具有內(nèi)部及邊界源項(xiàng)的擬線性波方程解的整體不存在性

任佳敏

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006)

0 引言

本文研究以下具有聲學(xué)邊界條件,非線性內(nèi)部及邊界源項(xiàng)的擬線性波方程解的整體不存在性，

其中:a,b,k>0，α,β,m,p,l>2，Ω是Rn(n≥1)的一個(gè)有界正則區(qū)域且?Ω=Γ0∪Γ1。這里Γ0,Γ1均為閉的且互不相交，函數(shù)h(x),f(x),q(x):Γ1→R+是本性有界的且在Γ1上有:0

聲學(xué)邊界條件由Morse和Ingard在文獻(xiàn)[1]中首次提出，并在文獻(xiàn)[2]中得到了完善和發(fā)展。文獻(xiàn)[3]研究了具有非線性阻尼項(xiàng)和源項(xiàng)的擬線性雙曲型方程解的能量衰減和爆破。文獻(xiàn)[4]研究了具有內(nèi)部源項(xiàng)j1(u)和邊界源項(xiàng)j2(u)的波方程局部解的存在唯一性、解的全局存在性及j1(u)=0時(shí)解的某一指定范數(shù)增長率。

文獻(xiàn)[5]研究了以下具有多孔聲學(xué)邊界條件的非線性波動方程解的整體不存在性，文中用到了經(jīng)典的勢阱方法和凹性方法，

文獻(xiàn)[6-8]證明了一類具有非線性阻尼項(xiàng)和源項(xiàng)的波方程解的整體不存在性。文獻(xiàn)[9-10]研究了具有聲學(xué)邊界條件的黏彈性波方程解的存在性、爆破和衰減。文獻(xiàn)[11-12]證明了非線性發(fā)展方程整體解的不存在性。文獻(xiàn)[13]研究了具有時(shí)滯和聲學(xué)邊界條件的擬線性波方程解的整體不存在性。文獻(xiàn)[14-18]均利用伽遼金逼近法得出方程弱解的存在性。文獻(xiàn)[19]利用能量擾動法和構(gòu)造李雅普諾夫(Lyapunov)泛函法，證明了系統(tǒng)的解在有限時(shí)間內(nèi)爆破。

文獻(xiàn)[20]研究了以下具有聲學(xué)邊界條件的擬線性波動方程，證明了在初始能量為負(fù)的情形下解的整體不存在性：

受以上這些文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文在文獻(xiàn)[20]的基礎(chǔ)上，在聲學(xué)邊界上有源項(xiàng)時(shí)，研究邊界源項(xiàng)對解的影響，并最終得出解的整體不存在性。

1 預(yù)備知識

引入空間

固定T>0,定義能量泛函如下：

(2)

引理1 若(u,z)為方程(1)的解，則由式(2)定義的能量泛函E(t)滿足：

(3)

證明用ut乘以方程(1)中第1個(gè)式子并在Ω上積分，易得式(3)。引理1證畢。

利用文獻(xiàn)[14-18]中的方法，可以證明方程(1)有局部解存在性，結(jié)果如下：

2 解的整體不存在性

定理2 假設(shè)α,β,m,p,l≥2,max{β,m}≤α

E(0)<0，

(4)

則方程(1)的解(u,y)∈Z×L2([0,T);L2(Γ1))在有限時(shí)間內(nèi)爆破。

證明令H(t)=-E(t)，則由式(2)～式(4)可得：

(5)

構(gòu)造Lyapunov泛函：

(6)

(7)

其中：M，j1，j2，j3的取值范圍將在后面給出。

首先估計(jì)L′(t)，對式(6)求導(dǎo)可得：

(8)

利用H?lder不等式和Young不等式可得：

(9)

(10)

(11)

將式(9)～式(11)代入式(8)中可得：

(12)

選擇合適的μ,δ,η滿足：

代入式(12)可得：

(13)

(14)

由式(5)、Poincaré不等式、Young不等式和max{2,β,m}≤α可得：

(15)

(16)

(17)

(18)

可得：

同理：

(19)

其中：c為廣義常數(shù)；取α<θ

(20)

(21)

其中：r為一正常數(shù)。

上述估計(jì)意味著：

(22)

一方面，由H?lder不等式和α>2得：

這個(gè)不等式表示存在常數(shù)c>0，使得：

再利用Young不等式可得估計(jì)：

由式(5)、式(7)和式(18)可得估計(jì)：

(23)

故有：

(24)

另一方面，由h(x)、q(x)本性有界、H?lder不等式、α≥2及Poincaré不等式可得：

這意味著：

利用Young不等式可得：

將式(23)代入上式可得：

(25)

將式(24)、式(25)代入式(22)可得估計(jì)：

(26)

由式(21)和式(26)可得：

(27)

式(27)在(0,t)上積分可得：

(28)