廣義對稱G-(F,α,ε)-凸多目標(biāo)半無限規(guī)劃的最優(yōu)性條件

甄艷秋，王文東，簡相棟

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

利用廣義凸函數(shù)研究多目標(biāo)規(guī)劃中的最優(yōu)性問題一直是凸規(guī)劃中的重要內(nèi)容，近年來，許多學(xué)者在這方面做了研究，例如文獻[1-9]。本文借助Minch對稱梯度定義了一類新的廣義對稱G-(F，α，ε)-凸函數(shù)，并且在這些新的廣義凸性下，研究并得出了一類帶有支撐函數(shù)的多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)性結(jié)論。

1 基本定義

定義1[10](次線性函數(shù))設(shè)F:X×X×Rn→R是關(guān)于第三變元的次線性函數(shù)，如果滿足對于?x1,x2∈X，有

F(x1,x2；α1+α2)≤F(x1,x2;α1)+(x1,x2;α2)，

?α1,α2∈Rn；

F(x1,x2;rα)=rF(x1,x2;α)，?r∈R+,α∈Rn。

定義2[11]如果有f(x+h)-f(x-h)=2hTfs(x)+o(‖h‖)，稱函數(shù)f(x)在x是對稱梯度，并記作

fs(x)。

次梯度與fs(x)、廣義梯度與fs(x)沒有隸屬關(guān)系，并且次梯度、廣義梯度不唯一，但是對于對稱梯度fs(x)是唯一的。當(dāng)函數(shù)可微的時候，他們相等。對稱梯度有很多類似梯度的性質(zhì)，因此用它推廣凸函數(shù)有重要的意義。

定義3[12]設(shè)x0∈X，如果不存在x∈X，使得

f(x)≤f(x0)，則說x0是(MP)的有效解。

定義4[12]設(shè)x0∈X，如果不存在x∈X，使得

f(x)

考慮下面多目標(biāo)半無限規(guī)劃

其中f=(f1,f2,…,fk):X→Rk以及g:X×U→Rm對于?u∈U是定義在X上的對稱函數(shù)，X?Rn是一非空開子集，U?Rm是一個無限參數(shù)集。令K={1，2，3，…，k}，M={1，2，3，…，m},Ifi(x),i=1，…，k表示fi的值，Ci是Rn中對于每一個i∈K,j∈M的緊凸集，記X0={x∈X|g(x,uj)0,X?Rm,u∈U?Rm}為(MP)的可行解集，U*={uj|j∈△,J(x0)?△是相應(yīng)指標(biāo)集}是U的任意可數(shù)子集，△={j|

g(x,u)0,x∈X0,uj∈U},J(x0)={j|g(x0,uj)=0}，函數(shù)G=(G1,…,Gk):R→RK，每一個Gi:Ifi(x)→R,i=1,…，k是嚴格單調(diào)遞增的可微實值函數(shù)。

s(x|Ci)表示X上的支撐函數(shù)，其定義如下：

s(x|Ci)=max{〈wi,x〉|wi∈Ci},i∈K。

定義5 如果存在α:Rn×Rn→R+{0},i=1，…，k，?εi>0，使得對于x∈X,i=1，…，k有

(fis(x0)+wi))+εi，

則稱(fi(x)+xTwi)在x∈X處是廣義對稱G-(F,α,ε)-凸函數(shù)。

定義6 如果存在α:Rn×Rn→R+{0},i=1,…,k，?εi>0，使得對于x∈X,i=1，…，k有

(fis(x0)+wi))+εi0，

則稱(fi(x)+xTwi)在x∈X處是廣義對稱G-(F,α,ε)-擬凸函數(shù)。

定義7 如果存在α:Rn×Rn→R+{0},i=1，…，k，?εi>0，使得對于x∈X,i=1，…，k有

(fis(x0)+wi))+εi<0，

則稱(fi(x)+xTwi)在x∈X處是廣義對稱G-(F,α,ε)-偽凸函數(shù)。

定義8 如果存在α:Rn×Rn→R+{0},i=1,…,k，?εi>0，使得對于x∈X,i=1,…,k有

(fis(x0)+wi))+εi<0，

則稱(fi(x)+xTwi)在x∈X處是廣義對稱G-(F,α,ε)-弱偽凸函數(shù)。

定義9 如果存在α:Rn×Rn→R+{0},i=1，…,k,?εi>0，使得對于x∈X,i=1，…，k有

(fis(x0)+wi))+εi≤0，

則稱(fi(x)+xTwi)在x∈X處是廣義對稱G-(F,α,ε)-強偽凸函數(shù)。

2 最優(yōu)性充分性條件

定理1 設(shè)x0∈X0，如果對于?x∈X0，存在F,

λ=(λ1,…,λk)>0,β=(β1,…,βm)0滿足下列條件

(i)(fi(x)+xTwi,g(x,uj))在x0處是廣義對稱G-(F,α,ε)-凸函數(shù)；

(ii)βjg(x,uj)=0；

(iii)0=

(iv)s(x|Ci)=xTwi,wi∈Ci,i∈K；

則x0是(MP)的弱有效解。

證明反證法。假設(shè)x0不是(MP)的弱有效解，則存在x∈X0使得

fi(x)+s(x|Ci)

又因為G=(G1，…，Gk)：R→Rk，每一個Gi:Ifi(x)→R,i=1，…，k是嚴格單調(diào)遞增的可微實值函數(shù)，

(1)

由條件(i)知

(2)

由(1)式和(2)式得

對于λi>0有

(3)

由條件(i)知

Gj(g(x,uj))-Gj(g(x0,uj))

對于βj0有

由條件(ii)可知

g(x,uj)g(x0,uj)=0,j∈J(x0)。

根據(jù)函數(shù)G的性質(zhì)和條件(iii)得

Gj(g(x,uj))-Gj(g(x0,uj))0,j∈J(x0)，

由條件(i)知

gs(x0,uj))+εj0,j∈J(x0)。

當(dāng)j?J(x0)時，由條件(ii)可知βj=0，所以

(4)

將(3)式和(4)式相加并由(v)式整理得

(5)

由F的性質(zhì)以及條件(iii)知

gs(x0,uj))，即

gs(x0,uj))，

這與(5)式矛盾，所以x0是(MP)的弱有效解。

定理2 設(shè)x0∈X0，如果對于?x∈X0，存在F,

λ=(λ1，…，λk)>0,β=(β1,…,βm)0滿足下列條件

(i)(fi(x)+xTwi)在x0處是廣義對稱G-(F,α,ε)-強偽凸函數(shù)；

(ii)g(x,uj)在x0處是廣義對稱G-(F,α,ε)-擬凸函數(shù)；

(iii)βjg(x,uj)=0；

(v)s(x|Ci)=xTwi,wi∈Ci,i∈K；

則x0是(MP)的有效解。

證明反證法。假定x0不是(MP)的有效解，則存在x∈X0使得

fi(x)+s(x|Ci)≤fi(x0)+s(x0|Ci)，

又因為G=(G1，…，Gk):R→RK，每一個Gi:Ifi(x)→R,i=1，…，k是嚴格單調(diào)遞增的可微實值函數(shù)，

由條件(i)知

對于λi>0有

(6)

又由已知條件(iii)可知

g(x,uj)g(x0,uj)=0，j∈J(x0)。

根據(jù)函數(shù)G的性質(zhì)得

Gj(g(x,uj))Gj(g(x0,uj)),j∈J(x0)。

由條件(ii)知

gs(x0,uj))+εj0,j∈J(x0)。

當(dāng)j?J(x0)時，由條件(ii)可知βj=0。所以

(7)

將(6)式和(7)式相加得

(8)

由F的性質(zhì)以及條件知

(fis(x0)+wi))+

gs(x0,uj))，即

gs(x0,uj))，

這與(8)式矛盾，所以x0是(MP)的有效解。

定理3 設(shè)x0∈X0，如果對于?x∈X0，存在F,λ=(λ1,…,λk)>0,β=(β1,…,βm)0滿足下列條件

(i)(fi(x)+xTwi)在x0處是廣義對稱G-(F,α,ε)-弱偽凸函數(shù)；

(ii)g(,x,uj)在x0處是廣義對稱G-(F,α,ε)-擬凸函數(shù)；

(iii)βjg(x,uj)=0；

(v)s(x|Ci)=xTwi,wi∈Ci,i∈K；

則x0是(MP)的有效解。

證明反證法。假定x0不是(MP)的有效解，則存在x∈X0使得

fi(x)+s(x|Ci)≤fi(x0)+s(x0|Ci)，

又因為G=(G1,…,Gk):R→RK，每一個Gi：Ifi(x)→R，i=1，…，k是嚴格單調(diào)遞增的可微實值函數(shù)，

由條件(i)知

對于λi>0有

(9)

又由已知條件(iii)可知

g(x,uj)g(x0,uj)=0，j∈J(x0)。

根據(jù)函數(shù)G的性質(zhì)得

Gj(g(x,uj))Gj(g(x0,uj)),j∈J(x0)。

由條件(ii)知

gs(x0,uj))+εj0,j∈J(x0)。

當(dāng)j?J(x0)時，由條件(ii)可知βj=0。所以

(10)

將(9)式和(10)式相加整理得

(11)

由F的性質(zhì)以及條件知

gs(x0,uJ))，即

gs(x0,uj))，

這與(11)式矛盾，所以x0是(MP)的有效解。