Riesz基的規(guī)范正交化及其性質(zhì)

張 艷，張建平

(延安大學 數(shù)學與計算機科學學院，陜西 延安 716000)

框架與Riesz基的研究是小波分析理論研究的重要基礎(chǔ)，站在空間元素表示這一層面，可以將框架看作是基組概念的延伸。Hilbert空間中的框架可以將空間H中的任意元素表示成∑cjφj的形式，但系數(shù)cj通常并不是唯一的，這是與正交基的區(qū)別之處，因此許多數(shù)學工作者根據(jù)實際應用，選擇合適的系數(shù)對框架進行研究?？蚣堋iesz基與規(guī)范正交基之間既有密切聯(lián)系又有本質(zhì)區(qū)別。

文獻[1]中給出Riesz基的等價條件：框架{φj|j∈J}是線性無關(guān)的；文獻[2]中給出Riesz基與正交基之間的關(guān)系。本文主要是將Hilbert空間中Riesz基和Euclid空間中一組線性無關(guān)向量進行類比，將Riesz基進行規(guī)范正交化得到與之對應的規(guī)范正交基，這樣就把一個下界為A上界為B的Riesz基轉(zhuǎn)化為與之對應的規(guī)范正交基。另外討論了Riesz基在標準正交基下的坐標以及同一Hilbert空間H中兩組Riesz基之間的聯(lián)系。

1 預備知識

本文中指標集J表示可數(shù)集或有限集，例如，自然數(shù)集N和整數(shù)集Z。

L2([a,b])表示[a,b]上的平方可積函數(shù)空間，其內(nèi)積定義為

定義1[3-4]假設{φj|j∈J}是可分的Hilbert空間H中的一個函數(shù)序列，如果對于?g∈H，存在常數(shù)A、B且0

則稱{φj|j∈J}是Hilbert空間H中的一個框架，這里稱A為框架的下界，B為框架的上界。特別的，如果A=B，則稱框架{φj|∈J}為緊框架。

注：一般來講，框架、緊框架都不是正交基，因為φj不是線性無關(guān)的。

框架與規(guī)范正交基有如下關(guān)系：

引理1[5]如果{φj|j∈J}是Hilbert空間H中的緊框架，框架界A=B=1且對所有的j∈J有||φj||=1，那么{φj|j∈J}構(gòu)成一組規(guī)范正交基。

引理2[2]假設{φj|j∈J}是可分的Hilbert空間H中的一組向量，則下列命題等價：

(1){φj∈J}是Hilbert空間H中的Riesz基；

(2){φj|j∈J}是Hilbert空間H中的框架且{φj|j∈J}是線性無關(guān)的。

引理3[6]設S={en}是Hilbert空間H中的一個標準正交系，則以下條件等價：

(1)S是H的標準正交基；

由(2)可以看出{〈x,ek〉}相當于Rn的直角坐標系，成為x關(guān)于標準正交基{en}的正交坐標。

2 Riesz基規(guī)范正交化過程

定理1 如果函數(shù)族{φj(x)|j∈J}構(gòu)成Hilbert空間H中下界為A上界為B的Riesz基，那么可以將{φj(x)|j∈J}進行規(guī)范正交化得到與之對應的一組規(guī)范正交基。

φ2(x)-〈φ2(x),e1(x)〉e1(x)≠0并且

〈φ2(x)-〈φ2(x),e1(x)〉e1(x),e1(x)〉=

〈φ2(x),e1(x)〉-〈φ2(x),e1(x)〉〈e1(x),e1(x)〉=0，

以此類推，假設en-1(x)已得，由于φn(x)與φ1(x)，…，φn-1(x)均線性無關(guān)，顯然φn(x)與

e1(x),…,en-1(x)線性無關(guān)，故

因此令en(x)=

(1)

則有||en(x)||=1并且得en(x)⊥e1(x)，en(x)⊥e2(x)，…，en(x)⊥en-1(x)，即{e1(x)，…，en(x)}為Hilbert空間H中一組規(guī)范正交基。

平方可積函數(shù)空間是常見的Hilbert空間，下面用一個典型的實例驗證方法的有效性。

例[7-8]若{1,x,x2，…，xn}是平方可積函數(shù)空間L2([-1,1])中下界為A上界B為的Riesz基，顯然它不是標準正交基，故可用Schmidt正交化過程將其標準正交化為{en(x)}，使得{en(x)}作為L2([-1,1])中的一個規(guī)范正交基。

解記φ1(x)=1，φ2(x)=x，因為

所以φ1(x)⊥φ2(x)，因此可取

由(1)式得

一般地，可得

(2)

將En(x)代入(2)式，可以求得

從而可知{e1(x),e2(x),…，en(x)}是平方可積函數(shù)空間L2([-1，1])中的一組規(guī)范正交基。

3 與Riesz基有關(guān)的兩個結(jié)論

由引理3，可得以下結(jié)論：

定理2 設{φ1(x),…,φn(x)}是Hilbert空間H中的一組Riesz基，{e1(x),…，en(x)}是H中的一組標準正交基，?φj(x)，φk(x)∈{φ1(x)，…，φn(x)}，他們關(guān)于基{e1(x)，…,en(x)}的坐標分別是(〈φj(x),e1(x)〉，…，〈φj(x),en(x)〉),(〈φk(x),e1(x)〉，…，〈φk(x),en(x)〉)。那么φj(x)+φk(x)關(guān)于這個標準正交基的坐標為(〈φj(x)+φk(x),e1(x)〉，…，〈φj(x)+φk(x),en(x)〉)；設a∈F，

aφj(x)關(guān)于這個標準正交基的坐標為

(a〈φj(x),e1(x)〉，…，a〈φj(x),en(x)〉)。

證明設{φ1(x),φ2(x)，…,φn(x)}是Hilbert空間H中的一組Riesz基，?φj(x)，φk(x)∈{φ1(x),…,φn(x)}，他們關(guān)于基{e1(x),…,en(x)}的坐標分別是

(〈φj(x),e1(x)〉,…,〈φj(x),en(x)〉)和

(〈φk(x),e1(x)〉，…，〈φk(x),en(x)〉)。

φj(x)+φk(x)=

如果a是數(shù)域F中的一個常數(shù)，那么

對于Hilbert空間H中的兩組Riesz基來說，在同一標準正交基下的坐標一般是不相同的，下面給出這兩組Riesz基之間的關(guān)系。

定理3 如果{φ1(x)，…，φn(x)}和{φ1(x)，…，φn(x)}分別是Hilbert空間H中的兩組Riesz基，{e1(x),…,en(x)}是H中的一組標準正交基，那么這兩組Riesz基可以相互轉(zhuǎn)換。

證明設函數(shù)族{φ1(x),…，φn(x)}和{φ1(x),…，φn(x)}分別是Hilbert空間H中的兩組Riesz基，{e1(x),…，en(x)}是H中的一組標準正交基，則可表示為

從而就得到同一空間H中兩組Riesz基之間的關(guān)系：