(3)求導(dǎo)，可得

(4)

物理方程[7]如式(5)和式(6)所示。

(5)

(6)

式中，E為楊氏模量；υ為泊松比。

由式(5)和式(6)可得

(7)

式(4)與式(7)聯(lián)立可得

(8)

(9)

式(8)與式(9)聯(lián)立可得

(10)

式(1)與式(10)聯(lián)立可得

(11)

由式(1)可知

(12)

對式(12)求導(dǎo)，可得

(13)

式(13)代入式(11)可得

(14)

解微分方程式(14)，得到

(15)

式中，A和B為積分常數(shù)，可根據(jù)邊界條件求得。

式(15)代入式(12)，得到

(16)

2.1 徑向平衡

預(yù)應(yīng)力筋和混凝土的徑向受力如圖3所示。

圖3 預(yù)應(yīng)力筋和混凝土的徑向受力

對于預(yù)應(yīng)力筋，利用邊界條件σr|r=r1=-p，σr|r=a=0(a→0)，求得

(17)

對于混凝土，利用邊界條件σr|r=b=0，σr|r=r1=-p，求得

(18)

2.2 縱向平衡

預(yù)應(yīng)力筋和混凝土的縱向受力如圖4所示。

圖4 預(yù)應(yīng)力筋和混凝土的縱向受力

預(yù)應(yīng)力筋內(nèi)縱向應(yīng)力放張前為σ0，放張后為σzs=σ0-Δσ(z)，混凝土內(nèi)縱向應(yīng)力放張前為0，放張后為σzc。則z處有縱向平衡方程：σzcAc+[σ0-Δσ(z)]As=0，解此得到

(19)

3 預(yù)應(yīng)力損失

對于預(yù)應(yīng)力筋，聯(lián)立式(6)、式(15)、式(16)和式(17)，得到

(20)

(21)

(22)

對于混凝土，聯(lián)立式(6)、式(15)、式(16)和式(18)，得到

(23)

(24)

(25)

(26)

預(yù)應(yīng)力筋縱向受力如圖5所示。

圖5 預(yù)應(yīng)力筋縱向受力

根據(jù)文獻[3]和文獻[6]，界面上的切應(yīng)力主要和徑向壓應(yīng)力有關(guān)，大致滿足庫侖定律τrz=f×p，f值通常為0.3～0.7，本文暫取0.4。

力筋縱向平衡方程為

解此得到

(27)

(28)

式(28)為預(yù)應(yīng)力損失計算式。

4 傳遞長度

對式(28)求反函數(shù)得到

(29)

文獻[3]認為可直接利用式(29)計算傳遞長度，即求解預(yù)應(yīng)力筋Δσ=0.05σ0時對應(yīng)的z值。

5 預(yù)應(yīng)力筋滑移距離

取一微段構(gòu)件dz，力筋與混凝土的相對滑移距離ds取決于二者的應(yīng)變差：

ds=(εzs-εzc)dz

(30)

圓柱坐標(biāo)縱向物理方程為[7]

(31)

(32)

為方便計算，假定預(yù)應(yīng)力筋與混凝土的相對滑動為一維應(yīng)變問題，忽略徑向和環(huán)向應(yīng)力影響，則有

(33)

聯(lián)立式(20)、式(21)、式(23)、式(24)、式(30)和式(33)，得到

(34)

聯(lián)立式(28)和式(34)，并令

(35)

6 算例

6.1 傳遞長度計算

根據(jù)文獻[2]取同樣尺寸的試件和張拉力，計算預(yù)應(yīng)力傳遞長度。試件參數(shù)如表1所示，試件截面尺寸如圖6所示。

表1 試件參數(shù)

圖6 試件截面尺寸(單位：mm)

分別計算混凝土95%縱向應(yīng)變、鋼絞線5%應(yīng)力損失對應(yīng)的傳遞長度，并與規(guī)范值和實測值進行比較，傳遞長度比較如表2所示。

表2 傳遞長度比較

計算結(jié)果表明，基于混凝土縱向應(yīng)變和預(yù)應(yīng)力筋縱向應(yīng)力的傳遞長度計算結(jié)果差別較大，原因是按此模型計算時，跨中處鋼絞線預(yù)應(yīng)力損失不為0，致使按混凝土95%跨中縱向應(yīng)變和按鋼絞線5%應(yīng)力損失計算的位置不一致。

此外還發(fā)現(xiàn)摩擦系數(shù)f對傳遞長度影響明顯，C80混凝土在f取0.4時應(yīng)變傳遞長度為625 mm，f取0.6時應(yīng)變傳遞長度為416 mm。

解析解基于彈性力學(xué)假設(shè)，未考慮混凝土開裂和失效等情況，因此計算的傳遞長度與實測數(shù)據(jù)有差距，且與張拉力不相關(guān)。

6.2 空心板梁計算

以10 m空心板為例，采用Φs15.2鋼絞線，混凝土標(biāo)號C50，鋼絞線距離底板外緣50 mm。在混凝土達到齡期7 d以上且設(shè)計強度90%以上后分批放松鋼絞線。

空心板參數(shù)如表3所示。

表3 空心板參數(shù)

分別求得預(yù)應(yīng)力損失、預(yù)應(yīng)力傳遞長度、混凝土環(huán)向拉應(yīng)力和混凝土縱向壓應(yīng)力的解析解，應(yīng)力傳遞解析解如表4所示。其中εm為95%的跨中混凝土應(yīng)變。

表4 應(yīng)力傳遞解析解

接觸面切應(yīng)力分布如圖7所示。

圖7 接觸面切應(yīng)力分布

接觸面附近混凝土應(yīng)力分布如圖8所示，接觸面附近混凝土應(yīng)變分布如圖9所示。

圖8 接觸面附近混凝土應(yīng)力分布

圖9 接觸面附近混凝土應(yīng)變分布

可見端部環(huán)向拉應(yīng)力和拉應(yīng)變已遠遠超過混凝土抗拉強度和極限拉應(yīng)變，如果不對該部位進行補強，混凝土開裂后握裹力降低，會導(dǎo)致初始裂縫沿縱向發(fā)展，影響結(jié)構(gòu)安全性和耐久性。

分別用三向應(yīng)力法和一維簡化法計算預(yù)應(yīng)力筋滑移距離，滑移距離計算如表5所示，數(shù)值解表明兩者差別不大。

表5 滑移距離計算

預(yù)應(yīng)力筋的應(yīng)力損失和滑移距離如圖10所示。

圖10 預(yù)應(yīng)力筋的應(yīng)力損失和滑移距離

按相關(guān)規(guī)范和厚壁圓筒模型分別進行計算，應(yīng)力損失、傳遞長度和滑移距離計算所得如表6所示。

表6 應(yīng)力損失、傳遞長度和滑移距離計算所得

其中厚壁圓筒的應(yīng)力損失值取Δσ|z=L/2。

7 結(jié)論

從彈性力學(xué)基礎(chǔ)方程出發(fā)，基于厚壁圓筒模型，對先張法預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力傳遞、滑移和應(yīng)力分布進行計算，逐步推導(dǎo)出應(yīng)力損失、傳遞長度、滑移距離和應(yīng)力應(yīng)變分布公式，為先張法預(yù)應(yīng)力研究提供理論工具。算例顯示：①《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計規(guī)范》(JTG 3362—2018)中對應(yīng)力損失和傳遞長度的計算比較保守；②預(yù)應(yīng)力空心板的梁底縱向裂縫是由端部初始裂縫延伸形成的，預(yù)應(yīng)力筋放張時，端部混凝土環(huán)向拉應(yīng)力和拉應(yīng)變明顯超限，必須在該部位進行補強設(shè)計，防止混凝土失效導(dǎo)致裂縫縱向發(fā)展。