基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隨機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度分析

唐翠蘭， 帥一師， 雷順成， 姚方舟

(1.湖南省交通科學(xué)研究院有限公司， 湖南 長(zhǎng)沙 410015； 2.邵陽(yáng)市交通建設(shè)質(zhì)量安全監(jiān)督站， 湖南 邵陽(yáng) 420001)

0 引言

隨著我國(guó)交通運(yùn)輸行業(yè)的飛速發(fā)展，大跨度橋梁結(jié)構(gòu)日益增多。影響結(jié)構(gòu)安全最關(guān)鍵的荷載，如地震荷載、強(qiáng)風(fēng)荷載和車(chē)輛荷載等往往具有較明顯的隨機(jī)性，給設(shè)計(jì)者帶來(lái)了較大挑戰(zhàn)。大跨度結(jié)構(gòu)在隨機(jī)荷載作用下的響應(yīng)及動(dòng)力可靠度研究具有重要意義，近年來(lái)取得了豐富的研究成果。梅建松等[1]采用概率密度演化方法，分析了桿系拱橋在非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)作用下的響應(yīng)及可靠度；武芳文等[2]對(duì)蘇通大橋進(jìn)行了隨機(jī)地震響應(yīng)分析，并基于JC法和首次超越原則，分析了主梁關(guān)鍵截面的動(dòng)力可靠度；魯乃唯等[3]通過(guò)建立隨機(jī)車(chē)流模型，研究了密集車(chē)流占有率對(duì)橋梁可靠度的影響規(guī)律。在已有動(dòng)力可靠度的研究中，往往僅考慮載荷的隨機(jī)性而忽視了結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)性。在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中，參數(shù)的隨機(jī)性是一直存在的，對(duì)計(jì)算動(dòng)力可靠度有較大影響。因此，研究雙重隨機(jī)性的動(dòng)力可靠度更具有實(shí)用價(jià)值。

目前結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度分析仍以隨機(jī)有限元方法模擬為基礎(chǔ)，考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)性后，隨機(jī)變量的數(shù)量大大增加。對(duì)于大跨度橋梁等復(fù)雜結(jié)構(gòu)而言，傳統(tǒng)的Monte Calo法計(jì)算代價(jià)太大，基本上不可能完成。隨著響應(yīng)面法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的蓬勃興起，動(dòng)力可靠度分析有了新思路[4]，即以有限次的有限元計(jì)算結(jié)果為訓(xùn)練樣本，擬合出復(fù)雜的功能函數(shù)，然后基于功能函數(shù)便可通過(guò)傳統(tǒng)可靠度分析方法得出結(jié)果，從而使計(jì)算效率大大提高。

本文以某大跨度剛構(gòu)橋?yàn)楣こ瘫尘埃肓薘BF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法對(duì)功能函數(shù)進(jìn)行擬合，通過(guò)MALTAB編寫(xiě)了基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法的主程序并調(diào)用ANSYS程序接口，實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)響應(yīng)有限元計(jì)算與動(dòng)力可靠度分析的自動(dòng)求解。通過(guò)算例表明了該方法的高效性。

1 動(dòng)力可靠度功能函數(shù)的建立

隨機(jī)結(jié)構(gòu)靜力可靠度分析中的功能函數(shù)一般表示為[5]：

Z=R-D

(1)

式中，R為結(jié)構(gòu)的某種界限值(如抗力值)；D為結(jié)構(gòu)的靜力響應(yīng)值。

當(dāng)考慮結(jié)構(gòu)雙重隨機(jī)性時(shí)，其響應(yīng)過(guò)程亦具有隨機(jī)性。于是，結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度的功能函數(shù)可參考靜力可靠度功能函數(shù)的推導(dǎo)方法構(gòu)建[6]，即：

Z(t)=R-D(t)

(2)

由式(2)可知，動(dòng)力可靠度功能函數(shù)是時(shí)間的函數(shù)，即功能隨機(jī)過(guò)程[7]。由于較靜力可靠度功能函數(shù)多了時(shí)間的維度，無(wú)法直接對(duì)其進(jìn)行求解。

現(xiàn)將式(2)在時(shí)間區(qū)段[0，T]內(nèi)進(jìn)行極小值變化，從而有：

Z(t)min=R-d(t)maxt∈[0,T]

(3)

式中： d(t)max為結(jié)構(gòu)響應(yīng)D(t)在時(shí)間區(qū)段[0，T]內(nèi)的最大值；Z(t)min為時(shí)間區(qū)段[0，T]內(nèi)的可靠度最小值； 可將此作為結(jié)構(gòu)在時(shí)間區(qū)段[0，T]內(nèi)的動(dòng)力靠度。

目前求解d(t)max的方法多基于首次超越破壞準(zhǔn)則[8]。我國(guó)抗震規(guī)范[9]給出了d(t)max的計(jì)算方法，即:

d(t)max=ησd

(4)

式中，η為無(wú)量綱的隨機(jī)變量。

其方差和均值分別為：

(5)

(6)

σd為結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)的均方值，對(duì)于線性單自由度系統(tǒng)，則有:

(7)

式中：S(ω)為隨機(jī)荷載功率譜密度函數(shù)；H(ω)為系統(tǒng)頻率反應(yīng)函數(shù)，是系統(tǒng)剛度k、m以及阻尼比ζ的函數(shù)。對(duì)于隨機(jī)結(jié)構(gòu)，由于結(jié)構(gòu)參數(shù)k、m、ζ具有隨機(jī)性，H(ω)也是隨機(jī)函數(shù)，故在特定的隨機(jī)荷載激勵(lì)下，σd是結(jié)構(gòu)參數(shù)k、m、ζ的函數(shù)，也是隨機(jī)分布的，在多自由度系統(tǒng)亦是如此。

將式(4)代入式(3)中，得到隨機(jī)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力可靠度功能函數(shù)為：

Z=R-ησd

(8)

若考慮結(jié)構(gòu)的恒載G和活載Q時(shí)，式(8)變成:

Z=R-G-Q-ησd

(9)

于是，通過(guò)以上方法，結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度問(wèn)題便轉(zhuǎn)化為靜力可靠度問(wèn)題[7]。

假設(shè)X=(x1,x2,…,xn)為結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)變量(如彈性模量、容重、阻尼比等)，式(9)可表示為：

Z=R-G(X)-Q(X)-ησd(X)

(10)

由于式(10)為含多變量的隱函數(shù)，采用傳統(tǒng)的一次二階矩?zé)o法直接進(jìn)行求解。當(dāng)功能函數(shù)為隱函數(shù)時(shí)，通?？刹捎靡韵聝煞N方法求解其可靠度： ① 采用Monte Calo抽樣法生成結(jié)構(gòu)參數(shù)序列，代入有限元中計(jì)算得到結(jié)構(gòu)的響應(yīng)值，由此計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度；②采用響應(yīng)面法擬合得到近似的顯函數(shù)，然后采用JC法計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度。前者需要巨大的抽樣樣本，有限元計(jì)算量太大，不適合實(shí)際工程結(jié)構(gòu)；后者擬合能力有限，速度和精度不足。本文選取徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBF)進(jìn)行隱式功能函數(shù)的擬合。

2 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法的動(dòng)力可靠度分析

與常規(guī)的響應(yīng)面法不同，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)根據(jù)樣本學(xué)習(xí)和訓(xùn)練得到的net是映射關(guān)系，而非具體的顯性函數(shù)表達(dá)式，若后續(xù)采用JC法求解可靠度指標(biāo)則必須求解映射關(guān)系net的一階偏導(dǎo)數(shù)，這一過(guò)程比較復(fù)雜而且容易出錯(cuò)。為了避開(kāi)這一難題，本文采取MATLAB優(yōu)化工具箱的線性規(guī)劃算法替代JC法來(lái)求解結(jié)構(gòu)可靠度，下面對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹。

假定是x1,x2,…,xn是n個(gè)服從高斯分布獨(dú)立隨機(jī)變量，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)坐標(biāo)系中，可靠度指標(biāo)為坐標(biāo)原點(diǎn)到極限狀態(tài)曲面的最短距離[5]?；谶@一思路可將JC法中搜尋驗(yàn)算點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)問(wèn)題[7]，即：

s.t.gX(x)=gX(x1,x2,…,xn)

(12)

選取RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本時(shí)采用均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)法[10-11]，該方法能確保設(shè)計(jì)點(diǎn)在設(shè)計(jì)空間內(nèi)均勻分布，每個(gè)參數(shù)和每個(gè)水平只需做1次試驗(yàn)，合適的數(shù)量卻不失代表性，從而提高訓(xùn)練效率。

本文采用MALAB編制分析主程序，ANSYS作為有限元計(jì)算分析手段，具體分析步驟如下：

1) 以結(jié)構(gòu)隨機(jī)變量的均值為初值建立ANSYS參數(shù)化模型，計(jì)算得到響應(yīng)的各階矩，按式(5)和式(6)計(jì)算得到η的方差和均值；

2) 確定結(jié)構(gòu)隨機(jī)參數(shù)變量。對(duì)于橋梁結(jié)構(gòu)，可選用對(duì)靜動(dòng)力響應(yīng)值以及結(jié)構(gòu)抗力值影響較大的參數(shù)作為隨機(jī)變量，如結(jié)構(gòu)的彈性模量、容重、阻尼比和材料強(qiáng)度等參數(shù)。

3) 確定訓(xùn)練樣本輸入向量。根據(jù)均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)法生成樣本點(diǎn)，通過(guò)MATLAB生成的每組隨機(jī)變量樣本點(diǎn)建立ANSYS有限元模型并進(jìn)行分析，計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)σd并將結(jié)果寫(xiě)入文件供MATLAB讀取[7]。

4) 以樣本點(diǎn)和響應(yīng)結(jié)果σd作為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入和期望輸出，采用自動(dòng)尋優(yōu)的方法進(jìn)行RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練：從一個(gè)隱藏層節(jié)點(diǎn)開(kāi)始訓(xùn)練，對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模擬誤差進(jìn)行檢驗(yàn)，當(dāng)誤差精度不滿足要求時(shí)，讓神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自動(dòng)對(duì)隱藏層神經(jīng)元進(jìn)行數(shù)量的增加；而根據(jù)每次循環(huán)生成的最小誤差對(duì)應(yīng)的輸入向量，會(huì)生成新的一個(gè)隱藏層節(jié)點(diǎn)，然后重新檢查新一循環(huán)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差，并對(duì)該過(guò)程進(jìn)行重復(fù)，直至滿足精度要求或達(dá)到神經(jīng)元數(shù)上限。

5) 根據(jù)訓(xùn)練好的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，利用MATLAB線性規(guī)劃最優(yōu)算法求解可靠度指標(biāo)β，則結(jié)構(gòu)可靠度為Pr=Φ(β)。

3 算例分析

3.1 工程背景

以某大跨度斜拉橋?yàn)楣こ瘫尘?，該橋梁為雙塔雙索面半漂浮體系斜拉橋，其橋跨布置為(181.9+450+181.9)m，主橋全長(zhǎng)為813.8 m。索塔處主梁以橫向抗風(fēng)支座及豎向支座為邊界，并在各塔梁支座縱向處設(shè)置2個(gè)粘滯性阻尼器；過(guò)渡墩處通過(guò)墩頂豎向支座對(duì)主梁進(jìn)行約束。主橋斜拉橋橋型立面布置見(jiàn)圖1。斜拉橋主梁為流線型扁平鋼箱梁(正交異性橋面板),如圖2所示；主梁中心線處截面梁高為3 m，全橋梁寬均為30.5 m，主梁采用Q345D鋼材，共分為17個(gè)吊裝節(jié)段。采用高強(qiáng)預(yù)應(yīng)力鋼絞線(抗拉強(qiáng)度為1 860 MPa)作為斜拉索，斜拉索標(biāo)準(zhǔn)索距為12 m，加密區(qū)索距為5 m。

圖1 斜拉橋橋型布置(單位： cm)

圖2 斜拉橋橫斷面布置(單位：cm)

利用通用有限元程序建立斜拉橋有限元模型。主梁建模方式采用單主梁魚(yú)骨刺模式，主梁?jiǎn)卧獮锽EAM4單元，剛臂采用MPC184剛性梁?jiǎn)卧M。索塔為BEAM188單元，斜拉索則采用LINK10僅受拉桿單元進(jìn)行模擬。為考慮斜拉索結(jié)構(gòu)的垂度效應(yīng)，在計(jì)算分析模型中引入Enrst通用公式來(lái)修正斜拉索的彈性模量。斜拉橋有限元模型見(jiàn)圖3。

圖3 有限元模型圖

3.2 隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)分析

為了快速有效得到斜拉橋隨機(jī)地震響應(yīng)，本文采取直接求解運(yùn)動(dòng)方程的虛擬激勵(lì)法[12]。即通過(guò)在結(jié)構(gòu)有限元模型中各支點(diǎn)處施加大質(zhì)量塊(本文采用mass21質(zhì)量單元施加，質(zhì)量為結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量的106倍)，使得支點(diǎn)處質(zhì)量矩陣幾乎占據(jù)結(jié)構(gòu)總質(zhì)量矩陣的全部貢獻(xiàn)，從而保證支點(diǎn)處的響應(yīng)加速度等于輸入的地震加速度，該方法可大大簡(jiǎn)化虛擬激勵(lì)荷載的構(gòu)造和輸入工作[13]。

對(duì)于大跨度斜拉橋結(jié)構(gòu)，其自振周期長(zhǎng)、低頻成分多，可采用杜修力模型作為地震加速度功率譜輸入模型，從而克服柔性結(jié)構(gòu)低頻振動(dòng)能量過(guò)大造成奇異點(diǎn)的缺陷問(wèn)題。杜修力模型表達(dá)式為：

(13)

式中：S0表示白譜強(qiáng)度；ωg表示場(chǎng)地土層阻尼比；ξg表示場(chǎng)地土層卓越頻率；D表示加速度脈沖寬度。

該橋所在地區(qū)地震基本烈度為Ⅶ度，地震峰值加速度為0.05 g，反應(yīng)譜特征周期為0.35 s。根據(jù)文獻(xiàn)[14]可以確定杜修力模型參數(shù)如下：S0=17.26 cm2/s3，D=0.011 4，ω0=1.83，ωg=13.03，ωg=0.97，Tg=13.66。進(jìn)行三維地震聯(lián)合輸入時(shí)，X、Y、Z等3個(gè)方向的加速度輸入比值為1∶0.85∶0.65。圖4為隨機(jī)地震激勵(lì)加速度功率譜輸入曲線[2]。

圖4 隨機(jī)地震加速度功率譜曲線

本文在計(jì)算隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)時(shí)，采用多維多點(diǎn)隨機(jī)地震輸入方式[13]。進(jìn)行主塔動(dòng)力可靠度分析時(shí)，考慮了大橋在地震激勵(lì)、恒載和活載作用下3種荷載工況。當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)取其均值時(shí)，各工況下主塔響應(yīng)如圖5～圖7所示。

根據(jù)圖5～圖7可知，主塔縱向彎矩響應(yīng)隨塔高增大而減小，本文選取塔底、下橫梁處及上橫梁處索塔截面為主塔動(dòng)力可靠度分析的目標(biāo)截面。

圖5 隨機(jī)地震作用下主塔彎矩響應(yīng)均方根

圖6 恒載作用下主塔彎矩

圖7 活載作用下主塔彎矩包絡(luò)圖

3.3 主塔動(dòng)力可靠度分析

選取主塔混凝土彈性模量、容重、抗壓強(qiáng)度和阻尼比作為結(jié)構(gòu)隨機(jī)參數(shù)[6]，其統(tǒng)計(jì)特性見(jiàn)表1。根據(jù)第3節(jié)所述分析步驟，對(duì)主塔關(guān)鍵截面承載力進(jìn)行考慮雙重隨機(jī)性的動(dòng)力可靠度分析。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過(guò)程表現(xiàn)出較快的擬合速度，本試驗(yàn)經(jīng)過(guò)10次訓(xùn)練后便達(dá)到了設(shè)定的目標(biāo)精度，見(jiàn)圖8。主塔關(guān)鍵截面動(dòng)力可靠度計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

表1 結(jié)構(gòu)隨機(jī)參數(shù)統(tǒng)計(jì)特性表彈性模量/MPa容重/(kN·m-3)阻尼比抗拉(壓)強(qiáng)度/MPa均值2.05×1057 8500.05345變異系數(shù)0.150.20.20.1分布形式正態(tài)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布正態(tài)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布

圖8 訓(xùn)練誤差圖

表2 主塔截面動(dòng)力可靠度計(jì)算結(jié)果截面RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)面法訓(xùn)練次數(shù)/次有限元計(jì)算次數(shù)/次可靠度值迭代次數(shù)/次有限元計(jì)算次數(shù)/次可靠度值誤差/%塔底10254.926665.011.80下橫梁處索塔12254.769994.662.15上橫梁處索塔10255.227775.474.57

表2給出了采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)面算法計(jì)算得到的主塔關(guān)鍵截面承載能力動(dòng)力可靠度。結(jié)果表明，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)面法計(jì)算結(jié)果的差值均在5%以內(nèi)，但前者所需的有限元計(jì)算次數(shù)遠(yuǎn)少于后者，說(shuō)明RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法在保證精度的同時(shí)，具有更快的擬合速度，對(duì)于實(shí)際工程復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力可靠度分析是可行的。同時(shí)，主塔關(guān)鍵截面承載能力動(dòng)力可靠度均大于4，說(shuō)明該橋主塔有較好的抗震性能和強(qiáng)度儲(chǔ)備。

4 結(jié)論

本文在結(jié)構(gòu)靜力可靠度功能函數(shù)建立方式的基礎(chǔ)上進(jìn)行了拓展，推導(dǎo)出了在隨機(jī)地震作用下結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度分析的功能函數(shù)。通過(guò)MATLAB生成隨機(jī)參數(shù)序列并進(jìn)行隨機(jī)地震響應(yīng)有限元求解。以響應(yīng)結(jié)果作為訓(xùn)練樣本，引入RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法對(duì)功能函數(shù)進(jìn)行擬合。最后采用線性規(guī)劃的方法替代傳統(tǒng)JC法求解可靠度指標(biāo)，避開(kāi)了求解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一階偏導(dǎo)這一難題。計(jì)算結(jié)果表明：RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)只需較少的訓(xùn)練樣本便能達(dá)到BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同樣的計(jì)算精度，說(shuō)明RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有更快的擬合速度，對(duì)復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)引入動(dòng)力可靠度分析具有重要意義。