基于代理模型與遺傳算法的翼型優(yōu)化設計方法研究＊

王璐瑤 于佳鑫 王曉東 陳江濤 吳曉軍

（1.華北電力大學電站能量傳遞轉化與系統(tǒng)教育部重點實驗室；2.中國空氣動力研究與發(fā)展中心）

0 引言

風力機翼型是風力機葉片設計的基本元素。翼型的氣動性能關系著風力機的風能吸收效率。翼型氣動優(yōu)化設計方法分為兩種：正設計法與反設計法。正設計方法主要以翼型的一個或多個氣動特性為目標函數(shù)，采用優(yōu)化算法求解最優(yōu)翼型。反設計方法通常給定翼型表面壓力分布來反推符合該壓力分布的翼型幾何外形[1]。其中，正設計方法不需要根據(jù)經(jīng)驗預先給定壓力分布等參數(shù)，因此近年來得到了快速發(fā)展。

隨著計算流體力學（CFD）模擬的快速發(fā)展，CFD 已經(jīng)成為翼型設計中進行氣動性能評估的主要手段。楊科[4]等人提出了一種基于CFD 數(shù)值計算與遺傳算法相結合的方法，對升阻比進行優(yōu)化，結果顯示翼型在多個工況下，氣動性能得到提升。但CFD 方法通常計算周期長，計算量大。因此在優(yōu)化設計中需要的計算量很大。有研究者嘗試將機器學習理論應用到CFD計算中，提出了基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡等代理模型方法代替CFD 計算。王邦祥[6]等人提出了一種基于CFD 和神經(jīng)網(wǎng)絡的翼型優(yōu)化方法，將翼型在三個工況下的升阻比通過線性加權的方式結合作為目標函數(shù)。遺傳算法尋優(yōu)時，利用神經(jīng)網(wǎng)絡計算代替CFD計算，大大減少了計算量。楊碩[7]建立了徑向基函數(shù)模型耦合多目標粒子群優(yōu)化算法的翼型多目標（多工況）優(yōu)化設計方法，以升力系數(shù)和升阻比為優(yōu)化目標，對翼型進行單目標和多目標優(yōu)化。琚亞平[8]等人采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡建立代理模型，結合遺傳算法對FX63-167 翼型進行優(yōu)化。優(yōu)化結果顯示此種優(yōu)化方法可以縮短優(yōu)化時間，提高優(yōu)化效率。但是代理模型的預測精度會對最終優(yōu)化結果產生影響。為了提高代理模型的預測精度，需要相當數(shù)量的訓練樣本。黃意堅[9]等人提出了一種基于代理模型的優(yōu)化方法，通過不斷增加訓練樣本來提高代理模型的預測精度，對平底后緣翼型進行單目標優(yōu)化，結果顯示在設計工況下，翼型升力系數(shù)提升了8.35%。王曉東[10]等人提出了一種基于非確定性計算流體動力學(CFD)仿真結合多目標遺傳算法(MOGA)的魯棒氣動優(yōu)化方法，文章指出當訓練樣本不充足時，BP神經(jīng)網(wǎng)絡的預測精度不高；而當訓練樣本數(shù)量過大時，樣本的計算量又過大。因此，如何提高代理模型的精度和訓練效率是此類氣動優(yōu)化方法的關鍵。Hirsch[13]等提出了一種coarse-to-fine 的逼近策略，采用單目標優(yōu)化，將優(yōu)化結果加入樣本庫，通過迭代提高逼近模型的預測能力。Nain 和Deb[11]提出一種類似的coarse-to-fine 迭代方法，基于多目標優(yōu)化方法NAGA-Ⅱ和神經(jīng)網(wǎng)絡，將每次得到的Pareto 近似解加入樣本庫重新訓練代理模型，預測精度逐漸提高，優(yōu)化結果逐漸收斂到Pareto 前沿。經(jīng)驗證此種迭代方式在不同的問題上可減少約30%～80%的計算工作量。王曉東[12]等采用coarse-to-fine 的迭代策略，并對NSGA-Ⅱ與前饋式神經(jīng)網(wǎng)絡的耦合優(yōu)化方法對Rotor37進行三目標的氣動性能優(yōu)化，探討了coarse-to-fine 策略對多目標優(yōu)化收斂性的影響[14]。

本文以S809風力機翼型為對象，建立了運行工況點下優(yōu)化目標為升力系數(shù)的優(yōu)化模型，采用coarse-tofine 迭代策略，利用參數(shù)化方法、計算流體力學(CFD)、基于神經(jīng)網(wǎng)絡的代理模型和遺傳算法相結合的方法進行優(yōu)化設計。重點討論coarse-to-fine 策略中初始樣本數(shù)與細化迭代次數(shù)的關系，檢驗coarse-to-fine策略對于提高代理模型的預測精度和減少計算量的效果。

1 數(shù)值方法

1.1 翼型的幾何參數(shù)化模型

在翼型優(yōu)化過程中，每一次優(yōu)化都需要對翼型的幾何進行改變。采用參數(shù)化方法可以代替型線散點，以較少的參數(shù)表示翼型的幾何，方便改變幾何形狀。翼型幾何參數(shù)化方法有樣條參數(shù)化方法[15]，PARSEC參數(shù)化方法[16]和CST（Class function/ Shape function Transformation，CST）方法[17]等。其中，CST 參數(shù)化方法精度較高，參數(shù)少。因此，本文采用CST 參數(shù)化方法。CST參數(shù)化方法由形函數(shù)和類函數(shù)組成。如

上表面型線可以表示為：

下表面型線：

式中，下標u，l分別表示翼型的上下表面；yTEu，yTEl分別為上下表面后緣的y坐標。類函數(shù)C(x)定義如下：

類函數(shù)控制翼型的種類，N1，N2 為類函數(shù)參數(shù)，對于一般翼型，分別取0.5，1。形函數(shù)S(x)對翼型的外形進行修正，形函數(shù)的基函數(shù)常用Bernstein 多項式。Bernstein 多項式的階數(shù)越高，擬合效果越好，但是擬合所需參數(shù)數(shù)量隨之增加。圖1給出了S809翼型在4 階Bernstein 多項式時的擬合情況，可以看出擬合效果很好。所以本文選擇4 階的Bernstein 多項式對S809翼型進行擬合。

圖1 S809翼型的擬合結果Fig.1 Fitting results of S809 airfoil

1.2 CFD模擬方法

翼型的氣動力采用二維的CFD計算來獲得。采用開源軟件OpenFOAM 進行二次開發(fā)。選取OpenFOAM自帶的結構化網(wǎng)格劃分工具blockMesh 進行批量網(wǎng)格劃分，通過Python編寫網(wǎng)格批量生成程序。

計算域形狀為C 型，并對翼型近壁區(qū)域進行加密，翼型周向節(jié)點數(shù)為480，C 型區(qū)域徑向節(jié)點數(shù)為75，方形區(qū)域x及y方向節(jié)點數(shù)均為200，翼型表面的首層網(wǎng)格高度滿足y+小于1，網(wǎng)格數(shù)為7.35 萬，整體網(wǎng)格和翼型周圍的網(wǎng)格如圖3 所示。雷諾數(shù)Re=1×106，不可壓縮空氣的粘度ν為1.57×10-5Pa·s，密度ρ=1kg/m3。

進口采用速度進口邊界條件，出口采用壓力出口，翼型表面為無滑移，光滑壁面；湍流模型采用SST k-ω 模型。采用穩(wěn)態(tài)不可壓縮流求解器SimpleFOAM。殘差收斂精度設置為10-6。

1.3 代理模型

在氣動分析方面，由于模擬計算量大，計算時間長，在需要大量樣本計算的情況下，消耗的計算資源和時間過長[24]。代理模型是將CFD 計算的樣本作為訓練數(shù)據(jù)進行學習。經(jīng)過訓練的代理模型，可以代替CFD 給出新的樣本的性能預測。預測精度通常隨訓練樣本數(shù)的增加而提高[17]。

圖2 計算網(wǎng)格及翼型附近網(wǎng)格Fig.2 Computational mesh and the details of the grid near airfoil surface

徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡RBFNN（Radial basis function neural network）可以擬合非線性函數(shù)，對學習樣本之外的個體預測精度較高，泛化能力很強，所以本文采用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡[8]。本文神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入為樣本翼型的9 個CST 參數(shù)化參數(shù)和對應的升阻力系數(shù)，輸出為參數(shù)化參數(shù)和升阻力的一種近似映射關系。為了保證訓練樣本對設計空間的覆蓋性，本文采用拉丁超立方方法生成160組初始訓練樣本，160組樣本中150組樣本用于訓練神經(jīng)網(wǎng)絡，剩余10組用來測試神經(jīng)網(wǎng)絡的預測精度。10組預測樣本的升力系數(shù)和阻力系數(shù)預測的平均相對和絕對誤差如表1，相對誤差為代理模型對優(yōu)化翼型升阻力的預測值相對于CFD計算值的誤差。誤差精度都達到了10-3量級，由此看出，RBFNN的預測精度比較高。

表1 RBF對升阻力預測的絕對與相對誤差Tab.1 Absolute and relative errors of RBF in predicting lift resistance

1.4 優(yōu)化算法

智能優(yōu)化算法主要包括遺傳算法、模擬退火算法、粒子群算法、差分進化算法[25]等，其中遺傳算法的選擇、交叉、變異具有意義明確，實施簡單等優(yōu)點，是一種高效，并行，全局搜索的方法，在優(yōu)化過程中，可以獲得比較好的全局最優(yōu)解。因此，本文采用了遺傳算法[18]。遺傳算法在編碼[21]的基礎上，生成初始種群，計算種群中每個個體的適應度，進行基因的復制，交叉和變異現(xiàn)象，并且遵循適者生存的原則，在滿足條件的種群中逐次產生一個最優(yōu)的個體，種群得以進化，最終得到一個最優(yōu)的個體。

1.5 Coarse-to-fine的迭代策略

代理模型的預測精度受樣本數(shù)量影響很大，而增加訓練樣本的數(shù)量就會增加計算量。本文利用一定數(shù)量的初始樣本對代理模型進行訓練，每次優(yōu)化得到的翼型要比初始樣本更接近最優(yōu)解，將優(yōu)化結果添加到初始樣本中對代理模型進一步訓練，優(yōu)化得到的翼型都較前一次更準確，最終優(yōu)化結果會收斂于最優(yōu)解，減少了計算量。為了區(qū)分coarse-to-fine 的迭代與遺傳算法的進化迭代，將coarse-to-fine 迭代稱為外部循環(huán)。

綜上所述，翼型的氣動優(yōu)化設計可以分為以下幾步：

①選擇翼型的參數(shù)化表示方法及設計變量；

②應用試驗設計法在設計空間內生成一定數(shù)量的樣本；

③對樣本進行CFD計算得到每個翼型對應的升阻力；

④將每個翼型對應的參數(shù)化參數(shù)和升阻力組成訓練樣本訓練代理模型，得到參數(shù)化參數(shù)和升阻力的對應關系；

⑤在設計空間內隨機生成初始樣本，基于代理模型求得目標函數(shù)的最優(yōu)值，并通過遺傳算法迭代求得最優(yōu)翼型。

如圖3所示，為氣動優(yōu)化設計流程圖。

圖3 帶coarse-to-fine循環(huán)的翼型氣動優(yōu)化過程Fig.3 Aerodynamic optimization process of airfoil with coarse-to-fine iterations

2 S809翼型氣動優(yōu)化設計

2.1 優(yōu)化模型

本文采用S809 翼型為基準翼型，以α=12°，v=15.7m/s為設計點進行氣動優(yōu)化設計，S809翼型的氣動優(yōu)化問題可表示為：目標函數(shù)為翼型升力系數(shù)最大，約束條件為翼型最大厚度不變，最大厚度相對位置變化范圍為±5%，設計阻力系數(shù)小于原始翼型S809 的阻力系數(shù)。

優(yōu)化變量：參數(shù)化方法選取4 階Bernstein 多項式，選取9 個設計變量來確定翼型的幾何形狀，上表面設計變量為a0,u，a1,u，a2,u，a3,u，a4,u，下表面設計變量為a1,l，a2,l，a3,l，a4,l，設計變量范圍設置為原翼型變量數(shù)值上下50%，取值范圍見表2。圖4為翼型上下表面控制點位置，圖中實線為原翼型擬合結果。

表2 原翼型和優(yōu)化翼型的升阻比對比Tab.2 Contrast of lift-drag-ratio of original and optimized airfoils

圖4 翼型上下表面控制點Fig.4 Control points on the upper and lower surfaces of the airfoil

控制參數(shù)種群規(guī)模為40，父母數(shù)為20，交叉概率為0.5，變異概率為0.001，最大進化代數(shù)為400。圖5為外部循環(huán)次數(shù)與初始樣本數(shù)的關系曲線。從圖中可以看到，隨著初始樣本數(shù)的增加，迭代次數(shù)逐漸減少，但是總的計算量也在增加。初始樣本數(shù)為20 時，外部循環(huán)次數(shù)為39次，總計算量為59；初始樣本數(shù)為150 時，外部循環(huán)次數(shù)為8 次，總計算量為158，遠大于樣本數(shù)為20時的計算量。圖6為總計算量與初始樣本數(shù)的關系曲線，從圖中可以看到在初始樣本數(shù)為20時，總計算量達到最小。所以選取20為最優(yōu)的初始樣本數(shù)，圖7 給出了初始樣本數(shù)最優(yōu)情況下，外部循環(huán)過程中升力與阻力相對誤差收斂曲線，相對誤差為代理模型對優(yōu)化翼型升阻力的預測值相對于CFD計算值的誤差。

圖5 迭代次數(shù)隨初始樣本數(shù)變化曲線Fig.5 Curve of iteration number changing with initial sample number

圖6 總計算量隨初始樣本數(shù)的變化曲線Fig.6 Curve of total calculation quantity changing with initial sample number

圖7 升阻力相對誤差收斂曲線Fig.7 The convergence curve of the relative error of lift and drag

2.2 優(yōu)化結果分析

基于上述優(yōu)化方法進行計算求解，外部循環(huán)方法的初始樣本數(shù)為20，經(jīng)過39次迭代得到優(yōu)化結果，總計算量為59次，無外部循環(huán)的樣本數(shù)為150。結果表2給出了兩種優(yōu)化方法下，優(yōu)化前后翼型的升阻力對比。由表可知，優(yōu)化后的翼型升阻比較優(yōu)化前均有所增加。有外部循環(huán)的翼型升阻比較無外部循環(huán)的升阻大，升阻比變化率也高于無外部循環(huán)的結果，驗證了coarse-to-fine 策略在減少計算量的同時獲得氣動性能更優(yōu)的優(yōu)化結果。

表3 給出了兩種優(yōu)化方法下，代理模型對優(yōu)化翼型升力與阻力的預測精度對比。對比發(fā)現(xiàn)代理模型對升力與阻力的預測精度均達到了10-3。對于升力系數(shù)，有外部循環(huán)的相對誤差較無外部循環(huán)要小，驗證了coarse-to-fine 策略對于提高代理模型的預測精度的有效性。

表3 神經(jīng)網(wǎng)絡對優(yōu)化翼型升力與阻力預測精度對比Tab.3 Comparison of prediction accuracy of lift and drag of optimized airfoil by neural network

圖8 給出了有無外部循環(huán)下優(yōu)化翼型與S809 翼型的幾何對比?？梢钥闯鲈趦煞N優(yōu)化方法下，優(yōu)化后的翼型的最大厚度較原翼型變化較小，但是最大厚度的相對位置向前移動，有外部循環(huán)的優(yōu)化翼型前緣變厚，尾緣比跟原始翼型相差不多，無外部循環(huán)的優(yōu)化翼型尾緣附近變厚。

圖8 優(yōu)化前后翼型形狀對比Fig.8 Contrast of airfoils before and after

圖9 給出了優(yōu)化前后翼型的表面壓力系數(shù)分布對比圖。從圖中可以看出，優(yōu)化后的翼型吸立面壓力分布曲線交優(yōu)化前更光順。無外部循環(huán)的結果在吸力面中段出現(xiàn)了壓力平臺，表面流動發(fā)生了分離。壓力面的壓力系數(shù)變動不大。優(yōu)化后的翼型壓力曲線在翼型中后段圍成的面積比原翼型大，上下表面壓差增大，表明翼型載荷后移。

圖9 翼型表面壓力系數(shù)分布對比圖Fig.9 Contrast of pressure Coefficient of airfoil surface

圖10 為有外部循環(huán)的情況下，迭代10 次和迭代25次得到的翼型與原翼型的流線對比，可以看出第10次和第25次迭代得到的優(yōu)化翼型較原翼型吸力面的分離區(qū)明顯減小，分離位置靠后，渦結構減小，推遲流動分離。

圖10 原始翼型和優(yōu)化翼型的流線比較Fig.10 Streamline comparison of the original airfoil and the optimized airfoil

3 結論

1）本文采用coarse-to-fine迭代策略，利用CST參數(shù)化方法，基于神經(jīng)網(wǎng)絡的代理模型、遺傳算法結合的優(yōu)化方法對S809翼型進行優(yōu)化設計，計算效率比較高。優(yōu)化后的翼型載荷后移，吸力面分離減小，升力提升，阻力降低，氣動性能更佳。

2）有外部循環(huán)的優(yōu)化翼型升阻比較高，說明其獲得的優(yōu)化結果的全局最優(yōu)性更大。代理模型對優(yōu)化翼型的預測精度較無外部循環(huán)情況下要小。有外部循環(huán)時，計算的總樣本數(shù)減小，計算量減少；從循環(huán)迭代過程中看到，翼型升阻力相對誤差逐漸減小，證明添加外部循環(huán)的有效性。