基于灰色與線性回歸組合模型在變形預(yù)測(cè)中的研究

劉燕芳,陳天偉,陳凱華,張潔潔

(桂林理工大學(xué)土木建筑工程學(xué)院,廣西桂林 541004)

基于灰色與線性回歸組合模型在變形預(yù)測(cè)中的研究

劉燕芳*,陳天偉,陳凱華,張潔潔

(桂林理工大學(xué)土木建筑工程學(xué)院,廣西桂林 541004)

從GM(1,1)模型原理和GM(1,1)與線性回歸組合模型原理的不同之處開始討論,并且用組合模型進(jìn)行了樣本實(shí)例計(jì)算,與單一的灰色模型和簡(jiǎn)單的滑動(dòng)平均作出對(duì)比,得出組合模型計(jì)算較準(zhǔn)確,精度較高。

變形分析;灰色系統(tǒng)理論;灰色與回歸組合模型;簡(jiǎn)單滑動(dòng)平均

1 引 言

變形監(jiān)測(cè)的目的是獲得變形體變形的空間和時(shí)間特征,并作出變形的幾何分析和物理解釋。變形監(jiān)測(cè)有實(shí)用和科學(xué)上兩方面的意義。實(shí)用上的意義主要是檢查各種工程建筑物和地質(zhì)構(gòu)造的穩(wěn)定性,及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題,以便采取措施;科學(xué)上的意義包括更好地理解變形的機(jī)理,驗(yàn)證有關(guān)工程設(shè)計(jì)的理論和地殼運(yùn)動(dòng)的假說以及建立正確的預(yù)報(bào)變形的理論和方法。

灰色理論在變形監(jiān)測(cè)方面做出了較大貢獻(xiàn),而本文用了幾種方法的對(duì)比,說明灰色與線性回歸模型可以很好的運(yùn)用于變形監(jiān)測(cè)。

2 GM(1,1)模型原理

記原始序列X0為[2]:

根據(jù)灰色系統(tǒng)理論對(duì)原始序列做1次累加生成后,得到生成序列X1(1),即:

式中X1(t)可用下式進(jìn)行計(jì)算:

系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型GM(1,1)的白化形式的微分方程表示為:

對(duì)微分方程求解,得到其離散的通解為

式中,c為積分常數(shù),需要通過一個(gè)邊界條件來確定。在目前所采用的預(yù)測(cè)模型中,都是假定:

式(4)在式(5)條件下的特解為:

式中,B以及y用式(9)計(jì)算:

預(yù)測(cè)公式為:

3 組合模型

由(4)可以將微分方程解為[4]:

對(duì)X1(t+1)求導(dǎo)或做累減還原,得到原始系列的預(yù)測(cè)公式為:

分析微分方程的解式(11),可以看出它的形式如下式:

用線性回歸方程Y=aX+b及指數(shù)方程Y=a·exp(p)的和來擬合累加生成X1(t),因此可將生成序列寫成:

在上式中,參數(shù)v及C1,C2,C3需要確定。

并設(shè):

同樣有:

則上面兩式相比為:

因此得到V的解為:

將式(15)的換為X1,則由式(19)可得v為近似解取不同的m=(1,…,n-3)值可以得到不同的估值以它們的平均值作為v的估計(jì)值。

將上式的計(jì)算結(jié)果用一次累減生成即可得到原序列X0的預(yù)測(cè)值。從上式可以看出,如果C1=0,則一次累加生成為線性回歸模型,如果C2=0,則累加生成序列為GM(1,1)模型。新模型使原線性回歸模型中不含指數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì),即GM(1,1)模型中不含線性因素的情形得到改善。

4 灰色與回歸組合模型的應(yīng)用

4.1 小樣本數(shù)據(jù)時(shí)模型的應(yīng)用

表1是對(duì)某教學(xué)樓進(jìn)行沉降觀測(cè),從1期～8期的沉降觀測(cè)值。

沉降量原始系列 表1

在這里用灰色CM(1,1)與線性回歸組合模型來處理[1]。

原始系列:

一次累加:

根據(jù)不同的M,利用式(13)和式(20)計(jì)算V的估計(jì)值,V=0.094。

用式(24)得到C的估計(jì)值:

得到一次累加生成系列的組合模型為,

通過這個(gè)模型一次累減后得到各個(gè)時(shí)刻的預(yù)測(cè)值為表2所示。

各時(shí)刻預(yù)測(cè)值,殘差值及相對(duì)誤差 表2

利用該模型計(jì)算的平均相對(duì)誤差為0.06%,用后方差檢驗(yàn)C=0.156,P=1,屬于一級(jí)精度,由此可以看出由組合模型能取得較高精度的結(jié)果。

4.2 時(shí)間序列分析方法的應(yīng)用

我們?nèi)匀挥帽?的數(shù)據(jù)來建立模型。時(shí)間系列分析[5]法有三種模型,這里我們用簡(jiǎn)單滑動(dòng)平均計(jì)算方法。當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)不多時(shí),建立復(fù)雜的模型不太可能,這時(shí)簡(jiǎn)單滑動(dòng)平均可以發(fā)揮作用。

對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑,使用最近的M個(gè)數(shù)據(jù)的平均值作為平滑值,M-期簡(jiǎn)單滑動(dòng)平均計(jì)算公式如下:

對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè),用平滑值作為未來一個(gè)時(shí)刻的預(yù)測(cè):

例如:5-期簡(jiǎn)單滑動(dòng)平均平滑:

5-期簡(jiǎn)單滑動(dòng)平均預(yù)測(cè):

根據(jù)RSE選擇M 表3

對(duì)比表3中的RSE,根據(jù)選擇RSE最小值原理,很明顯可以看出,選擇M=2時(shí)預(yù)測(cè)值比較好。

(1)兩種模型的對(duì)比

我們來對(duì)比,灰色與回歸組合模型的預(yù)測(cè)值與2-期簡(jiǎn)單滑動(dòng)平均的沉降預(yù)測(cè)值,如表4所示。

組合模型與簡(jiǎn)單滑動(dòng)模型的對(duì)比 表4

顯而易見,組合模型的預(yù)測(cè)值比較接近實(shí)測(cè)值。當(dāng)數(shù)據(jù)很少時(shí),選擇灰色與線性回歸組合模型比較合理。

4.3 大數(shù)據(jù)樣本時(shí)組合模型的應(yīng)用

某城市從1970年～1987年沉降累積量 表5

用式(3),式(7),式(8),式(9)可以得到生成系列X1的時(shí)間相應(yīng)函數(shù)為:

利用上式計(jì)算出各期模擬和預(yù)測(cè)值后,通過式(10)一次累減生成,求得各期的預(yù)測(cè)值、殘差和相對(duì)誤差如表6所示,預(yù)測(cè)值的平均相對(duì)誤差為12.42%,預(yù)測(cè)1988年沉降量的相對(duì)誤差為12.39%,預(yù)測(cè)1989年沉降量的相對(duì)誤差為21.14%。

各個(gè)時(shí)期的預(yù)測(cè)值、殘差及相對(duì)誤差 表6

由灰色線性回歸組合模型可得到其時(shí)間相應(yīng)式為:

利用上式計(jì)算出各期模擬或預(yù)測(cè)值后,通過一次累減生成,求得各期的模擬值、殘差和相對(duì)誤差如表7所示,預(yù)測(cè)值的平均相對(duì)誤差為11.53%,預(yù)測(cè)1988年沉降量的相對(duì)誤差為2.39%,預(yù)測(cè)1989年沉降量的相對(duì)誤差為1.72%。

各時(shí)刻預(yù)測(cè)值,殘差值及相對(duì)誤差 表7

(1)組合模型與單一的灰色模型的對(duì)比

將表6與表7計(jì)算結(jié)果對(duì)比結(jié)果如表8所示。

1988,1989年預(yù)測(cè)值的對(duì)比 表8

很顯然,組合模型的相對(duì)誤差要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于單一的灰色模型,進(jìn)而說明了組合模型精度要高于灰色模型,預(yù)測(cè)比較準(zhǔn)確。

5 結(jié) 語

灰色系統(tǒng)理論通過對(duì)數(shù)據(jù)的生成,來弱化數(shù)據(jù)的隨機(jī)性,凸現(xiàn)其規(guī)律性,在數(shù)據(jù)量少時(shí)有優(yōu)勢(shì),當(dāng)人工采集變形數(shù)據(jù)或數(shù)據(jù)采集受客觀條件限制時(shí),可采用灰色系統(tǒng)理論模型,以減輕外業(yè)觀測(cè)的工作量,并得到較好的預(yù)測(cè)效果。

本文討論了GM(1,1)模型原理和GM(1,1)與回歸組合模型原理的不同之處,并且用組合模型進(jìn)行了大樣本實(shí)例計(jì)算,得出組合模型計(jì)算較準(zhǔn)確,精度較高。單純灰色模型不能解決的問題,利用灰色與回歸組合模型就能得到解決。大樣本數(shù)據(jù)時(shí),選擇組合模型。

本文還討論了GM(1,1)與回歸組合模型原理與時(shí)間分析方法中的一種簡(jiǎn)單滑動(dòng)平均。因?yàn)闀r(shí)間分析的其他模型需要大量的數(shù)據(jù),故在小樣本數(shù)據(jù)計(jì)算時(shí),無法采用。而此時(shí),便顯出灰色理論的優(yōu)點(diǎn):在信息少量的情況下,灰色能充分利用已知信息。并且,計(jì)算精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于簡(jiǎn)單滑動(dòng)平均。小樣本數(shù)據(jù)時(shí),選擇組合模型。

從上面兩個(gè)算例,一致可以得出GM(1,1)與回歸組合模型在做數(shù)據(jù)處理時(shí)都是比較好的方法。

[1] 韓曉東,賀兆禮.灰色GM(1,1)與線性回歸組合模型及其在變形預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].淮南礦業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),1997, 17(4):51～54

[2] 鄧聚龍.灰色控制系統(tǒng)[M].武漢:華中理工大學(xué)出版社,1986

[3] 何勇兵.多變量灰色預(yù)測(cè)模型在大壩安全監(jiān)測(cè)中的應(yīng)[D].浙江:浙江大學(xué),2003,11～15

[4] 何曉群,劉文卿.應(yīng)用回歸分析[M].北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社,2001,59～60

[5] 婁峰.時(shí)間系列分析在隧道位移監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用[D].沈陽:大連理工大學(xué),2002,14～15

On Application of Deformation Forecast in Combination of Gray and Linear Regression Model

Liu YanFang,Chen TianWei,Chen KaiHua,Zhang JieJie
(College of Civil and Architectural Engineering,Guilin University of Technology,Guilin 541004,China)

This article discusses the different principles between GM(1,1)model and GM(1,1)model with linear regression.Based on the combination of GM(1,1)model and linear regression model,the sample is precisely calculated. Comparing with the simple GM(1,1)model and moving average,it is concluded that the combined model is of high precision and accuracy.

deformation analysis;gray system theory;GM(1,1)model with linear regression;simple moving average

1672-8262(2011)04-151-04

O241.6,TU196.2

B

2011—03—06

劉燕芳(1985—),女,碩士研究生,主要研究方向:變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理及測(cè)繪數(shù)據(jù)信息化。

廣西自然科學(xué)基金(2011GXNSFA018001)