等腰三角形中的分類討論思想

蔡春儒

等腰三角形是生活中最為常見的三角形之一，它的應(yīng)用非常廣泛，因此也將它作為學(xué)習(xí)和考試的一個(gè)重點(diǎn)，但它具有其獨(dú)特的特點(diǎn)，它在邊和角上都有一定的特殊性，比如：等腰三角形看上去舒適感非常強(qiáng)，原因是它有兩條邊一樣長(zhǎng)，并且兩個(gè)角的度數(shù)是一樣大的。我們?cè)谧鲱}的過(guò)程中遇到的有關(guān)等腰三角形的題目大多分為三方面：邊長(zhǎng)、角度與圖形面積。雖然等腰三角形的特征非常簡(jiǎn)單易懂，但是所涉及到題目的卻是非常多、非常廣的，而且難度也是不一樣的。在日常學(xué)習(xí)中可以發(fā)現(xiàn)，雖然等腰三角形的知識(shí)不難，但是我們?cè)诮鉀Q有關(guān)等腰三角形方面的問題時(shí)，卻很難拿到滿分，很多時(shí)候我們?cè)谧鲱}時(shí)都存在打不開思維，局限于一個(gè)特征，沒有進(jìn)行關(guān)聯(lián)。其實(shí)縱觀數(shù)學(xué)科目上的問題可以發(fā)現(xiàn)，不僅僅是等腰三角形，其他類型的題目也是具有非常多的解題方法，而且只要打開思維，都會(huì)豁然開朗，眼前一亮。

一、分類討論思想的重要性

首先，分類討論思想在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中是非常重要的，數(shù)學(xué)題目的變換是多樣的，但是解題的思想是不變的，通過(guò)分類討論思想來(lái)進(jìn)行解題，有很大的便捷性。利用分類討論思想，可以促使我們的解題思維具有非常大的提升，數(shù)學(xué)知識(shí)難易不一，而且很多知識(shí)都是比較抽象的，我們?cè)谧鰯?shù)學(xué)題時(shí)只有對(duì)題目做出有效的把握，才可以提高解答數(shù)學(xué)題目的準(zhǔn)確性和正確率。

其次，我們通過(guò)分類討論思想還可以提高數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際的聯(lián)系。平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中我們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)僅僅停留在表面，而不是更加深入的聯(lián)系，一旦生活中出現(xiàn)了相類似的情況是無(wú)法進(jìn)行解決的。所以在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中使用的分類討論思想進(jìn)一步將我們學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行了運(yùn)用，把我們學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)正確的運(yùn)用到生活中去，提升了我們的思維運(yùn)用能力，同時(shí)還讓我們的思維更加嚴(yán)謹(jǐn)。

最后，在等腰三角形的解題中廣泛應(yīng)用有關(guān)分類討論的思想，數(shù)學(xué)知識(shí)廣闊無(wú)邊，知識(shí)點(diǎn)有很多，比如在解決函數(shù)問題時(shí)可以運(yùn)用分類討論思想，在概率題中可以使用分類討論思想，同樣在將來(lái)進(jìn)入高中后學(xué)到的數(shù)列也可以使用分類討論思想。分類討論思想的運(yùn)用是非常廣泛的，而且在進(jìn)行數(shù)學(xué)解題的過(guò)程中，逐步提升我們對(duì)生活中真實(shí)問題的解決能力，通過(guò)做題讓我們更加善于對(duì)分類思想的應(yīng)用，并將這種思想遷移到其它知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)中去，逐步將這種思考問題的方式運(yùn)用到其它問題的解決中去。

二、等腰三角形中對(duì)分類討論思想的應(yīng)用

在涉及等腰三角形的具體問題時(shí)，由于等腰三角形需要確定一個(gè)頂角，才能將這個(gè)三角形的邊和角確定，所涉及到的題目也是多種多樣的，而且時(shí)常會(huì)與函數(shù)和方程等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，題型多樣。所以在涉及等腰三角形的題目時(shí)，首先需要我們牢牢掌握住等腰三角形的特征和等腰三角形的相關(guān)基礎(chǔ)概念，并進(jìn)行思維發(fā)散，打開思維，不要局限。另外還要重視分類討論思想在等腰三角形中的滲透和運(yùn)用，將知識(shí)進(jìn)行融合和創(chuàng)新。

（一）等腰三角形中“邊”的分類討論

在日常的等腰三角形的練習(xí)中我們可以發(fā)現(xiàn)很多看起來(lái)非常簡(jiǎn)單，而且題目也非常容易理解的題，但是卻很容易失分。明明題目很清晰明了，沒有拐彎抹角的題干，但是在做題中卻很難得道滿分。但是當(dāng)我們仔細(xì)分析題型就可以發(fā)現(xiàn)，很多題目中都會(huì)有分類思想的出現(xiàn)，我們常常只是站在一個(gè)角度去思考問題，從而忽略了換個(gè)角度后的答案。比如題目一：拿到一個(gè)等腰的三角形模型，通過(guò)測(cè)量，其中一條邊長(zhǎng)為8cm，一條邊長(zhǎng)為5cm，問這個(gè)三角形模型的周長(zhǎng)是多少厘米？

這個(gè)題極其簡(jiǎn)短，而且很容易讀懂，但是這也是我們?cè)谌粘＞毩?xí)中比較容易丟分的題，這個(gè)題需要我們考慮到，題中并沒有明確的指出這兩條邊是哪的邊，所以有可能是底邊，也有可能是腰，因此本題的解題思路就要分為兩種：當(dāng)8cm作為腰時(shí)，當(dāng)5cm作為底邊的情況，第二種情況是8cm作為底邊，5cm作為腰的情況，所以本題的答案是21cm和18cm。

但是，并不是所有的涉及到邊的題型都是需要考慮兩種情況，還要考慮本題是否符合三角形的三邊關(guān)系。比如例題二：拿到一個(gè)等腰的三角形模型，有一條邊是長(zhǎng)3cm有一條邊是6cm，問這個(gè)三角形模型的周長(zhǎng)是多少厘米？

三角形的三邊關(guān)系是“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”，通過(guò)這個(gè)特征我們便可以知曉，只有底邊長(zhǎng)為3cm才能構(gòu)成三角形。如果底邊為6cm時(shí)，不符和三角形的三邊關(guān)系定理。因此，本題的答案是15cm，只有一個(gè)答案。由此可以看出，在有關(guān)等腰三角形的題型中對(duì)分類討論的思想的使用非常重要，可以幫助我們分析題型。

（二）等腰三角形中“角”的分類討論

在等腰三角形的“角”的相關(guān)題型中也會(huì)用到分類討論的思想，比如題目一：拿到一個(gè)等腰的三角形模型其外角為130°，那么這個(gè)等腰的三角形模型的底角為多少度？

題目中已知的信息是外角是130°，則可以計(jì)算出其相鄰的內(nèi)角就是50°，通過(guò)分類討論，我們并不知道這個(gè)50°是哪個(gè)角，所以分類一，當(dāng)50°是底角時(shí)，分類二，當(dāng)50°是頂角時(shí)，由此得出答案也是有兩個(gè)。

比如題目二：在等腰三角形中，∠ A的度數(shù)為X，∠ B的度數(shù)是X+60°，那么X是多少度？

上題的條件中已知三角形是等腰三角形，但是可以發(fā)現(xiàn)題中并沒有明確指出相等的邊是哪兩條，因此要進(jìn)行分類討論，當(dāng)∠ A是頂角時(shí)，此時(shí)的方程可以列為 X+2（X+60°）=180°，而后解得X=20°;當(dāng)∠ B 為頂角時(shí)，此時(shí)的方程為X+X+X+60°=180°，解得X=40°，因此，本題的答案是20°或40°.

比如題目三：一個(gè)等腰的三角形模型的內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么這個(gè)等腰的三角形模型的內(nèi)角分別為多少度？

通過(guò)對(duì)上題的條件分析得出，本題中并沒有對(duì)角做出具體的說(shuō)明，所以本題依舊需要用分類討論的思想來(lái)解決。首先，如果底角是頂角的2倍，此時(shí)需要設(shè)頂角為X，那么底角就是2X.所列方程為：2X+2X+X=180°，X=36°，2X=72°.那么此時(shí)等腰三角形的內(nèi)角度數(shù)分別為：36°，72°，72°.第二，如果頂角是底角的2倍，此時(shí)設(shè)底角為X，頂角為2X.所列方程為：X+X+2X=180°，X=45°，2X=90°。所以頂角是底角的2倍這種分類時(shí)，此時(shí)，等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為：45°，45°，90°.

（三）等腰三角形中“形”的分類討論

在等腰三角形的角和邊的題型中都運(yùn)用到了分類討論的思想，另外，還有更多的題型使用到了分類討論思想。比如題目：拿到一個(gè)等腰的三角形模型中的一個(gè)腰上的高與另一個(gè)腰上的夾角是48°，那么這個(gè)等腰的三角形模型的底角為多少度？

這個(gè)題目的也是需要通過(guò)分類來(lái)完成，第一，當(dāng)?shù)妊切蔚哪Ｐ褪卿J角的時(shí)候，一條高就是90°，頂角∠ A就是90°-48°=42°，那么此時(shí)的底角就是69°.如果三角形時(shí)是鈍角三角形時(shí)，高在三角形的外部，此時(shí)頂角就是138°，底角為21°。所以可以看出，在等腰三角形的形中也會(huì)用到分類思想。

（四）等腰三角形中“線”的分類討論

在等腰三角形中，由于腰上線的位置不同，所以也要運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行解答。比如在題目：一個(gè)等腰的三角形模型任意一個(gè)腰上的中線把模型的周長(zhǎng)分成了15厘米和18厘米，那么這個(gè)等腰的三角形模型的底長(zhǎng)和腰長(zhǎng)為多少度？

這個(gè)題中，需要對(duì)中線的情況進(jìn)行分類，由上圖可以看出邊AB與邊AC相等，BD是AC邊上的中線，由此可以得出AD=CD，AB=2AD，題中的周長(zhǎng)分別是15和18厘米，可以列式為：AB+AD=15，BC+CD=18，又因?yàn)锳B=2AD，所以得出，AD=5，那么AB=10，BC=13;另一種情況是AB+AD=18，BC+CD=15，可求得AB=12，BC=9。

（五）等腰三角形在“坐標(biāo)軸”中的分類討論

除了上述一些題型外，有時(shí)可以將一個(gè)等腰三角形放到坐標(biāo)軸中去討論。比如題目：下圖中的坐標(biāo)軸中，A的坐標(biāo)是（1，0），B的坐標(biāo)是（0，-1），在X軸上任意找一個(gè)點(diǎn)，讓三角形ABC是一個(gè)等腰三角形，那么點(diǎn)C可以在哪里？

此時(shí)，就運(yùn)用到了分類討論思想，就是讓點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C分別都作為等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)來(lái)進(jìn)行分類，那么就會(huì)出現(xiàn)三種情況：第一，此時(shí)把A看做是三角形的頂點(diǎn)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)可以是（ 2 ?+1，0）、 （1- ?2 ?，0）.第二種情況，此時(shí)如果把點(diǎn)B看成是頂點(diǎn)的話，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-1，0）。第三種情況，此時(shí)如果點(diǎn)C是等腰三角形的頂點(diǎn)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，0）。

總之，分類討論思想在解答的過(guò)程中的應(yīng)用可以發(fā)現(xiàn)，它們?cè)谂c“邊”“角”“形”“線”“坐標(biāo)系”的相關(guān)題目中，通過(guò)運(yùn)用分類討論思想讓這類數(shù)學(xué)題更加清晰明了，等腰三角形中所運(yùn)用的分類討論思想讓我們?cè)诮忸}過(guò)程中，思考的更加全面而謹(jǐn)慎。不單單是等腰三角形中可以使用到分類討論思想，在其他類型的題目中同樣適用，分類討論可以幫助我們做題，讓復(fù)雜的題目變得更加簡(jiǎn)單清晰，同時(shí)還能讓我們做題的思路更加廣闊，將題干中所涉及到的情況都考慮周全，不易丟分。數(shù)學(xué)中的題型多種多樣，而且題目的數(shù)量又有很多，所以我們永遠(yuǎn)都有做不完的題，但是不管題目發(fā)生什么樣的變化，其思想內(nèi)涵和解題的思路是不變的，可以采用多種多樣的方法，而分類討論的方法將數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)問題進(jìn)行了很好的融合，不管題目有多難，融合了幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)，依舊可以通過(guò)分類討論來(lái)解決。

【本文系黑龍江省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度教研專項(xiàng)重點(diǎn)課題《中小學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)策略研究》（課題編號(hào)：JYB1421649）研究成果】

指導(dǎo)教師：張春明

（作者學(xué)校：齊齊哈爾市拜泉縣國(guó)富鎮(zhèn)中心學(xué)校九年二班，黑龍江 ?拜泉 ?164700）