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何毅,陳夢(mèng)若,楊占英
(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,武漢 430074)
考慮以下分?jǐn)?shù)階薛定諤方程:
其中m>0,N>2s,(-Δ)s,s∈(0,1)是分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子,f:R→R是連續(xù)函數(shù).為了找到正解,假設(shè)當(dāng)t<0時(shí),f(t)=0.此外,需要以下條件:
注意到,對(duì)于s=1的情形,條件(f1)-(f3)最早是由文獻(xiàn)[1]引入的.這些假設(shè)可以看作是由著名的Berestycki-Lions型條件[2-3]到具有臨界增長(zhǎng)的分?jǐn)?shù)階薛定諤方程的推廣.
方程(1)是許多物理現(xiàn)象的模型,例如相變、守恒定律,特別是分?jǐn)?shù)階量子力學(xué)等[4].方程(1)由文獻(xiàn)[5-6]提出,是經(jīng)典非線性薛定諤方程s=1的推廣,其中量子路徑的布朗運(yùn)動(dòng)被Levy擴(kuò)散過(guò)程替代.更多的物理背景參考文獻(xiàn)[7].
近年來(lái),分?jǐn)?shù)階薛定諤方程的研究吸引了眾多數(shù)學(xué)家的廣泛關(guān)注.文獻(xiàn)[8-10]研究了分?jǐn)?shù)階薛定諤方程的自由邊界問(wèn)題,得到了一些正則性估計(jì).文獻(xiàn)[11-12]研究了全空間中分?jǐn)?shù)階薛定諤方程解的存在性、唯一性、對(duì)稱性、正則性、極大值原理和定性性質(zhì).
注意到在條件(f1)~(f3)下,沒(méi)有關(guān)于分?jǐn)?shù)階薛定諤方程正基態(tài)解存在性的結(jié)果.
為了處理非局部問(wèn)題(1),本文利用文獻(xiàn)[13]的延拓方法研究相應(yīng)的延拓問(wèn)題:
對(duì)應(yīng)的泛函為:
受文獻(xiàn)[14]的啟發(fā),將一般極小極大原理(文獻(xiàn)[15]的定理2.8)應(yīng)用于復(fù)合泛函:
構(gòu)造有界的(PS)cm序列且當(dāng)n→∞時(shí),有Pm(ωn)→0,其中cm是泛函Im的山路值,并且Pm(ω)=0是方程(2)的Pohozaev恒等式.運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)的集中緊的討論,得到方程(2)基態(tài)解的存在性.
分?jǐn)?shù)階Sobolev空間Hs(RN)定義為:
對(duì)于N>2s,從文獻(xiàn)[17]的引理1可以知道:對(duì)于連續(xù)地嵌入到Lp(RN)中.
算子(-Δ)s(00}中通過(guò)Dirichlet-Neumann映射將方程(1)轉(zhuǎn)化為一個(gè)局部問(wèn)題.對(duì)于u∈Ds(RN),問(wèn)題
的解ω∈X()稱為u的s-調(diào)和擴(kuò)張,記為ω=Es(u).s-調(diào)和擴(kuò)張和分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子關(guān)于Poisson核有明確的表達(dá)式:
定 義Xs(RN+1+)是關(guān) 于 范 數(shù)的完備化空間.由文獻(xiàn)[19]知,映射Es(?)是Ds(RN)和Xs()之間的等距映射,即對(duì)ω=Es(u),有:
另一方面,對(duì)于函數(shù)ω∈Xs(),將它在RN×{0}上 的跡記 為u(x):=Tr(ω)=ω(x,0),并 且跡算 子滿足:
以下的引理1源引自文獻(xiàn)[19]定理2.1.
引理1對(duì)任意的ω∈Xs(),有成立,其中u:=Tr(ω).最 佳 常 數(shù) 取 精 確 值S(s,N)=,并且對(duì)于δ>0和ωδ=Es(uδ),當(dāng)uδ(x)=δ(N-2s)2(|x|2+δ2)-(N-2s)2時(shí),S(s,N)可以達(dá)到.
由文獻(xiàn)[20-21]可知,如果ω∈X1,s()是方程(2)的弱解,則下面的Pohozaev恒等式成立:
本文的主要結(jié)果是:
定理1假設(shè)非線性函數(shù)f滿足條件(f1)-(f3).如果或者2s 在證明定理1之前,先給出幾個(gè)引理: 引理2Im具有山路定理的幾何結(jié)構(gòu),即: (i)存在ρ0,α0>0,使得對(duì)所有的 (ii)存在ω0∈X1,s(),使得Im(ω0)<0. 證明(i)由條件(f1)和(f2)可知,對(duì)?δ>0,?Cδ>0,使得: 在(3)式 中 取δ=m4,從 引 理1中 得 到:然后令ρ0,α0>0充分小,(i)成立; (ii)對(duì)R>0,T>0,定義: 因此定義Im的山路值為: 其中: 由引理2的(i),得到cm>0.此外,記: {0}是方程(2)的非平凡解}. 接下來(lái),將為能量值趨于cm的泛函Im構(gòu)造(PS)序列,使其滿足當(dāng)n→∞時(shí),Pm(ωn)→0. 命題1存在中的序列使得當(dāng)n→∞時(shí), 證明定義映射以及(x,y)∈對(duì)任意泛函Im° Φ為: 其中: 在文獻(xiàn)[15]定理2.8中設(shè)ε=εn:=1/n2,δ=δn:=1/n,則可知(7)式、(8)式是文獻(xiàn)[15]定理2.8(a)和(c)的直接結(jié)論.由(4)式和(5)式,對(duì)于ε=εn:=1/n2,存在γn∈Γm,使得: 對(duì)任意的(h,ω)∈R×X1,s(),有:(Im° Φ)′(θn,vn),(h,ω)= 在(10)式中取h=1,ω=0,有: 對(duì)任意v∈X1,s(),設(shè)(10)式中的ω(x,y)=v(eθnx,eθny),h=0,由(9)式得到: 在(7)式、(11)式和(12)式中令ωn:=Φ(θn,vn),得到(6)式. 引理3在X1,s()中,滿足(6)式的任意序列是有界的. 證 明由(6)式,有:cm+ο(1)=Im(ωn)-因此可以得到的上界,又由引理1,可知{ωn(x,0)}在中有界,由(3)式和(6)式可知: 對(duì)于山路值cm,有以下估計(jì): 引理4如果或者2s 證明設(shè)φ0∈C∞(R+)滿足: 且在引理1中,ωδ表示uδ的s-調(diào)和擴(kuò)張,記: 由文獻(xiàn)[22-23]可知: 且對(duì)任意p∈[2,2*s), 由條件(f3): 由(13)式和(14)式知,對(duì)于充分小的δ>0,gδ(t)有唯一的臨界點(diǎn)tδ>0,這個(gè)臨界點(diǎn)對(duì)應(yīng)于其最大值點(diǎn).因此,由g′δ(t)=0得到: 由(13)式和(14)式知: 因此可以得到: 由(15)式和(16)式,有: 接下來(lái),區(qū)分以下情況: (i)如果N>4s,則q>2>N(N-2s),由(14)式和(17)式,得到: 由(2N-(N-2s)q)/2<2s<(N-2s),令δ>0充分小,得出了結(jié)論. (ii)如果 N=4s,則q>2=N(N-2s),由(14)式和(17)式,得到: 由于4s-sq<2s,令δ>0充分小,得出了結(jié)論. (iii)如果2s 如果4s(N-2s) (iv)如 果2s 由 于(N-2s) (v)如果2s 選取λ=δ-θ且θ>(q-2)(N-2s)2,令δ>0充分小,可以得出結(jié)論. 引理5存在序列以及R>0,β>0,使得在(6)式中已經(jīng)給出. 證明假設(shè)引理結(jié)論不成立,根據(jù)文獻(xiàn)[4]的引理2.2,可以得出: 當(dāng)n→∞時(shí),對(duì)2 設(shè)l≥0,使得: 由引理1可知: 讓上式中的n→∞,得到l≥(ksS(s,N))N(2s),又由,這與引理4相矛盾. 定理1的證明設(shè)是(6)式中給出的序列,記是引理5中給出的序列.由引理3和引理5可知,存在的子序列,仍記為它本身,以及存在使得: 并且?滿足方程(2).因此: 由于: 存 在 充 分 大 的T0>0,使 得Im((T0))<0,并 且Im((t))在t=1處達(dá)到嚴(yán)格的全局最大值.由cm的定義知:Im()≥cm.由于是任意的,可知bm≥cm.因 此 從(21)式 得 出 結(jié) 論:Im(?)=cm=bm并 且(?)=0.如文獻(xiàn)[24]命題4.1.1那樣討論,可以得出?∈L∞(RN).由于?是非負(fù)的,并且是非平凡的,f是連續(xù)的,應(yīng)用文獻(xiàn)[11]引理4.9的Harnack不等式,可以得出?是正的,因此,u(x):=?(x,0)是方程(1)的正基態(tài)解.(2N-(N-2s)q)/2,令δ>0充分小,得出了結(jié)論.如果N/(N-2s)
(2N-(q+2)(N-2s))/2>0,當(dāng)δ>0充分小時(shí),仍可得出結(jié)論.