古典概率的計算與應(yīng)用實例的探究

◇宿遷學(xué)院 王 莉

本文主要介紹了古典試驗中如何運(yùn)用計數(shù)方法計算古典概率,以幾種模型為例展開討論,并利用乘法公式和全概率公式結(jié)合古典概率的計算方法分析解決了一類與生活相關(guān)的手機(jī)密碼解鎖的新問題,旨在說明古典概率在實際問題上的應(yīng)用價值.

古典試驗作為概率論發(fā)展早期的一類重要試驗,在實際生活中無處不在,因此探討古典概率的計算尤為重要.它始于德·梅耳[1]的“賭本分配”的問題,后來伽利略在一篇名為《有關(guān)骰子游戲的研究》的論述中[2]提到的“點數(shù)問題”對古典概率日后的發(fā)展有著極大地影響.而后荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯也繼續(xù)了這方面的研究,他的工作主要是推廣了帕斯卡和費(fèi)馬關(guān)于賭金分配的計算,最早提出了“數(shù)學(xué)期望[3]”這個概念.到了1812年,拉普拉斯作為古典概率研究的集大成者,全面總結(jié)了古典概率的一般定義和有關(guān)基本原理,著有《概率的分析理論》一書,這標(biāo)志著古典概率理論的成熟.

近年來,在國內(nèi)關(guān)于古典概率問題的研究也比較廣泛,其中張大國[4]、李榮江[5]、謝滟馨[6]等專家學(xué)者都在不同程度上對古典概率的計算方法進(jìn)行了一定的探討,值得我們?nèi)ゼ?xì)細(xì)品讀.

本文在此基礎(chǔ)上將古典概率的計算方法進(jìn)行了全方位、多層次、更深入的細(xì)致剖析,并且將這些方法進(jìn)行綜合的歸納和總結(jié),并與全概率公式進(jìn)行結(jié)合提出了手機(jī)密碼解鎖問題,進(jìn)一步解決了生活中的一些難題.

1 古典概率

若試驗的樣本空間有限且.試驗中出現(xiàn)每個結(jié)果的可能性均等,則這樣的試驗稱為古典試驗或古典概型.

此概率稱為古典概率.

它在實際生活中有著重要且廣泛的應(yīng)用,比如從普通的游戲到驚險的賭博,從各種彩票到人身保險,從人口統(tǒng)計到國家選舉,都能夠顯示出古典概率在現(xiàn)實中廣泛的應(yīng)用價值[7].

2 常用的計數(shù)方法

運(yùn)用乘法原理、加法原理和排列組合公式來計數(shù).

有次序時用排列數(shù).

無次序時用組合數(shù).

3 模型分析

3.1 投球模型（分房問題）

例1 將3個人分入4個不同的屋子中,每個人被分入每個屋子的可能性均等,屋子的容量不限,求以下事件的概率:

（1）指定某屋子是空的；

（2）恰好有2個空屋子；

（3）指定某3個屋子中各有一個人；

（4）恰好有3個屋子中各有一個人.

（1）指定有一個屋子是空的,即其他的三個屋子里必定有人,相當(dāng)于將3個人分入3個不同的屋子,總數(shù)有,那么

（3）因為3個屋子是指定的,所以不需要選屋子,只需將3個人分別分入3個屋子中,有種分法,此時

（4）3個屋子并不指定,在4個屋子中任意取出其中3個屋子有種取法,再將3個人分別分入3個屋子中,有種放法,此時

對于這些問題的處理上要準(zhǔn)確把握題干的含義,注意到“指定”與“恰好”之間的關(guān)系.“指定”是指已經(jīng)確定了的,不需要考慮其他情況,而“恰好”則需要考慮到其他的存在情況,涉及到是否需要用排列組合數(shù)來考慮問題.

3.2 抽球模型（抽樣模型）

取球問題可以看作為投球問題的逆過程,例如從 個球中取出 個球,可以看作為將 個球放到 個不同的盒子中.但取球的問題也有其獨特的思路與方法,其中的球有可能是有不同的編號,可能是有不同的顏色,也有可能是放回或者不放回的取球.對于具體的問題要仔細(xì)判斷是用排列還是組合去計數(shù),還是綜合使用,是解決這類問題的關(guān)鍵.

（1）有放回.

a、有放回按序摸球.

若存在有 個球,從這些球中任意取 次（可以大于 ）,一次取一只,每次取球后放回,這樣每次取球都記錄球的編號和次序,那么像這樣從 個球中任取 次共有種取法,因此總數(shù)為.

b、有放回不按序摸球.

若存在有 個球,從這些球中任取 次,一次取一只,每次取球后放回,只需要記錄下球的編號,不需要考慮次序,為重復(fù)組合的情況,事件總數(shù)為.

（2）無放回.

a、無放回按序摸球.

若存在有 只球,要從中任意取出 只,每次取出球后不放回,記錄下球的編號和次序,那么第一次摸球時有 種取法,第二次摸球時有種取法,以此下去每一次的取法總比上一次的少1,當(dāng)取到第 次時取法就有種,所以取法總數(shù)共有:

b、無放回不按序摸球.

若存在有 個球,要從中任意取出 只,每次取出球后不放回,每次記錄下球的編號,不考慮的次序,這就好像一次性從 個球中取出 個球一樣,可知基本事件總數(shù)為.

例2 若口袋中有兩種不同顏色的球,有3只藍(lán)球,7只紅球,問:

（1）從中任意取出3只球,取出1只紅球,2只藍(lán)球的概率；

（2）從中不放回的任意取3次,一次一只球,求取出1只是紅球,2只是藍(lán)球的概率；

（3）從中有放回的任意取3次,一次一只球,求取出1只是紅球,2只是藍(lán)球的概率.

（2）在這種情況下取了3次,為不重復(fù)排列,所以樣本點總數(shù)為.所取的紅球有可能是3次中的其中一次,有種可能,然后取出1只是紅球,2只是藍(lán)球,且藍(lán)球需要排序,有種可能,那么事件的樣本點個數(shù)為,這樣有

（3）因為是有放回的取球,一共取了3次,可以得知樣本點總數(shù)為103.這種情況下存在先取出紅球后取出藍(lán)球和先取出藍(lán)球后取出紅球這兩種情況,可知事件的樣本點個數(shù)為,那么

注意本題分析了三種不同的抽取情況下如何求概率,對三種情況要注意計數(shù)策略的不同,第一種情況與取球的次序無關(guān),故用組合計數(shù)；而在不放回取球時,取出的球是有先后順序的,故應(yīng)該按照排列計數(shù)；而在無放回的情況下,每次取球與下一次的取球無關(guān),要用重復(fù)排列計數(shù).對于這三種情況需要嚴(yán)格的區(qū)分辨別.

例3（彩票問題）如果在盒子里有111張彩票,其中只有一張為有獎彩票,求:

（1）每張彩票試過后不放回,第5次中獎的概率；

（2）每張彩票試過后放回,第5次中獎的概率.

由此可見,無論是有放回還是無放回抽取,每次中獎的概率是一樣的,中獎的概率與抽獎的次序無關(guān),同時也就是與第幾個人第幾次抽獎無關(guān),中獎的概率只與有獎獎券的數(shù)量以及所有獎券的總數(shù)有關(guān).因此,無論是否放回取樣,每次取到其中一種元素的可能性是都是相同的,在遇到類似的問題時,可以利用這種原理來解題.

3.3 全概率公式在古典概率中的應(yīng)用

例5（手機(jī)解鎖問題）若某人忘記了自己的手機(jī)密碼,手機(jī)密碼可由6位數(shù)字組成.當(dāng)他錯誤輸入密碼5次后手機(jī)將鎖定10分鐘,在此期間內(nèi)無法輸入密碼,而后再錯誤輸入5次后手機(jī)將鎖定20分鐘,再次錯誤輸入5次后手機(jī)將鎖定30分鐘,那么此人在1小時內(nèi)解鎖手機(jī)的概率有多大？（輸入密碼的時間忽略不計）

本題與抽簽?zāi)Ｐ皖愃?即每一次解開鎖的概率都是相同的,但是解鎖的概率與解鎖的次數(shù)有關(guān),即次數(shù)越多解鎖的可能就越大,實際上是乘法公式與全概率公式的綜合使用,如此看來問題就簡單多了.

本文針對古典試驗對古典概率的計算和應(yīng)用做了相關(guān)的討論與研究.分別給出了投球問題、抽球問題、數(shù)字問題、手機(jī)密碼解鎖問題等幾個模型,通過具體實例對模型中各種情況下計算古典概率進(jìn)行了詳細(xì)的分析,并總結(jié)了每種模型計算的規(guī)律和注意點.文中尤其提出古典概率在手機(jī)密碼解鎖問題中的實際應(yīng)用,并進(jìn)行了計算.通過本文的討論提供了一些在計算古典概率的技巧,可以在一定程度上降低問題的復(fù)雜程度,大大簡化計算量,是問題簡單明了,并且對生活應(yīng)用領(lǐng)域進(jìn)行了拓展,提高研究者在這方面繼續(xù)深入研究的興趣.