小學(xué)數(shù)學(xué)“說題”的主要內(nèi)容與基本流程探析

陳明火

（華安縣湖林中心小學(xué)，福建 漳州 363800）

說題的內(nèi)容是“題”，是指針對某一道（類）數(shù)學(xué)題的解說。相對于“說課”，“說題”還屬于比較新鮮的事物?！罢f課”已經(jīng)形成一定的基本模式，而“說題”的深度、寬度與高度該怎么說，仍是一個值得探索的問題。從說題的主體分析，可以分為教師說題與學(xué)生說題；從說題的客體分析，可以分為給同事說題、給評委說題、給學(xué)生說題。下面僅以“教師說題”，即給同事（評委）說題為例，對說題的主要內(nèi)容與基本流程進(jìn)行探析。

一、說題的主要內(nèi)容

教師說題的主要內(nèi)容有“四說”：說來源背景，包括說來源、說背景；說解題思路，包括說審題、說分析、說解答、說回顧；說教學(xué)分析，包括說學(xué)情預(yù)設(shè)、說教學(xué)指導(dǎo)；說延伸拓展，包括說變式延伸、說推廣拓展（如圖1）。

圖1

這樣“說題”，既能系統(tǒng)而概括地說出教師自己對給定題目的理解，促進(jìn)教師掌握試題命制技能技巧，提升語言表達(dá)、邏輯思維能力，又能讓學(xué)生的解題思維得到拓展，使數(shù)學(xué)課堂減負(fù)增效生根落地。

二、說題的基本流程

“說題”是指說題教師在精心做題的基礎(chǔ)上，以課程標(biāo)準(zhǔn)和考試說明為依據(jù)，闡述自己對題目解答時所采用的思維方式、解題策略及理論依據(jù)，進(jìn)而抽象概括出經(jīng)驗(yàn)性的解題規(guī)律。“說題”的基本流程包括：說清題目的來源背景→說清解題思路和解題過程→說清學(xué)生可能遇到的障礙和如何指導(dǎo)學(xué)生解題→說清問題的拓展、延伸→說清自己的感想和反思。以下具體展開論述。

（一）說清題目的來源背景

1.說來源。小學(xué)數(shù)學(xué)題的主要來源有：模擬試題、監(jiān)測試題（省、市、縣）、教材例題、課后習(xí)題、配套習(xí)題或改編習(xí)題等。說題時，除了說明來源，還需要說明此題的設(shè)計意圖以及選擇此題的目的。

2.說背景。每一道經(jīng)典題都具有豐富的背景，說題時應(yīng)道出題材背景、知識背景、思想背景、方法背景，即說清內(nèi)容呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，涉及的知識點(diǎn)與教材系統(tǒng)的內(nèi)在聯(lián)系，問題解決中所用的數(shù)學(xué)思想、思維方法，問題考查的數(shù)學(xué)能力等。同時，應(yīng)說清題目所給的信息，如已知條件（包括隱含條件）與所求問題、求解的難點(diǎn)與成因、突破難點(diǎn)的手段與策略等。其中，顯性試題是直接以數(shù)學(xué)符號、概念、定理、結(jié)論、性質(zhì)為背景；隱性試題則間接以思想方法為背景。

例題1 張大爺家的客廳地板使用1 平方米的正方形瓷磚鋪成，其中部分瓷磚已經(jīng)損壞（如圖2）。張大爺想重新裝修客廳，若全部改用邊長為5 分米的正方形瓷磚鋪地，共需要多少塊？

圖2

這道題來自某市質(zhì)量監(jiān)測試題，選擇此題意在考查學(xué)生對“長方形的周長和面積”知識的理解與掌握情況，以及對“總數(shù)量、每份數(shù)、份數(shù)”數(shù)學(xué)模型的理解與運(yùn)用情況。

本題的設(shè)計意圖：題目中蘊(yùn)含著對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查，如考查空間想象能力（損壞瓷磚部分想象為完整無缺的餐廳）、觀察思維能力（尋找長方形的長與寬）、邏輯推理能力（運(yùn)用綜合法或分析法尋找中間量）及運(yùn)算能力（求客廳面積、求方磚塊數(shù)）等。

本題的設(shè)計背景：題目中沒有直接告訴長方形的長與寬（條件蘊(yùn)藏性），而是巧設(shè)損壞的瓷磚，讓學(xué)生觀察想象，從中尋找求面積所需的條件。本題除涉及“面積”知識點(diǎn)外（已知長方形的長與寬，求面積；已知正方形的邊長，求面積），還涉及除法知識（份數(shù)=總數(shù)÷每份數(shù)）的靈活運(yùn)用。在解題過程中，有機(jī)滲透空間想象（無缺瓷磚餐廳）、幾何直觀（適當(dāng)畫虛線補(bǔ)全餐廳瓷磚）、邏輯推理（已知條件至問題，或問題至條件）等數(shù)學(xué)思想，滲透逆向思維策略的運(yùn)用（邊長1 米的正方形，面積是1 平方米）。

（二）說清解題的思維過程

解題是說題的基礎(chǔ)。因此，說題可按照“審題→分析→解答→回顧”的解題流程進(jìn)行解說。［1］

1.說審題。在讀的基礎(chǔ)上，說出（圈出）條件、問題、關(guān)鍵句的重點(diǎn)字或重點(diǎn)詞，說出解題的困惑點(diǎn)與關(guān)鍵點(diǎn)，以求全面、深入地理解與掌握題目所提供的信息。

2.說分析。就題論題，說清解題思路、解題操作過程、一題多解策略，尤其要說清解題的難點(diǎn)及突破解題難點(diǎn)的策略。探索解題途徑的常用方法有：（1）化整為零法，將問題分解為小問題逐一擊破；（2）化歸思想法，將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題解決；（3）分析法和綜合法，將已知條件順推，待求結(jié)論逆推；（4）遷移法，運(yùn)用創(chuàng)造性思維，遷移類似問題的解法和規(guī)律。

3.說解題。說清具體解題的方法與步驟，說清解題中的規(guī)范要求（注意事項(xiàng)），說清解題前的一些知識儲備（含非智力因素）。說解題的常規(guī)要求為：層次分明，嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范，合乎邏輯，簡潔明了。

4.說回顧。美國教育心理學(xué)家波斯納說，“成長=經(jīng)驗(yàn)+反思”；孔子曰，“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”?；仡櫋敖忸}思路”是解題過程中不可缺少的環(huán)節(jié)?；仡櫟暮诵臑椋赫f出此類題的基本特征和解題的基本思路；道出解答此類題的數(shù)學(xué)本質(zhì)和求解策略（多向解題策略、優(yōu)化解題策略）。

例題2 古趣題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

審題：這道題是人教版四年級下冊教材的古趣題（“雞兔同籠問題”）。通過閱讀與理解，把文言文題目翻譯為現(xiàn)代文題目：“籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有35 個頭；從下面數(shù)，有94 只腳。請問雞和兔各有幾只？”這道題的已知條件“從上面數(shù)，有35 個頭”，意思是“雞和兔共35 只”；“從下面數(shù)，有94 只腳”，意思是“雞和兔共94 只腳”，求“雞和兔各有幾只”。雞有2 只腳，兔有4 只腳，每只兔比每只雞多2只腳，這是本題蘊(yùn)藏的已知條件，也是解題的關(guān)鍵點(diǎn)。困惑點(diǎn)是每多出2 只腳就是1 只雞或每少2 只腳就是1 只兔。

分析：本題既運(yùn)用分析法，又運(yùn)用綜合法。“雞和兔各有幾只”，可以先求雞、再求兔，也可以先求兔、再求雞。假設(shè)全是兔，則有140 只腳（4×35），這樣就多出46 只腳（140-94），已知每多出2 只腳就是1 只雞，因此可用除法先求出雞的只數(shù)；假設(shè)全是雞，則有70只腳（2×35），這樣就少了24 只腳（94-70），已知每少2只腳就是1 只兔，因此可用除法先求出兔的只數(shù)。

解題：解法1，假設(shè)全是兔，則兔的腳數(shù)：4×35=140只，多出的腳數(shù)：140-94=46 只，1 只雞多出的腳數(shù)：4-2=2 只，則雞：46÷2=23 只，兔：35-23=12 只。解法2，假設(shè)全是雞，則雞的腳數(shù)：2×35=70 只，少了的腳數(shù)：94-70=24 只，1 只兔少的腳數(shù)：4-2=2 只，則兔：24÷2=12只，雞：35-12=23 只。

回顧：這類題的基本特征是包含除法的運(yùn)用，解題的基本思路為分別找出“多出的總腳數(shù)與每只雞多出的腳數(shù)”，再用“多出的總腳數(shù)÷每只雞多出的腳數(shù)”求出雞的只數(shù)；分別找出“少了的總腳數(shù)與每只兔少了的腳數(shù)”，再用“少了的總腳數(shù)÷每只兔少了的腳數(shù)”求出兔的只數(shù)。本題除了運(yùn)用假設(shè)法求解外，還可以運(yùn)用列表法、方程求解法或抬腳法求解。

（三）說清教學(xué)分析

1.說學(xué)情預(yù)設(shè)。站在認(rèn)知規(guī)律、學(xué)習(xí)心理學(xué)的角度，說出預(yù)設(shè)的學(xué)生的知識情況、能力情況及解題的思維障礙（難點(diǎn)）。

2.說教學(xué)指導(dǎo)。說出啟迪學(xué)生的解題思維過程（觀察、思考、分析，尋找破解口），說出指導(dǎo)學(xué)生巧解難題的措施，說出解題方法的選擇與解題原則的實(shí)施。

例題3 圓圓測量一顆鐵球的體積，過程如下：

（1）將300mL 的水倒入一個容器為500mL 的杯子中，如圖①。

（2）將4 顆相同的球放入水中，結(jié)果容器中的水沒有滿，如圖②。

（3）再加入一顆同樣的球，結(jié)果容器中的水滿出來，如圖③。

根據(jù)以上過程，推測一個鐵球的體積大約在（ ）。

A.30～40cm3

B.40～50cm3

C.50～60cm3

D.正好是40cm3

學(xué)情預(yù)設(shè)：本題的閱讀信息量相當(dāng)大，整個測量體積的過程包含3 個實(shí)驗(yàn)步驟，預(yù)估學(xué)生要讀懂文字信息與圖片信息有一定的難度。加上題中所求的問題是求范圍數(shù)值，因?qū)W生缺乏這類解題經(jīng)驗(yàn)的積累，預(yù)估此問題不但會增加解題難度，而且會導(dǎo)致解題的思維障礙。

教學(xué)指導(dǎo)：解題應(yīng)重點(diǎn)放在閱讀指導(dǎo)上，讓學(xué)生真正讀懂題中的條件和所求的問題。具體閱讀過程為：（1）運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想，指導(dǎo)學(xué)生讀懂看得見的信息。如將4 顆相同的球放入水中，結(jié)果容器中的水沒有滿（如圖②）。（2）通過觀察想象，指導(dǎo)學(xué)生讀懂題中隱藏的數(shù)學(xué)信息。如圖2 的結(jié)果是容器中的水沒有滿，說明4 個球的體積小于200mL（500-300），即每個球的體積小于50mL。（3）指導(dǎo)學(xué)生讀懂問題需要做的有幾件事。如“推測一個鐵球的體積大約在（ ）”就是求一個鐵球體積的取值范圍，即分別求出大于數(shù)值和小于數(shù)值。［2］

（四）說清拓展延伸

1.說變式延伸。奧蘇泊爾的學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，“有意義學(xué)習(xí)的根本要素是新舊知識建立實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系”。因此，說出多向變式題型，引導(dǎo)學(xué)生訓(xùn)練，具有很高的理論與實(shí)踐價值。改換試題的相應(yīng)條件，形成變式試題，常用的途徑與策略有條件開放變式題與結(jié)論開放變式題。［3］

2.說推廣拓展。說出解題“拓展遷移”的規(guī)律，如一般規(guī)律推廣到特殊規(guī)律，或特殊規(guī)律推廣到一般規(guī)律。

例題4 原模型題：新源飼料廠十月份計劃加工一批飼料，實(shí)際上旬加工了計劃的2/5，中旬加工了計劃的1/3，下旬加工了40 噸，結(jié)果正好完成原計劃任務(wù)。請問這個飼料廠十月份計劃加工飼料多少噸？

變式延伸：本題是一道典型的稍復(fù)雜分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。解答此題后，可以抓住題中的動態(tài)點(diǎn)“結(jié)果剛好完成原計劃任務(wù)”進(jìn)行變式延伸。如：（1）新源飼料廠十月份計劃加工一批飼料，實(shí)際上旬加工了計劃的，中旬加工了計劃的，下旬加工了40 噸，結(jié)果超額加工了。請問這個飼料廠十月份計劃加工飼料多少噸？（2）新源飼料廠十月份計劃加工一批飼料，實(shí)際上旬加工了計劃的，中旬加工了計劃的，下旬加工了40 噸，結(jié)果比原計劃少加工了。請問：這個飼料廠十月份計劃加工飼料多少噸？這既可拓展學(xué)生的解題思維，又凸顯模塊題組對比訓(xùn)練，同時體現(xiàn)層次性思維訓(xùn)練，讓不同層次的學(xué)生都能得到不同的發(fā)展。

推廣拓展：本題屬于稍復(fù)雜分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中“單位‘1’同種量，且單位‘1’未知是所求問題”的典型題。解題時，可以巧用幾何直觀畫出線段圖，先尋找“已知量與分率”的對應(yīng)關(guān)系，再根據(jù)“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)用除法計算”的規(guī)律，列式解答且驗(yàn)算（一般規(guī)律到特殊規(guī)律）。

總之，說題流程增加了一個“試題呈現(xiàn)”部分?！罢f解題過程”如同“說課”中的“說教學(xué)過程”，教師需重點(diǎn)把解這道題的精髓（獨(dú)特思路與策略）層層展示出來，尤其要說出思維含量較高的多解題、變式題、拓展題的解題捷徑與創(chuàng)新解法。同時，說題要求突出重（難）點(diǎn)、詳略恰當(dāng)，體現(xiàn)“針對性、嚴(yán)密性、實(shí)效性、拓展性”的教學(xué)原則，變抽象、枯燥的說題形式為形象具體、趣味盎然的說題流程。這樣不但能開拓和活躍說題技能技巧，而且能提高說題的敏捷性、靈活性、邏輯性和創(chuàng)新性。