一類帶有p-Laplacian算子的分數(shù)階積分邊值問題的正解與逐次迭代方法

王文霞, 段佳艷, 郭曉珍

(太原師范學院數(shù)學系, 山西 晉中 030619)

1.引言

由于分數(shù)階微積分在物理學、生物學及工程學等眾多領(lǐng)域中的廣泛應用, 近年來分數(shù)階微分方程理論得到了廣泛而深入的研究[1?3].作為非牛頓力學、彈性理論等諸多研究領(lǐng)域中的重要數(shù)學模型，帶有p-Laplacian算子的分數(shù)階微分方程受到越來越多的關(guān)注[4?6].文[7]研究了如下帶有p-Laplacian算子的Riemann-Liouville型分數(shù)階邊值問題

其中2< α ≤3, 1< β ≤2, 0< ξ <1, λ ≥0,φp(s) =|s|p?2s,p >1.應用錐上的不動點理獲得了上述邊值問題至少存在一個和兩個正解的充分條件.文[8]運用單調(diào)迭代技術(shù)研究了如下帶有p-Laplacian算子的Riemann-Liouville型分數(shù)階微分方程邊值問題

正解的存在性, 其中1<α,γ ≤2,β >0,1+β ≤α, 0<ξ,η <1,φp(s)=|s|p?2s,p>1.

受上述文獻的啟迪, 本文將研究如下帶有p-Laplacian算子并且非線性項f中含有分數(shù)階導數(shù)項的分數(shù)階微分方程的積分邊值問題(簡記為BVP)

眾所周知, 使用單調(diào)迭代方法研究邊值問題解的存在性時, 需要以邊值問題的上下解作為迭代序列的初值.特別的, 當使用該方法研究帶有p-Laplacian算子且非線性項f中含有分數(shù)階導數(shù)項的分數(shù)階邊值問題解的存在性時, 所獲結(jié)論中通常都會把“邊值問題存在上解以及下解”作為假設條件, 見文[9-10]及其參考文獻.但是本文并不需要這樣的假設條件.

2.預備知識

定義2.1[11]函數(shù)y:(0,+∞)→R的α>0 階Riemann-Liouville分數(shù)階積分為

只要上式右端在(0,+∞)有定義; 連續(xù)函數(shù)y: (0,+∞)→R的α >0階Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)為

只要上式右端在(0,+∞)有定義, 其中n=min{m ∈Z|m ≥α},Γ(α)為Gamma函數(shù).

引理2.1[11]設α>0,u ∈C(0,1)∩L(0,1),(0,1)∩L(0,1),則

其中n=min{m ∈Z|m ≥α},ci ∈R,i=1,2,··· ,n.

引理2.2設y ∈C[0,1], 則分數(shù)階微分方程邊值問題

有唯一解

其中

證由以及引理2.1可得,等價于

進而等價于

可得

于是BVP(2.1)的唯一解為

證畢.

為了方便，記

引理2.3引理2.2中的G1(t,s)與G(t,s)滿足如下性質(zhì)：

(i)G(t,s)在[0,1]×[0,1]上連續(xù);

(ii) 0≤G1(t,s)≤t,s ∈[0,1];

(iii) 0≤G(t,s)≤γtα?1≤γ, t,s ∈[0,1].

證由G(t,s)和G1(t,s)的表達式易知結(jié)論(i)和(ii)成立.

以下證明結(jié)論(iii).對于任意的t,s ∈[0,1], 顯然有G(t,s)≥0.另一方面, 由結(jié)論(ii)可得

故結(jié)論(iii)成立.證畢.

3.主要結(jié)果

設X={u ∈C[0,1][0,1]}.對任意的u ∈X, 定義其范數(shù)為

容易證明X是為Banach空間.再令

則P是X中的錐.定義算子T如下：對任意的u ∈P,

根據(jù)引理2.2的證明容易看到

引理3.1算子T:P →P是全連續(xù)算子.

證根據(jù)引理2.3及函數(shù)h(t),f(t,x)的非負連續(xù)性容易證明T:P →P是連續(xù)算子.以下證明T為緊算子.為此設Ω是錐P中的有界集.注意到f,h的非負連續(xù)性,于是存在正數(shù)W >0使得

進而對任意的u ∈Ω, 由引理2.3有

由此可知T(Ω)和)|u ∈Ω}皆為C[0,1]中一致有界的子集合.

再證T(Ω)和(Tu)|u ∈Ω}皆為C[0,1]中等度連續(xù)的子集合.對任意的0≤t1

既然G(t,s)在[0,1]×[0,1]上連續(xù)，從而一致連續(xù)性，故T(Ω)為C[0,1]中等度連續(xù)的子集合.此外,

考慮兩種情況：

(i) 當0

進而有

(ii) 當q ?1≥1時, 根據(jù)拉格朗日中值定理可知, 存在ξ ∈(t1,t2)使得

進而有

這樣, 由(3.1)式和(3.2)式可知(Tu)|u ∈Ω}亦為C[0,1]中等度連續(xù)的子集合.

既然集合T(Ω)和(Tu)|u ∈Ω}都是一致有界且等度連續(xù)的，根據(jù)Arzela-Ascoli定理可知T(Ω)和)|u ∈Ω}皆為C[0,1]中的相對緊集，進而可知T是全連續(xù)算子.證畢.

記

定理3.1若以下兩個條件成立：

(H1)f(t,0,0)在[0,1]上不恒為零, 且存在a>0, 使得

(H2) 對任意的0≤t ≤1,0≤u1≤u2≤a,0≤|v1|≤|v2|≤a有f(t,u1,v1)≤f(t,u2,v2).則BVP(1.1)存在正解v?及u?, 且滿足0<‖v?‖≤‖u?‖≤a, 以及

其中

滿足

證令Pa={u ∈P | ‖u‖≤a},則對任意的u ∈Pa有

于是由條件(H1)及(H2)可得

進而由引理2.3有

所以‖Tu‖≤a, 此即

取

則

故

此外, 根據(jù)引理2.3, 條件(H1), (H2)及(3.7)式得

此即

以此類推

再注意到

于是由引理3.1知{un |n=1,2,···}是中的列緊集, 于是存在u?∈使得

進而由算子T的連續(xù)性以及un=Tun?1可得u?=Tu?, 即u?是算子T在中的不動點.此外, 由引理2.2可知,x ∈P是T的不動點當且僅當x為BVP(1.1)在P中的解, 故u?是BVP(1.1)的非負解.既然f(t,0,0)在[0,1]上不恒為零,h(t)在[0,1]上大于零, 于是u(t)>0,t ∈(0,1),即u?是BVP(1.1)的正解, 且滿足0<‖u?‖≤a以及(3.4)式.

再取v0(t)≡0, 顯然v0令

進而由(H2)得

以此類推

此即(3.3)式成立.

此外, 注意到

有

以此類推

由(3.8)-(3.12)式可知, 迭代序列{un},{vn}及BVP(1.1)的正解u?和v?還滿足(3.5)式和(3.6)式,進而有0<‖v?‖≤‖u?‖≤a.證畢.

4.例

考慮如下帶有p-Laplacian算子的分數(shù)階微分方程邊值問題

此即在BVP(1.1)中,p=3,α=η=1,

計算可得

選取a=32, 則有

故條件(H1)成立.此外由f的表達式易知, 對任意的0≤t ≤1,0≤u1≤u2≤32,0≤|v1| ≤|v2| ≤32 有f(t,u1,v1)≤f(t,u2,v2), 此即條件(H2)成立.于是根據(jù)定理3.1, BVP(4.1)存在正解v?及u?滿足0<‖v?‖≤‖u?‖≤32, 以及

其中

(n=1,2,···) 滿足定理3.1中的(3.5)式和(3.6)式.