基于相場(chǎng)模型的裂紋貫穿程度對(duì)試件強(qiáng)度影響研究

高 宇 陳 穎 岳 強(qiáng) 王 橋 周 偉 張晨露

(1.大唐宣威水電開(kāi)發(fā)有限公司, 云南 曲靖 655499;2.武漢大學(xué) 水利水電學(xué)院, 武漢 430072)

對(duì)于各個(gè)工程領(lǐng)域中的混凝土、巖石、砌體和陶瓷等脆性或準(zhǔn)脆性材料,斷裂破壞是它們主要的破壞形式.許多災(zāi)難性的事故都?xì)w因于結(jié)構(gòu)斷裂或者裂紋擴(kuò)展.因此,為保證結(jié)構(gòu)正常使用,對(duì)脆性材料或者準(zhǔn)脆性材料斷裂機(jī)理以及裂紋擴(kuò)展等問(wèn)題進(jìn)行研究是十分重要的.

在理論分析方面,學(xué)者們先后提出了線彈性斷裂力學(xué)[1]、內(nèi)聚力模型[2]和損傷力學(xué)[3]等理論.近幾十年來(lái),計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展為數(shù)值模擬奠定了良好的基礎(chǔ),許多研究學(xué)者已經(jīng)提出了多種數(shù)值方法或計(jì)算力學(xué)方法對(duì)裂紋進(jìn)行模擬,主要分為離散裂縫模型[4]和彌散裂縫模型[5].離散裂縫模型主要解決預(yù)知路徑裂紋的問(wèn)題,且裂縫只允許在單元邊界擴(kuò)展,需要對(duì)裂紋路徑進(jìn)行跟蹤,過(guò)程十分繁雜;彌散裂縫模型通過(guò)對(duì)材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系進(jìn)行描述,可以自動(dòng)模擬沿開(kāi)裂方向的裂紋,無(wú)需跟蹤裂紋路徑,但是具有對(duì)網(wǎng)格排列依賴性嚴(yán)重的問(wèn)題.針對(duì)這些弊端,又有學(xué)者在上述模型的基礎(chǔ)上改進(jìn)發(fā)展出擴(kuò)展有限元法(XFEM)[6],但仍然存在邊界條件難以確定,對(duì)裂縫幾何描述與跟蹤繁瑣,人為設(shè)定因素太多等問(wèn)題.

相場(chǎng)理論[7]是近二十余年發(fā)展起來(lái)的方法,引起了各界學(xué)者的廣泛關(guān)注,并先后提出了多種相場(chǎng)模型[8-10].相場(chǎng)模型只需要對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行一次劃分,操作簡(jiǎn)單且對(duì)網(wǎng)格數(shù)量不敏感,不需要對(duì)裂紋進(jìn)行特別處理,能夠處理復(fù)雜裂縫模式.但是現(xiàn)有的相場(chǎng)斷裂模型大多只考慮了拉伸破壞,不能直接應(yīng)用于剪切破壞.王橋等[11]提出了基于統(tǒng)一拉伸斷裂準(zhǔn)則的混合模式斷裂相場(chǎng)模型,在模擬中可以根據(jù)材料的特性得到不同的斷裂模式,包括基于最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力準(zhǔn)則的破壞.采用統(tǒng)一的拉伸斷裂準(zhǔn)則可以很容易地確定裂紋擴(kuò)展方向.

大多數(shù)學(xué)者用方板來(lái)對(duì)裂紋進(jìn)行數(shù)值模擬,只考慮了簡(jiǎn)單邊界條件,對(duì)于初始裂縫長(zhǎng)度只取方板邊長(zhǎng)的一半,并未探究初始裂縫長(zhǎng)度對(duì)方板強(qiáng)度的影響,也未考慮初始裂紋貫穿程度在不同受力破壞狀態(tài)下所產(chǎn)生影響的差異性.本文以有限元通用軟件實(shí)現(xiàn)混合模式斷裂相場(chǎng)模型,給出不同初始裂紋長(zhǎng)度的方板在受拉伸、剪切和拉剪荷載時(shí)的算例.

1 相場(chǎng)斷裂模型

1.1 統(tǒng)一相場(chǎng)模型

由于對(duì)各區(qū)域粒徑進(jìn)行了放大,需要按照尺度關(guān)系調(diào)整顆粒材料參數(shù),以保證不同區(qū)域相應(yīng)物理力學(xué)特性的一致性.

相場(chǎng)模型是基于Griffith斷裂理論[12]的變分準(zhǔn)則,當(dāng)無(wú)體力作用時(shí),彈性體總勢(shì)能E可以表示為:

引入相場(chǎng)變量s∈[0,1]代表材料的損傷程度將尖銳裂紋面彌散到一定寬度的區(qū)域內(nèi).用相場(chǎng)s表示的裂紋面如圖2所示.s=0時(shí),代表材料完好無(wú)損;s=1時(shí)代表材料完全破壞.建立式(1)的正則化方程:

圖1 彈性體中尖銳的裂紋面

圖2 彌散化的裂紋面

對(duì)于傳統(tǒng)的相場(chǎng)模型,一般采用α(s)=s2,然而這種形式的相場(chǎng)模型計(jì)算結(jié)果對(duì)參數(shù)l0有很大的敏感性,本文采用吳建營(yíng)等[10]提出的統(tǒng)一相場(chǎng)模型中推導(dǎo)的形式,即:

1.2 控制方程

彈性體內(nèi)同時(shí)得到位移場(chǎng)和相場(chǎng),利用能量最小原理,得到公式(3)的變分形式:

其中公式(15)稱為平衡方程,公式(16)稱為裂紋演化方程.

將公式(4)代入式(16)中,可得到裂紋演化方程:

1.3 拉剪混合破壞模式的相場(chǎng)模型

目前的相場(chǎng)模型理論,絕大部分只能模擬材料的受拉破壞過(guò)程,而對(duì)其它的破壞模式無(wú)能為力,最近王橋等[11]等提出了一種適用于拉剪混合破壞模式的混合模式相場(chǎng)理論,通過(guò)兩個(gè)不同的退化函數(shù),將能量密度函數(shù)分解為:

式中:σt為臨界拉伸破壞強(qiáng)度;χ為臨界剪切破壞強(qiáng)度與臨界拉伸強(qiáng)度的比值.

1.4 歷史場(chǎng)

本文采用提出的分步解耦算法求解,為了防止裂紋的愈合,建立歷史場(chǎng)變量?=?I+?II,對(duì)于初始荷載步

從而通過(guò)控制方程,即式(15)和式(31)的循環(huán)求解,即可得到最終的裂紋擴(kuò)展路徑.

2 數(shù)值算例

為了探究不同的初始裂紋在相同加載狀態(tài)下對(duì)試件最終破壞模式的影響,對(duì)數(shù)值模擬中常用的單邊缺口方板進(jìn)行敏感性分析,板的邊長(zhǎng)為1.0 mm,缺口由板的左側(cè)邊界向板內(nèi)延伸,其長(zhǎng)度為d0.板的下端固定,同時(shí)對(duì)上邊界施加勻速增加的位移荷載.

2.1 拉伸加載

為了探究在不同初始裂紋長(zhǎng)度情況下,I型斷裂裂紋的特征,在邊長(zhǎng)為1 mm 方板上邊界施加豎直向上的位移,加載速率為每個(gè)荷載步Δu y=1.0×10-5mm,如圖3所示.

圖3 拉伸加載條件下方板的幾何模型和加載示意圖(單位:mm)

將缺口長(zhǎng)度d0分別取0.10,0.30,0.35,0.40,0.50,0.60,0.65,0.70和0.90 mm 這9種情況.各情況下的裂紋開(kāi)展路徑如圖4所示,對(duì)于不同的初始裂紋狀態(tài),最終的拉斷裂紋路徑基本一致,方板的最終破壞狀態(tài)未受初始裂紋長(zhǎng)度的影響;方板上邊界的反力-位移曲線如圖5所示,可見(jiàn)隨著初始裂紋長(zhǎng)度的增加,方板抵抗拉力的能力逐漸減弱,最大反力逐漸減小.各情況下的上邊界反力峰值與對(duì)應(yīng)位移見(jiàn)表1.當(dāng)初始裂紋長(zhǎng)度在0.3～0.7 mm 之間時(shí),其最大反力對(duì)應(yīng)的位移值幾乎相同,而在這個(gè)區(qū)間之外時(shí),隨著初始裂紋長(zhǎng)度的增加,最大反力所對(duì)應(yīng)的位移值迅速減小.

圖4 拉伸加載條件下的方板裂紋路徑

圖5 拉伸加載時(shí)不同長(zhǎng)度初始裂縫方板反力-位移曲線

表1 不同初始裂紋方板在拉伸荷載作用下反力-位移曲線峰值

2.2 純剪切加載

此節(jié)分析不同初始裂紋長(zhǎng)度對(duì)II型斷裂的影響,為了統(tǒng)一性和方便性,采用和2.1節(jié)同幾何條件的方板試樣,初始裂紋長(zhǎng)度的選取也同2.1節(jié).這里對(duì)方板的底邊固定,而在上邊界采用水平向右的位移荷載,加載速率為Δu x=1.0×10-5mm,如圖6 所示.

圖6 剪切加載條件下方板的幾何模型和加載示意圖(單位:mm)

圖7是純剪切加載下9個(gè)不同初始裂紋長(zhǎng)度試樣的裂紋發(fā)展情況.當(dāng)d0≤0.1 mm 時(shí),方板的裂紋擴(kuò)展與無(wú)裂紋擴(kuò)展形式類似,即從下端剪斷,此時(shí)初始裂紋對(duì)方板在受剪狀態(tài)下的強(qiáng)度幾乎沒(méi)有影響.當(dāng)d0≥0.3 mm 時(shí),方板裂紋沿初始裂紋擴(kuò)展且隨著d0的增加,裂紋擴(kuò)展的方向逐漸向下傾斜.當(dāng)d0=0.3 mm 時(shí),裂紋貫穿至方板右側(cè),當(dāng)0.35 mm≤d0≤0.7 mm 時(shí),裂紋沿著初始裂紋斜向下迅速擴(kuò)展至方板下端直至貫穿;當(dāng)d0=0.9 mm 時(shí),裂紋沿初始裂紋貫穿至方板右側(cè).試樣的反力-位移曲線如圖8所示.

圖7 剪切加載時(shí)不同長(zhǎng)度初始裂縫方板裂紋演化情況

圖8 剪切加載時(shí)不同長(zhǎng)度初始裂縫方板反力-位移曲線

當(dāng)初始裂紋長(zhǎng)度在0.1～0.3 mm 內(nèi)時(shí),最大反力隨d0減小而減小;當(dāng)d0=0.35 mm 時(shí),反力-位移曲線發(fā)生突然變化,相較d0=0.30 mm 最大反力增加0.3 k N;當(dāng)d0≥0.35 mm 時(shí),最大反力隨初始裂紋長(zhǎng)度的增加而減小,且最大反力對(duì)應(yīng)的位移也逐漸減小.在剪力作用下,方板在破壞的過(guò)程中,其反力可能有多個(gè)峰值.

表2 不同初始裂紋方板在剪切荷載作用下反力-位移曲線峰值

2.3 拉剪混合加載

為了進(jìn)一步研究初始裂紋對(duì)方板破壞方式的影響,這里采用拉力和剪力共同作用的方式,如圖9所示,在方板的上邊界同時(shí)采用豎直向上和水平向右的位移荷載,加載速率為Δu x=1.0×10-5mm 且Δu y=1.0×10-5mm.

圖9 拉剪混合加載下裂縫算例的幾何模型和加載示意圖

圖10是在拉力和剪力共同作用下9個(gè)不同初始裂紋長(zhǎng)度試樣的裂紋的發(fā)展情況.當(dāng)d0≤0.5 mm時(shí),裂紋的破壞路徑是不穩(wěn)定的,方板的頂部和中部均有可能發(fā)生斷裂;當(dāng)d0＞0.5 mm 時(shí),方板的破壞方式逐漸穩(wěn)定,裂紋由初始裂紋繼續(xù)向斜下方發(fā)展直至破壞;試樣的反力-位移曲線如圖11所示.各個(gè)初始裂紋長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的反力-位移曲線峰值見(jiàn)表3.最大反力隨初始裂紋長(zhǎng)度的增加而減小,且最大反力對(duì)應(yīng)的位移也逐漸減小.

圖10 拉伸和剪切共同加載時(shí)不同長(zhǎng)度初始裂縫方板裂紋演化情況

圖11 拉伸和剪切共同加載時(shí)不同長(zhǎng)度初始裂縫方板反力-位移曲線

表3 不同初始裂紋方板在拉伸和剪切荷載作用下反力-位移曲線峰值

3 結(jié) 論

本文基于適用于拉剪混合斷裂模式的相場(chǎng)模型進(jìn)行了算例數(shù)值模擬分析,探討了斷裂力學(xué)算法分析中常用的方板在不同的外力狀態(tài)下和不同初始裂紋長(zhǎng)度下的裂紋擴(kuò)展路徑及力學(xué)響應(yīng),主要結(jié)論如下:

1)通過(guò)算例說(shuō)明了混合模式的相場(chǎng)模型的正確性與可靠性,能夠處理拉剪混合破壞模式的裂紋模擬問(wèn)題.

2)在受拉狀態(tài)下,無(wú)論初始裂紋的長(zhǎng)度多少,它的存在都會(huì)直接決定最終的裂紋路徑,且破壞路徑基本一致.

3)在受剪狀態(tài)下,當(dāng)初始裂紋長(zhǎng)度較短時(shí),其對(duì)方板的最終破壞模式影響較小,隨著其長(zhǎng)度的增加,方板的破壞模式逐漸由自身強(qiáng)度決定轉(zhuǎn)變?yōu)橛沙跏剂鸭y決定.

4)在拉剪混合外力作用下,隨著初始裂紋長(zhǎng)度的增加,裂紋的擴(kuò)展形態(tài)逐漸由不穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定狀態(tài),并且由初始裂紋決定.

5)隨著初始裂紋長(zhǎng)度的增加,方板的強(qiáng)度逐漸減小,但在不同外力狀態(tài)下,方板強(qiáng)度減小的規(guī)律有所區(qū)別.