高等數(shù)學(xué)課程中基于GeoGebra軟件的信息化教學(xué)

李建濤

(遼寧大學(xué) 數(shù)學(xué)院，遼寧 沈陽 110036)

0 引言

高等數(shù)學(xué)，又稱微積分，是現(xiàn)代科學(xué)的重要基礎(chǔ).高等數(shù)學(xué)課程是大學(xué)理工科學(xué)生最重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，對應(yīng)的數(shù)學(xué)分析課程也是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生最重要的專業(yè)基礎(chǔ)課之一.但是，目前高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)現(xiàn)狀不容樂觀.因為高等數(shù)學(xué)課程知識點多、難度大、理論抽象，所以很多教師在講授高等數(shù)學(xué)課程時，已經(jīng)認(rèn)識到高等數(shù)學(xué)里面的無限序列和極限思維是一種本質(zhì)上與學(xué)生上大學(xué)前使用的思維方式完全不同的數(shù)學(xué)思維.學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，需要學(xué)生從中小學(xué)時熟悉的有限運(yùn)算過渡到無限運(yùn)算，從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)之間進(jìn)行思維轉(zhuǎn)換.高等數(shù)學(xué)中的分類、猜想、分析概括、抽象化、形式化的數(shù)學(xué)思維，讓初入大學(xué)的學(xué)生較難理解和掌握，致使很多學(xué)生學(xué)習(xí)吃力，對高等數(shù)學(xué)產(chǎn)生畏懼心理，學(xué)習(xí)興趣缺失.因此，就如何提高高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量，形成行之有效的教學(xué)方法，是目前高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個重要課題，而且已有很多高校教師對此進(jìn)行了探索與實踐[1-5].

高等數(shù)學(xué)的思維方式的形成是一個復(fù)雜的過程，是一種循序漸進(jìn)的過程，包括數(shù)學(xué)概念的表示，形象化、概括、分類、猜想、歸納、分析、抽象化、形式化等等.例如數(shù)學(xué)概念的形象化是其中一個非常重要的步驟，通過形象化和可視化的例子，幫助學(xué)生建立高等數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思維很有必要.現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展日新月異，計算機(jī)技術(shù)迅猛提高，使用信息化和可視化的手段輔助教學(xué)，可以讓學(xué)生更形象直觀地認(rèn)識數(shù)學(xué)思維未知的關(guān)聯(lián)，從而更深刻地理解數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)習(xí)興趣.目前，已有很多教師對高等數(shù)學(xué)的可視化教學(xué)模式的改革進(jìn)行了探索[6-14]，例如用Matlab、Mathematica、GeoGebra等軟件進(jìn)行可視化的設(shè)計模擬，將形式化的數(shù)學(xué)概念和問題形象化，樹立了一個值得探索和推廣的教學(xué)改革實踐范例.

本文介紹基于GeoGebra軟件進(jìn)行的信息化教學(xué)改革的實踐和相關(guān)案例分析.GeoGebra是完全免費(fèi)開源的數(shù)學(xué)軟件，具有強(qiáng)大的代數(shù)和幾何功能，與專業(yè)的Matlab、Mathematica等收費(fèi)軟件相比，界面更友好，需要的預(yù)備知識更少，大多數(shù)教師和學(xué)生都能很快地上手使用.另外，GeoGebra更吸引人的一點是，可以通過滑動條工具進(jìn)行動態(tài)演示一些數(shù)學(xué)過程，而且還可以通過著色工具和多角度連續(xù)的移動，更細(xì)致準(zhǔn)確地展示相關(guān)的數(shù)學(xué)圖像.在教學(xué)過程中使用GeoGebra軟件進(jìn)行教學(xué)實踐暨信息化輔助教學(xué)，可以動態(tài)化地演示高等數(shù)學(xué)教材中抽象的概念和例子，與教科書中包含的靜態(tài)圖像不同，這種動態(tài)化的演示更形象直觀地展示相關(guān)數(shù)學(xué)理論，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念的可視化和動態(tài)演示，使學(xué)生能夠直觀地理解各種概念，有利于微積分思想的體現(xiàn).配合GeoGebra的動態(tài)演示，可以提高學(xué)生對數(shù)列收斂性和無窮大的理解能力，如理解分割、近似替代、逼近、取極限等微積分學(xué)的主要思想，提高學(xué)生的空間想象力，有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從初級到高級的轉(zhuǎn)變.

1 GeoGebra軟件簡介

GeoGebra軟件是2002年美國亞特蘭大大學(xué)數(shù)學(xué)系Markus Hohenwarter教授研發(fā)的用于教學(xué)的免費(fèi)開源軟件.軟件的名字是由“Geometry”(幾何)與“Algebra”(代數(shù))組合而成.GeoGebra是一款動態(tài)幾何軟件，簡單易學(xué)，不僅能畫出靜態(tài)的平面和立體圖形，還能通過滑動條將一些數(shù)學(xué)過程動態(tài)地展示出來；并且具有強(qiáng)大的代數(shù)功能，可以進(jìn)行各種代數(shù)運(yùn)算.正如數(shù)學(xué)家Germain所說“代數(shù)不外乎符號的幾何，幾何不外乎圖形的代數(shù)”，GeoGebra軟件將代數(shù)和幾何有機(jī)地結(jié)合起來，比較完美地解決了一些數(shù)學(xué)概念的可視化.目前在國內(nèi)外數(shù)學(xué)教學(xué)的各個階段，包括中小學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，得到了廣泛的應(yīng)用.

GeoGebra軟件主要有代數(shù)窗口和幾何窗口，結(jié)合它的代數(shù)計算能力與幾何作圖能力，允許我們對高等數(shù)學(xué)里的各種數(shù)學(xué)對象進(jìn)行研究與探索.例如，通過代數(shù)方程畫出平面的、立體的圖形，并且還可以通過使用區(qū)域著色的工具，將對應(yīng)的數(shù)學(xué)對象更準(zhǔn)確、更形象地表示出來.另一方面，GeoGebra軟件中具有滑動條工具，可以動態(tài)化地演示一些數(shù)學(xué)過程，這是非常有用的.高等數(shù)學(xué)中比較難理解的就是一些極限思維，而這些極限思維通常是一種動態(tài)化的過程，例如取數(shù)列極限、定積分里的分割加細(xì)，取極限、逼近的思想.通過GeoGebra軟件的滑動條工具，可以探索圖像在某些特定作用下行為的可視化，例如可以設(shè)計極限、定積分等定義里的一些動態(tài)過程等.

GeoGebra軟件允許幾何和代數(shù)性質(zhì)同時存在，在特定的空間上，實現(xiàn)一些動態(tài)化過程演示的可能性.例如，圖像的多角度移動、數(shù)列動態(tài)逼近、極限過程等.通過觀察點的逼近過程、定積分里分割加細(xì)過程等動態(tài)演示，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對相關(guān)問題能夠形成猜想，更容易理解相關(guān)的定義和性質(zhì).

2 動態(tài)輔助演示的教學(xué)案例

本節(jié)介紹在實際的教學(xué)實踐中，利用GeoGebra軟件進(jìn)行可視化、信息化輔助教學(xué)的一些案例.這些案例涵蓋了高等數(shù)學(xué)教材中主要的數(shù)學(xué)概念，通過教師在課堂上進(jìn)行動態(tài)化演示以及鼓勵學(xué)生課下利用GeoGebra軟件自己動手對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行可視化的教學(xué)實驗，促進(jìn)學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)問題的理解，提高了學(xué)生的空間想象力，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而取得了良好的教學(xué)效果.

2.1 案例一：數(shù)列極限

圖1 數(shù)列極限

2.2 案例二：微分與導(dǎo)數(shù)的概念

微分和導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的重要概念.函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)對應(yīng)的圖像在此點處的切線斜率.通過GeoGebra軟件動態(tài)演示，可以讓學(xué)生形象直觀地發(fā)現(xiàn)，切線實際上是圖像上兩個點確定的割線在逼近此點時的極限位置.例如圖2中橢圓形的切線，實際上是該點附近的兩點確定的割線在兩個點逼近該點時的一個極限位置.

圖2 切線的幾何意義：切線與割線的關(guān)系

2.3 案例三：定積分的概念

定積分概念是微積分學(xué)中最重要的概念之一，是現(xiàn)代科技發(fā)展的一個重要的基礎(chǔ)，很多平面的數(shù)學(xué)和科學(xué)問題都是通過求解定積分解決的.定積分的思想來源于這樣的一個幾何意義，即曲邊梯形的面積.具體的過程是將曲邊梯形底邊分割成一些區(qū)間段，在每個區(qū)間段上用長方形近似替代曲邊梯形，計算面積，最后求和，取極限，得到曲邊梯形的面積，從而得到定積分的定義.使用GeoGebra軟件做圖，將積分區(qū)間進(jìn)行分割，比較容易實現(xiàn)的就是均勻分割；分割之后，用每個區(qū)間段上的函數(shù)值上界確定的長方形面積代替真實的曲邊梯形的面積.所以整個曲邊梯形的面積近似等于這些長方形面積之和；然后將滑動條關(guān)聯(lián)成分割的數(shù)目n，移動滑動條，可以形象地展示定積分的定義中加細(xì)分割和取極限的過程.隨著滑動條的移動，設(shè)定的分割數(shù)目n的值變大，長方形面積之和就越來越接近真實面積.可以看到：圖3曲邊梯形分割成5份時，長方形面積之和還與其真實面積有較大誤差.但是圖4分割成30份時，長方形面積之和與其真實面積就相差很小了.通過這樣的動態(tài)演示，學(xué)生完全理解了定積分這個抽象定義.

圖3 定積分的定義(n=5)

圖4 定積分的定義(n=30)

2.4 案例四：二重積分的概念

二重積分處理的是空間區(qū)域的相關(guān)計算，在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中應(yīng)用更加廣泛.二重積分來源于這樣的一個幾何意義，即曲頂柱體的體積.具體的過程是首先將曲頂柱體的底部區(qū)域進(jìn)行分割，分割成一些小區(qū)域，在每個小區(qū)域上用平頂?shù)闹w近似替代曲頂柱體，計算平頂柱體的體積，最后求和，取極限，得到曲頂柱體的體積，從而得到二重積分的定義.利用GeoGebra軟件，用類似定積分定義中的做法，將積分區(qū)域進(jìn)行分割，比較容易實現(xiàn)的是分割成一些正方形的并集.將滑動條關(guān)聯(lián)成分割的正方形區(qū)域的個數(shù)，移動滑動條可以增加區(qū)域分塊，形象地展示二重積分里的加細(xì)分割和取極限的過程；還可以單獨或者全部展示分塊區(qū)域，讓學(xué)生能夠看到所有的細(xì)節(jié)，更加形象化；教師講解的時候也可以單獨拿出一個分塊區(qū)域，講述利用平頂柱體近似替代曲頂柱體的思想.參照下面的圖5和圖6.

圖5 二重積分定義：單獨的分塊區(qū)域

圖6 二重積分定義：展示全體分塊

2.5 案例五：復(fù)雜圖形的可視化

高等數(shù)學(xué)教材中有很多復(fù)雜的方程和空間區(qū)域，例如心形線、馬鞍面等復(fù)雜曲線和曲面，計算重積分時涉及的復(fù)雜積分區(qū)域等.空間想象力不強(qiáng)的學(xué)生，在學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容時會十分吃力.GeoGebra軟件的幾何功能，既具有平面幾何的功能窗口，也具有立體幾何的功能窗口.利用相關(guān)的工具對這些復(fù)雜圖像進(jìn)行可視化，可以開發(fā)學(xué)生空間想象能力，建立空間思維，學(xué)起相關(guān)內(nèi)容時更能得心應(yīng)手.例如：圖7給出了平面一個復(fù)雜心形線(x2+y2-1)3-x2y3=0的圖像，只需要在代數(shù)區(qū)域內(nèi)輸入圖像的代數(shù)表達(dá)式，在幾何窗口就能顯示圖形.圖8給出了高等數(shù)學(xué)教材中常見的一個積分區(qū)域：球面與圓柱面所圍部分的空間區(qū)域.學(xué)生在計算重積分的時候經(jīng)常弄錯空間區(qū)域的上下界；單純使用書本上的靜態(tài)圖像或者教師的手繪圖像，即使再細(xì)致地講解，也很難讓學(xué)生理解相關(guān)區(qū)域的細(xì)節(jié)，例如投影區(qū)域、積分上下界等.然而利用GeoGebra軟件的三維立體幾何窗口，在代數(shù)窗口輸入相關(guān)的代數(shù)方程，不僅在幾何窗口可以畫出這些復(fù)雜圖像，還能用鼠標(biāo)進(jìn)行移動，讓畫出的區(qū)域從多個角度進(jìn)行展示，例如積分區(qū)域的投影區(qū)域、積分上下界等.學(xué)生可以從各個角度觀察區(qū)域的細(xì)節(jié)，并可以通過著色功能更細(xì)致準(zhǔn)確地展示相關(guān)區(qū)域的細(xì)節(jié).

圖8 球面與圓柱面相交部分所圍區(qū)域

3 結(jié)語

本文總結(jié)高等數(shù)學(xué)課程中基于GeoGebra軟件的信息化教學(xué)改革方式.教學(xué)改革的目的是使用信息化手段研究高等數(shù)學(xué)中的一些數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)，理解高等數(shù)學(xué)中的極限思維；并利用GeoGebra軟件對一些復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行區(qū)域著色和多角度展示，實現(xiàn)數(shù)學(xué)的形象化和可視化，以提高教學(xué)效果.

GeoGebra這個軟件允許將代數(shù)方程和圖形表示結(jié)合起來，具有十分強(qiáng)大的功能.而且結(jié)合最近的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)形式，我們發(fā)現(xiàn)GeoGebra這個軟件更適應(yīng)線上線下的混合式教學(xué).在線上線下的混合式教學(xué)過程中，通過直播更容易展示這個強(qiáng)大的工具，更方便讓它到達(dá)最需要的“教室”.學(xué)生可以通過直播觀察到教師使用GeoGebra軟件的所有細(xì)節(jié)，更方便學(xué)生學(xué)習(xí)和使用這個軟件.在實際的教學(xué)實踐中，學(xué)生對使用GeoGebra軟件十分感興趣，很多學(xué)生課下自己進(jìn)行實驗，使用這個軟件進(jìn)行畫圖，更深刻地理解了相關(guān)的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想.

基于GeoGebra軟件的信息化教學(xué)是非常新鮮和有效的教學(xué)手段.通過GeoGebra軟件將數(shù)學(xué)概念可視化并作動態(tài)演示，有助于學(xué)生直觀形象地理解數(shù)學(xué)相關(guān)概念，提高他們的觀察能力和空間想象力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，對高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革起到了積極的促進(jìn)作用；課上結(jié)合相關(guān)圖形進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生們也更深刻地理解了數(shù)學(xué)里的極限思維，提高了空間想象力，加快了從初等數(shù)學(xué)的有限空間平穩(wěn)過渡到高等數(shù)學(xué)的廣維世界.