距離觀測方程非線性平差的正則化共軛梯度法

張建霞，曲國慶，席換，王暉

(山東理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院，山東 淄博 255049)

距離觀測方程為非線性方程，解算該方法的傳統(tǒng)方法是基于線性化的近似方法[1-2]。對于GNSS定位，由于衛(wèi)星與待定點(diǎn)相距較遠(yuǎn)，非線性強(qiáng)度較弱，可以采用線性近似法進(jìn)行求解[3-4]；但水下定位的浮標(biāo)至水下待定點(diǎn)的觀測距離短，非線性強(qiáng)度較強(qiáng)，且由于浮標(biāo)位于水平面上，使得方程在Z方向上存在嚴(yán)重的病態(tài)性。對這種非線性強(qiáng)度較強(qiáng)且系數(shù)矩陣伴隨有病態(tài)問題的非線性方程，普通的線性近似已經(jīng)不能滿足其求解的要求，應(yīng)該根據(jù)非線性觀測方程病態(tài)或秩虧程度來選擇合適的數(shù)值算法[5-7]。

信賴域方法可用來求解無約束非線性最小二乘問題，但由于迭代過程中需求解若干信賴域子問題，導(dǎo)致計算過程較為復(fù)雜[8]。最速下降法對初始值要求不高，但當(dāng)接近極小值時，收斂速度很慢，容易發(fā)生鋸齒現(xiàn)象[9]。高斯-牛頓法在處理殘差小或非線性強(qiáng)度較低的函數(shù)模型時具有較好的數(shù)值收斂性，但該方法較為依賴初始值[10]。牛頓法在精確計算海森矩陣時需占用過多的計算空間，且對初值具有較強(qiáng)的依賴性[11]。共軛梯度法僅需利用一階導(dǎo)數(shù)信息，能避免牛頓法需要計算和存儲海森矩陣的缺點(diǎn)，所需存儲量小、收斂速度快、穩(wěn)定性高、計算簡單，被廣泛應(yīng)用于無約束優(yōu)化，是求解最優(yōu)化問題的一種有效算法；但在距離觀測方程存在不適定問題時，會由于觀測數(shù)據(jù)誤差而產(chǎn)生強(qiáng)烈的不穩(wěn)定特征甚至不收斂[12-14]。

針對共軛梯度法在處理病態(tài)測距定位方程會產(chǎn)生較強(qiáng)烈的不穩(wěn)定特征，甚至不收斂的問題，通過將穩(wěn)定泛函約束作用于共軛梯度法，推導(dǎo)了距離觀測方程非線性平差的正則化共軛梯度法，有效降低距離觀測方程的病態(tài)性對解的影響，同時提高非線性收斂效率，最后采用模擬數(shù)據(jù)和實測數(shù)據(jù)驗證該算法的有效性。

1 距離觀測方程非線性平差

距離觀測方程廣泛存在于大地測量與導(dǎo)航定位中，比如：水下定位、GNSS偽距觀測和測邊網(wǎng)等。在某一觀測系統(tǒng)中，設(shè)n個已知點(diǎn)的坐標(biāo)為Xi=[xi,yi,zi]，待定點(diǎn)的坐標(biāo)為[x,y,z]，觀測距離為Li，觀測距離誤差為Δi，i=1,2,…,n，可列出距離觀測方程的表達(dá)式為

(1)

由此可得此方程的向量表達(dá)式為

L+Δ=DX，

(2)

式中：L=[L1,L2,…,Ln]T為觀測距離向量；Δ=[Δ1,Δ2,…,Δn]T為誤差向量；X=[x,y,z]T為待定點(diǎn)坐標(biāo)向量；D(X)為待定點(diǎn)到各浮標(biāo)的距離函數(shù)，是一個非線性函數(shù)，將此非線性函數(shù)在初值X0=[x0,y0,z0]T處線性展開可得

L+Δ=D(X0)+J(X0)DX0+Rn(X)，

(3)

式中：Rn(X)為線性化殘差；J(X0)為雅克比矩陣，即

J(X0)=

(4)

則可得誤差方程式為

V(X0)=J(X0)DX0-l，

(5)

式中l(wèi)=L-D(X0)。根據(jù)最小二乘原理

VTPV=min，

(6)

式中P為觀測距離向量L的權(quán)矩陣，本文中均采用P=E即單位權(quán)陣計算。

對式(6)求偏導(dǎo)并結(jié)合式(5)，得

(7)

將上式約分并轉(zhuǎn)置得正交條件方程

JTPV=0，

(8)

將式(5)代入式(8)求得

DX=(JTPJ)-1JTPl，

(9)

由此，可寫出高斯牛頓法的迭代公式

(10)

當(dāng)殘差較小或非線性強(qiáng)度較弱時，采用高斯牛頓法比較好。由于涉及線性化，高斯牛頓法對初值的依賴性較強(qiáng)，若選取初值的精度較差，解算結(jié)果可能會發(fā)散，導(dǎo)致高斯牛頓法失效。由于共面或共線的影響，距離觀測方程線性化后的方程系數(shù)矩陣存在較為嚴(yán)重的病態(tài)性，高斯牛頓法在處理這類非線性方程時無法收斂[15-16]。

2 距離觀測方程參數(shù)估計的正則化共軛梯度法

高斯牛頓法與共軛梯度法搜索方向的不同使得兩種方法表現(xiàn)出不同的性能。高斯牛頓法的搜索方向是梯度下降的方向，沿著初始點(diǎn)所確定的梯度下降的方向，梯度值逐漸減小，以此搜索得到極小值點(diǎn)作為下次迭代的初始點(diǎn)，搜索直到滿足迭代終止條件停止，得到最優(yōu)解。此方法不能確保當(dāng)前搜索方向還是上次搜索方向的極小值方向，也就是說這次的搜索方向可能不是之前梯度下降的方向。共軛梯度法的搜索方向是共軛方向，先由初始點(diǎn)確定梯度下降方向，此后依次找到共軛方向進(jìn)行搜索。此方法能夠保證當(dāng)前搜索方向與前面搜索方向都是共軛的，即當(dāng)前方向搜索到的極小值也是之前方向的極小值。因此，共軛梯度法的搜索方向能夠考慮到之前所有的搜索方向；而且它迭代形式簡單、收斂速度快、穩(wěn)定性高、所需存儲量小，所以共軛梯度法的總體性能較好[12]。

共軛梯度法在求解具有病態(tài)性的非線性問題時無法收斂，解算失效?？紤]到正則化方法是改善病態(tài)性的有效方法，將其核心思想即穩(wěn)定泛函約束思想作用于共軛梯度法，形成正則化共軛梯度法，用此方法來處理距離觀測方程，能夠有效降低方程的病態(tài)性對解的影響而使迭代收斂，并提高收斂效率。

基于穩(wěn)定泛函約束思想的目標(biāo)函數(shù)可寫為

VTPV+αdXTdX=min，

(11)

式中α為正則化參數(shù)。對式(11)求偏導(dǎo)并轉(zhuǎn)置后得

JTPV+αdX=0，

(12)

將式(5)代入式(12)求得

dX=(JTPJ+αI)-1JTPl，

(13)

由此可得正則化法的迭代公式為

(14)

由文獻(xiàn)[12]可知共軛梯度法的迭代公式為

Xk+1=Xk+dXk，

(15)

式中搜索方向dXk可寫為

(16)

式中g(shù)k=dXk=(J(Xk)TPJ(Xk))-1J(Xk)TPl，βk是共軛參數(shù)。

為將穩(wěn)定泛函約束思想作用于共軛梯度法，將式(13)的迭代格式代入式(16)得到正則化共軛梯度法的新的搜索方向，則其中的gk可表示為

gk=dXk=

(J(Xk)TPJ(Xk)+αI)-1(J(Xk)TPl。

(17)

本文采用PRP共軛參數(shù)的計算方法[17]，即

(18)

式中yk-1=gk-gk-1。

隨著迭代次數(shù)的增加，在正則化參數(shù)的約束作用下方程的病態(tài)性對解的影響逐漸減弱，此時若一直使用同一正則化參數(shù)可能會使約束作用過強(qiáng)而導(dǎo)致解過于平滑，而偏離真實值太多。因此，采用文獻(xiàn)[18]中描述的幾何級數(shù)方法使正則化參數(shù)隨迭代不斷更新，即采用公式αk+1=α0×qk，其中:α0為正則化參數(shù)的初始值，且α0>0，本文采用L曲線法求得[19];q為衰減因子，其經(jīng)驗取值區(qū)間為q∈[0,1]，使得正則化參數(shù)隨迭代次數(shù)的增加而逐漸減小，提高解的準(zhǔn)確性。

3 實驗分析

實驗1模擬短程測距實驗

為了驗證新算法的有效性，先采用模擬數(shù)據(jù)驗證，數(shù)據(jù)包括9個已知點(diǎn)P1,P2,…,P9的三維坐標(biāo)以及待定點(diǎn)P10(模擬真值為[0,0,0]T)到9個已知點(diǎn)的距離，根據(jù)這9個已知點(diǎn)的三維坐標(biāo)和觀測距離求待定點(diǎn)的三維坐標(biāo)，給定初值為X0=[0.1,-0.1,0.1]T，迭代終止條件為‖J(Xk)TPl‖≤10-6。實驗中取衰減因子q=0.9。

表1給出非線性最小二乘法、高斯牛頓法、共軛梯度法、正則化法和正則化共軛梯度法的解算結(jié)果。由表可知，對距離觀測方程進(jìn)行非線性最小二乘平差所得到的待定點(diǎn)的坐標(biāo)值與真值計算所得的殘差較大，不符合實際應(yīng)用。高斯牛頓法和共軛梯度法由于距離觀測方程線性化后的系數(shù)矩陣存在嚴(yán)重的病態(tài)性而無法收斂， 這表明普通的數(shù)值迭代法無法用于求解存在病態(tài)性的距離觀測方程。正則化法和正則化共軛梯度法所求的數(shù)值收斂解相同，但通過迭代時間和迭代次數(shù)k可以看出，正則化共軛梯度法收斂更快，所以正則化共軛梯度法能有效地緩解病態(tài)性對解的影響，使迭代收斂并提高收斂效率。

表1 不同方法的解算結(jié)果(實驗1)

圖1給出了正則化法和正則化共軛梯度法的點(diǎn)位迭代序列，橫軸代表迭代次數(shù)，縱軸分別代表X、Y、Z三個方向上的數(shù)值收斂解。由圖1結(jié)合表1可知， 正則化共軛梯度法在提高收斂效率的同時其穩(wěn)定性也很好，沒有很大的擾動。這主要是因為正則化共軛梯度法融合了正則化法改善方程病態(tài)性的優(yōu)點(diǎn)，并對正則化參數(shù)做了更新，既能有效地降低病態(tài)性對解的影響使迭代收斂，又大大提高了收斂效率。

圖1 兩種方法的點(diǎn)位迭代序列(實驗1)

實驗2 水下定位實測數(shù)據(jù)驗證

通過模擬數(shù)據(jù)對算法的效果進(jìn)行分析后對新方法的優(yōu)點(diǎn)有了初步的結(jié)論，此實驗采用水下定位實測數(shù)據(jù)對此結(jié)論來進(jìn)行驗證。數(shù)據(jù)中，P1,P2,…,P15為15個已知點(diǎn)，并給出了它們的X、Y、Z坐標(biāo)以及觀測距離，數(shù)據(jù)選取的是測量船圍繞應(yīng)答器航行獲取的一圈數(shù)據(jù)中的15個相鄰數(shù)據(jù)，根據(jù)這15個已知點(diǎn)的坐標(biāo)和觀測距離求待定點(diǎn)P16的三維坐標(biāo)。實驗所給的迭代初始值為X0=[2 438 000,491 900,1 800]T，迭代終止條件為‖J(Xk)TPl‖≤10-6。實驗中取衰減因子q=0.9。

由于水平面共面的影響，測量船所采集的數(shù)據(jù)在Z方向上存在較強(qiáng)的病態(tài)性，還由于選取的是相鄰數(shù)據(jù)，采集相隔時間較短，在X方向和Y方向上也存在微弱的病態(tài)性。所以，由這15個數(shù)據(jù)構(gòu)建的距離觀測方程線性化后的方程的系數(shù)矩陣存在嚴(yán)重的病態(tài)性。表2給出非線性最小二乘法、正則化法和正則化共軛梯度法的解算結(jié)果。由表可知，直接采用非線性最小二乘的解算方法所得到的待定點(diǎn)的坐標(biāo)值與真值計算所得的殘差較大，尤其表現(xiàn)在Z方向上，表明距離觀測方程在Z方向上存在較為嚴(yán)重的病態(tài)。正則化法和正則化共軛梯度法均采用了正則化的思想，所以均能使迭代收斂并求得相同的數(shù)值收斂解。通過迭代時間和迭代次數(shù)k可以看出，正則化共軛梯度法收斂更快，所以正則化共軛梯度法能有效地緩解病態(tài)性對解的影響，使迭代收斂的同時提高收斂效率。

圖2給出了正則化法和正則化共軛梯度法的點(diǎn)位迭代序列，橫軸代表迭代次數(shù)，縱軸分別代表X、Y、Z三個方向上的數(shù)值收斂解。由圖2可知，正則化共軛梯度法比正則化法開始收斂的早，同時其穩(wěn)定性也很好， 沒有較大的擾動。結(jié)合表2的迭代時間和迭代次數(shù)k可知，正則化共軛梯度法既能有效地改善病態(tài)性對解的影響使迭代收斂，又大大提高了收斂效率。這主要是因為正則化共軛梯度法結(jié)合了正則化思想，通過加入約束改善方程的病態(tài)性對解的影響，并對正則化參數(shù)進(jìn)行更新，使得迭代收斂，并使收斂解更快接近于真值，大大提高了收斂效率。

圖2 兩種方法的點(diǎn)位迭代序列(實驗2)

表2 不同方法的解算結(jié)果(實驗2)

總之，模擬數(shù)據(jù)的實驗結(jié)論通過水下定位實測數(shù)據(jù)得到了驗證，所得結(jié)果相同。正則化共軛梯度法能夠改善方程的病態(tài)性對解的影響使迭代收斂，在提高收斂效率的同時，其穩(wěn)定性也沒有降低。

4 結(jié)束語

求解非線性模型的一般方法是先對其線性化，再根據(jù)最小二乘原理進(jìn)行平差，但這樣會導(dǎo)致信息量的缺失和模型特征的改變，尤其是當(dāng)系數(shù)矩陣呈現(xiàn)病態(tài)問題時，非線性最小二乘解不穩(wěn)定且解算誤差大。傳統(tǒng)的數(shù)值方法如高斯牛頓法和共軛梯度法也會由于系數(shù)矩陣的病態(tài)性而導(dǎo)致解產(chǎn)生較強(qiáng)的不穩(wěn)定甚至不收斂的問題。正則化數(shù)值方法通過加入約束條件來降低病態(tài)性對解的影響，并求得穩(wěn)定參數(shù)解，但其收斂效率低，適用于殘差較小的方程。將其核心思想穩(wěn)定泛函約束作用于共軛梯度法，推導(dǎo)了距離觀測方程非線性平差的正則化共軛梯度法，該方法既能克服共軛梯度法求解病態(tài)方程組不收斂的問題，又能夠提高非線性迭代收斂效率。實驗結(jié)果表明，正則化共軛梯度法能夠降低方程的病態(tài)性對解的影響使迭代收斂，而且在提高收斂效率的同時，其穩(wěn)定性也沒有降低。