單擺周期的系統(tǒng)誤差分析

邵 云

(南京曉莊學院 電子工程學院，江蘇 南京 211171)

一般來說，對單擺的周期產(chǎn)生影響的系統(tǒng)誤差因素，包括擺角、擺球繞質心軸轉動、擺線質量、空氣浮力、空氣阻力這5種．對于這個古老的問題，目前國內(nèi)已有的研究文獻眾多．縱觀這些研究文獻，可以發(fā)現(xiàn)如下問題：1) 考慮得不夠周全，漏掉了其中某些因素，尤其是空氣阻力；2) 內(nèi)容缺失，缺少必要的推理和計算過程，缺少必要的背景知識介紹(如大擺角橢圓積分)和圖、表等；3) 缺乏必要的近似處理，使結論不夠直觀；4) 忽視了各種因素誤差的符號及彼此間的相互抵消作用；5) 將空氣阻力視作速度的一次函數(shù)而非實際的二次函數(shù)形式，進而缺失了對于空氣阻力的正確判斷．本文擬將盡量完善對于單擺周期系統(tǒng)誤差的討論，力爭彌補以上缺陷，努力為讀者呈現(xiàn)一個較為完整和正確的認識．

1 小幅、大幅單擺周期的理論值

設圖1中單擺小球的質量為m，其質心到懸掛點O的距離為l(擺長)．當擺線偏離豎直方向θ角時，由力學知識可知，作用在小球上的重力G的切向分力大小為mgsinθ，方向趨向小球的平衡位置O′，此時小球運動的動力學方程為

(1)

圖1 單擺

當θ<5°時，有sinθ≈θ，式(1)簡化為

(2)

這是一個典型的簡諧振動微分方程，其通解為

θ(t)=θmaxcos(ω0t+φ)

(3)

(4)

表1 小角度下θ與sin θ的差距

見表1，當θ>5°時，通常認為sinθ≈θ不再成立，此時微分方程式(1)不再是線性方程，其解實際是一包含橢圓積分的隱函數(shù)[1,2]．對于單擺自右側最高點靜止開始下擺的過程，式(1)的解可以表達為[2]

(5)

其中F是橢圓積分函數(shù)，θ0是初始擺角，變量ψ則為

(6)

顯然，當單擺下擺至最低點時有θ=0,ψ=0，于是根據(jù)式(5)，即得此時單擺的1/4周期為[1]

(7)

表2 不同初始角θ0下的1/4周期和小角度近似值比較

續(xù)表

下面將討論小球繞質心軸的轉動、擺線質量、空氣浮力及空氣阻力對于單擺周期的影響．

2 小球繞質心軸的轉動動能對于單擺周期的影響

單擺實驗中的小球實際是有大小的，設其半徑為r．可將小球和擺線即單擺系統(tǒng)看作剛體，則由剛體力學知識知，系統(tǒng)繞懸點O軸的轉動慣量為

(8)

其中已忽略擺線的質量．于是，根據(jù)系統(tǒng)繞懸點O軸轉動的角動量定理(即轉動定理)可得

(9)

整理得

(10)

對比式(10)與式(1)即可發(fā)現(xiàn)，在考慮小球的半徑r后，單擺的運動形式并沒有變化，只是周期稍稍增大．再結合式(4)、(7)可知，無論擺長、擺角大小，在相同的擺長l及擺角θ0下，考慮與未考慮小球半徑，周期的相對變化均可表達為

(11)

(12)

若取通常值r=0.01 m,l=1 m，則有

(13)

即使取r=0.01 m,l=0.2 m，依然有

(14)

可見，即使計入小球的自轉因素，由于轉動動能遠遠小于平動動能[參考式(8)]，因此小球自轉所帶來的對于周期的增加修正也微乎其微，完全可以忽略不計．

當然，擺長中必須計入小球的半徑，這一點至關重要．

3 擺線質量對于單擺周期的影響

設擺線的質量為m′，那么系統(tǒng)繞懸點O軸的轉動慣量變?yōu)?/p>

(15)

其中已將擺線長度設為擺長(下同)，由此帶來的相應誤差屬于高階小量，均可忽略．于是，根據(jù)系統(tǒng)繞懸點O軸轉動的角動量定理又可得

(16)

由于m′<

(17)

設擺線的線密度λ=0.2 g/m[3]，長度l=1 m；小球的密度取ρ=8.9 g/cm3(純銅擺球)，半徑r=1 cm，則式(17)中的

(18)

將這里的結果與式(13)、(14)進行對比，可以發(fā)現(xiàn)，擺線質量對于周期的影響將隨擺長而增加，而小球的自轉對于周期的影響則隨擺長的增加而迅速減?。送?，式(17)業(yè)已表明，這兩種因素的影響均與擺角幅度θ0無關．

4 空氣的浮力對于單擺周期的影響

設空氣的密度ρ空=1.29 kg/m3(標準狀態(tài))，由于擺線通常較細，其體積遠小于小球的體積，因此作為近似處理，可將式(16)、(17)中的重力加速度g置換成“視重力加速度”,有

(19)

于是，當繼續(xù)考慮空氣的浮力后，單擺系統(tǒng)的動力學方程需改為

(20)

再將式(19)代入式(20)，根據(jù)近似知識即可得

(21)

一個有趣的現(xiàn)象便是，從式(21)可見，小球自轉、擺線質量、空氣浮力這3種因素對于單擺周期的影響存在相消行為．以擺長l=1 m為例，從上文中的數(shù)據(jù)即可算出這3種因素最終對于周期T的影響合為

(22)

可見，這3種因素總體會導致單擺的周期T減小，其中擺線的質量是主導因素．

5 小幅度單擺受到的空氣阻力及其力矩

其實無論小球還是擺線，空氣對它們都會有阻力作用．此時擺線可視作圓柱體，圖2為圓柱體做側向垂直平動時空氣阻力系數(shù)CD柱與雷諾數(shù)Re的關系[4-6]；而速度不大的小球的空氣阻力系數(shù)則為[7]

(23)

圖2 圓柱體側向平動的空氣阻力系數(shù)與雷諾數(shù)的關系

靜止的空氣中雷諾數(shù)的定義為

(24)

其中v為物體相應的特征速度；L為物體的特征長度，對于這里側向平動的圓柱，L即為圓柱的直徑，而對于擺球，L則為擺球直徑；η空是空氣的黏滯系數(shù)，在0 ℃時有[8]

η空=1.7×10-5Pa·s

(25)

對于通常擺長1 m的單擺，其周期為2 s，5°擺角小球的振幅約為0.09 m，因此小球在最低點的速度約為0.09π≈0.28(m/s)．現(xiàn)設小球的半徑依然為1 cm，擺線阻力的有效直徑d有效=0.5 mm，將諸數(shù)據(jù)代入式(24)，即得小球及擺線下端的最大雷諾數(shù)分別為:

(26)

(27)

由此可見，對于這里的小球，將空氣阻力系數(shù)表達成式(23)是適當?shù)?，而圖2中雷諾數(shù)的范圍則顯得過于寬泛，只需取其中(0.1,50)區(qū)間段即可．為了獲得更好的相關系數(shù)R2，使其盡量趨于1，本文選擇了圖2也即文獻[4]中插圖7.7的Re∈(0.2,10)段曲線進行分立取點，作圖并加以擬合，得到圖3，所得擬合函數(shù)為

CD柱=10.705Re-0.622, 0.2≤Re≤10

(28)

除了極小和極大的速度外，運動物體在空氣中受到的空氣阻力一般表示為

(29)

其中S是物體在迎風面的最大投影面積．聯(lián)立式(23)、(24)、(28)、(29)，結合其它相關知識，積分便得小幅度單擺受到的空氣阻力大小為

(30)

計算整理得

(31)

再將l=1 m,r=1 cm,d有效=0.5 mm及相關數(shù)據(jù)代入式(31)，即得

(32)

另外，參照式(30)—(32)，亦可求得此單擺受到的空氣阻力矩大小為

(33)

式(32)、(33)均采用了國際單位制.

6 小幅單擺較嚴格的理論周期及空氣阻力影響

參見圖1，設單擺的初始擺角θ0=-5°．綜合考慮本文所討論的各種因素，并參照上文已有的結論，包括式(16)、(19)，對于單擺向右擺的過程，根據(jù)角動量定理有

(34)

將l=1 m,r=1 cm,m=3.728×10-2kg以及式(18)、(19)、(33)代入式(34)，于是可得

整理得

(35)

考慮到單擺做往復擺動，式(35)應進一步修訂為

(36)

這便是小幅單擺在上述5種因素共同作用下的動力學微分方程．據(jù)此，應用MATLAB軟件，可作出小幅單擺在理論上的擺動圖像，如圖4所示．

圖4 5種因素共同作用下5°單擺擺動的理論圖像

由圖4可見，即使是小幅度單擺，它在空氣中擺動時擺幅的衰減也是較為明顯的．經(jīng)過仔細的考察可知，前100 s擺幅的衰減率約為-0.585°/102s，與文獻[6]中秒擺-0.62°/102s的實測結果基本相仿，差異可能源自擺球材質、擺線粗細、空氣密度等不同．此外，圖4中單擺擺動的周期幾乎不變：在0～100 s內(nèi)的平均周期約為2.007 s，而在900～1 000 s內(nèi)，平均周期則約為2.006 s．

從表2中可見，1 m長5°擺角單擺的理想周期為

(37)

(因g相同及比較需要，結果多取了幾位有效數(shù)字)因此，圖4中多種因素共同作用下的小幅單擺周期的相對誤差(取前100 s)為

(38)

7 單擺周期系統(tǒng)誤差的綜合分析

(39)

單擺實驗的確是一個系統(tǒng)誤差極小的實驗，因此它能夠被用來測量重力加速度g．此時若以1‰的測量精度為目標，那么擺角θ0只能選擇5°左右，而擺長l則須選擇1 m及以上．

8 關于空氣阻力的幾點補充說明

需要指出的是，不少研究單擺的文獻[3,9,10]都將空氣阻力表達成斯托克斯一次正比黏滯阻力，這是不恰當?shù)?，因為該公式只能適用于雷諾數(shù)Re比1小很多時的情形[4,5,8]，如空氣中十分微小的水滴或油滴等．事實上，從本文式(31)也能明確地看出這一點．在式(31)中，小球受到的空氣阻力顯然為

(40)

看起來，它和小球的斯托克斯一次正比黏滯阻力

(41)

頗為相似(確實存在聯(lián)系[4,5])，但是實際數(shù)值卻差別很大．根據(jù)式(40)、(41)并利用式(32)中的數(shù)值可得

(42)

圖5 本文5°單擺下擺時小球所受風阻比(F風阻)球/F斯隨角速度|dθ/dt|的變化

另外，從式(33)亦可看出，擺線與擺球受到的空氣阻力矩之比為

(43)

圖6 5°單擺的擺線與小球受到的空氣阻力矩之比隨角速度的變化