帶有一般非線性項的分數(shù)階薛定諤方程基態(tài)解的存在性

何毅，陳夢若，楊占英

（中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，武漢 430074）

1 相關(guān)介紹

考慮以下分數(shù)階薛定諤方程：

其中m>0，N>2s，(-Δ)s，s∈(0，1)是分數(shù)階拉普拉斯算子，f：R→R是連續(xù)函數(shù).為了找到正解，假設(shè)當(dāng)t<0時，f(t)=0.此外，需要以下條件：

注意到，對于s=1的情形，條件（f1）-（f3）最早是由文獻［1］引入的.這些假設(shè)可以看作是由著名的Berestycki-Lions型條件［2-3］到具有臨界增長的分數(shù)階薛定諤方程的推廣.

方程（1）是許多物理現(xiàn)象的模型，例如相變、守恒定律，特別是分數(shù)階量子力學(xué)等［4］.方程（1）由文獻［5-6］提出，是經(jīng)典非線性薛定諤方程s=1的推廣，其中量子路徑的布朗運動被Levy擴散過程替代.更多的物理背景參考文獻［7］.

近年來，分數(shù)階薛定諤方程的研究吸引了眾多數(shù)學(xué)家的廣泛關(guān)注.文獻［8-10］研究了分數(shù)階薛定諤方程的自由邊界問題，得到了一些正則性估計.文獻［11-12］研究了全空間中分數(shù)階薛定諤方程解的存在性、唯一性、對稱性、正則性、極大值原理和定性性質(zhì).

注意到在條件（f1）~（f3）下，沒有關(guān)于分數(shù)階薛定諤方程正基態(tài)解存在性的結(jié)果.

為了處理非局部問題（1），本文利用文獻［13］的延拓方法研究相應(yīng)的延拓問題：

對應(yīng)的泛函為：

受文獻［14］的啟發(fā)，將一般極小極大原理（文獻［15］的定理2.8）應(yīng)用于復(fù)合泛函：

構(gòu)造有界的(PS)cm序列且當(dāng)n→∞時，有Pm(ωn)→0，其中cm是泛函Im的山路值，并且Pm(ω)=0是方程（2）的Pohozaev恒等式.運用標(biāo)準(zhǔn)的集中緊的討論，得到方程（2）基態(tài)解的存在性.

2 預(yù)備知識

分數(shù)階Sobolev空間Hs(RN)定義為：

對于N>2s，從文獻［17］的引理1可以知道：對于連續(xù)地嵌入到Lp(RN)中.

算子(-Δ)s(00}中通過Dirichlet-Neumann映射將方程（1）轉(zhuǎn)化為一個局部問題.對于u∈Ds(RN)，問題

的解ω∈X()稱為u的s-調(diào)和擴張，記為ω=Es(u).s-調(diào)和擴張和分數(shù)階拉普拉斯算子關(guān)于Poisson核有明確的表達式：

定 義Xs(RN+1+)是關(guān) 于 范 數(shù)的完備化空間.由文獻［19］知，映射Es(?)是Ds(RN)和Xs()之間的等距映射，即對ω=Es(u)，有：

另一方面，對于函數(shù)ω∈Xs()，將它在RN×{0}上 的跡記 為u(x)：=Tr(ω)=ω(x，0)，并 且跡算 子滿足：

以下的引理1源引自文獻［19］定理2.1.

引理1對任意的ω∈Xs()，有成立，其中u：=Tr(ω).最 佳 常 數(shù) 取 精 確 值S(s，N)=，并且對于δ>0和ωδ=Es(uδ)，當(dāng)uδ(x)=δ(N-2s)2(|x|2+δ2)-(N-2s)2時，S(s，N)可以達到.

3 主要結(jié)果及其證明

由文獻［20-21］可知，如果ω∈X1，s()是方程（2）的弱解，則下面的Pohozaev恒等式成立：

本文的主要結(jié)果是：

定理1假設(shè)非線性函數(shù)f滿足條件（f1）-（f3）.如果或者2s0，方程（1）有正的基態(tài)解.此外，對于充分大的λ>0，如果2s

在證明定理1之前，先給出幾個引理：

引理2Im具有山路定理的幾何結(jié)構(gòu)，即：

（i）存在ρ0，α0>0，使得對所有的

（ii）存在ω0∈X1，s()，使得Im(ω0)<0.

證明（i）由條件（f1）和（f2）可知，對?δ>0，?Cδ>0，使得：

在（3）式 中 取δ=m4，從 引 理1中 得 到：然后令ρ0，α0>0充分小，（i）成立；

（ii）對R>0，T>0，定義：

因此定義Im的山路值為：

其中：

由引理2的（i），得到cm>0.此外，記：

{0}是方程(2)的非平凡解}.

接下來，將為能量值趨于cm的泛函Im構(gòu)造（PS）序列，使其滿足當(dāng)n→∞時，Pm(ωn)→0.

命題1存在中的序列使得當(dāng)n→∞時，

證明定義映射以及(x，y)∈對任意泛函Im° Φ為：

其中：

在文獻［15］定理2.8中設(shè)ε=εn：=1/n2，δ=δn：=1/n，則可知（7）式、（8）式是文獻［15］定理2.8（a）和（c）的直接結(jié)論.由（4）式和（5）式，對于ε=εn：=1/n2，存在γn∈Γm，使得：

對任意的(h，ω)∈R×X1，s()，有：(Im° Φ)′(θn，vn)，(h，ω)=

在（10）式中取h=1，ω=0，有：

對任意v∈X1，s()，設(shè)（10）式中的ω(x，y)=v(eθnx，eθny)，h=0，由（9）式得到：

在（7）式、（11）式和（12）式中令ωn：=Φ(θn，vn)，得到（6）式.

引理3在X1，s()中，滿足（6）式的任意序列是有界的.

證 明由（6）式，有：cm+ο(1)=Im(ωn)-因此可以得到的上界，又由引理1，可知{ωn(x，0)}在中有界，由（3）式和（6）式可知：

對于山路值cm，有以下估計：

引理4如果或者2s0，cm<此 外，如 果2s0，能得到相同的結(jié)論.

證明設(shè)φ0∈C∞(R+)滿足：

且在引理1中，ωδ表示uδ的s-調(diào)和擴張，記：

由文獻［22-23］可知：

且對任意p∈[2，2*s)，

由條件（f3）：

由（13）式和（14）式知，對于充分小的δ>0，gδ(t)有唯一的臨界點tδ>0，這個臨界點對應(yīng)于其最大值點.因此，由g′δ(t)=0得到：

由（13）式和（14）式知：

因此可以得到：

由（15）式和（16）式，有：

接下來，區(qū)分以下情況：

（i）如果N>4s，則q>2>N(N-2s)，由（14）式和（17）式，得到：

由(2N-(N-2s)q)/2<2s<(N-2s)，令δ>0充分小，得出了結(jié)論.

（ii）如果

N=4s，則q>2=N(N-2s)，由（14）式和（17）式，得到：

由于4s-sq<2s，令δ>0充分小，得出了結(jié)論.

（iii）如果2s

如果4s(N-2s)(2N-(N-2s)q)/2，令δ>0充分小，得出了結(jié)論.如果N/(N-2s)(2N-(q+2)(N-2s))/2>0，當(dāng)δ>0充分小時，仍可得出結(jié)論.

（iv）如 果2s

由 于(N-2s)2s-(N/2)，令δ>0充分小，可以得出結(jié)論.

（v）如果2s

選取λ=δ-θ且θ>(q-2)(N-2s)2，令δ>0充分小，可以得出結(jié)論.

引理5存在序列以及R>0，β>0，使得在（6）式中已經(jīng)給出.

證明假設(shè)引理結(jié)論不成立，根據(jù)文獻［4］的引理2.2，可以得出：

當(dāng)n→∞時，對2

設(shè)l≥0，使得：

由引理1可知：

讓上式中的n→∞，得到l≥(ksS(s，N))N(2s)，又由，這與引理4相矛盾.

定理1的證明設(shè)是（6）式中給出的序列，記是引理5中給出的序列.由引理3和引理5可知，存在的子序列，仍記為它本身，以及存在使得：

并且?滿足方程（2）.因此：

由于：

存 在 充 分 大 的T0>0，使 得Im((T0))<0，并 且Im((t))在t=1處達到嚴(yán)格的全局最大值.由cm的定義知：Im()≥cm.由于是任意的，可知bm≥cm.因 此 從（21）式 得 出 結(jié) 論：Im(?)=cm=bm并 且(?)=0.如文獻［24］命題4.1.1那樣討論，可以得出?∈L∞(RN).由于?是非負的，并且是非平凡的，f是連續(xù)的，應(yīng)用文獻［11］引理4.9的Harnack不等式，可以得出?是正的，因此，u(x)：=?(x，0)是方程（1）的正基態(tài)解.