光電經(jīng)緯儀坐標(biāo)系統(tǒng)一方法研究

張逸飛，馮 燦，夏偉東

(中國商用飛機試飛中心，上海 200120)

作為一種大范圍、遠距離的自動跟蹤光電測量儀器，光電經(jīng)緯儀在國產(chǎn)民機試飛測試中發(fā)揮著重要作用，被廣泛應(yīng)用于飛機最小離地速度測量、最大商載動著陸、濺水試驗等重要試飛科目中，為試驗提供目標(biāo)位置、速度和姿態(tài)測量手段。

光電經(jīng)緯儀測量能力強大，功能豐富。在測量方面，可以提供高精度的空間位置、速度、姿態(tài)結(jié)果；在跟蹤功能方面，具備多種跟蹤模式，包括可視化自動跟蹤和GPS引導(dǎo)跟蹤。其中，GPS引導(dǎo)跟蹤是一種利用飛機的實時GPS位置，進行超視距引導(dǎo)的一種跟蹤模式，在多云天氣下可以輔助快速捕獲飛機目標(biāo)，進而擴展測量范圍。

根據(jù)光電經(jīng)緯儀的測量和跟蹤原理，如果將經(jīng)緯儀測量結(jié)果和GPS測量結(jié)果相比對，需要將兩種測量系統(tǒng)的測量坐標(biāo)系相統(tǒng)一；同樣的，如果使用GPS引導(dǎo)跟蹤功能，也需要統(tǒng)一兩種測量坐標(biāo)系。因此，完成坐標(biāo)系統(tǒng)一工作，是光電經(jīng)緯儀正常工作的前提條件。

目前國內(nèi)外專門進行坐標(biāo)系統(tǒng)一方法研究的成果不多，主要原因在于大多數(shù)光電經(jīng)緯儀建設(shè)屬于固定式經(jīng)緯儀，在建設(shè)經(jīng)緯儀之初，可以通過良好的機械加工，以實現(xiàn)明確的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系，不需要特殊方法來實現(xiàn)坐標(biāo)系統(tǒng)一。

在部分移動式的光電經(jīng)緯儀系統(tǒng)中，國內(nèi)外常用的坐標(biāo)系統(tǒng)一方法[1-5]是：首先將光電經(jīng)緯儀調(diào)平，并獲取其經(jīng)緯儀坐標(biāo)系X軸相對GPS坐標(biāo)系北向的夾角；而后測量經(jīng)緯儀坐標(biāo)系原點在GPS坐標(biāo)系下的經(jīng)緯度坐標(biāo)，以及地心空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)；最后根據(jù)經(jīng)緯儀的大地經(jīng)緯度和真北向夾角，依據(jù)剛體旋轉(zhuǎn)公式來計算旋轉(zhuǎn)矩陣，獲取兩坐標(biāo)系統(tǒng)一的變換公式。

但此方法嚴(yán)重依賴光電經(jīng)緯儀的調(diào)平，在嚴(yán)苛的工作環(huán)境下，如在傾斜較大的路面上布設(shè)經(jīng)緯儀，或者經(jīng)緯儀的調(diào)平系統(tǒng)無法正常工作時，該方法就無法進行有效的坐標(biāo)系統(tǒng)一。為了解決這一問題，有研究人員通過[6]借助基于雙光柵干涉產(chǎn)生莫爾條紋測量扭轉(zhuǎn)角的方法對經(jīng)緯儀姿態(tài)進行位置測量，但該系統(tǒng)較為復(fù)雜；還有部分艦載光電經(jīng)緯儀[7-8]方面的研究，也遇到船艦平臺無法調(diào)平的問題，他們通過在光電經(jīng)緯儀基座上加裝環(huán)境姿態(tài)測量系統(tǒng)，該系統(tǒng)采用GPS與慣導(dǎo)組合方式，實時獲取經(jīng)緯儀底座的位置和艦載平臺的姿態(tài)，進而實現(xiàn)坐標(biāo)系的統(tǒng)一。

為了解決經(jīng)緯儀必須調(diào)平的問題，也提出了兩種方法，分別是直接轉(zhuǎn)換法和場地標(biāo)定法。其中直接轉(zhuǎn)換法采用加裝慣導(dǎo)系統(tǒng)的方法，對經(jīng)緯儀與GPS坐標(biāo)系的姿態(tài)進行測量，具有不依賴調(diào)平精度和快速轉(zhuǎn)換的特點，但增加了系統(tǒng)成本；場地標(biāo)定法不增加系統(tǒng)構(gòu)成，通過在經(jīng)緯儀測量場內(nèi)布設(shè)一系列標(biāo)志點，并對標(biāo)志點進行瞄準(zhǔn)記錄，繼而計算坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系，該方法兼具不依賴調(diào)平精度、快速轉(zhuǎn)換和低成本的特點。在實際工作中，可根據(jù)具體需要進行方法選擇。

1 坐標(biāo)系基礎(chǔ)定義

光電經(jīng)緯儀坐標(biāo)系以其主要部件——二維轉(zhuǎn)臺的軸系為基準(zhǔn)而建立。二維轉(zhuǎn)臺是光電經(jīng)緯儀的機械加工基準(zhǔn)，具有方位轉(zhuǎn)軸和俯仰轉(zhuǎn)軸，可以帶動光學(xué)設(shè)備進行方位旋轉(zhuǎn)和俯仰旋轉(zhuǎn)。坐標(biāo)系原點設(shè)置在二維轉(zhuǎn)臺的兩旋轉(zhuǎn)軸交點，Zb軸與方位轉(zhuǎn)軸重合，并指向天向，Xb軸位于方位轉(zhuǎn)軸垂直的平面，并指向方位碼盤0°方向，Yb軸與Zb軸、Xb軸垂直構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

GPS系統(tǒng)所依賴的直角坐標(biāo)系稱為WGS-84坐標(biāo)系，如圖1所示，該坐標(biāo)系是一種國際上采用的地心坐標(biāo)系。坐標(biāo)原點為地球質(zhì)心，Zo軸指向BIH(國際時間服務(wù)機構(gòu))1984.0定義的協(xié)議地球極(CTP)方向，Xo軸指向BIH 1984.0的零子午面和CTP赤道的交點，Yo軸與Zo軸、Xo軸垂直構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

圖1 WGS-84坐標(biāo)系定義

根據(jù)坐標(biāo)系定義，兩個坐標(biāo)系都是空間直角坐標(biāo)系，因此兩個坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系可以使用矩陣形式表示，如式1所示，R矩陣表示兩坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)關(guān)系，T矩陣表示兩坐標(biāo)系的平移關(guān)系。

坐標(biāo)系統(tǒng)一的目的就是解算出這樣一組矩陣形式的轉(zhuǎn)換公式：

Y=R·X+T

(1)

2 直接轉(zhuǎn)換法

WGS-84地心坐標(biāo)系是與地球固聯(lián)的坐標(biāo)系，而光電經(jīng)緯儀坐標(biāo)系是局部坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系之間的軸系角度關(guān)系無法直接測量，無法直接推導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)矩陣。因此采用站心坐標(biāo)系作為中間坐標(biāo)系，分別獲取光電經(jīng)緯儀坐標(biāo)系到站心坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系和站心坐標(biāo)系到WGS-84坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，最后聯(lián)立得到光電經(jīng)緯儀坐標(biāo)系到WGS-84坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣公式。

這里，采用東北天坐標(biāo)系(ENU坐標(biāo)系)作為站心坐標(biāo)系。ENU坐標(biāo)系原點設(shè)置在光電經(jīng)緯儀坐標(biāo)系的原點位置上，Yg軸指向地理北極方向，Zg軸垂直地面指向天向，Xg軸與Zg軸和Yg軸垂直構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

建立光電經(jīng)緯儀坐標(biāo)系和ENU坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，需要獲取兩坐標(biāo)系軸系的三軸歐拉角?？梢酝ㄟ^在光電經(jīng)緯儀轉(zhuǎn)臺基座上加裝慣性導(dǎo)航系統(tǒng)，獲得光電經(jīng)緯儀姿態(tài)參數(shù)，該組姿態(tài)參數(shù)便是三軸歐拉角，3個軸的角度可以用偏航角ψ、俯仰角θ、滾轉(zhuǎn)角φ定義。將三軸歐拉角帶入到光電經(jīng)緯儀坐標(biāo)系到ENU坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣Rbg中，將光電經(jīng)緯儀坐標(biāo)系統(tǒng)一到ENU坐標(biāo)系下。光電經(jīng)緯儀坐標(biāo)系到ENU坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)矩陣可以按XYZ順序，即先沿Xb軸做滾轉(zhuǎn)運動，再沿Yb軸做俯仰運動，最后沿Zb軸做偏航運動，兩個坐標(biāo)系就可以完全重合。轉(zhuǎn)換關(guān)系可以用式(2)表示:

(2)

其中，

Rbg=

(3)

其中，

(4)

式中，a為地球橢球長半軸長度，b為地球橢球短半軸長度。

(5)

分別獲取兩個坐標(biāo)系和中間坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系后，便可以將式(2)、式(5)聯(lián)立，獲得最終的轉(zhuǎn)換關(guān)系表達式：

(6)

從以上推導(dǎo)過程可以看出，該方法不依賴精密調(diào)平，可以在任意環(huán)境下，快速給出坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系，但缺點是加裝慣性導(dǎo)航系統(tǒng)會給光電經(jīng)緯儀增加額外的成本。

3 場地標(biāo)定法

場地標(biāo)定法是一種不依賴慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的坐標(biāo)系統(tǒng)一方法。該方法對場地內(nèi)一系列標(biāo)志點在WGS-84坐標(biāo)系下的坐標(biāo)進行標(biāo)定，而后使用光電經(jīng)緯儀分別對該系列標(biāo)志點在經(jīng)緯儀坐標(biāo)系的坐標(biāo)進行測量，進而獲得標(biāo)志點在兩個坐標(biāo)系的坐標(biāo)，最后通過算法對兩個坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣進行解析。

3.1 標(biāo)志點測量

標(biāo)志點在兩個坐標(biāo)系下的測量，分兩步實施。

B=Rbo·A+Tbo

(7)

根據(jù)式(7)，可以看出待求解的未知數(shù)共有9個，而每個標(biāo)志點可以提供3個方程，因此至少需要3個標(biāo)志點才能求解方程。但由于標(biāo)志點的坐標(biāo)測量存在誤差，為了減小隨機誤差，提高標(biāo)定精度，則應(yīng)盡可能增加標(biāo)志點的數(shù)量。此時，標(biāo)志點的數(shù)量超過3個，方程數(shù)量大于待求參數(shù)數(shù)量，該方程組變?yōu)槌ǚ匠探M。那么坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換公式的求解，即轉(zhuǎn)化為對一組超定方程組的解的計算。

3.2 最小二乘法求解

超定方程組無一般意義上的解，但可以采用最小二乘解作為最優(yōu)解。根據(jù)最小二乘解的一般矩陣形式，可以按式(8)獲得轉(zhuǎn)換關(guān)系公式：

B=RboA+Tbo?

B-Tbo=RboA?

(B-Tbo)AT=RboAAT?

Rbo=(B-Tbo)AT(AAT)-1

(8)

根據(jù)式(8)獲得的Rbo是最小二乘形式下的最優(yōu)解。但需要注意的是，旋轉(zhuǎn)矩陣[13]是一種行列式為1的正交矩陣，但最小二乘法形式下的最優(yōu)解是無法保證其正交性的。為了保持旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性質(zhì)，采用第2種求解算法。

3.3 基于SVD的最小二乘算法

奇異值分解(Singular Value Decomposition,SVD)是一種自帶酉矩陣約束的奇異值分解算法[14]，廣泛應(yīng)用在降維算法、推薦系統(tǒng)和自然語言處理等領(lǐng)域。為了保證最小二乘形式下的Rbo依然是正交矩陣，可以采用SVD進行最小二乘求解。

可以證明[15]，最小二乘解可以等效為以下表達式，即求解一個Rbo，使得矩陣(B-Tbo)TRboA跡的值最大化：

(9)

根據(jù)矩陣跡的基本性質(zhì)有：

tr(AB)=tr(BA)

(10)

那么：

tr((B-Tbo)TRboA)=tr(RboA(B-Tbo)T)

(11)

此時構(gòu)造H矩陣：

H=A(B-Tbo)T

(12)

然后，對H矩陣進行SVD分解，得到兩個正交矩陣U和VT矩陣和對角矩陣Σ：

H=UΣVT

(13)

則式(11)可以變換為

tr(RboA(B-Tbo)T)=tr(RboH)=tr(RboUΣVT)

=tr(ΣVTRboU)

(14)

(15)

所以欲構(gòu)造一個最大的tr(ΣM)，需要使得M矩陣的對角值均為1，而M矩陣又是正交矩陣，所以M矩陣為單位矩陣時，tr(ΣM)可以取得最大值，因此：

I=M=VTRboU?V=RboU?Rbo=VUT

(16)

可以根據(jù)式(16)計算得到最終的旋轉(zhuǎn)矩陣，該方法基于SVD求解最小二乘形式解，可以確保解為正交矩陣。

場地標(biāo)定法相較于直接轉(zhuǎn)換法，無需加裝慣導(dǎo)系統(tǒng)，但需要對場地進行一次標(biāo)定，設(shè)置一些均勻分布的場內(nèi)標(biāo)志點。如果標(biāo)志點可以重復(fù)使用，當(dāng)經(jīng)緯儀在場地內(nèi)移動布置，仍有一定數(shù)量的場內(nèi)標(biāo)志點可以被經(jīng)緯儀觀測到，那么則無需再次標(biāo)定，坐標(biāo)系統(tǒng)一可以快速實現(xiàn)，所需時間和直接轉(zhuǎn)換法相當(dāng)。

4 試驗與結(jié)論

為了驗證方法是否有效，對一臺光電經(jīng)緯儀分別采用直接轉(zhuǎn)換法和場地標(biāo)定法進行坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，最終通過GPS數(shù)據(jù)引導(dǎo)功能是否正常，或反算標(biāo)志點角度誤差大小來判斷方法有效性。試驗中使用的光電經(jīng)緯儀具備慣性導(dǎo)航系統(tǒng)，試驗場地為上海浦東機場第四跑道。

4.1 直接轉(zhuǎn)換法驗證

根據(jù)第2節(jié)中的方法，首先打開光電經(jīng)緯儀的慣性導(dǎo)航系統(tǒng)，對經(jīng)緯儀坐標(biāo)系的姿態(tài)角進行測量，而后再利用差分GPS設(shè)備測量經(jīng)緯儀的原點坐標(biāo)位置，并根據(jù)式(3)求出坐標(biāo)系的經(jīng)緯度，最后按照式(6)求出坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣。完成坐標(biāo)系統(tǒng)一后，使用飛機空地遙測鏈路，將飛機的GPS位置實時發(fā)送至地面接收站，再通過地面光纖數(shù)據(jù)鏈路，將飛機GPS數(shù)據(jù)傳輸至光電經(jīng)緯儀，激活其GPS數(shù)據(jù)引導(dǎo)功能。

根據(jù)試驗結(jié)果，當(dāng)飛機距離30 km時，通過GPS數(shù)據(jù)引導(dǎo)功能可以實現(xiàn)光電經(jīng)緯儀對飛機的自動跟蹤拍攝，這說明轉(zhuǎn)換矩陣精度滿足GPS數(shù)據(jù)引導(dǎo)功能需求，也證明直接轉(zhuǎn)換法可以有效獲取坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣。

4.2 場地標(biāo)定法驗證

根據(jù)第3節(jié)中場地標(biāo)定法流程，在具體試驗中，首先對試驗場地——浦東國際機場第四跑道進行標(biāo)志點選取和標(biāo)定工作。

如圖2所示，在經(jīng)緯儀布點四周1 km內(nèi)選取9個標(biāo)志點后，用差分GPS系統(tǒng)測量這9個標(biāo)志點和光電經(jīng)緯儀原點的GPS坐標(biāo)，并記錄數(shù)據(jù)，如表1所示。

表1 光電經(jīng)緯儀原點及9個標(biāo)志點GPS坐標(biāo)

此時便得到了GPS坐標(biāo)系下的標(biāo)志點坐標(biāo)序列B，需要注意的是，在光電經(jīng)緯儀不具備測距單元時，可以根據(jù)各個標(biāo)志點與光電經(jīng)緯儀原點的GPS坐標(biāo)，來輕松求取各標(biāo)志點到經(jīng)緯儀的絕對距離。

為了獲取光電經(jīng)緯儀坐標(biāo)系下的標(biāo)志點序列A，需要操作光電經(jīng)緯儀分別瞄準(zhǔn)9個標(biāo)志點，此時首先測量瞄準(zhǔn)各個標(biāo)志點時對應(yīng)的方位角和俯仰角數(shù)據(jù)序列，而后結(jié)合各標(biāo)志點到光電經(jīng)緯儀的距離值，可以得到光電經(jīng)緯儀球坐標(biāo)系下的標(biāo)志點坐標(biāo)。如表2所示。

表2 光電經(jīng)緯儀瞄準(zhǔn)9個標(biāo)志點的轉(zhuǎn)臺角度值

此時，根據(jù)式(17)，便可以將光電經(jīng)緯儀球坐標(biāo)系下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，獲得標(biāo)志點序列A:

(17)

獲得A、B坐標(biāo)序列后，根據(jù)章節(jié)3中提到的最小二乘法和基于SVD的最小二乘法，分別用這兩種算法求解轉(zhuǎn)換矩陣Rbo，結(jié)果如下:

最小二乘法下，Rbo表達式為

將其作為已知數(shù)，反算方位角和俯仰角的均方根(RMS)誤差，可以得到方位角RMS誤差為0.0087°，俯仰角RMS誤差為0.0416°。

同樣的，使用基于SVD的最小二乘法計算，可得到轉(zhuǎn)換矩陣Rbo，表達式為

將其作為已知數(shù)，反算方位角和俯仰角的RMS誤差，可以得到方位角RMS誤差為0.0073°，俯仰角RMS誤差為0.0418°。可以驗證，該轉(zhuǎn)換矩陣為正交矩陣。

從以上結(jié)果可以看出，兩種算法計算出的矩陣Rbo表達式結(jié)果接近，且反算得到的誤差數(shù)值接近，兩個方向的角度誤差均小于0.05°，但基于SVD的最小二乘形式解進一步滿足正交約束條件，因此其結(jié)果更可取。

將上面的旋轉(zhuǎn)矩陣結(jié)果輸入經(jīng)緯儀控制系統(tǒng)中，激活其GPS數(shù)據(jù)引導(dǎo)跟蹤功能。結(jié)果表明，光電經(jīng)緯儀可根據(jù)飛機的實時GPS遙測數(shù)據(jù)進行自動跟蹤，這進一步驗證了場地標(biāo)定法的有效性。

5 結(jié)束語

針對光電經(jīng)緯儀傳統(tǒng)坐標(biāo)系統(tǒng)一方法的使用限制問題，研究了兩種替代方法。在直接轉(zhuǎn)換法中，設(shè)計了中間坐標(biāo)系以完成WGS-84坐標(biāo)系和經(jīng)緯儀坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，并給出了公式推導(dǎo)過程；在場地標(biāo)定法中，給出場地標(biāo)志點測量方法和選取原則，并針對超定方程組求解進行了算法分析，給出了基于SVD的最小二乘形式下最優(yōu)解的算法。最終，使用光電經(jīng)緯儀的GPS引導(dǎo)功能實現(xiàn)了對飛機超視距跟蹤，成功驗證了兩種坐標(biāo)系統(tǒng)一方法的有效性。尤其是場地標(biāo)定法，以其不依賴調(diào)平精度、低成本和快速實施的特點，可以廣泛應(yīng)用在需要靈活部站、快速實現(xiàn)坐標(biāo)系統(tǒng)一的場景中，具有普適性。