控制力約束條件下的噴水推進(jìn)船魯棒控制

曾 宏，秦梓荷，蔣 一，黃 堅(jiān)

（1．珠海云洲智能科技股份有限公司，廣東珠海 519000；2．中國(guó)船舶科學(xué)研究中心，江蘇無(wú)錫 214082）

0 引言

近10年來(lái)，無(wú)人系統(tǒng)的研發(fā)得到了極大程度的發(fā)展，其中作為核心內(nèi)容的運(yùn)動(dòng)控制問(wèn)題在控制學(xué)界得到了密切的關(guān)注。無(wú)人艇作為無(wú)人駕駛領(lǐng)域的一個(gè)重要研究方向，其運(yùn)動(dòng)控制的主要研究點(diǎn)包括路徑規(guī)劃、路徑跟蹤和編隊(duì)航行等[1-4]。國(guó)內(nèi)外成型的無(wú)人艇，大多采用噴水推進(jìn)滑行艇的基本船體形式，因此重點(diǎn)研究噴水推進(jìn)無(wú)人艇的運(yùn)動(dòng)控制具有十分重要的意義。

在控制器設(shè)計(jì)方面，噴水推進(jìn)無(wú)人艇與常規(guī)的螺旋槳推進(jìn)船舶有一定的差異。與常規(guī)固定螺旋槳不同，噴水推進(jìn)器能為船舶提供矢量推力。通過(guò)改變噴口射流方向產(chǎn)生轉(zhuǎn)艏力矩，從而噴水推進(jìn)船不需要安裝舵機(jī)，然而推力偏角會(huì)產(chǎn)生橫向推力，造成縱向推力與轉(zhuǎn)艏力矩具有耦合關(guān)系，加大了控制器設(shè)計(jì)的難度。

針對(duì)水面無(wú)人艇及無(wú)人潛器的運(yùn)動(dòng)控制，可使用PID（Proportion Integral Differential）、自適應(yīng)、反步法和自抗擾等控制方法，且已有大量的研究文獻(xiàn)[5-7]。然而，以上文獻(xiàn)都只將控制算法執(zhí)行到控制力/力矩設(shè)計(jì)的層面，對(duì)具體硬件的控制則未加考慮。

要研究噴水推進(jìn)船的運(yùn)動(dòng)控制，首先需要噴水推力大小與主機(jī)轉(zhuǎn)速的關(guān)系。針對(duì)該問(wèn)題，高雙[8]及BA等[9]研究了特定航速下噴水推進(jìn)器的推力計(jì)算問(wèn)題。然而，雖然噴水推力大小雖然由主機(jī)轉(zhuǎn)速直接決定，還受到進(jìn)水口流速（即船體航速）的影響。噴水推力與轉(zhuǎn)速和航速具有復(fù)雜的多元關(guān)系，難以通過(guò)水動(dòng)力計(jì)算確定不同航速和主機(jī)轉(zhuǎn)速下的推力數(shù)值。

查閱相關(guān)文獻(xiàn)可知，目前尚未有學(xué)者對(duì)噴水推力、主機(jī)轉(zhuǎn)速和航速三元關(guān)系的計(jì)算開(kāi)展相關(guān)研究。為此，本文以解決該問(wèn)題出發(fā)，創(chuàng)建了一種推力-航速-轉(zhuǎn)速三元關(guān)系的擬合方法。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了輸入量飽和約束下的噴水推進(jìn)船航速航向魯棒控制問(wèn)題，設(shè)計(jì)了相應(yīng)的航速、航向控制律。最后，通過(guò)指定航速下的路徑跟蹤仿真，驗(yàn)證了所提出控制律對(duì)航速和航向聯(lián)合控制時(shí)的有效性。

1 噴水推進(jìn)船舶水面運(yùn)動(dòng)模型

船舶的空間運(yùn)動(dòng)具有6個(gè)自由度，然而在研究水面船舶運(yùn)動(dòng)控制的過(guò)程中，通常習(xí)慣性地忽略船舶的橫搖、縱搖和升沉運(yùn)動(dòng)。此外，假設(shè)船體關(guān)于中縱剖面對(duì)稱(chēng)（即左右對(duì)稱(chēng)），且設(shè)隨體坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于船體重心處。參考文獻(xiàn)[10-11]，船舶的水面3自由度運(yùn)動(dòng)方程可按如下方式表達(dá)：

式中：(x,y)為船舶在北東坐標(biāo)系下的位置；ψ為艏向角；u、v、r分別為船在隨體坐標(biāo)系下前進(jìn)、橫移、轉(zhuǎn)向角的變化速率；轉(zhuǎn)艏力矩τr、縱向推力推力τu、推力τv為主動(dòng)控制輸入量；m11、m22、m33為與船體慣性力相關(guān)的運(yùn)動(dòng)系數(shù)；du、dv、dr、d|u|u、d|v|v和d|r|r等系數(shù)與船體運(yùn)動(dòng)的流體阻尼相關(guān)；ξu、ξv、ξr為環(huán)境擾動(dòng)力在3個(gè)自由度的分量，同時(shí)符合如下限定條件：外界擾動(dòng)ξu、ξv、ξr大小有界，且擾動(dòng)力上界可知，船舶水面運(yùn)動(dòng)模型見(jiàn)圖1。

圖1 船舶水面運(yùn)動(dòng)模型

與螺旋槳?jiǎng)恿Υ跋啾?，噴水推進(jìn)船的控制力形式有明顯的區(qū)別，且區(qū)別在于噴水推進(jìn)器的矢量推力形式，通過(guò)噴水推進(jìn)器的噴口轉(zhuǎn)動(dòng)裝置代替了傳統(tǒng)的舵機(jī)。在不考慮倒車(chē)斗使用的情況下，噴水推進(jìn)船的控制力包括噴水推力T和推力偏角產(chǎn)生的轉(zhuǎn)艏力矩N，具體的控制力形式如式（2）所示：

式中：T為噴水推進(jìn)器的總推力；xT為噴水口到船體重心的縱向距離；δ為噴水推進(jìn)器的噴口轉(zhuǎn)角，出于簡(jiǎn)便以及習(xí)慣性稱(chēng)呼的原因，在下文的表述中將噴口轉(zhuǎn)角改稱(chēng)為舵角。

式（2）中，雖然噴水推進(jìn)器有縱向、橫向和艏搖3個(gè)自由度的控制輸入量，但實(shí)際上控制輸入量只有2個(gè)，即推力T和舵角δ，控制系統(tǒng)在本質(zhì)上仍是欠驅(qū)動(dòng)的。

2 噴水推進(jìn)器推力函數(shù)模型建立

要進(jìn)行后續(xù)的控制律設(shè)計(jì)和運(yùn)動(dòng)控制仿真模擬，首先需要知悉噴水推進(jìn)器的推力函數(shù)關(guān)系。對(duì)噴水推進(jìn)器而言，噴水推力大小取決于噴口水流速度，即由泵葉轉(zhuǎn)速n決定（由發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速通過(guò)減速箱得到，本文中假設(shè)減速比為1），但還受船舶航速的影響。

分析可知，噴水推力、船舶航速以及主機(jī)功率三者關(guān)系具備唯一性。以HJ364型44號(hào)葉輪的Hamilton噴水推進(jìn)器為例，其軸功率Pe和輸入轉(zhuǎn)速n之間存在關(guān)系Pe= 4 4.5(n/ 1 000)3，且不同軸功率下的航速-推力曲線圖譜如圖2所示。

圖2 航速-推力曲線圖譜

在圖2中，功率100 kW、200 kW至600 kW分別對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)速為1.31×103r/min、1.65×103r/min、1.89×103r/min、2.08×103r/min、2.24×103r/min、2.38×103r/min。根據(jù)不同航速，提取圖2中數(shù)據(jù)獲得如表1所示。

表1 推力-航速-轉(zhuǎn)速關(guān)系表

經(jīng)過(guò)反復(fù)嘗試以及多方案對(duì)比，設(shè)計(jì)得到如下推力函數(shù)模型：

式中：f1與f2均為只與vs有關(guān)的簡(jiǎn)單初等函數(shù)。

針對(duì)表1中的數(shù)據(jù)，根據(jù)航速值重新繪制推力-轉(zhuǎn)速曲線，并按式（3）進(jìn)行最小二乘擬合，擬合結(jié)果如圖3所示。

圖3 推力-轉(zhuǎn)速特性圖譜

圖3中實(shí)線表示實(shí)際值，虛線為擬合曲線。對(duì)圖3中的函數(shù)值進(jìn)行整理，并對(duì)f1與f2分別采用二項(xiàng)式擬合，所得表達(dá)式為

結(jié)合式（3）與式（5），計(jì)算得到表1中各工況下推力的擬合曲線，如圖4所示。圖4中，實(shí)線表示各功率下的實(shí)際推力曲線，虛線表示擬合公式的推力計(jì)算值，計(jì)算值與實(shí)際值具有良好的一致性。

圖4 擬合推力與實(shí)際推力對(duì)比圖

3 航速航向魯棒控制算法設(shè)計(jì)

對(duì)于欠驅(qū)動(dòng)的水面船舶而言，通常對(duì)航速和航向的控制律進(jìn)行分離設(shè)計(jì)，本文中也采用相同的控制器設(shè)計(jì)策略?？紤]到噴水推進(jìn)器實(shí)際推力和外界波浪擾動(dòng)的不確定性，采用了滑?？刂圃O(shè)計(jì)航向的魯棒控制律。航速控制律的設(shè)計(jì)相對(duì)較為簡(jiǎn)單，不需要使用滑模控制方法。

3.1 航速魯棒控制律設(shè)計(jì)

定義期望航速為ud，且航速誤差為繼而設(shè)計(jì)如下Lypunov函數(shù)：

對(duì)式（7）兩邊求導(dǎo)可得：

根據(jù)式（8），設(shè)計(jì)期望推力控制律為

式中：

從而Lyapunov函數(shù)V1是漸進(jìn)收斂的，航速誤差也將在有限時(shí)間內(nèi)收斂于零。然而式（9）中的符號(hào)切換律sgn()有可能導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生抖震現(xiàn)象[12]。為此，改進(jìn)式（11）的控制律為

式中：

式中：0＜κ1＜1為切換函數(shù)的邊界層寬度。

將式（12）代入式（8）可得：

對(duì)于式（14），根據(jù)的數(shù)值大小，可分為2種情況依次討論。

根據(jù)文獻(xiàn)[13]可知，V1滿足如下的時(shí)間函數(shù)關(guān)系：

3.2 航向魯棒控制律

定義為ψ期望艏向角，同時(shí)艏向角誤差為在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步定義如下了滑模動(dòng)態(tài)面：

式中：λ為正常數(shù)。

定義如下Lyapunov函數(shù)：

對(duì)上式兩邊進(jìn)行求導(dǎo)可得：

針對(duì)上式，設(shè)計(jì)期望舵角dδ的控制律如下：

其中切換律sat(S1)具有如下格式：

且2κ為小于1的正常數(shù)。

將式（21）與式（22）代入式（20）可得：

式中：

同理式（14）至式（17）的證明過(guò)程，也可分兩種情況推導(dǎo)得到V2滿足如下的時(shí)間函數(shù)關(guān)系

則V2將在有限時(shí)間內(nèi)收斂到區(qū)間內(nèi)，通過(guò)適當(dāng)減小κ，并增大k2的取值，可以使滑模面S1逐漸趨近于0。根據(jù)滑模理論可知，艏向誤差也將趨近于0。

3.3 主機(jī)模型和噴口轉(zhuǎn)角模型

噴泵的轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)模型可以使用發(fā)動(dòng)機(jī)調(diào)速模型代替。主機(jī)模型可以通過(guò)一個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)進(jìn)行描述，則有

式中：˙為主機(jī)轉(zhuǎn)速角加速度；為指令轉(zhuǎn)速；Kn為轉(zhuǎn)速上升時(shí)間常數(shù)。在本文控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中，限定主機(jī)最大轉(zhuǎn)速為2 300 r/min，最大轉(zhuǎn)速加速度為50。

噴口轉(zhuǎn)動(dòng)控制可以參照舵機(jī)伺服系統(tǒng)，看作一個(gè)一階慣性過(guò)程，其運(yùn)動(dòng)特性可參照文獻(xiàn)[14]表示為如下函數(shù)形式：

式中：δ為噴口角；dδ為期望噴口角；Kδ為角度控制增益。噴口角度及角速度存在硬件性能限制：

通過(guò)采用式（25）與式（26）的主機(jī)和噴口轉(zhuǎn)角模型，結(jié)合前文的推力和舵角控制律，即可完成對(duì)噴水推進(jìn)船的航速航向控制與仿真驗(yàn)證。

4 仿真驗(yàn)證與分析

為了驗(yàn)證所提出的控制律能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)噴水推進(jìn)船航速和航向的同時(shí)控制，本文進(jìn)行了指定航速下的路徑跟蹤控制。仿真中使用Line-of-sight（LOS）導(dǎo)航法進(jìn)行路徑跟蹤的艏向規(guī)劃律設(shè)計(jì)，具體在文獻(xiàn)[15-16]中已經(jīng)有了詳細(xì)的論述，本文由于篇幅有限不進(jìn)行論述。

本文采用文獻(xiàn)[17]的無(wú)人艇運(yùn)動(dòng)模型，通過(guò)對(duì)水動(dòng)力系數(shù)進(jìn)行適當(dāng)整理和轉(zhuǎn)化，可以獲得如下的船舶運(yùn)動(dòng)參數(shù)：m11=2.4×103kg，m22=3.35×103kg，m33=2.49×105kg，du=255 kg/s，d|u|u=50 kg/m，dv=2.92×103kg/s，d|v|v=2.27×103kg/m，dr=1.22×104kg/s，d|r|r=1.2×104kg/rad。

該艇設(shè)計(jì)水線長(zhǎng)5.2 m，排水量1.9 t，噴水口距離船體中心xj=2.01 m，仿真中選取前文中的HJ364噴水推進(jìn)器，并假設(shè)實(shí)際推力比估計(jì)推力小10%，即T=0.9?？刂破髦械钠渌麉?shù)取值情況如下：k1=0.8，k2=0.1，κ1=0.05，κ2=0.02，λ=0.25，Kn=20，Kδ=10。

考慮到波浪擾動(dòng)對(duì)航向控制的影響，本文模擬了海浪有義波高1.25m環(huán)境下的運(yùn)動(dòng)情況。波浪擾動(dòng)使用文獻(xiàn)[18]中的模型進(jìn)行計(jì)算，其 中 ，表示傳遞函數(shù)，且wu、wv、wr均為零均值高斯白噪聲，噪聲能量譜密度分別為0.01，0.005和0.1。仿真中，u,v,rξ ξ ξ的最大值分別達(dá)到了0.1 m/s2、0.04 m/s2和2 (°)/s2，符合實(shí)際的航行情況。

無(wú)人艇運(yùn)動(dòng)初始條件設(shè)置為：ψ=135°，u=9 m/s，v=0，r=0，n=1 450 r/min，δ=0°。仿真中設(shè)置期望航速u(mài)d=10 m/s，路徑跟蹤及航速航向控制仿真結(jié)果如圖5～圖9所示。圖5中虛線表示期望航線，實(shí)線為無(wú)人艇的實(shí)際航行軌跡。

圖5 無(wú)人艇航行軌跡

圖6和圖7分別展示了0～200 s時(shí)間范圍內(nèi)的無(wú)人艇航速和主機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)情況。圖6中，虛線表示期望航速，實(shí)線表示實(shí)際航速。在估計(jì)推力存在誤差的情況下，仍能保證航速達(dá)到期望值。

圖6 無(wú)人艇航速-時(shí)間曲線

在圖7中，航速在初始階段有約0.2 m/s的超調(diào)量和短期振蕩，主要原因是主機(jī)轉(zhuǎn)速加速度和一階操控模型的限制。當(dāng)航速達(dá)到期望值時(shí)，無(wú)法瞬間下降到適當(dāng)值，如圖8中初始階段所示。圖12中主機(jī)轉(zhuǎn)速的小幅振動(dòng)，原因是為應(yīng)對(duì)外界波浪擾動(dòng)的補(bǔ)償量。

圖7 主機(jī)轉(zhuǎn)速-時(shí)間曲線

圖8和圖9分別展示了0～200 s時(shí)間范圍內(nèi)的無(wú)人艇艏向和舵角響應(yīng)情況。從圖8中可以觀察出，即使期望航向是時(shí)變量，實(shí)際航向扔能在舵角控制律的作用下較為理想地達(dá)到期望值。艏向在70 s和110 s時(shí)間附近存在階躍情況，原因是在仿真中為了符合實(shí)際情況，設(shè)置了船舶的艏向角范圍為(-180°, 180°]。為使船體在持續(xù)環(huán)境擾動(dòng)下仍能保持艏向的穩(wěn)定性，舵角存在持續(xù)性的低頻擾動(dòng)補(bǔ)償，如圖9所示。

圖8 艏向時(shí)間曲線

圖9 舵角時(shí)間曲線

綜合圖5～圖9的仿真結(jié)果可知，在式（3）推力-轉(zhuǎn)速函數(shù)及式（12）、式（21）推力與舵角控制律的聯(lián)合作用下，能夠有效地實(shí)現(xiàn)對(duì)帶有控制力約束的噴水推進(jìn)船的魯棒運(yùn)動(dòng)控制。

5 結(jié)論

本文通過(guò)擬合分析的方式，設(shè)計(jì)得出噴水推力關(guān)于主機(jī)轉(zhuǎn)速和船舶航速的函數(shù)關(guān)系式，所得函數(shù)具有形式簡(jiǎn)單易于計(jì)算的優(yōu)點(diǎn)。通過(guò)與原始推力圖譜對(duì)比，擬合函數(shù)的推力估計(jì)誤差小于3.61%，能夠滿足運(yùn)動(dòng)控制的精度需求。在此基礎(chǔ)上開(kāi)展了噴水推進(jìn)船航速與航向魯棒控制律設(shè)計(jì)，控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中充分考慮到了控制機(jī)構(gòu)的約束條件，將控制律落腳到主機(jī)轉(zhuǎn)速和舵角的具體控制分配層，完成了對(duì)噴水推進(jìn)船的全過(guò)程控制。通過(guò)一個(gè)指定航速下的路徑跟蹤仿真試驗(yàn)，驗(yàn)證了本文控制方法在應(yīng)對(duì)推力不確定和外界擾動(dòng)時(shí)，同時(shí)進(jìn)行航速與航向魯棒控制的可行性。