預(yù)測膠粉改性瀝青混合料的相位角并分析其粘彈性*

張 飛，王 嵐，李 超，劉 恒

(1.內(nèi)蒙古自治區(qū)土木工程結(jié)構(gòu)與力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，呼和浩特 010051；2.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，呼和浩特010051；3.內(nèi)蒙古自治區(qū)交通運(yùn)輸科學(xué)發(fā)展研究院，呼和浩特010051)

0 引 言

瀝青混合料粘彈性原理的應(yīng)用受到越來越多的關(guān)注。瀝青混合料粘彈性的表征包括測量混合料的強(qiáng)度及彈性和粘性的相對比例[1]。粘彈性材料的力學(xué)行為與溫度、頻率、加載歷史都密切有關(guān)[2-3]。因此研究瀝青混合料性能關(guān)于溫度、頻率的依賴關(guān)系對了解瀝青路面的工作性能非常重要。在小應(yīng)變范圍或有限次數(shù)的循環(huán)荷載作用下，瀝青混合料表現(xiàn)出線性粘彈特性[4-5]。復(fù)數(shù)模量試驗(yàn)是研究瀝青混合料的線性粘彈性最常用的方法。在線性粘彈性范圍內(nèi)，瀝青混合料的動(dòng)態(tài)模量和相位角僅依賴于溫度和頻率。其中瀝青混合料的動(dòng)態(tài)模量是瀝青路面結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的重要參數(shù)之一。AASHTO 2002年出版的《路面設(shè)計(jì)指南》中就指出動(dòng)態(tài)模量是瀝青混合料的一個(gè)最基本參數(shù)，它代表了材料的剛度性能，其大小隨溫度和頻率的變化而變化。根據(jù)力學(xué)-經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法(MEPDG)，動(dòng)態(tài)模量所反映的信息和性能參數(shù)比其他參數(shù)更適合于路面設(shè)計(jì)。目前已經(jīng)發(fā)展了很多用于測試動(dòng)態(tài)模量的方法[6]，例如重復(fù)加載法、無約束共振法及瑞利波分析法，考慮到單軸壓縮法(屬于重復(fù)加載法)是目前應(yīng)用最普遍的試驗(yàn)方法，因此本文也采用這一方法進(jìn)行膠粉改性瀝青混合料動(dòng)態(tài)模量的測試。此外已經(jīng)建立的多項(xiàng)式模型[7]、標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)Sigmoidal模型[8]、廣義對數(shù)Sigmoidal模型[9-10]等都可用以表征瀝青類材料的動(dòng)態(tài)模量主曲線。很多文獻(xiàn)表明[11-12]，非對稱的廣義對數(shù)Sigmoidal公式比對稱的Sigmoidal公式更能代表動(dòng)態(tài)模量主曲線，因此本文也選擇廣義對數(shù)Sigmoidal公式作為膠粉改性瀝青混合料動(dòng)態(tài)模量主曲線的函數(shù)形式。然而受實(shí)驗(yàn)設(shè)備及其他因素的限制，相位角的測量難免會出現(xiàn)偏差，有時(shí)甚至難以獲得測試數(shù)據(jù)(例如長壽面路面)。因此建立相位角與動(dòng)態(tài)模量的函數(shù)關(guān)系就顯得尤為重要，基于此Dickersen和Wit[13]提出了瀝青膠結(jié)料的相位角、復(fù)模量和頻率之間的關(guān)系，然而這樣的表達(dá)形式分別采用獨(dú)立的參數(shù)構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，導(dǎo)致其結(jié)果往往難以滿足Kramers-Kronig(K-K)關(guān)系[14]；Christensen和Anderson[15]通過動(dòng)態(tài)熱機(jī)械分析(DMA)的結(jié)果提出了描述瀝青類材料粘彈性力學(xué)行為的經(jīng)驗(yàn)性算法公式，即Christensen-Anderson(CA)模型，然而該模型對改性瀝青膠結(jié)料顯得無能為力；Marasteanu and Anderson[16]通過改進(jìn)CA模型開發(fā)了一個(gè)新的模型(即CAM模型)，以改善CA模型在低區(qū)和高區(qū)的頻率范圍擬合不準(zhǔn)確的問題，然而該模型在預(yù)測主曲線二端的漸近線時(shí)精確度略有不足且對瀝青混合料顯得無能為力。為解決復(fù)數(shù)模量及相位角難以滿足K-K關(guān)系的問題。Booij和Thoone[17]提出了基于廣K-K關(guān)系由復(fù)數(shù)模量與頻率的斜率預(yù)測相位角的概念。Marasteanu and Anderson在建立CAM模型的過程中[16]也借鑒了這一方法。同樣的為實(shí)現(xiàn)混合料相位角主曲線的預(yù)測，根據(jù)Booij和Thoone的成果，Rowe[19]提出基于Sigmoidal模型的瀝青混合料相位角主曲線的函數(shù)形式。Mensching[19]利用同樣的方法構(gòu)建了基于廣義Sigmoidal模型的相位角主曲線函數(shù)形式，并利用Black Space參數(shù)來評價(jià)瀝青混合料的低溫性能。Liu[20]也使用這樣的方法構(gòu)建了滿足K-K關(guān)系的高精度復(fù)數(shù)模量主曲線。Nobakht[21]使用同樣的方法預(yù)測了九種老化條件下混合料的相位角，結(jié)果表明該方法對老化后的混合料同樣可行。所有這些研究結(jié)果都表明由動(dòng)態(tài)模量預(yù)測相位角的可行性。盡管目前膠粉改性瀝青混合料高低溫性能的研究成果已有很多，然而同時(shí)從松弛模量和蠕變?nèi)崃康慕嵌妊芯繙匕枨昂竽z粉改性瀝青的線性粘彈性的研究成果并不多見。本文通過時(shí)間-溫度疊加原理[21]，在滿足K-K關(guān)系的基礎(chǔ)上構(gòu)建了溫拌膠粉改性瀝青混合料的廣義Sigmoidal動(dòng)態(tài)模量主曲線。根據(jù)近似K-K關(guān)系由斜率法從動(dòng)態(tài)模量主曲線預(yù)測了相應(yīng)的相位角主曲線，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步計(jì)算時(shí)域的松弛模量和蠕變?nèi)崃?，用以分析溫拌前后膠粉改性瀝青混合料在線性粘彈性范圍內(nèi)的松弛及蠕變特性，從而研究相應(yīng)混合料的高低溫性能。

1 實(shí) 驗(yàn)

1.1 材料和試樣制作

本研究制備了二種類型的溫拌膠粉改性瀝青混合料作為對比同時(shí)也制備了相應(yīng)的熱拌混合料?；旌狭霞壟漕愋蜑锳C-16?；|(zhì)瀝青性能等級為PG 64-22，將60目膠粉和混合目膠粉分別加入到基質(zhì)瀝青中，按照適當(dāng)工藝[23]即可制備出對應(yīng)的膠粉改性瀝青，其中橡膠粉與基質(zhì)瀝青的質(zhì)量比為1∶5。溫拌劑為SDYK型表面活性劑且其摻量為膠粉改性瀝青質(zhì)量的1%。表1和圖1為混合料的礦料級配，此外HMA-60和HMA-C中膠粉改性瀝青含量分別為5.4%和5.6%。溫拌瀝青混合料中的膠粉改性瀝青含量與相應(yīng)的熱拌瀝青混合料相同。熱拌混合料的拌和溫度、壓實(shí)溫度分別為180、170 ℃，而溫拌混合料的拌和溫度、壓實(shí)溫度分別為162和152 ℃。溫拌混合料的體積參數(shù)與相應(yīng)的熱拌瀝青混合料的體積參數(shù)一致，表2為各類混合料的體積參數(shù)。采用Superpave旋轉(zhuǎn)壓實(shí)儀制作直徑為150 mm，高度為178 mm的原始試樣，然后取芯、切割，制備出直徑100 mm，高度150 mm的標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)試件。試樣的空隙率控制在3.5%～4.5%之間。為降低老化所有試樣均保存在無光的養(yǎng)護(hù)箱中，但不宜超過兩周。

圖1 膠粉改性瀝青混合料的級配

表1 各檔集料摻配比例

表2 最佳瀝青用量下的體積參數(shù)

1.2 實(shí)驗(yàn)方案

根據(jù)AASHTO TP 79-15[24]，進(jìn)行壓縮載荷下復(fù)數(shù)模量試驗(yàn)。利用伺服液壓萬能試驗(yàn)機(jī)(UTM-100)進(jìn)行動(dòng)態(tài)模量和相位角的測試。試驗(yàn)溫度為5、20、35、50 ℃，荷載頻率為25、20、10、5、1、0.5、0.1 Hz。試驗(yàn)從最低溫度(5 ℃)開始到最高溫度(50 ℃)終止。并對每個(gè)試樣進(jìn)行了從最高頻率(25 Hz)到最低頻率(0.1 Hz)的掃描測試。為了保證試樣在線性粘彈性范圍內(nèi)，最大軸向應(yīng)變不宜超過125 με[24]。

2 粘彈性響應(yīng)函數(shù)的計(jì)算方法

2.1 移位技術(shù)

Williams，Lanedl，F(xiàn)erry等人在研究高分子材料的時(shí)間、溫度依賴關(guān)系過程中找到了移位因子的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式[25]，即WLF公式。它可在Tg～Tg+100 ℃的溫度范圍內(nèi)表達(dá)移位因子對溫度的依賴關(guān)系。公式1就是WLF公式的函數(shù)表達(dá)形式。本文也采用WLF公式計(jì)算移位因子。

(1)

其中：lgαT為移位因子；C1、C2為WLF公式的經(jīng)驗(yàn)常數(shù)；Tr和T分別為參考溫度和實(shí)驗(yàn)溫度，℃。

2.2 動(dòng)態(tài)模量主曲線模型

動(dòng)態(tài)模量可由復(fù)數(shù)模量試驗(yàn)來獲得，復(fù)數(shù)模量可由施加的半正弦應(yīng)力σ(t)與其對應(yīng)的應(yīng)變ε(t)之比來定義，詳見公式2。復(fù)數(shù)模量的絕對值就是動(dòng)態(tài)模量，在試驗(yàn)測試過程中動(dòng)態(tài)模量可由峰值應(yīng)力與峰值應(yīng)變之比來定義，詳見公式3。而復(fù)數(shù)模量試驗(yàn)中應(yīng)變滯后于應(yīng)力的相位差就是相位角[26]，在試驗(yàn)測試過程中可由最后5次加載循環(huán)中峰值應(yīng)力和峰值應(yīng)變的平均滯后時(shí)間與最后5次加載循環(huán)的平均加載周期之比來定義，詳見公式4。對彈性材料，相位角等于0 °；對粘性材料，相位角等于90 °；對粘彈性材料，相位角在0 °～90 °范圍內(nèi)變化[27-28]。

(2)

(3)

(4)

其中：E*是復(fù)數(shù)模量，MPa；σ0是峰值應(yīng)力，MPa；ε0是峰值應(yīng)變；ω是角頻率，rad/s；φ是相位角，°；ti是最后5次加載循環(huán)中峰值應(yīng)力和峰值應(yīng)變的平均滯后時(shí)間，s；tp是最后五次加載循環(huán)的平均加載周期，s。

通過將實(shí)測動(dòng)態(tài)模量數(shù)據(jù)點(diǎn)移動(dòng)到參考溫度，形成一條平滑的曲線，即動(dòng)態(tài)模量主曲線。它可用來研究瀝青混合料在較大范圍的動(dòng)態(tài)粘彈性力學(xué)性能。本文以20 ℃作為參考溫度。大量研究表明[29-30]，當(dāng)加載頻率趨于無窮，動(dòng)態(tài)模量趨于最大值，當(dāng)加載頻率趨于零，動(dòng)態(tài)模量趨于最小值。廣義Sigmoidal主曲線模型可以很好的表征這一特性。

與Sigmoidal模型相比，廣義Sigmoidal模型增加了控制模型非對稱特性[31-32]的參數(shù)λ。其計(jì)算表達(dá)形式見式(5)。

(5)

式中：δ是主曲線的下端近似值；α是主曲線的上端近似值與下端近似值之差；β,γ,λ是主曲線的形狀系數(shù)，參數(shù)γ影響最大值和最小值之間的變化率，參數(shù)β影響轉(zhuǎn)折點(diǎn)的水平位置，參數(shù)λ影響曲線的非對稱特性；fr是縮減頻率，Hz。

縮減頻率是實(shí)驗(yàn)溫度對參考溫度的等效頻率，在對數(shù)坐標(biāo)下可按公式6進(jìn)行計(jì)算。

lgfr=lgf+lgαT

(6)

式中：fr為任意試驗(yàn)溫度相對于參考溫度的縮減頻率，Hz；f為試驗(yàn)頻率，Hz。

2.3 相位角主曲線模型

Booij和Thoone[17]根據(jù)廣義Kramers-Kronig關(guān)系提出相位角可由復(fù)數(shù)模量與頻率的函數(shù)關(guān)系(斜率方法)來獲得，如式7所示。但該式在計(jì)算過程中存在極大的困難。為便于計(jì)算，對公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕玫交诮芀ramers-Kronig關(guān)系[33-34]的簡化計(jì)算公式，如公式8所示。將廣義Sigmoidal模型的函數(shù)形式代入公式8可以得到基于廣義Sigmoidal模型預(yù)測的相位角函數(shù)形式，公式9即為由廣義Sigmoidal模型按照近似Kramers-Kronig關(guān)系得到的相位角表達(dá)形式。在實(shí)際應(yīng)用過程中考慮到相位角較大的變異性，因此在相位角的預(yù)測函數(shù)形式中習(xí)慣性的引入調(diào)整參數(shù)k，通常用公式10來代替公式9[35]。本文也采用公式10進(jìn)行相位角的預(yù)測。

(7)

(8)

(9)

(10)

其中：u是積分變量；φ(fr)是基于近似K-K關(guān)系由動(dòng)態(tài)模量主曲線預(yù)估的相位角，°；φ1(fr)是基于廣義Sigmoidal動(dòng)態(tài)模量主曲線預(yù)估的相位角，°；k是相位角的調(diào)整參數(shù)。

2.4 確定動(dòng)態(tài)模量主曲線和相位角主曲線的模型參數(shù)

根據(jù)廣義Sigmoidal模型分別構(gòu)建了4種瀝青混合料的動(dòng)態(tài)模量主曲線，并采用WLF公式計(jì)算移位因子。廣義Sigmoidal動(dòng)態(tài)模量主曲線模型有5個(gè)待定的模型參數(shù)(δ、α、β、γ、λ)，此外，尚需確定移位因子參數(shù)(C1、C2)和相位角的調(diào)整參數(shù)(k)。將動(dòng)態(tài)模量和相位角的測試數(shù)據(jù)代入誤差函數(shù)ef，同步求解公式5和10即可獲得模型所有參數(shù)及相應(yīng)的移位因子參數(shù)。誤差函數(shù)ef的表達(dá)式詳見公式11。所有的模型參數(shù)、移位因子參數(shù)及相位角的調(diào)整參數(shù)都可以通過非線性最小二乘回歸得到[36]。最終將所得的參數(shù)擬合結(jié)果列于表3。

表3 廣義Sigmoidal模型的擬合參數(shù)

(11)

其中：ef是誤差函數(shù)，%；N是試驗(yàn)測試數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其大小等于28；|E*|m,i是實(shí)測動(dòng)態(tài)模量的第i個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，其數(shù)值可由復(fù)數(shù)模量試驗(yàn)直接獲得，MPa；|E*|p,i是動(dòng)態(tài)模量的第i個(gè)預(yù)測點(diǎn)，其數(shù)值可從公式5求得，MPa；|φ|m,i是實(shí)測相位角的第i個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，其數(shù)值可由復(fù)數(shù)模量試驗(yàn)直接獲得，°；|φ|p,i是相位角的第i個(gè)預(yù)測點(diǎn)，其數(shù)值可從公式10求得，°。

從表3的模型參數(shù)擬合結(jié)果可知，參數(shù)λ都不等于1，這就說明膠粉改性瀝青混合料的主曲線確實(shí)是非對稱的，此外模型的最大誤差僅有1.23%，這就充分說明了與實(shí)測結(jié)果相比，動(dòng)態(tài)模量和相位角的模型預(yù)估值都顯示出較高的相關(guān)性，這也進(jìn)一步說明了預(yù)測模型的可靠性。

3 結(jié)果和討論

3.1 移位因子的比較

將表3中的移位因子參數(shù)代入公式1即可求出相應(yīng)的移位因子。圖2為4種混合料在不同溫度下的對數(shù)移位因子結(jié)果。由圖可知，移位因子是溫度的函數(shù)，當(dāng)試驗(yàn)溫度大于參考溫度時(shí)移位因子小于1且溫度越高移位因子越小，反之當(dāng)試驗(yàn)溫度小于參考溫度則移位因子大于1且溫度越低移位因子越大。在參考溫度下4種混合料的移位因子都等于1，當(dāng)試驗(yàn)溫度大于或小于參考溫度不同類型混合料的移位因子也不同，具體表現(xiàn)為HMA-60的移位因子大于其他3類混合料的移位因子，這說明HMA-60溫度敏感性最高；溫拌后HMA-60的移位因子減小而HMA-C的移位因子變化并不顯著，說明溫拌后降低了HMA-60的溫度敏感性。

圖2 膠粉改性瀝青混合料的移位因子

3.2 動(dòng)態(tài)模量預(yù)測結(jié)果與實(shí)測結(jié)果的比較

圖3在雙對數(shù)坐標(biāo)下繪制了4種瀝青混合料的實(shí)測值和廣義Sigmoidal模型的預(yù)測值，圖中對角線是動(dòng)態(tài)模量的等值線。由圖可知當(dāng)頻率較高即動(dòng)態(tài)模量較大時(shí)(>1 000 MPa)數(shù)據(jù)點(diǎn)均勻地分布在等值線上，與等值線具有極好的線性線相關(guān)性；當(dāng)頻率較低即動(dòng)態(tài)模量較小時(shí)(<1 000 MPa)數(shù)據(jù)點(diǎn)在等值線附近略有波動(dòng)，且HMA-60的離散型最為顯著；盡管如此，但所有混合料的動(dòng)態(tài)模量預(yù)測值與實(shí)測值的相關(guān)系數(shù)都高達(dá)0.999，這說明四類混合料的模型預(yù)測值與實(shí)測值都顯示出極高的線性相關(guān)性。也就是說基于K-K關(guān)系的主曲線擬合并沒有以犧牲動(dòng)態(tài)模量的精確性為代價(jià)，這也進(jìn)一步說明廣義Sigmoidal模型可作為膠粉改性瀝青混合料的動(dòng)態(tài)模量主曲線的預(yù)估模型。

圖3 動(dòng)態(tài)模量預(yù)測結(jié)果及其實(shí)測結(jié)果的比較

3.3 相位角預(yù)測結(jié)果與實(shí)測結(jié)果的比較

根據(jù)斜率方法可從動(dòng)態(tài)模量主曲線得到相位角與頻率的函數(shù)關(guān)系。將表3中的模型參數(shù)結(jié)果代入公式10，即可得到相位角的預(yù)測結(jié)果，且這樣的結(jié)果滿足K-K關(guān)系，并將不同混合料的預(yù)測結(jié)果與實(shí)測結(jié)果都繪制于圖4。

圖4是基于廣義Sigmoidal模型的斜率法構(gòu)建的不同混合料的相位角主曲線預(yù)測結(jié)果及其實(shí)測結(jié)果。圖中對角線是相位角的等值線，由圖可知所有數(shù)據(jù)點(diǎn)均勻分布在等值線二側(cè)，這說明與實(shí)測結(jié)果相比基于廣義Sigmoidal主曲線預(yù)測的相位角主曲線具有較好的擬合優(yōu)度。此外也發(fā)現(xiàn)HMA-C的擬合優(yōu)度最好高達(dá)0.978，而WMA-60的數(shù)據(jù)點(diǎn)分布較為離散擬合優(yōu)度僅為0.884.這也說明相位角預(yù)測值的擬合優(yōu)度遠(yuǎn)不如動(dòng)態(tài)模量，這一方面是由于相位角主曲線是從動(dòng)態(tài)模量主曲線按照近似K-K獲得，這一過程本身就存在誤差，另一方面是因?yàn)橄辔唤菍?shí)測結(jié)果本身就存在較大的變異性[37]，尤其是高溫下，相位角的變化性較為顯著。

圖4 相位角預(yù)測結(jié)果及其實(shí)測結(jié)果的比較

3.4 用Black Space圖驗(yàn)證動(dòng)態(tài)模量和相位角主曲線符合線性粘彈性理論

Black Space圖[38]是將動(dòng)態(tài)模量和相位角以半對數(shù)曲線圖的形式繪制出來。為增強(qiáng)對比在此將動(dòng)態(tài)模量和相位角的實(shí)測值及預(yù)測值都繪制于同一張Black Space圖，并用以檢查預(yù)測模型的可靠性。圖5是HMA-C和WMA-C的Black Space圖。在該圖中,由廣義Sigmoidal模型得到動(dòng)態(tài)模量的預(yù)估值，根據(jù)K-K關(guān)系由斜率法得到相位角的預(yù)估值。結(jié)果表明，所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)都位于或接近于一條獨(dú)特的平滑曲線，該結(jié)果既證明了實(shí)測結(jié)果的可靠性，也驗(yàn)證了所構(gòu)建的動(dòng)態(tài)模量和相位角主曲線符合線性粘彈性理論。此外如圖6所示，這樣的結(jié)果也在Cole-Cole圖[39]得到了證明。其他類型的膠粉改性瀝青混合料也表現(xiàn)出類似的規(guī)律，考慮到文章篇幅有限，這里不做進(jìn)一步論述。

圖5 Black Space圖

圖6 Cole-Cole圖

3.5 不同類型膠粉改性瀝青混合料動(dòng)態(tài)模量及其相位角主曲線的比較

為便于比較不同類型混合料的動(dòng)態(tài)模量及其相位角，將4種膠粉改性瀝青混合料的動(dòng)態(tài)模量主曲線和相位角主曲線都顯示于圖7，其中采用廣義Sigmoidal模型構(gòu)建動(dòng)態(tài)模量主曲線，根據(jù)近似的K-K關(guān)系，得到對應(yīng)的相位角主曲線。

由圖7可以看出，動(dòng)態(tài)模量主曲線呈現(xiàn)S型，相位角主曲線呈鐘形。比較4種混合料的動(dòng)態(tài)模量主曲線發(fā)現(xiàn)，HMA-60的動(dòng)態(tài)模量總是比HMA-C的動(dòng)態(tài)模量??；但加入溫拌劑后，混合料的動(dòng)態(tài)模量在高頻域變小，低頻域變大，且對HMA-60的改變比HMA-C更加顯著；WMA-60的動(dòng)態(tài)模量總是比WMA-C的動(dòng)態(tài)模量小。這樣的結(jié)果表明，HMA-C的抗變形能力比HMA-60強(qiáng)；一旦加入溫拌劑，混合料在低頻下(高溫)的抗變形能力增大，高頻(低溫)下的抗變形能力減?。籛MA-C的抗變形能力也優(yōu)于WMA-60。比較4種混合料的相位角主曲線發(fā)現(xiàn)，HMA-60的相位角始終大于HMA-C的相位角；加入溫拌劑，混合料在高頻的相位角變大，低頻的相位角變小。這進(jìn)一步表明，HMA-C的粘性成分占比小于HMA-60；一旦加入溫拌劑，瀝青混合料的粘性成分占比在低頻區(qū)(高溫)減小，在高頻區(qū)(低溫)增加。這主要是由于同等條件下混合目膠粉改性瀝青膠結(jié)料的粘度大產(chǎn)生的混合料粘聚力也大，同時(shí)混合料在壓實(shí)過程也需要提供更大的壓實(shí)功，導(dǎo)致混合目膠粉改性瀝青混合料具有更高的強(qiáng)度和更好的抗變形能力；溫拌后降低了混合料的拌和溫度，這在一定程度上也減小了膠結(jié)料的老化，導(dǎo)致膠結(jié)料具有更好的流淌性，更多的膠結(jié)料可以被集料吸收從而提高結(jié)構(gòu)瀝青含量而減少自由瀝青含量，最終表現(xiàn)出溫拌后混合料的強(qiáng)度也在一定程度上有所提高。從分子角度看，這是由于溫拌后混合料中的瀝青膠結(jié)料的分子量和極性官能團(tuán)的濃度都下降導(dǎo)致的[40]。

圖7 膠粉改性瀝青混合料的動(dòng)態(tài)模量及其相位角主曲線

3.6 膠粉改性瀝青混合料的松弛和蠕變特性

存儲模量和損失模量是組成復(fù)數(shù)模量的2個(gè)關(guān)鍵部分[41]，確定了不同溫度和頻率下的動(dòng)態(tài)模量和相位角之后，可以根據(jù)公式12和13分別得到相應(yīng)的存儲模量和損失模量。而存儲模量和損失模量又是計(jì)算松弛模量和蠕變?nèi)崃康闹匾獏?shù)。

E′=|E*|cos(φ)

(12)

E″=|E*|sin(φ)

(13)

其中：E′是儲存模量，MPa；E″是損失模量，MPa。

3.6.1 膠粉改性瀝青混合料的松弛特性

在溫度和車輛荷載作用下，瀝青路面結(jié)構(gòu)的內(nèi)應(yīng)力會隨著時(shí)間的增加而逐漸消散，即產(chǎn)生應(yīng)力松弛[42]。當(dāng)溫度較低時(shí)，瀝青路面的松弛能力較差，路面結(jié)構(gòu)存在大量的應(yīng)力積累，易引起開裂，松弛模量[43]是評價(jià)松弛能力的最重要指標(biāo)，因此有必要研究瀝青混合料的低溫松弛模量。根據(jù)粘彈性材料函數(shù)與算子函數(shù)的關(guān)系[44]，可得到用Prony級數(shù)表示的存儲模量和損失模量，見式14、15。

(14)

(15)

其中：E′(w)是用縮減角頻率表示的存儲模量，它按照公式12由相應(yīng)角頻率下的動(dòng)態(tài)模量和相位角的余弦來獲得，MPa；E″(w)是用縮減角頻率表示的損失模量，它可按照公式13由相應(yīng)角頻率下的動(dòng)態(tài)模量和相位角的正弦來獲得，MPa；Ee是長期平衡模量，MPa；Ei是松弛強(qiáng)度，MPa；ρi是松弛時(shí)間，s；w是縮減角頻率，其大小等于2πfr。

為得到長期平衡模量和松弛強(qiáng)度。需要同步求解公式14和15，因此這里引入誤差函數(shù)ef1。誤差函數(shù)ef1可表示為公式16的形式，其中松弛時(shí)間可以按照Park[44]提供的方法在對數(shù)時(shí)間軸上以等距取值，其計(jì)算結(jié)果詳見表4。計(jì)算過程可參考誤差函數(shù)ef。

表4 膠粉改性瀝青混合料的離散松弛譜

(16)

其中：ef1是誤差函數(shù)；N是測量的數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其值等于28；|E′|m,i是由動(dòng)態(tài)模量和相位角余弦的乘積所得的儲量模量的第i個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，MPa；|E′|p,i是由Prony級數(shù)預(yù)測的儲量模量的第i個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，MPa；|E″|m,i是由動(dòng)態(tài)模量和相位角正弦的乘積所得的的損失模量的第i個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，MPa；|E″|p,i是由Prony級數(shù)預(yù)測的損失模量的第i個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，MPa。

一旦確定了公式14和15中的待定系數(shù)，那么可用公式17來確定時(shí)域下的松弛模量E(t)，松弛模量隨時(shí)間的關(guān)系曲線可用圖8來表示。

圖8 膠粉改性瀝青混合料的松弛模量及蠕變?nèi)崃恐髑€

(17)

其中：E(t)是松弛模量，MPa。

由圖8可知，HMA-C的松弛模量總是大于HMA-60的松弛模量；添加溫拌劑后，混合料的松弛模量在低時(shí)域(低溫)范圍內(nèi)下降，而在高時(shí)域(高溫)范圍內(nèi)增加；WMA-C的松弛模量總是大于WMA-60的松弛模量。這樣的結(jié)果表明HMA-60的低溫松弛能力始終優(yōu)于HMA-C，也就是說HMA-60較HMA-C具有更好的低溫抗裂性能；一旦加入溫拌劑，可提高膠粉改性瀝青混合料的低溫松弛能力，從而提高低溫抗裂性能；WMA-60的松弛能力始終優(yōu)于WMA-C，同樣反映出WMA-60較WMA-C具有更好的低溫抗裂性能。

3.6.2 膠粉改性瀝青混合料的蠕變特性

一旦由動(dòng)態(tài)模量的試驗(yàn)結(jié)果按照公式12、13得到了相應(yīng)的存儲模量和損失模量，那么按照公式18的方法可由存儲模量和損失模量的結(jié)果進(jìn)一步得到存儲柔量和損失柔量的結(jié)果。最終將所得的存儲柔量和損失柔量用Prony級數(shù)的形式表達(dá)。其Prony級數(shù)的形式分別為公式19和20。

(18)

(19)

(20)

其中：Dg是平衡柔量，MPa-1；η0是零剪切或長時(shí)間黏度(對瀝青混合料η0→∞)，cP；Dj是延遲強(qiáng)度，MPa-1；τj是延遲時(shí)間，s；它可由松弛時(shí)間的結(jié)果并按照Park[44]提出的方法來計(jì)算，詳細(xì)計(jì)算過程可以參考Zhang[45]的研究成果，并將最終結(jié)果列于表5；w是縮減角頻率，其大小等于2πfr。

表5 膠粉改性瀝青混合料的離散延遲譜

類似于公式14和15的計(jì)算過程，這里也可以建立誤差函數(shù)ef2來同時(shí)求解公式19和20中的Prony級數(shù)。

(21)

其中：ef2是誤差函數(shù)；N是測得的數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其大小等于28；|D′|m,i是通過儲存模量和損失模量得的存儲柔量的第i個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，MPa-1；|D′|p,i是由Prony級數(shù)預(yù)測的儲存柔量的第i個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，MPa-1；|D″|m,i是通過儲存模量和損失模量得的損失柔量的第i個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，MPa-1；|D″|p,i是由Prony級數(shù)預(yù)測的損失柔量的第i個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，MPa-1。

綜上可知，一旦確定了公式19和20中的待定系數(shù)，那么按照公式22即可確定時(shí)域下的蠕變?nèi)崃緿(t)，蠕變?nèi)崃勘硎締挝粦?yīng)力作用下隨時(shí)間的應(yīng)變響應(yīng)，它可作為瀝青混合料高溫性能的重要評價(jià)指標(biāo)[46]。蠕變?nèi)崃侩S時(shí)間的變化如圖8所示。

(22)

其中：D(t)是蠕變模量，MPa-1。

如圖8同樣可知，HMA-C的蠕變?nèi)崃啃∮贖MA-60的蠕變?nèi)崃?；添加溫拌劑后，混合料的蠕變?nèi)崃吭诘蜁r(shí)域(低溫)增加，在高時(shí)域(高溫)減小；WMA-C的蠕變?nèi)崃啃∮赪MA-60。這表明HMA-C的變形能力不如HMA-60；一旦加入溫拌劑，可提高膠粉改性瀝青混合料的高溫抗車轍性能和低溫抗裂性；WMA-C的抗車轍性能最優(yōu)，WMA-60的低溫抗裂性最優(yōu)。這同樣是由于同等條件下混合目膠粉改性瀝青的粘度大產(chǎn)生的混合料粘聚力也大。混合料在壓實(shí)過程也需要提供更大的壓實(shí)功，導(dǎo)致混合目膠粉改性瀝青混合料具有較大的強(qiáng)度和抗變形能力；溫拌后降低了混合料的拌和溫度，在一定程度上減小了瀝青老化，瀝青的流淌性也變好，更多的瀝青可以被集料吸收從而提高結(jié)構(gòu)瀝青含量而減少自由瀝青含量，最終表現(xiàn)為溫拌后混合料的高溫抗車轍性能和低溫抗裂性均有所提高。

4 結(jié) 論

從線性粘彈性出發(fā)，采用廣義Sigmoidal模型研究了溫拌前后膠粉改性瀝青混合料的動(dòng)態(tài)模量主曲線，并基于近似K-K關(guān)系由斜率法構(gòu)建了相應(yīng)的相位角主曲線，根據(jù)粘彈參數(shù)之前的函數(shù)關(guān)系進(jìn)一步得到了松弛模量主曲線和蠕變?nèi)崃恐髑€用以研究混合料的松弛和蠕變特性，從而評價(jià)膠粉改性瀝青混合料的高低溫性能。主要結(jié)論如下：

(1)與動(dòng)態(tài)模量的實(shí)測結(jié)果相比，根據(jù)WLF移位技術(shù)構(gòu)建的廣義Sigmoidal動(dòng)態(tài)模量主曲線模型具有非常好的擬合優(yōu)度，該模型可作為膠粉改性瀝青混合料動(dòng)態(tài)模量的預(yù)測模型。

(2)與膠粉改性瀝青混合料相位角的實(shí)測結(jié)果相比，由動(dòng)態(tài)模量主曲線斜率法構(gòu)建的相位角的預(yù)測模型也具有較好的擬合優(yōu)度。

(3)Black Space圖和Cole-Cole圖都驗(yàn)證了復(fù)數(shù)模量試驗(yàn)中膠粉改性瀝青混合料實(shí)測結(jié)果的可靠性，此外也證明了廣義Sigmoidal動(dòng)態(tài)模量主曲線及其由斜率法構(gòu)造的相位角主曲線符合線性粘彈性理論。

(4)根據(jù)粘彈性理論，由膠粉改性瀝青混合料的動(dòng)態(tài)模量主曲線和相位角主曲線可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化得到時(shí)域下高精度的松弛模量主曲線和蠕變模量主曲線。這可避免由蠕變?nèi)崃恐苯愚D(zhuǎn)化松弛模量過程中求解卷積分的難題。

(5)HMA-60的高溫抗車轍能力不及HMA-C，但低溫抗裂性能優(yōu)于HMA-C。一旦加入溫拌添加劑，混合料在高溫下的抗車轍能力將得到改善，同時(shí)在低溫下的抗裂性能也將得到改善。WMA-60的高溫抗車轍能力不及WMA-C，但低溫抗裂性能優(yōu)于WMA-C。因此在寒冷地區(qū)推薦采用WMA-60，而在炎熱地區(qū)推薦采用WMA-C。