基于板殼理論的隱伏陷落柱突水煤層底板破斷機(jī)理研究

劉港，張勃陽(yáng)，吳琳琳

（1.河南理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，河南 焦作 454000；2.河南省聯(lián)合創(chuàng)藝建筑設(shè)計(jì)有限公司，河南 鄭州 450000）

0 引 言

陷落柱是一種隱伏在煤田內(nèi)部在豎向上呈橢圓形或圓椎（柱）形的柱狀巖體，是巖溶空洞頂部塌陷后逐漸形成的橢圓形或圓椎（柱）形陷落體，因此又被稱為“巖溶陷落柱”［1-4］。華北地區(qū)的奧陶系石灰?guī)r巖層較厚，巖層被溶蝕后形成陷落柱，地下水徑流使其不斷擴(kuò)展發(fā)育，因此，陷落柱成為我國(guó)華北地區(qū)獨(dú)有的地質(zhì)構(gòu)造，在河南、山西、山東、安徽、河北、陜西、江蘇、內(nèi)蒙古等省（自治區(qū)）的20多個(gè)煤盆地中皆有發(fā)現(xiàn)［5-8］。

陷落柱突水具有突發(fā)性、滯后性，目前仍不能很好地預(yù)測(cè)和控制陷落柱的突水過(guò)程［9-11］。例如淮北礦區(qū)桃源煤礦、淮南潘二煤礦［12］等都是在陷落柱突水后才進(jìn)行止水治理。對(duì)于陷落柱突水治理技術(shù)，我國(guó)已取得較為成熟的理論，尹尚先等［13］、姚邦華等［14］、楊天鴻等［15］、許進(jìn)鵬［16］、蔡波［17］、ZHANG S G等［18］、趙 家 巍 等［19］、霍 丙 杰等［20］眾多學(xué)者對(duì)陷落柱的突水機(jī)理作了充分研究。此外，李 連 崇 等［21-22］、李 振 華 等［23］、張 勃 陽(yáng)等［24］、李見(jiàn)波等［25］、桂輝等［26］、張村等［27］、趙國(guó)飛等［28］在數(shù)值模擬和試驗(yàn)方面也做了相關(guān)研究。

綜上所述，眾多學(xué)者針對(duì)陷落柱及其突水機(jī)理開(kāi)展了大量研究，取得了豐碩的研究成果。在陷落柱突水發(fā)生后，體積1 m3的巖塊在水壓作用下運(yùn)移100 m以上的現(xiàn)象時(shí)常出現(xiàn)，這表明陷落柱突水后煤層底板發(fā)生了大規(guī)模破斷。然而，對(duì)陷落柱突水發(fā)生后煤層底板的破壞機(jī)理還鮮有研究，因此，本文基于板殼理論和斷裂力學(xué)理論，建立含隱伏陷落柱的煤層底板破斷力學(xué)模型，以期揭示煤層底板的應(yīng)力分布規(guī)律和損傷破斷機(jī)理。

1 含隱伏陷落柱煤層底板破斷力學(xué) 模型

徐州礦區(qū)張集煤礦位于徐州復(fù)背斜九里山向斜煤田的西北翼，“2·18”特大突水事故發(fā)生時(shí)，奧陶系灰?guī)r水為此次突水的主要水源［29-31］。工作面開(kāi)采過(guò)程中，在應(yīng)力場(chǎng)和滲流場(chǎng)雙重作用下，陷落柱內(nèi)部水壓逐漸增大，煤層底板受到的橫向水壓力增大，當(dāng)橫向水壓力達(dá)到一定值時(shí)，煤層底板破斷突水，造成陷落柱水害發(fā)生，突水模型如圖1所示。突水發(fā)生時(shí)，含水層水經(jīng)陷落柱進(jìn)入工作面，陷落柱內(nèi)部顆粒進(jìn)一步流失，直至被掏空，煤層底板可近似看作薄板（圖1中虛線區(qū)域）。

圖1 煤層底板隱伏陷落柱突水模型Fig.1 Model of water inrush from coal seam floor concealed by collapse column

2 煤層底板破斷機(jī)理

2.1 煤層底板應(yīng)力分布理論分析

陷落柱頂部呈近圓形，基于薄板理論建立陷落柱突水時(shí)的無(wú)裂紋煤層底板破斷力學(xué)概化模型，單獨(dú)分析圖1中虛線區(qū)域內(nèi)的煤層底板，其力學(xué)概化模型如圖2所示，可以認(rèn)為，底板約束為圓周簡(jiǎn)支約束，即只能控制底板周圍不發(fā)生位移，但不能控制底板發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。煤層開(kāi)采后，圖1中虛線區(qū)域的底板頂部煤層被挖空，處于應(yīng)力釋放區(qū)，通常陷落柱突水在奧陶系的高水壓作用下形成。因此，底板的橫向外力以水壓力為主，自重和頂部壓力可忽略不計(jì)，將底板的力學(xué)模型概化為四周簡(jiǎn)支圓形薄板z方向受均布面力的問(wèn)題（圖2）。此外，為簡(jiǎn)化計(jì)算，將該模型近似看作軸對(duì)稱問(wèn)題。

圖2 無(wú)裂紋煤層底板破斷力學(xué)概化模型Fig.2 Mechanical generalization model of crack-free floor of coal seam

由彈性力學(xué)的里茲法，可知

式中：wm為撓度；Cm為wm的待定系數(shù)；Vε為應(yīng)變能。

對(duì)于極坐標(biāo)問(wèn)題，Vε表達(dá)形式為

D為薄板的彎曲剛度，表達(dá)式為

式中：E為彈性模量；μ為泊松比；δ為薄板厚度。

對(duì)于軸對(duì)稱問(wèn)題，式（1）可轉(zhuǎn)化為

對(duì)于四邊簡(jiǎn)支問(wèn)題，式（2）可簡(jiǎn)化為

圖2的力學(xué)模型為四周簡(jiǎn)支約束問(wèn)題，存在一個(gè)位移邊界條件和一個(gè)應(yīng)力邊界條件，即

式中，r為平板半徑。

以C1和C2為例進(jìn)行計(jì)算，則由式（5）可得

因此，撓度w的表達(dá)形式為

其徑向和環(huán)向應(yīng)力可以通過(guò)撓度w進(jìn)行，即

由式（10）～（11）可得

進(jìn)而推出徑向和環(huán)向應(yīng)力，即

由式（14）可知，底板應(yīng)力分布與底板厚度呈負(fù)相關(guān)，與橫向水壓力、直徑和距中面距離呈正相關(guān)；表面附近應(yīng)力分布呈二次拋物線形，中心處應(yīng)力值最大，邊緣處應(yīng)力值最小。

當(dāng)z=δ/2，ρ=0時(shí)，底板上表面中心處，式（14）可化簡(jiǎn)為

2.2 裂紋尖端應(yīng)力分布理論分析

在圖2基礎(chǔ)上增加裂紋，構(gòu)成煤層底板力學(xué)概化模型（圖3），底板受橫向均布荷載q，裂紋長(zhǎng)度為2a，在橫向水壓作用下，橫截面zox內(nèi)應(yīng)力分布亦見(jiàn)圖3，此時(shí)裂紋類型為I型（張開(kāi)型）裂紋。通過(guò)求解底板裂紋尖端附近應(yīng)力場(chǎng)和裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子KI，與底板斷裂韌度KIC對(duì)比，當(dāng)KI＞KIC時(shí)，裂紋擴(kuò)展，底板開(kāi)始進(jìn)一步破壞；反之，裂紋不發(fā)生擴(kuò)展，底板不破壞。

圖3 含裂紋煤層底板力學(xué)概化模型Fig.3 Mechanical generalization model of cracked floor of coal seam

取應(yīng)力函數(shù)為

應(yīng)力分量表達(dá)式為

采用逆解法，設(shè)

其極坐標(biāo)形式為

當(dāng)θ=0（即x=0）時(shí)，裂紋在延長(zhǎng)線上為

當(dāng)θ為任意值時(shí)，ZI（z）可以寫(xiě)成

當(dāng)r/l?1時(shí)，分子可略去r/l項(xiàng)，分母可略去（r/l）2項(xiàng)，得

將以上各式代入I型裂紋應(yīng)力分量表達(dá)式（17），可得裂紋尖端應(yīng)力分量為

由式（15）可知，在底板上表面中心處的裂紋應(yīng)力強(qiáng) 度因子（29δ2）。由此可知，隨著底板半徑、裂紋長(zhǎng)度、橫向水壓增加和厚度減小，裂紋更易擴(kuò)展。

3 工程實(shí)例

張集煤礦“2·18”特大突水事故中，陷落柱呈上小下大的倒漏斗狀，頂部距煤層底板15 m左右，平面上呈近圓形，半徑約為50 m，裂紋長(zhǎng)度約為20 cm，底部承壓水水壓3.1 MPa。煤層底板巖性構(gòu)造大多為砂巖，其抗拉強(qiáng)度2.6 MPa，泊松比0.25。

鄧華鋒等［32］從理論上分析了巖石I型斷裂韌度與抗拉強(qiáng)度的相關(guān)性，其表達(dá)式為

式中：KIC為巖石的I型斷裂韌度；σt為巖石單軸抗拉強(qiáng)度；a為裂紋擴(kuò)展半徑。

由于裂紋長(zhǎng)度遠(yuǎn)小于底板半徑，故裂紋附近應(yīng)力分布近似為恒定值，由式（15）可得，σ=71.26 MPa，故KI=39.9 MPa，KIC=2.06 MPa，KI＞KIC，故裂紋發(fā)生擴(kuò)展，導(dǎo)致煤層底板破斷。

4 結(jié)論與展望

（1）橫向荷載作用下，煤層底板內(nèi)應(yīng)力分布與底板厚度、半徑和水壓有關(guān)，并且隨著臨界水壓值越大，即表面均布荷載值越大，底板厚度越薄，底板越易發(fā)生破斷。

（2）對(duì)比巖石的斷裂韌度和裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子大小可以看出，含有裂紋底板的擴(kuò)展破斷機(jī)理與底板厚度、半徑和裂紋的長(zhǎng)度有關(guān)；隨著底板厚度和強(qiáng)度增加，裂紋越難擴(kuò)展，隨著裂紋長(zhǎng)度和底板半徑增加，裂紋越易擴(kuò)展。

（3）利用板殼理論和斷裂力學(xué)理論分析了張集煤礦“2·18”特大突水事故中的煤層底板破斷機(jī)理，其底板上表面中心處的裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子KI遠(yuǎn)大于I型斷裂韌度KIC，故底板裂紋迅速發(fā)生擴(kuò)展，導(dǎo)致底板破斷突水，分析結(jié)果與現(xiàn)場(chǎng)相符，分析結(jié)果與現(xiàn)場(chǎng)相符。

（4）本文僅研究了陷落柱區(qū)域內(nèi)底板上表面中心處僅存在單一裂紋的擴(kuò)展機(jī)理，未給出多條裂紋延伸貫通和存在偏心裂紋的底板破斷情況。由于實(shí)際巖體中存在著不規(guī)則的節(jié)理并受煤層開(kāi)采的擾動(dòng)，對(duì)于非完整底板后續(xù)將開(kāi)展研究。