基于線性回歸理論的數(shù)控機(jī)床精度檢測(cè)及誤差補(bǔ)償分析*

楊秀芝 蔣宇輝 王興東 王子涵

(①湖北理工學(xué)院智能輸送技術(shù)與裝備湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 黃石435003；②武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430081)

隨著數(shù)控機(jī)床使用年限的不斷增長(zhǎng)，機(jī)床的各運(yùn)動(dòng)軸精度會(huì)不可避免地降低。數(shù)控機(jī)床的精度下降由多方面因素組成，比如各運(yùn)動(dòng)軸的摩擦造成的磨損、刀具與工件之間的相對(duì)位置改變以及因地面產(chǎn)生的微小振動(dòng)等都會(huì)使數(shù)控機(jī)床的精度產(chǎn)生比較大的影響。

黃明輝等[1]提出利用光柵尺誤差測(cè)量平臺(tái)進(jìn)行精度檢測(cè)并通過(guò)光柵尺數(shù)顯系統(tǒng)對(duì)測(cè)量誤差進(jìn)行修正。李建東[2]利用激光跟蹤儀進(jìn)行精度檢測(cè)，使用數(shù)控系統(tǒng)的空間誤差補(bǔ)償功能補(bǔ)償相關(guān)誤差。楊閃閃等[3]提出基于徑向基函數(shù)法對(duì)數(shù)控機(jī)床進(jìn)行檢測(cè)，采用德國(guó)M+P振動(dòng)設(shè)備提取樣本數(shù)據(jù)，構(gòu)建機(jī)床空間位姿與固有頻率的表達(dá)式并通過(guò)計(jì)算模型質(zhì)量指標(biāo)提高機(jī)床加工精度。Xiao L等[4]提出利用基于單目視覺(jué)的方法進(jìn)行檢測(cè)，利用先驗(yàn)信息推導(dǎo)大范圍輪廓誤差，在數(shù)控機(jī)床上進(jìn)行了輪廓誤差檢測(cè)和補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)。張偉等[5]闡述了激光干涉儀、球桿儀、平面光柵、R-test和機(jī)器視覺(jué)等檢測(cè)方式對(duì)數(shù)控機(jī)床檢測(cè)的作用并分析，采用機(jī)器視覺(jué)技術(shù)對(duì)數(shù)控機(jī)床進(jìn)行誤差補(bǔ)償分析。涂怡蓉等[6]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)數(shù)控機(jī)床主軸建立熱評(píng)價(jià)模型并分析，構(gòu)建粒子群優(yōu)化加權(quán)樸素貝葉斯機(jī)床主軸熱評(píng)價(jià)模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)床主軸熱特性?xún)?yōu)化。Zhi H L等[7]提出一種數(shù)控機(jī)床進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能在線快速測(cè)試與評(píng)價(jià)方法，采用層次分析法對(duì)進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的誤差進(jìn)行評(píng)價(jià)并補(bǔ)償。張躍明[8]等采用螺距補(bǔ)償方法對(duì)齒輪磨床進(jìn)行精度檢測(cè)，并對(duì)機(jī)床進(jìn)行螺距補(bǔ)償以提高各軸精度。

本文提出運(yùn)用激光干涉儀基于線性回歸理論對(duì)數(shù)控機(jī)床進(jìn)行精度檢測(cè)與補(bǔ)償。采用科學(xué)的區(qū)間分割采集方法選取若干測(cè)量點(diǎn)位并進(jìn)行大量的數(shù)據(jù)采集與統(tǒng)計(jì)分析，計(jì)算每個(gè)點(diǎn)位的平均誤差形成誤差曲線圖[9]，基于Python軟件的pycharm集成開(kāi)發(fā)環(huán)境構(gòu)建sklearn線性擬合模型針對(duì)曲線圖采用一次性線性補(bǔ)償和多段式線性補(bǔ)償?shù)姆绞竭M(jìn)行誤差修正。

1 線性回歸理論概述

線性回歸理論又可叫做最小二乘法理論，是一種數(shù)據(jù)擬合技術(shù)，利用最小誤差尋求數(shù)據(jù)的最佳匹配函數(shù)，可以便捷地求得未知數(shù)據(jù)，起到預(yù)測(cè)作用，并且使預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差和達(dá)到最小，從而達(dá)到誤差擬合補(bǔ)償?shù)哪康模摲椒ㄖ饕\(yùn)用于曲線擬合問(wèn)題。

采集一系列數(shù)據(jù)(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xm,ym)并將其描繪到直角坐標(biāo)系中，若發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)都在一條直線附近時(shí)，那么令這條直線為式(1)：

(1)

(2)

式中：Q為關(guān)于預(yù)測(cè)方程中a、b的函數(shù)，此時(shí)將擬合函數(shù)代入式(1)得式(3)：

(3)

若使函數(shù)Q的取值最小，需要對(duì)函數(shù)Q分別對(duì)a、b求一階偏導(dǎo)數(shù)，且一階偏導(dǎo)后的值為0。即得式(4)和(5)：

(4)

(5)

接下來(lái)需要對(duì)參數(shù)a、b進(jìn)行變換求解，得到參數(shù)a、b關(guān)于x和y的表達(dá)式為式(6)和(7)：

(6)

(7)

2 實(shí)例研究與平臺(tái)建立

本文所研究的BF-850B立式高精度數(shù)控機(jī)床如圖1所示。

對(duì)于水平潛流人工濕地進(jìn)行研究，總結(jié)該種方案具備如下優(yōu)點(diǎn)：（1）該種方案是在充分利用濕地空間的基礎(chǔ)上，對(duì)于植物、微生物及基質(zhì)之間盡可能發(fā)揮協(xié)同作用，在此種技術(shù)背景下，其處理能力顯著強(qiáng)于表面流人工濕地系統(tǒng)；（2）該種方案下的污水流動(dòng)區(qū)間基本上是地面以下，保證了污水的保溫效果，尤其適合于寒冷區(qū)域污水處理；（3）該種方案具備較好的衛(wèi)生條件，因此可以被廣泛推廣應(yīng)用。

本文采用線性角錐反射鏡系統(tǒng)。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建步驟如下：(1)首先在對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上分別安裝光學(xué)鏡組中的干涉鏡和反光鏡。(2)固定三腳架使之水平,并將激光頭固定在三腳架上部。(3)調(diào)整激光頭,使激光干涉儀的光軸與機(jī)床移動(dòng)的軸線共線，保證反射回的光束進(jìn)入光學(xué)鏡中。(4)待激光預(yù)熱且穩(wěn)定后, 輸入相應(yīng)精度測(cè)量數(shù)據(jù)。(5)制定測(cè)量程序,根據(jù)測(cè)量的誤差判斷定位精度,誤差補(bǔ)償結(jié)束后再進(jìn)行多次精度測(cè)試,直到各部分參數(shù)都符合標(biāo)準(zhǔn)為止[9]，數(shù)控機(jī)床精度測(cè)量平臺(tái)如圖2所示。

根據(jù)國(guó)標(biāo)GB/T 18400.4-2010中關(guān)于機(jī)床定位精度和重復(fù)定位精度的判定準(zhǔn)則，可得單向定位精度的數(shù)學(xué)模型為式(8)和(9)：

單向重復(fù)定位精度為式(10)和(11)：

Ri↑=max[4si↑]

(10)

Ri↓=max[4si↓]

(11)

(12)

(13)

式中：j為循環(huán)次數(shù)；Pi為第i個(gè)點(diǎn)位的理論位置值；Pij、xij分別為第j次循環(huán)下第i個(gè)點(diǎn)位的實(shí)際位置和位置偏差。

3 實(shí)驗(yàn)過(guò)程與結(jié)果分析

基于對(duì)立式高精度數(shù)控機(jī)床精度檢測(cè)的研究，對(duì)其采用激光干涉儀基于線性回歸理論進(jìn)行檢測(cè)與補(bǔ)償。分別以數(shù)控機(jī)床X、Y、Z三軸為例闡述定位精度誤差檢測(cè)與補(bǔ)償?shù)木唧w過(guò)程[10]。

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建完成后，對(duì)數(shù)控機(jī)床誤差進(jìn)行檢測(cè)，由于X軸行程為800 mm，考慮到機(jī)床可靠性需設(shè)定部分余量，防止設(shè)備超出行程范圍造成損壞，故將10 mm處設(shè)為開(kāi)始位進(jìn)行測(cè)量，從10～790 mm內(nèi)每20 mm取一個(gè)點(diǎn)位進(jìn)行測(cè)量，共取40個(gè)點(diǎn)位。如圖3所示，每個(gè)點(diǎn)測(cè)量100次，同時(shí)分別采取運(yùn)行速度為15 mm/s、20 mm/s、30 mm/s以及40 mm/s進(jìn)行測(cè)量(除圖6為4種運(yùn)行速度測(cè)量誤差，其他圖表中的測(cè)量誤差數(shù)據(jù)均是運(yùn)行速度為15 mm/s情況下采集的)。

通過(guò)雷尼紹激光XL分析軟件平臺(tái)對(duì)采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析[11]。同理，Y軸和Z軸行程同為500 mm，同樣將10 mm處設(shè)為開(kāi)始位進(jìn)行測(cè)量，從10～490 mm內(nèi)每20 mm取一個(gè)點(diǎn)位進(jìn)行測(cè)量，共取25個(gè)點(diǎn)位，每個(gè)點(diǎn)測(cè)量100次，同樣分別采取運(yùn)行速度為15 mm/s、20 mm/s、30 mm/s以及40 mm/s進(jìn)行測(cè)量。由于要對(duì)每個(gè)測(cè)量點(diǎn)位測(cè)量多次，因此需對(duì)各個(gè)測(cè)量點(diǎn)位的測(cè)量誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并繪制誤差分布統(tǒng)計(jì)圖，檢驗(yàn)每個(gè)點(diǎn)位是否滿足正態(tài)分布，檢驗(yàn)結(jié)果表明誤差測(cè)量值符合正態(tài)分布曲線。

本文以X軸點(diǎn)位560 mm作為測(cè)量點(diǎn)，運(yùn)行速度為15 mm/s進(jìn)行測(cè)量。其分布圖如圖4所示。

完成各個(gè)測(cè)量點(diǎn)位正態(tài)分布檢驗(yàn)后，取每個(gè)點(diǎn)位的平均值作為初始數(shù)據(jù)擬合點(diǎn)位參考，并繪制誤差曲線圖，結(jié)果如圖5所示。

由圖5a和c可知，曲線圖中位置偏差隨著軸線距離的增加呈正向線性關(guān)系，在相應(yīng)范圍內(nèi)呈逐級(jí)遞增趨勢(shì)。由圖5b可知，曲線圖中位置偏差無(wú)明顯線性分布趨勢(shì)。采用4種不同運(yùn)行速度分別對(duì)點(diǎn)位進(jìn)行測(cè)量，且已覆蓋數(shù)控機(jī)床常規(guī)運(yùn)行速度范圍，測(cè)量結(jié)果如圖6所示，可以看到運(yùn)行速度對(duì)機(jī)床測(cè)量誤差影響幾乎可以忽略。

基于Python軟件的pycharm集成開(kāi)發(fā)環(huán)境構(gòu)建sklearn線性擬合模型。線性補(bǔ)償方式分為一次性線性補(bǔ)償和多段式線性補(bǔ)償。

一次性線性補(bǔ)償是指采用同一系數(shù)對(duì)所有在行程區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)位進(jìn)行補(bǔ)償，即X軸在0～780 mm行程內(nèi)對(duì)40個(gè)點(diǎn)位進(jìn)行一次性線性擬合，Y軸、Z軸在0～480 mm行程內(nèi)對(duì)25個(gè)點(diǎn)位進(jìn)行一次性線性擬合，線性擬合結(jié)果如圖7所示。通過(guò)sklearn線性擬合模型得到誤差修正公式。

X軸一次性線性補(bǔ)償誤差修正公式為式(14)：

ya=0.037 8xa+6.413 1

(14)

Y軸一次性線性補(bǔ)償誤差修正公式為式(15)：

yb=-0.011 4xb-8.420 1

(15)

Z軸一次性線性補(bǔ)償誤差修正公式為式(16)：

yc=0.049 8xc-4.831 7

(16)

多段式線性補(bǔ)償是將各軸全程根據(jù)其誤差特性分為若干個(gè)細(xì)分區(qū)間，對(duì)于無(wú)明顯呈線性分布曲線效果尤為突出，為避免造成劃分雜亂無(wú)序，區(qū)間分段主要根據(jù)每個(gè)誤差曲線實(shí)際走向進(jìn)行劃分，每個(gè)區(qū)間都有不同的補(bǔ)償系數(shù)，按所處區(qū)間的不同進(jìn)行單獨(dú)的線性補(bǔ)償。即X軸在0～780 mm行程內(nèi)對(duì)40個(gè)點(diǎn)位進(jìn)行區(qū)間分割，Y軸、Z軸在0～480 mm行程內(nèi)對(duì)25個(gè)點(diǎn)位進(jìn)行區(qū)間分割，本文基于實(shí)際數(shù)據(jù)形成的曲線圖將其分為4個(gè)區(qū)間[12]，線性擬合結(jié)果如圖8所示。通過(guò)sklearn線性擬合模型分別得到誤差修正公式。

X軸多段式線性補(bǔ)償誤差修正式為式(17)：

Y軸多段式線性補(bǔ)償誤差修正公式為式(18)：

Z軸多段式線性補(bǔ)償誤差修正公式為式(19)：

接下來(lái)在數(shù)控機(jī)床控制系統(tǒng)分別進(jìn)行一次性線性補(bǔ)償和多段式線性補(bǔ)償。線性補(bǔ)償流程如下:(1)通過(guò)劃分的補(bǔ)償區(qū)間生成誤差表(一次性線性補(bǔ)償只有一個(gè)區(qū)間)，將誤差補(bǔ)償數(shù)據(jù)依次輸入至數(shù)控機(jī)床M80B系統(tǒng)。(2)調(diào)整數(shù)控機(jī)床精度測(cè)量實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，啟動(dòng)機(jī)床，將激光干涉儀測(cè)量位移動(dòng)至參考零點(diǎn)。(3)通過(guò)機(jī)床運(yùn)行帶動(dòng)激光干涉儀測(cè)量位運(yùn)動(dòng)，判斷每個(gè)補(bǔ)償區(qū)間的位置，選取相對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差補(bǔ)償。(4)得到每個(gè)區(qū)間誤差補(bǔ)償后的數(shù)據(jù)并形成相應(yīng)曲線圖[13]。通過(guò)補(bǔ)償后曲線圖9可以看出，X軸一次性線性補(bǔ)償在0～780 mm測(cè)量范圍內(nèi)精度由4.853 1～35.025 0 μm提高至-2.472 1～0.736 3 μm；多段式線性補(bǔ)償在同樣區(qū)間范圍內(nèi)將相同精度提高至-1.364 1～0.484 0 μm；Y軸一次性線性補(bǔ)償在0～480 mm測(cè)量范圍內(nèi)精度由-14.425 0～-4.132 5 μm提高至-2.481 2～0.752 9 μm；多段式線性補(bǔ)償在同樣區(qū)間范圍內(nèi)將相同精度提高至-1.364 1～0.551 0 μm；Z軸一次性線性補(bǔ)償在0～480 mm測(cè)量范圍內(nèi)精度由-4.128 0～17.227 1 μm提高至-0.501 5～1.324 5 μm；多段式線性補(bǔ)償在同樣區(qū)間范圍內(nèi)將相同精度提高至-0.412 0～0.495 2 μm；且補(bǔ)償后誤差曲線靠近理想誤差曲線，可以明顯提高數(shù)控機(jī)床精度。

就本臺(tái)數(shù)控機(jī)床而言，一次性線性補(bǔ)償和多段式線性補(bǔ)償都使機(jī)床的精度有了明顯提升，補(bǔ)償后誤差曲線與理論誤差曲線基本同步，但兩種補(bǔ)償方式運(yùn)用的環(huán)境不同，本臺(tái)機(jī)床由于補(bǔ)償前數(shù)據(jù)基本呈線性分布[14]，因此一次性線性補(bǔ)償效果明顯，若補(bǔ)償前數(shù)據(jù)無(wú)明顯呈線性分布，則多段式線性補(bǔ)償效果會(huì)更佳。

由圖9a可知，一次性線性補(bǔ)償和多段式線性補(bǔ)償在0～400 mm行程內(nèi)對(duì)數(shù)控機(jī)床的精度都有著大幅度提高，二者補(bǔ)償后精度區(qū)別不大，而在400～780 mm，多段式線性補(bǔ)償效果明顯好于一次性線性補(bǔ)償；由圖9b和圖9c可知，多段式線性補(bǔ)償區(qū)間小于一次性線性補(bǔ)償[15]。通過(guò)以上結(jié)果可以推斷：當(dāng)行程較短且補(bǔ)償前曲線圖呈明顯線性分布時(shí)，一次性線性補(bǔ)償所需時(shí)間短，操作過(guò)程簡(jiǎn)單，為最優(yōu)方法。若行程超過(guò)一定距離會(huì)使不確定因素增多，同一補(bǔ)償系數(shù)的準(zhǔn)確度不高，或當(dāng)補(bǔ)償前曲線圖呈無(wú)規(guī)則分布或線性分布不明顯時(shí)多段式線性補(bǔ)償效果更佳。兩種線性補(bǔ)償方法和補(bǔ)償前誤差對(duì)比如圖10所示。

4 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)運(yùn)用激光干涉儀基于線性回歸理論對(duì)數(shù)控機(jī)床進(jìn)行精度檢測(cè)與補(bǔ)償，對(duì)各個(gè)測(cè)量點(diǎn)進(jìn)行了大量數(shù)據(jù)采集，分析了各個(gè)點(diǎn)位的數(shù)據(jù)特性，通過(guò)曲線圖采用一次性線性補(bǔ)償和多段式線性補(bǔ)償?shù)姆绞浇档蛿?shù)控機(jī)床的系統(tǒng)誤差并分析兩種方法的優(yōu)勢(shì)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明兩種方式對(duì)機(jī)床的系統(tǒng)誤差都有很好的補(bǔ)償作用。一次性線性補(bǔ)償將X軸精度由4.853 1～35.025 0 μm提高至-2.472 1～0.736 3 μm；將Y軸精度由-14.425 0～-4.132 5 μm提高至-2.481 2～0.752 9 μm；將Z軸精度由-4.128 0～17.227 1 μm提高至-0.501 5～1.324 5 μm；多段式線性補(bǔ)償將X軸精度提高至-1.364 1～0.484 0 μm；將Y軸精度提高至-1.364 1～0.551 0 μm；將Z軸精度提高至-0.412 0～0.495 2 μm?？梢愿鶕?jù)實(shí)際的機(jī)床誤差特性選取合適的方式進(jìn)行系統(tǒng)誤差補(bǔ)償。該研究方法對(duì)數(shù)控機(jī)床精度檢測(cè)與誤差補(bǔ)償具有實(shí)用性和時(shí)效性。對(duì)我國(guó)制造行業(yè)的發(fā)展及機(jī)床設(shè)備制造的提高具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。