含間隙的3K型行星減速器動力學(xué)仿真研究

李永聰，袁 森，2，樊戰(zhàn)軍

（1.貴州大學(xué)機械工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025；2.貴州理工學(xué)院機械工程學(xué)院，貴州 貴陽 550003；3.貴州航天天馬機電科技有限公司，貴州遵義 563000）

1 引言

行星減速器是導(dǎo)彈發(fā)射車轉(zhuǎn)塔的重要組成部件，其傳動精度在大慣量、高轉(zhuǎn)速的情況下，對系統(tǒng)控制精度及穩(wěn)定性有很大影響。

在行星齒輪傳動誤差影響因素及計算研究上，文獻[1]指出了主要影響因素的概率分布規(guī)律，基于理論方法對傳動誤差進行了計算和試驗驗證；文獻[2]對RV減速器傳動誤差影響因素進行了敏感性分析，得出上級間隙較下級對傳動誤差影響小，齒槽偏差與軸承間隙對傳動誤差影響較大；文獻[3]利用ADAMS軟件對RV減速器進行了動力學(xué)仿真，認為外形尺寸誤差與偏心誤差對傳動精度影響最大，且與影響程度傳動比直接相關(guān)，并進行光柵試驗進行了驗證。

但以上研究僅討論了不同間隙誤差對傳動精度的影響程度，均未從理論上分析不同間隙之間的耦合關(guān)系。文獻[4-5]提出了行星齒輪各間隙之間存在耦合關(guān)系，利用Newmark法進行了數(shù)值仿真，得到結(jié)果證明轉(zhuǎn)速、間隙和負載對傳動精度和穩(wěn)定性有一定影響，但僅為定性分析，未給出定量區(qū)間或數(shù)值，且求解方法較為復(fù)雜，對實際工程問題的求解將更為困難。

在以上相關(guān)研究的基礎(chǔ)上，對導(dǎo)彈發(fā)射車轉(zhuǎn)塔的減速器進行了動力學(xué)建模，并利用ADAMS軟件進行了多組動力學(xué)仿真，分析了在不同間隙、轉(zhuǎn)速和負載下的減速器動力學(xué)響應(yīng)特性，給出了相關(guān)參數(shù)取值區(qū)間，在工程實踐中效果較好。

2 含間隙減速器動力學(xué)建模

3k型行星齒輪減速器為研究對象，如圖1所示。

圖1 3K型行星減速器Fig.1 3K Planetary Reducer

其結(jié)構(gòu)主要包括：太陽輪s、左側(cè)3個大行星齒輪Pi（i=1-3）、大內(nèi)齒圈R、行星架c、右側(cè)3 個小行星齒輪Pj（j=1-3）小內(nèi)齒圈R′。其中兩級行星輪通過焊接固連為一體，即轉(zhuǎn)速一致。

為建立多間隙耦合的齒輪系統(tǒng)動力學(xué)模型提出以下假設(shè)：

（1）齒輪系統(tǒng)為平面系統(tǒng)，不考慮軸向運動：

（2）減速器系統(tǒng)為剛性系統(tǒng)：

（3）太陽輪為輸入輪，不考慮徑向跳動。

在減速器中軸承處存在徑向間隙，輪齒間存在齒側(cè)間隙。在嚙合過程中，由于振動的存在，軸承處的徑向間隙變化會導(dǎo)致實際中心距的變化，進而導(dǎo)致齒側(cè)間隙發(fā)生變化。

因此，在考慮行星齒輪內(nèi)部振動關(guān)系前，首先對齒輪的軸承間隙與齒側(cè)間隙耦合關(guān)系進行分析。

單對齒輪副的多間隙耦合模型，如圖2所示。

圖2 多間隙耦合模型Fig.2 Multi-Gap Coupling Model

包括主動齒輪p和從動齒輪g兩部分。圖中：Obp和Obg—主、從動輪的軸承中心，由于軸承徑向間隙的變化，使得主、從動輪的回轉(zhuǎn)中心Orp和Org偏離各自軸承中心。

此時中心距將發(fā)生變化，進而影響到齒側(cè)間隙bt的變化，由此體現(xiàn)兩種間隙耦合關(guān)系。

根據(jù)達朗貝爾原理，真實力系與慣性力系構(gòu)成形式上的平衡力系。參考文獻[6]建立的多間隙耦合的單對齒輪動力學(xué)模型，即：

式中：I、θ、R、T、m、δ—轉(zhuǎn)動慣量、轉(zhuǎn)角、半徑、轉(zhuǎn)矩、質(zhì)量和位移；F（t）—齒側(cè)嚙合力；f（t）—軸承處徑向沖擊力。

該減速器應(yīng)用于重載工況，且水平安裝，故不考慮齒輪重力的影響。在此基礎(chǔ)上建立3K型行星減速器系統(tǒng)動力學(xué)模型，如式（2）所示。

式中：角標中s—太陽輪；Pi，j（i，j=1，2，3）—行星輪；r—固定的減速器大齒圈；r′—輸出動力的減速器小齒圈；x/y—在兩個方向上的分量。

3 虛擬樣機模型建立與驗證

利用三維建模軟件UG建立減速器及與轉(zhuǎn)塔相連的大齒圈（下簡稱大齒圈）簡化三維模型，相關(guān)參數(shù)，如表1所示。

表1 各齒輪參數(shù)表Tab.1 Table of Various Gear Parameters

大齒圈為模擬負載，不對其進行動力學(xué)分析。分析模型為簡化模型，不考慮外殼、潤滑油、減重孔等的影響：各軸承處簡化為軸孔配合。導(dǎo)入到ADAMS后，如圖3所示。

圖3 減速器及負載大齒圈虛擬樣機模型Fig.3 Reducer and Load Large Ring Gear Virtual Prototype Model

主要設(shè)置為：各齒輪材料均為steel，楊氏模量為（2.07×105）MPa，泊松比為0.29。太陽輪與大齒圈設(shè)轉(zhuǎn)動副使其繞各自幾何中心定軸轉(zhuǎn)動（無徑向跳動），減速器內(nèi)齒圈r與大地固連，大小行星齒輪分別對應(yīng)固連，其余各相鄰構(gòu)件均設(shè)為力接觸，取消重力選項。參考文獻[7-9]在前處理中設(shè)定軸承徑向接觸剛度為（1.33×107）N/m，阻尼為50N·s/mm：行星齒輪副嚙合剛度為（7.72×107）N/m，阻尼為50N·s/mm，輸出端齒輪副嚙合剛度為（1.09×106）N/mm，阻尼為50N·s/mm。最大穿透量0.1mm，各齒輪副力指數(shù)e=1.3，靜摩擦系數(shù)0.08，動摩擦系數(shù)0.05，靜平移速度0.1mm/s，摩擦平移速度10mm/s。理論計算得到傳動比為69，設(shè)置太陽輪輸入轉(zhuǎn)速為50000deg/sec，理論輸出轉(zhuǎn)速應(yīng)為724.64deg/sec。仿真數(shù)據(jù)，如圖4所示。得到輸出轉(zhuǎn)速均值為726.61deg/sec，計算得到相對誤差為0.27%，證明模型準確可靠，滿足仿真要求。

圖4 減速器輸入/輸出轉(zhuǎn)速Fig.4 Reducer Input/Output Speed

4 動力學(xué)仿真與結(jié)果分析

4.1 間隙對減速器動力學(xué)特性的影響

減速器系統(tǒng)內(nèi)部間隙主要分為軸承處的徑向間隙和齒輪副間的齒側(cè)嚙合間隙。軸承處間隙可以通過調(diào)整軸孔直徑進行設(shè)置：由于行星齒輪同時存在外嚙合和內(nèi)嚙合，無法通過改變中心距進行調(diào)整，故而對行星齒輪進行負變位以調(diào)整齒側(cè)間隙。分別設(shè)置A.無間隙：B.徑向間隙0.1mm、齒側(cè)間隙0.1mm：C.徑向間隙0.2mm、齒側(cè)間隙0.2mm共3組對照試驗。由于大齒圈與發(fā)射車轉(zhuǎn)塔通過螺栓連接為整體，故可在上一節(jié)模型的基礎(chǔ)之上，通過對大齒圈慣性負載進行調(diào)整以模擬大負載工況。設(shè)置輸入轉(zhuǎn)速為30000deg/s，大齒圈質(zhì)量及轉(zhuǎn)動慣量調(diào)整為自身的10倍（下稱10倍負載），仿真結(jié)果如下。

4.1.1 角速度變化曲線

由圖5可知，間隙大小對減速器運轉(zhuǎn)穩(wěn)定性影響非常明顯。隨著間隙的增大，輸出齒輪轉(zhuǎn)速收斂速度越慢參考圖2 及動力學(xué)方程（2），可以分析出隨著間隙逐漸加大，齒輪活動空間變大，接觸力為隨位移變化的函數(shù)（F=mX¨ +CX˙+KX），所以內(nèi)部沖擊將增大，不規(guī)則碰撞次數(shù)增加，故而穩(wěn)定速度隨之減慢。

圖5 不同間隙下輸出齒輪轉(zhuǎn)速變化曲線Fig.5 Output Gear Speed Variation Curve Under Different Clearances

4.1.2 齒側(cè)嚙合力變化曲線

不同間隙下輸出齒輪齒側(cè)嚙合力變化曲線，如圖6所示。由圖6中可知，間隙對嚙合力影響非常明顯，3種情況下嚙合力平均值分別為2524.91N、44717.36N、97573.40N。無間隙時減速器在0.1s左右進入穩(wěn)定狀態(tài)：徑向及齒側(cè)間隙為0.1mm時在0.8s左右進入穩(wěn)定狀態(tài)：間隙為0.2mm時，減去器在1s內(nèi)未呈現(xiàn)收斂趨勢，顯然不能滿足實際要求，與（1）結(jié)論一致。在10倍慣性負載下，齒側(cè)嚙合力始終保持在較高數(shù)值，說明減速器內(nèi)部持續(xù)存在高沖擊力，這對減速器壽命和精度影響很大，所以軸承徑向間隙和齒側(cè)間隙應(yīng)嚴格控制在0.2mm以內(nèi)。

圖6 不同間隙下輸出齒輪齒側(cè)嚙合力變化曲線Fig.6 Output Gear Meshing Force Variation Curve Under Different Clearances

4.2 慣性負載對減速器動力學(xué)特性的影響

通過對大齒圈的質(zhì)量及轉(zhuǎn)動慣量進行調(diào)整，分析慣性負載大小對減速器系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律。分別取大齒圈慣性負載為1倍負載（即空載）、5倍負載、10倍負載。其余設(shè)置為：軸承處設(shè)有0.1mm徑向間隙，0.1mm齒側(cè)間隙以模擬工作間隙，驅(qū)動為30000°/s恒轉(zhuǎn)速輸入、仿真時間1s、仿真步數(shù)500步，仿真結(jié)果如下。

4.2.1 角速度變化曲線

方向機末端輸出齒輪在不同慣性負載下，角速度隨時間的變化曲線，反映了其在回轉(zhuǎn)方向上的運動學(xué)特性，如圖7 所示。由圖中可以看出，隨著負載變大，啟動初始階段角速度幅值逐漸下降，但收斂速度也隨之下降。這說明慣性負載越大，雖然在啟動的短時間內(nèi)會使輸出角速度跳動幅度降低，但減速器不平穩(wěn)運轉(zhuǎn)時間將持續(xù)更長。

圖7 角速度變化曲線Fig.7 Angular Velocity Curve

4.2.2 齒側(cè)嚙合力變化曲線

末端輸出齒輪在不同慣性負載下，與大齒圈之間在Y方向上的齒側(cè)嚙合力變化曲線，如圖8所示?？梢钥吹饺N情況下，沖擊力均隨時間作周期變化，且負載越大周期越長。隨著負載加大，起步階段沖擊力明顯增加，且持續(xù)時間更長。由4.2.1、4.2.2可以得到結(jié)論：負載的增加將導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定性下降，且齒側(cè)嚙合力大幅增加。考慮到發(fā)射車轉(zhuǎn)塔對精度的要求，在總體設(shè)計階段應(yīng)盡量減輕轉(zhuǎn)塔部分質(zhì)量，以提高回轉(zhuǎn)穩(wěn)定性及回轉(zhuǎn)精度。

圖8 齒側(cè)嚙合力變化曲線Fig.8 Flank Engagement Force Curve

4.2.3 徑向跳動曲線

輸出齒輪轉(zhuǎn)動中心相對于軸承中心的運動軌跡，如圖9 所示。用于描述齒輪在傳動過程中的徑向跳動，圖中橫、縱坐標分別為質(zhì)心X、Y方向位移。從圖中可以看出，齒輪轉(zhuǎn)動中心在啟動時刻與軸承中心重合，啟動后轉(zhuǎn)子由于離心力的作用向間隙的邊緣運動，直到與軸承發(fā)生接觸碰撞。經(jīng)過多次碰撞后，轉(zhuǎn)子逐漸穩(wěn)定在徑向間隙的邊緣，與軸承處于連續(xù)接觸狀態(tài)，同時還會伴有小幅的跳動。隨著負載的加大，其轉(zhuǎn)動半徑在原有人為設(shè)置的間隙基礎(chǔ)上逐漸增大，同時逐漸趨近于貼合最大范圍運轉(zhuǎn)且更為順滑。分析原因可知，負載的增加會導(dǎo)致離心力增加，脫齒和齒背沖擊減少。變形量增加進而導(dǎo)致輸出齒輪振幅變大，但小幅不規(guī)則跳動減少，運轉(zhuǎn)趨于平順。

圖9 徑向跳動曲線Fig.9 Radial Runout Curve

4.3 轉(zhuǎn)速對減速器動力學(xué)特性的影響

發(fā)射車轉(zhuǎn)塔根據(jù)實際工況，需要在不同的轉(zhuǎn)速下進行方位回轉(zhuǎn)。輸入轉(zhuǎn)速分別設(shè)置為10000°/s、30000°/s和50000°/s，徑向間隙為0.1mm，齒側(cè)間隙為0.1mm、慣性負載為10倍負載，進一步分析轉(zhuǎn)速對減速器的影響。仿真結(jié)果如下：

4.3.1 角速度、質(zhì)心位置變化曲線

不同轉(zhuǎn)速下，輸出齒輪轉(zhuǎn)速和質(zhì)心位置的跳動幅值變化曲線，如圖10、圖11所示。由圖中可以看出，啟動階段角速度跳動幅值沒有明顯差異，且均在0.1s左右三進入平穩(wěn)狀態(tài)：質(zhì)心位置的跳動幅值也沒有明顯差異。

圖10 輸出齒輪角速度曲線Fig.10 Output Gear Angular Velocity with Input Speed Curve

圖11 輸出齒輪質(zhì)心徑向跳動曲線Fig.11 Output Gear Centroid Radial Runout Curve

4.3.2 齒側(cè)嚙合力變化曲線

不同轉(zhuǎn)速下，輸出齒輪Y方向齒側(cè)動態(tài)嚙合力隨時間的變化曲線，如圖12所示。由圖中可以看出，轉(zhuǎn)速越大，啟動階段齒側(cè)動態(tài)嚙合力越大，但對收斂速度基本沒有影響，均在0.1s內(nèi)進入平穩(wěn)狀態(tài)。

圖12 輸出齒輪齒側(cè)嚙合力隨輸入轉(zhuǎn)速變化曲線Fig.12 Output Gear Side Gear Meshing Force as a Function of Input Speed

對穩(wěn)定后（0.5～1.0）s內(nèi)各采樣點數(shù)值進行對比分析，轉(zhuǎn)速分別為10000°/s、30000°/s、50000°/s時齒側(cè)嚙合力均方根值分別對應(yīng)為2392.0543N、514.3786N、1867.6275N，由圖中可以看到穩(wěn)定后為近似正弦曲線的小幅波動，數(shù)值相較于初始階段均較小，可認為平穩(wěn)運轉(zhuǎn)階段轉(zhuǎn)速對齒側(cè)嚙合力影響作用很小。

由前文可以得到結(jié)論：整體來看，轉(zhuǎn)速變化對減速器系統(tǒng)穩(wěn)定性及齒側(cè)嚙合力影響較小。減速器在高轉(zhuǎn)速時，啟動階段穩(wěn)定性相對較差且齒側(cè)沖擊較大，但在進入平穩(wěn)運轉(zhuǎn)階段后穩(wěn)定性有一定改善，且好于低轉(zhuǎn)速工況。實際工況下減速器輸入轉(zhuǎn)速不大于50000°/s，所以在設(shè)計控制系統(tǒng)時，可不用著重考慮輸入轉(zhuǎn)速。

4.4 減速器工程應(yīng)用實例

實際減速器內(nèi)部構(gòu)造圖，經(jīng)實際測量，各處間隙均不大于0.2mm，如圖13所示。實車調(diào)試過程中發(fā)現(xiàn)，滿載工況較空載工況振動沖擊明顯，但均在可接受范圍內(nèi)：在不同轉(zhuǎn)速工況下運轉(zhuǎn)均較為平穩(wěn)，未出現(xiàn)明顯差別，與仿真結(jié)論基本一致?；谝陨螦DAMS模型與MATLAB進行機電聯(lián)合仿真調(diào)試，所得的控制系統(tǒng)應(yīng)用到實車上效果良好，說明該含間隙虛擬樣機模型能較好地表征減速器動力學(xué)特性。

圖13 減速器內(nèi)部構(gòu)造Fig.13 Reducer Internal Structure

5 結(jié)論

（1）從理論上分析了多間隙的耦合關(guān)系，建立了考慮多間隙耦合的3K型行星減速器的動力學(xué)模型和虛擬樣機模型，并證明了準確性：

（2）間隙大小對減速器穩(wěn)定性及輸出齒輪齒側(cè)嚙合力影響很大。間隙越大，系統(tǒng)啟動階段穩(wěn)定性越差、沖擊力越大且持續(xù)時間越長。當徑向間隙和齒側(cè)間隙均達到0.2mm時，輸出齒輪的轉(zhuǎn)速及齒側(cè)嚙合力將不收斂，不能滿足實際要求，應(yīng)對間隙嚴格控制：

（3）隨著慣性負載的增加，減速器穩(wěn)定性下降，輸出齒輪齒側(cè)沖擊明顯增加，且對二者影響的時間持續(xù)越長。但不規(guī)則跳動減少，平順性有所改善：

（4）轉(zhuǎn)速變化對減速器系統(tǒng)穩(wěn)定性及齒側(cè)沖擊影響較小。在工程運用中，轉(zhuǎn)速可調(diào)整范圍較大。