初一數(shù)學(xué)思想滲透的案例分析

摘要：如何在新課改的背景下切實(shí)地做好初中數(shù)學(xué)的實(shí)踐教學(xué)工作，讓學(xué)生能夠應(yīng)用正確的思想和方法，在知識(shí)的海洋里自由地吸取更多的養(yǎng)分是一線初中數(shù)學(xué)教師必須思考的問題，也是值得教師深入鉆研的一個(gè)問題。而所謂數(shù)學(xué)思想，就是數(shù)學(xué)的基本觀點(diǎn)和基本處理方法，它建立在一般具體的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上，是數(shù)學(xué)的抽象概括的產(chǎn)物?；诖?，結(jié)合理論分析和案例闡釋相結(jié)合的研究方式，就如何將數(shù)學(xué)思想方法有效地滲透到初一數(shù)學(xué)的實(shí)踐教學(xué)中進(jìn)行了系統(tǒng)的分析和研究。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想? 新課標(biāo)? 初一數(shù)學(xué) 滲透

中圖分類號(hào)：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在對(duì)第三學(xué)段（七—九年級(jí)）的教學(xué)建議中要求“對(duì)于重要的數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)體現(xiàn)螺旋上升的、不斷深化的過程，不宜集中體現(xiàn)”。這就要求我們教師能在實(shí)際的教學(xué)過程中不斷地發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、滲透數(shù)學(xué)思想方法。

初中階段是中學(xué)生打基礎(chǔ)的階段，而初一則是啟蒙階段，這個(gè)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好壞將直接影響今后的學(xué)習(xí)。我認(rèn)為初一數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)要滲透如下幾種數(shù)學(xué)思想方法：

一、滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生思維遷移的能力

數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)與圖形結(jié)合起來解決問題的一種思維方式。即將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維相結(jié)合。所以我們研究數(shù)學(xué)問題時(shí)要善于由形思數(shù)，由數(shù)思形，通過數(shù)與形的轉(zhuǎn)化把一個(gè)數(shù)的問題用圖形直觀地表達(dá)出來，從而找到解題思路。著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。”這就是在強(qiáng)調(diào)把數(shù)和形結(jié)合起來考慮的重要性。把問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)，或者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，可以使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化。

在教材《有理數(shù)》里面用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示有理數(shù)，就是最簡單的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，我們可以借助數(shù)軸來分析解決有關(guān)絕對(duì)值的問題，這種方法就稱之為“數(shù)形結(jié)合”。

案例1：（1）請(qǐng)學(xué)生們?cè)跀?shù)軸上將下列各數(shù)表示出來：0，1，-1，3，-3

（2）1與-1，3與-3有什么關(guān)系？

（3）4到原點(diǎn)的距離與-4到原點(diǎn)的距離有何關(guān)系？1與-1呢？

給出絕對(duì)值的概念，并讓學(xué)生自己從數(shù)軸上，從各點(diǎn)之間的關(guān)系中討論歸納出絕對(duì)值的描述性定義。

（4）絕對(duì)值等于8的數(shù)有幾個(gè)？如何利用數(shù)軸加以說明？

這樣一來，學(xué)生既學(xué)習(xí)了絕對(duì)值的概念，同時(shí)又滲透了數(shù)形結(jié)合的思想方法。在此，教師在教學(xué)中應(yīng)恰當(dāng)?shù)貙?duì)數(shù)學(xué)思想方法給予提煉與概括，以加深學(xué)生的印象。

案例2：在教材《平面圖形的認(rèn)識(shí)（一）》里我們會(huì)遇見這樣的問題：已知線段AB，在BA的延長線上取一點(diǎn)C使CA=3AB。（1）線段CB是線段AB的幾倍？（2）線段AC是線段CB的幾分之幾？

這個(gè)題目的呈現(xiàn)方式是圖形式，而設(shè)問內(nèi)容卻是一個(gè)數(shù)量問題。若學(xué)生不畫圖，則不易得到其數(shù)量關(guān)系，但學(xué)生只要把圖畫出，其數(shù)量關(guān)系就一目了然。此題的出題意圖即為數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)。

數(shù)形結(jié)合思想的滲透不能簡單的通過解題來實(shí)現(xiàn)和灌輸，應(yīng)該落實(shí)在課堂教學(xué)的學(xué)習(xí)探索過程中。滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)化能力和遷移思維的能力，同時(shí)也讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的思想方法的引領(lǐng)下感受到了成功，初步領(lǐng)略和嘗試了它的功用，是一個(gè)非常好的滲透背景。

二、滲透分類討論的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生全面、靈活處理問題的能力

分類討論的思想滲透對(duì)于整個(gè)中學(xué)階段的解題教學(xué)將起到十分重要的作用。分類討論思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，把數(shù)學(xué)問題的研究對(duì)象區(qū)分為不同各類的一種數(shù)學(xué)思想方法。當(dāng)被研究的問題包含多種可能的情況不能一概而論時(shí)，就要按照可能出現(xiàn)的各種情況進(jìn)行分類討論.教學(xué)時(shí)，要加強(qiáng)滲透分類討論的思想方法，可以提高學(xué)生的解題技巧，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、主動(dòng)學(xué)習(xí)的精神和辯證的觀點(diǎn)。

比如在《有理數(shù)》研究相反數(shù)、絕對(duì)值、有理數(shù)的乘法運(yùn)算的符號(hào)法則等都是按有理數(shù)分成正數(shù)、負(fù)數(shù)、零三類分別研究的：在研究加、減、乘、除四種運(yùn)算法則也是按照同號(hào)、異號(hào)、與零運(yùn)算這三類分別研究的。

案例4：在《平面圖形的認(rèn)識(shí)（一）》這一章中有這樣一道題：已知平面上三個(gè)點(diǎn)A、B、C，過其中每兩點(diǎn)畫直線共可以畫幾條？若平面上A、B、C、D四點(diǎn)呢？試分別畫圖說明。

分析：過平面上三點(diǎn)畫直線有兩種情況：（1）三點(diǎn)共線時(shí)，只能畫一條直線;（2）三點(diǎn)不共線時(shí)，可畫三條直線;過平面上四點(diǎn)畫直線有三種情況：（1）四點(diǎn)共線時(shí)，只能畫一條直線;（2）四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線時(shí)，可畫四條直線;（3）四點(diǎn)中任意三點(diǎn)都不共線時(shí)，可畫六條直線。

這些題目都能很好的體現(xiàn)分類思想，在平時(shí)的訓(xùn)練中，我們要多通過這類題的解答，滲透分類討論的思想。通過分類討論，既能使問題得到解決，又能使學(xué)生學(xué)會(huì)多角度、多方面去分析、解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性、全面性。

三、滲透方程思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力。

在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，有一種從未知轉(zhuǎn)化為已知的手段就是通過設(shè)元，尋找已知與未知之間的等量關(guān)系，構(gòu)造方程或方程組，然后求解方程完成未知向已知的轉(zhuǎn)化，這種解決問題的思想稱為方程思想。在平時(shí)的教學(xué)過程中，要注意培養(yǎng)學(xué)生的方程思想的意識(shí)。有些幾何問題表面上看起來與代數(shù)問題無關(guān)，但是，利用代數(shù)方法——列方程來解決往往會(huì)更簡潔。例如，在各個(gè)內(nèi)角都相等的多邊形中，一個(gè)內(nèi)角等于一個(gè)外角的2倍，求這個(gè)多邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)和它的邊數(shù)。要善于挖掘隱含等量關(guān)系“一個(gè)外角加上一個(gè)內(nèi)角等于180度”，從而設(shè)外角為x度，列出方程x+2x=180，然后再進(jìn)一步解決問題。因此，在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)該不斷積累用方程思想解題的方法。

案例8：閱讀下面材料并回答問題。

數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離等于（-2）-（-5）=3，數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離等于1-（-3）=4，一般地，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于右邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)減去左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)。

Ⅱ問題：

如圖，O 為數(shù)軸原點(diǎn)，A. B. C是數(shù)軸上的三點(diǎn)，A. C兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)互為相反數(shù)，且A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為-6，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是最大負(fù)整數(shù)。

（1）點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是，并請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上標(biāo)出點(diǎn)B位置;

（2）已知點(diǎn)P在線段BC上，且PB=25PC，求線段AP中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù);

（3）若數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)Q表示的數(shù)為x，當(dāng)QB=2時(shí)，求a+c100·x2-bx+2的值（a，b，c是點(diǎn)A. B. C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)）.

分析：（1）根據(jù)最大的負(fù)整數(shù)是-1，即可解決問題;

（2）根據(jù)PB=2/5PC，構(gòu)建方程即可解決問題;

（3）由題意：a+c=0，b=-1，分兩種情形求解即可;

我們知道方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型。所以方程思想實(shí)際上就是由實(shí)際問題抽象為方程過程的數(shù)學(xué)建模思想。初中階段常見的有：方程模型、不等式模型、函數(shù)模型。方程思想的領(lǐng)會(huì)與否直接關(guān)系到數(shù)學(xué)建模能力的大小。因此說我們對(duì)學(xué)生進(jìn)行方程思想的滲透，就是對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，這對(duì)我們學(xué)生以后的學(xué)習(xí)都有著深遠(yuǎn)的影響。

站在“以學(xué)生發(fā)展為本”的角度上看，在教學(xué)中適時(shí)適度滲透數(shù)學(xué)思想方法將對(duì)培養(yǎng)學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的能力有極大的好處，正適合現(xiàn)在方興未艾的“素質(zhì)教育”，其教學(xué)潛在價(jià)值更是不可估量的。而解決初中數(shù)學(xué)問題的思想方法還有很多，如：整體思想方法、比較思想方法、統(tǒng)計(jì)思想方法等等。初中數(shù)學(xué)教材的各部分內(nèi)容都有自己常見的思想方法?！笆谌艘贼~，不如授人以漁?！苯處熢诮虒W(xué)時(shí)，要依據(jù)教材內(nèi)容，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)，使學(xué)生掌握一些常用的思想方法，提高解題的技能和智能，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新精神，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)世界中遨游。數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法形成的規(guī)律性的理性認(rèn)識(shí)，是解決數(shù)學(xué)問題的根本策略。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)甚至比傳授知識(shí)更重要。因?yàn)樗季S的鍛煉不僅對(duì)學(xué)生在某一學(xué)科上有益，更使其終生受益。

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作者簡介：吳兆英（1990-），女，漢族，河南濮陽人，數(shù)學(xué)教師，碩士研究生，單位：武漢市光谷第二初級(jí)中學(xué)（華中科技大學(xué)附屬中學(xué)光谷分校），研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。