基于POD和BPNN的流場(chǎng)快速計(jì)算方法

賈續(xù)毅, 龔春林, 李春娜

(西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 陜西 西安 710072)

在流場(chǎng)分析和飛行器設(shè)計(jì)優(yōu)化等領(lǐng)域中,獲取氣動(dòng)數(shù)據(jù)主要有3種途徑:經(jīng)驗(yàn)公式或半工程化的經(jīng)驗(yàn)方法;計(jì)算流體力學(xué)(computational fluid dyna-mics,CFD)方法;風(fēng)洞等物理實(shí)驗(yàn)和試飛的方法。其中,由于CFD相比于前者求解精度更高,相比于后者成本大大降低并且安全,成為了當(dāng)前獲取高精度氣動(dòng)數(shù)據(jù)的主要手段。但是針對(duì)復(fù)雜外形或復(fù)雜流場(chǎng),CFD計(jì)算十分耗時(shí),并且收斂較慢。當(dāng)需要對(duì)大量外形和狀態(tài)進(jìn)行CFD求解時(shí),計(jì)算量相當(dāng)可觀。如何提高CFD的分析效率,加快流場(chǎng)分析的收斂過(guò)程,是研究人員一直以來(lái)關(guān)注的重點(diǎn)之一[1-2]。

提高CFD分析效率的途徑可以歸為兩類:①?gòu)臄?shù)值求解技術(shù)上對(duì)網(wǎng)格、格式等方面進(jìn)行改進(jìn)[3];②通過(guò)構(gòu)建流場(chǎng)的近似模型,對(duì)未知狀態(tài)流場(chǎng)進(jìn)行預(yù)測(cè)。流場(chǎng)數(shù)據(jù)一方面由于網(wǎng)格單元/節(jié)點(diǎn)數(shù)目多,具有數(shù)據(jù)量大的特點(diǎn)，另一方面具有特征冗余的特點(diǎn)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(neural network,NN)模型適合于大數(shù)據(jù)量的建模,但是如果樣本數(shù)據(jù)存在大量冗余特征,會(huì)導(dǎo)致模型學(xué)習(xí)困難,泛化能力弱等問(wèn)題[4-5]。

降階模型是一種將高維空間映射到低維空間的方法。采用降階模型,可以有效地去除數(shù)據(jù)的冗余特征,提高樣本量/特征數(shù)比。本征正交分解作為降階模型的一種,在流體力學(xué)中得到廣泛應(yīng)用,例如,構(gòu)建非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格有限元流體流動(dòng)模型[6],Navier-Stokes方程降階[7]等。在流場(chǎng)分析中,POD可以把高維流場(chǎng)數(shù)據(jù)降階,映射到低維的正交基模態(tài)空間,從而分析出流場(chǎng)的主要特征及其對(duì)應(yīng)的基模態(tài)系數(shù)。但是,單獨(dú)基于POD無(wú)法實(shí)現(xiàn)流場(chǎng)預(yù)測(cè),而代理模型可以建立從設(shè)計(jì)變量到氣動(dòng)數(shù)據(jù)的近似模型,并在氣動(dòng)優(yōu)化等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。已有研究表明:將POD與代理模型結(jié)合使用,可以對(duì)流場(chǎng)進(jìn)行預(yù)測(cè)[8-9]。邱亞松等[8]基于POD與RBF(radial basis function)、Kriging代理模型實(shí)現(xiàn)了變幾何翼型的定常流場(chǎng)預(yù)測(cè);王晨等[9]使用POD-Kriging方法實(shí)現(xiàn)了雙圓柱非定常流場(chǎng)的預(yù)測(cè)。但是,傳統(tǒng)的Kriging、RBF代理模型對(duì)于流場(chǎng)預(yù)測(cè)這種多輸入多輸出問(wèn)題的建模效率較低。

NN模型可以通過(guò)隱藏層、神經(jīng)元個(gè)數(shù)的設(shè)置來(lái)建立多輸入?yún)?shù)到多輸出參數(shù)的模型,并且可以保證一定的預(yù)測(cè)精度和泛化能力,因此在流場(chǎng)分析領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[10-11]。Saleem等[12]采用了反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),建立了翼型表面壓力系數(shù)分布到升力系數(shù)、阻力系數(shù)和力矩系數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),并應(yīng)用于翼型反設(shè)計(jì)優(yōu)化。Zhu等[13]使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),利用NACA0012翼型的3個(gè)亞聲速流場(chǎng)樣本數(shù)據(jù),實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的湍流模型建立。利用NN直接對(duì)高維流場(chǎng)數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)量與網(wǎng)格單元/節(jié)點(diǎn)數(shù)量有關(guān))建模,會(huì)出現(xiàn)計(jì)算內(nèi)存消耗大,訓(xùn)練耗時(shí)長(zhǎng),建模復(fù)雜等問(wèn)題。

本文結(jié)合降階模型與NN模型的特點(diǎn),提出了一種基于POD和BPNN的流場(chǎng)快速計(jì)算方法。其創(chuàng)新點(diǎn)在于,通過(guò)引入BPNN,實(shí)現(xiàn)對(duì)POD基模態(tài)系數(shù)多輸入多輸出模型的構(gòu)建。采用流場(chǎng)分區(qū)策略,降低POD建模難度,提高建模效率;采用聚類方法篩選建模樣本,降低模型訓(xùn)練耗時(shí),提高模型泛化能力。該方法被應(yīng)用于亞/跨聲速下變幾何翼型的定常流場(chǎng)預(yù)測(cè),使流場(chǎng)計(jì)算效率有了明顯提升。

1 建模方法

1.1 POD模型

POD是一種使降階后各維度上樣本方差最大化的線性降維方法,可以通過(guò)求解樣本協(xié)方差矩陣的特征值尋求方差最大軸[14]。設(shè)原始數(shù)據(jù)為X(i)(i=1,2,…,r),其中X(i)為n維向量,r為樣本數(shù)目。樣本的均值為

(1)

(2)

該協(xié)方差矩陣的大小為n×n,其前m階特征值從大到小依次為λ(1),λ(2),…,λ(m),對(duì)應(yīng)的特征向量為q(1),q(2),…,q(m),即POD基。這m個(gè)特征向量構(gòu)成m×n階的樣本線性映射矩陣U=[q(1),q(2),…,q(m)]T,則得到降階后的樣本向量矩陣為

(3)

Y為m×r階矩陣,實(shí)現(xiàn)了原始數(shù)據(jù)維度從n維到m維的降階。需要注意的是,為了使降階后的樣本數(shù)據(jù)在空間中是線性無(wú)關(guān)的,應(yīng)保證降維后的數(shù)據(jù)特征數(shù)小于樣本數(shù),即m

1.2 BPNN模型

BPNN由于具有較強(qiáng)的非線性映射能力和高度自學(xué)習(xí)和自適應(yīng)能力,在分類、回歸等問(wèn)題中得到廣泛應(yīng)用。一個(gè)典型的BPNN包括輸入層、隱藏層和輸出層[15]。本文針對(duì)少量流場(chǎng)樣本建模,當(dāng)訓(xùn)練樣本相對(duì)較少時(shí),淺層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在訓(xùn)練以及預(yù)測(cè)中往往具有更強(qiáng)的穩(wěn)定性[16],因此本文選取單隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),如圖1所示。

圖1 單隱層BPNN

該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立了從m維輸入到n維輸出的映射,其中輸入為x=[x1,x2,…,xm]T, 隱藏層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為q,輸出為y=[y1,y2,…,yn]T。ω1,ω2為權(quán)值矩陣,其大小分別為q×m、n×q。

BPNN通過(guò)反向傳播誤差來(lái)更新連接權(quán)值,從而完成模型的訓(xùn)練,具體訓(xùn)練步驟如下:

1) 初始化權(quán)值,一般通過(guò)設(shè)定權(quán)值范圍隨機(jī)給出。

2) 計(jì)算隱藏層和輸出層的輸出值。

3) 計(jì)算各層反向誤差。

4) 判斷是否滿足訓(xùn)練要求,若滿足,則表明模型訓(xùn)練完畢,輸出模型;若不滿足,更新權(quán)值,重復(fù)第2)～3)步。該網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練流程如圖2所示。

圖2 BPNN訓(xùn)練流程

2 流場(chǎng)快速計(jì)算方法

2.1 POD & BPNN

結(jié)合POD與BPNN模型,本文提出了一種流場(chǎng)快速計(jì)算方法,其流程如圖3所示。具體流程分為4步。

圖3 基于POD & BPNN模型的流場(chǎng)計(jì)算流程圖

1) 樣本流場(chǎng)生成

2) 對(duì)樣本流場(chǎng)數(shù)據(jù)降階

以壓強(qiáng)場(chǎng)數(shù)據(jù)Xp為例,其壓強(qiáng)場(chǎng)均值為

(4)

標(biāo)準(zhǔn)化后的樣本數(shù)據(jù)為

(5)

(6)

式中,每個(gè)特征向量表示壓強(qiáng)場(chǎng)的一個(gè)基模態(tài),進(jìn)而得到降階后的m×r階矩陣Yp

(7)

當(dāng)取合適值時(shí),可以保證

(8)

由于BPNN對(duì)于多輸出問(wèn)題仍然適用,因此無(wú)需像傳統(tǒng)的Kriging和RBF代理模型那樣對(duì)m個(gè)基模態(tài)系數(shù)輸出建立m個(gè)映射模型。這m階基模態(tài)系數(shù)之間的量級(jí)差距較大,如果m取值較大,直接建立的BPNN難以對(duì)所有的基模態(tài)系數(shù)做出精準(zhǔn)預(yù)測(cè)。因此,可以根據(jù)m的具體數(shù)值,例如每5～6個(gè)輸出建立一個(gè)BPNN模型,即可實(shí)現(xiàn)較好的模型擬合效果。

4) 預(yù)測(cè)流場(chǎng)

對(duì)于一個(gè)新的任意輸入?yún)?shù)Cs,通過(guò)BPNN模型可以預(yù)測(cè)出基模態(tài)系數(shù)Ys,然后對(duì)Ys進(jìn)行POD重構(gòu),得到預(yù)測(cè)壓強(qiáng)場(chǎng)數(shù)據(jù)

(9)

2.2 建模問(wèn)題

在飛行器設(shè)計(jì)和優(yōu)化中,需要對(duì)大量計(jì)算狀態(tài)或者幾何外形進(jìn)行CFD分析。針對(duì)翼型優(yōu)化過(guò)程中幾何外形不斷變化,需要在優(yōu)化迭代過(guò)程中進(jìn)行大量CFD分析的問(wèn)題,研究基于POD & BPNN的流場(chǎng)快速預(yù)測(cè)方法的效率和精度。

在對(duì)流場(chǎng)建模過(guò)程中,輸入?yún)?shù)取樣對(duì)應(yīng)的是在變幾何翼型的翼型庫(kù)中選擇翼型樣本。本文的翼型庫(kù)通過(guò)Hicks-Henne參數(shù)化方法獲得。以典型的NACA、RAE系列翼型為基準(zhǔn)翼型,在它的上下翼面各施加5個(gè)擾動(dòng),擾動(dòng)的位置分別為0.10c,0.25c,0.45c,0.65c,0.80c,c為弦長(zhǎng),本文取1。10個(gè)擾動(dòng)的大小取值范圍為[-0.005,0.005],是無(wú)量綱化的系數(shù)。因此,這10個(gè)無(wú)量綱化系數(shù)可以確定出一個(gè)新翼型的幾何形狀。本文通過(guò)拉丁超立方采樣方式在亞、跨聲速下分別獲取200和500組外形的系數(shù),從而得到新翼型樣本庫(kù)。

以跨聲速為例,對(duì)網(wǎng)格收斂性和流場(chǎng)求解精度進(jìn)行驗(yàn)證。對(duì)RAE2822進(jìn)行O型網(wǎng)格劃分,壁面第一層網(wǎng)格高度為1×10-5c,計(jì)算工況為:Ma=0.729,α=2.31°,Re=6.5×106,網(wǎng)格數(shù)目及相應(yīng)的氣動(dòng)計(jì)算結(jié)果如表1所示。δL,δD分別表示與網(wǎng)格Ⅳ的升阻力系數(shù)的相對(duì)誤差。可見(jiàn)網(wǎng)格Ⅲ(見(jiàn)圖4)可以滿足收斂性的要求。因此,本文算例采用網(wǎng)格Ⅲ設(shè)置生成其他樣本翼型網(wǎng)格。

圖4 RAE2822網(wǎng)格局部圖

表1 網(wǎng)格收斂性分析

2.3 分區(qū)策略

流場(chǎng)數(shù)據(jù)屬于高維數(shù)據(jù)。要減少建模數(shù)據(jù)的維度:①通過(guò)網(wǎng)格收斂性驗(yàn)證可以在保證計(jì)算收斂的前提下有效減少網(wǎng)格數(shù)目;②可以通過(guò)基于輸入?yún)?shù)和局部流場(chǎng)信息對(duì)流場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行分區(qū),實(shí)現(xiàn)區(qū)域內(nèi)的降維[13]。在本文工作中,考慮到流場(chǎng)中不同區(qū)域的特性沿著附面層法向連續(xù)變化,將流場(chǎng)數(shù)據(jù)分為近壁區(qū)數(shù)據(jù)(包含全部附面層)、中間場(chǎng)數(shù)據(jù)和遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)數(shù)據(jù),每個(gè)區(qū)對(duì)應(yīng)網(wǎng)格層數(shù)均為40(跨聲速下的壓強(qiáng)場(chǎng)數(shù)據(jù)分布見(jiàn)圖5)。這樣,流場(chǎng)的某一個(gè)物理量,需要利用POD&BPNN建立3個(gè)模型,來(lái)對(duì)流場(chǎng)信息進(jìn)行預(yù)測(cè)。數(shù)據(jù)維度降低,但是模型數(shù)目增加,因此需要對(duì)模型的訓(xùn)練時(shí)間和模型的泛化能力進(jìn)行評(píng)估。

圖5 壓強(qiáng)場(chǎng)分區(qū)后的數(shù)據(jù)分布

首先對(duì)生成的樣本翼型的流場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行POD分析,可以得到基模態(tài)流場(chǎng)及對(duì)應(yīng)的特征值。定義前q階基模態(tài)對(duì)應(yīng)的特征值之和與所有特征值之和的比值為前q階基模態(tài)的能量占比,能量占比表征了前q階基模態(tài)所包含的流場(chǎng)信息量。圖6為亞聲速下分區(qū)后近壁區(qū)、中間場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)以及未分區(qū)情況下壓強(qiáng)、馬赫數(shù)、密度3個(gè)物理量對(duì)應(yīng)場(chǎng)數(shù)據(jù)的基模態(tài)的能量占比。

圖6 亞聲速分區(qū)與未分區(qū)情況下的基模態(tài)能量占比

從數(shù)值大小上看,亞聲速下前10階基模態(tài)的能量占比超過(guò)99.6%,同樣計(jì)算得到跨聲速下前30階基模態(tài)的能量占比超過(guò)99.7%,說(shuō)明流場(chǎng)特征主要集中在前數(shù)階POD基模態(tài)中。

分別對(duì)亞聲速和跨聲速的樣本隨機(jī)抽取90%作為訓(xùn)練樣本進(jìn)行POD降階,將剩余10%的樣本作為測(cè)試樣本,進(jìn)行POD重構(gòu)。為了定量分析重構(gòu)效果,定義測(cè)試樣本的重構(gòu)(或預(yù)測(cè))誤差為

(10)

對(duì)于T個(gè)測(cè)試樣本的整體誤差定義如下

(11)

圖7為亞/跨聲速下,選擇不同基模態(tài)個(gè)數(shù)對(duì)測(cè)試樣本壓強(qiáng)場(chǎng)進(jìn)行重構(gòu)的誤差?？梢园l(fā)現(xiàn),亞聲速狀態(tài)的流場(chǎng)特征主要集中在前10階,與圖6的能量占比信息相吻合;跨聲速狀態(tài)的流場(chǎng)特征主要集中在前30階。此后,基模態(tài)數(shù)目的繼續(xù)增加對(duì)流場(chǎng)重構(gòu)精度的提升不再有顯著影響。從是否分區(qū)上看,分區(qū)對(duì)亞聲速下模型精度的影響不大;對(duì)跨聲速情況影響會(huì)大一點(diǎn),但是并不顯著,分區(qū)后最大誤差會(huì)變小,而平均誤差變化不大。

圖7 亞/跨聲速的壓強(qiáng)場(chǎng)重構(gòu)誤差

POD建模的主要計(jì)算耗時(shí)來(lái)源于協(xié)方差矩陣特征值的求解。矩陣的特征值計(jì)算僅從浮點(diǎn)運(yùn)算次數(shù)而言,其復(fù)雜度為O(n3),其中n為協(xié)方差矩陣的階數(shù),即流場(chǎng)數(shù)據(jù)的維度。因此,矩陣階數(shù)的減少可以大幅降低計(jì)算耗時(shí)[17]。

本文所涉及的計(jì)算均在Inteli5-8500CPU、16G運(yùn)行內(nèi)存的PC上進(jìn)行。以跨聲速算例為例,圖8為未分區(qū)和三分區(qū)下對(duì)單個(gè)物理量場(chǎng)數(shù)據(jù)的POD降階計(jì)算時(shí)間。其中,三分區(qū)的計(jì)算時(shí)間為建立3個(gè)分區(qū)POD模型的總時(shí)間?？梢?jiàn),對(duì)于POD模型,3個(gè)分區(qū)建模的效率約為未分區(qū)建模的3倍。此外,由于協(xié)方差矩陣的儲(chǔ)存空間與其階數(shù)n的平方成正比,單個(gè)分區(qū)建模的內(nèi)存消耗僅為未分區(qū)建模的1/9。

因此,針對(duì)本文算例使用分區(qū)策略可以基本保持未分區(qū)模型的精度,有效縮短POD建模耗時(shí),降低內(nèi)存占用量。通過(guò)POD重構(gòu)的誤差分析,可以確定亞、跨聲速狀態(tài)下建模的基模態(tài)個(gè)數(shù)分別為10,30以上。本文亞/跨聲速下選取的基模態(tài)個(gè)數(shù)為13和35。

2.4 聚類取樣策略

訓(xùn)練樣本的數(shù)目以及選取方式對(duì)模型的訓(xùn)練有較大影響。首先,訓(xùn)練樣本應(yīng)保證在設(shè)計(jì)空間中均勻分布,這樣模型才能較好地捕捉到空間中的全部特征。其次,訓(xùn)練樣本量應(yīng)適中,樣本量過(guò)少會(huì)導(dǎo)致訓(xùn)練信息不足,容易發(fā)生欠擬合情況;樣本量過(guò)多會(huì)增加訓(xùn)練難度,使模型訓(xùn)練緩慢。因此,對(duì)于不確定合適訓(xùn)練樣本數(shù)目的問(wèn)題,可以首先生成一定數(shù)目的均勻分布的訓(xùn)練樣本,再通過(guò)樣本量壓縮來(lái)減少訓(xùn)練樣本數(shù)目。

樣本量壓縮的方式有多種,主要采用以下3種方式:①簡(jiǎn)單刪減,即直接刪掉一部分樣本量;②逐次刪減,即逐次增加刪減個(gè)數(shù)或逐次減少刪減個(gè)數(shù);③聚類分析,即將相似的樣本歸為一類,每類只保留一個(gè)樣本?？紤]壓縮樣本量的同時(shí)不能降低模型精度,因此本文采用了聚類分析。

在POD&BPNN模型中,輸入?yún)?shù)是通過(guò)拉丁超立方采樣獲得的,其在空間中已經(jīng)處于一種隨機(jī)均勻分布的狀態(tài),因此不適用于聚類。而樣本流場(chǎng)通過(guò)POD分析得到的基模態(tài)系數(shù),針對(duì)不同的流場(chǎng)特征會(huì)存在差異,相似的流場(chǎng)其基模態(tài)系數(shù)也相似,流場(chǎng)差異大基模態(tài)系數(shù)差異也大。因此,對(duì)基模態(tài)系數(shù)進(jìn)行聚類分析,可以將流場(chǎng)信息相似的樣本歸為相同類。這樣在每個(gè)類中只取一個(gè)或少量樣本作為訓(xùn)練樣本,可以在保持模型精度的前提下,實(shí)現(xiàn)訓(xùn)練樣本量的壓縮。

下面對(duì)聚類取樣策略的效果進(jìn)行分析。亞/跨聲速下聚類個(gè)數(shù)設(shè)置的范圍分別為[20,190]和[20,490],亞/跨聲速下訓(xùn)練所得模型對(duì)10個(gè)測(cè)試樣本的預(yù)測(cè)誤差隨聚類個(gè)數(shù)的變化曲線如圖9所示。

圖9 聚類數(shù)目對(duì)模型預(yù)測(cè)誤差的影響分析

在亞聲速算例中,當(dāng)聚類數(shù)目超過(guò)90時(shí),預(yù)測(cè)誤差不再有明顯變化,說(shuō)明在亞聲速狀態(tài)下通過(guò)聚類取樣獲得的90個(gè)訓(xùn)練樣本可以基本表征出全部樣本的特征,從而有效地避免重復(fù)樣本對(duì)訓(xùn)練時(shí)間的消耗。同樣,在跨聲速算例中,當(dāng)聚類數(shù)目超過(guò)200時(shí),預(yù)測(cè)誤差不再有明顯變化,說(shuō)明在跨聲速狀態(tài)下通過(guò)聚類取樣獲得的200個(gè)訓(xùn)練樣本可以基本表征出全部樣本的特征。因此在本文的亞聲速算例中,使用聚類取樣得到的90個(gè)樣本作為訓(xùn)練集,跨聲速算例中,使用聚類取樣得到的200個(gè)樣本作為訓(xùn)練集。

3 案例分析

3.1 亞聲速變幾何翼型

本文亞聲速算例計(jì)算工況為:Ma=0.35,α=3°,Re=6.5×106,基準(zhǔn)翼型為NACA0012翼型。根據(jù)2.3與2.4節(jié)的誤差分析,選擇分區(qū)建模的POD&BPNN模型的基模態(tài)個(gè)數(shù)為13,聚類個(gè)數(shù)為90。因此,訓(xùn)練樣本個(gè)數(shù)為90,隨機(jī)抽取10個(gè)測(cè)試樣本。測(cè)試樣本的升阻力系數(shù)的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的對(duì)比如圖10所示。10個(gè)測(cè)試樣本的升力系數(shù)的平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差為0.14%,阻力系數(shù)的平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差為0.37%。

圖10 亞聲速下測(cè)試樣本的氣動(dòng)性能預(yù)測(cè)效果

取圖10中第4個(gè)樣本,對(duì)比預(yù)測(cè)和真實(shí)的翼面壓力系數(shù)、翼面摩擦力系數(shù)分布、等壓線分布，如圖11～13所示。可見(jiàn),亞聲速下翼面壓力系數(shù)和摩擦力系數(shù)的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值無(wú)明顯差異,流場(chǎng)等壓線重合的很好,說(shuō)明模型能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)流場(chǎng)信息。

圖11 亞聲速下翼面壓力系數(shù)分布對(duì)比 圖12 亞聲速下翼面摩擦力系數(shù)分布對(duì)比 圖13 亞聲速下等壓線分布對(duì)比

表2中給出了亞聲速狀態(tài)下在相同的訓(xùn)練和測(cè)試樣本條件下,是否使用分區(qū)策略的模型訓(xùn)練效率與預(yù)測(cè)精度指標(biāo)。其中,POD單次建模耗時(shí)是指對(duì)一個(gè)物理量(如壓強(qiáng)場(chǎng))的單個(gè)區(qū)的數(shù)據(jù)完成POD降階的耗時(shí);BPNN單次建模耗是指對(duì)一個(gè)物理場(chǎng)的單個(gè)區(qū)完成所需基模態(tài)個(gè)數(shù)的訓(xùn)練耗時(shí)?？梢钥闯?相比未分區(qū),使用分區(qū)建模策略的模型總耗時(shí)有所減少,模型的精度略有提升。這種分區(qū)建模效率上的優(yōu)勢(shì)對(duì)于3D構(gòu)型的大規(guī)模網(wǎng)格更為突出。使用分區(qū)建模策略在亞聲速算例中是可行的。

表2 亞聲速下的模型訓(xùn)練效率與預(yù)測(cè)精度指標(biāo)對(duì)比

3.2 跨聲速變幾何翼型

本文中，跨聲速算例的計(jì)算工況為:Ma=0.75,α=2.79°,Re=5.7×106。根據(jù)2.3與2.4節(jié)的誤差分析,POD&BPNN建模的基模態(tài)個(gè)數(shù)為35,聚類個(gè)數(shù)為200。因此,訓(xùn)練樣本個(gè)數(shù)為200,隨機(jī)抽取10個(gè)測(cè)試樣本。測(cè)試樣本的升阻力系數(shù)的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的對(duì)比如圖14所示。10個(gè)測(cè)試樣本的升力系數(shù)的平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差為0.40%,阻力系數(shù)的平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差為1.31%。以升阻力系數(shù)預(yù)測(cè)效果較差的第4個(gè)測(cè)試樣本為例,對(duì)比預(yù)測(cè)和真實(shí)的翼面壓力系數(shù)、摩擦力系數(shù)分布、等壓線分布，如圖15～17所示?？梢?jiàn),跨聲速工況中,下翼面壓力系數(shù)的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值重合很好,上翼面的前緣與激波位置的預(yù)測(cè)與真實(shí)值稍有差異。翼面摩擦力系數(shù)在前緣和激波處的預(yù)測(cè)略有偏差。對(duì)于等壓線,激波位置預(yù)測(cè)很好,但是激波前后的流場(chǎng)預(yù)測(cè)精度略有下降。

圖14 跨聲速下測(cè)試樣本的氣動(dòng)性能預(yù)測(cè)效果

圖15 跨聲速下翼面壓力系數(shù)分布對(duì)比 圖16 跨聲速下翼面摩擦力系數(shù)分布對(duì)比 圖17 跨聲速下等壓線分布對(duì)比

本文模型對(duì)激波誘導(dǎo)分離泡現(xiàn)象可以實(shí)現(xiàn)較好的預(yù)測(cè),圖18為第4個(gè)測(cè)試樣本的真實(shí)和預(yù)測(cè)的激波誘導(dǎo)分離泡,通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn),預(yù)測(cè)的激波誘導(dǎo)分離泡的位置和形態(tài)與真實(shí)情況相吻合。

圖18 激波誘導(dǎo)分離泡的真實(shí)與預(yù)測(cè)對(duì)比

表3中給出了跨聲速狀態(tài)下在相同的訓(xùn)練和測(cè)試樣本條件下,是否使用分區(qū)策略的模型訓(xùn)練效率與預(yù)測(cè)精度指標(biāo)?？梢钥闯?相比未分區(qū),使用分區(qū)建模策略的模型總耗時(shí)有所減少,模型的最大相對(duì)誤差和平均相對(duì)誤差均值有所降低。同樣,這種分區(qū)建模效率上的優(yōu)勢(shì)會(huì)在3D構(gòu)型中體現(xiàn)出來(lái),使用分區(qū)建模策略在跨聲速算例中是可行的。

表3 跨聲速下的模型訓(xùn)練效率與預(yù)測(cè)精度指標(biāo)對(duì)比

4 結(jié) 論

1) 本文提出了基于POD&BPNN模型的流場(chǎng)快速預(yù)測(cè)方法,相比于傳統(tǒng)的代理模型,BPNN可以更好地實(shí)現(xiàn)對(duì)多個(gè)基模態(tài)系數(shù)的同時(shí)建模。但當(dāng)幾何外形的網(wǎng)格及其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生變化時(shí),方法會(huì)失效。

2) 在POD建模中引入分區(qū)策略,可以在保證模型精度的前提下有效地縮短POD建模的時(shí)間。當(dāng)流場(chǎng)數(shù)據(jù)量很大時(shí)(例如,百萬(wàn)級(jí)的網(wǎng)格),分區(qū)策略的優(yōu)勢(shì)會(huì)更加明顯。

3) 針對(duì)亞/跨聲速算例,通過(guò)對(duì)基模態(tài)系數(shù)進(jìn)行聚類分析來(lái)確定訓(xùn)練樣本集,可以有效地降低訓(xùn)練樣本量,提高模型訓(xùn)練效率。

4) 亞聲速和跨聲速算例表明,基于POD&BPNN模型預(yù)測(cè)流場(chǎng)的升阻力系數(shù),其預(yù)測(cè)相對(duì)誤差不超過(guò)1.4%。對(duì)于跨聲速流場(chǎng),所建模型能很好地預(yù)測(cè)激波位置和激波誘導(dǎo)分離泡等復(fù)雜流動(dòng)特征。