基于混合整數(shù)線性規(guī)劃的城市軌道交通列車
一體化節(jié)能運(yùn)行曲線優(yōu)化研究

張 瞄，張朝陽，胡云卿，卿光明，張 宇

（中車株洲電力機(jī)車研究所有限公司，湖南 株洲 412001）

0 引言

城市軌道交通以其準(zhǔn)點、便捷、安全、綠色的特點成為城市交通運(yùn)輸?shù)闹匾绞街?，其承?dān)著城市較重的運(yùn)輸壓力。尤其是在經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)、人口眾多的大都市，城市軌道交通發(fā)展較早且目前多呈網(wǎng)絡(luò)狀分布。在此形勢下，城市軌道交通系統(tǒng)能耗逐年遞增。在系統(tǒng)能耗中，列車牽引能耗約占總能耗的50%[1-2]，因此降低牽引能耗成為提高能量利用率的重要途徑,也成為運(yùn)營商和學(xué)者們開展研究的熱點問題之一。

對于軌道交通領(lǐng)域的節(jié)能問題，國內(nèi)外諸多學(xué)者針對單站間給定運(yùn)行時分下的節(jié)能優(yōu)化駕駛策略展開了研究，部分學(xué)者首先基于龐特里亞金極大值原理[3]探討了列車節(jié)能運(yùn)行的4種工況，即最大牽引、巡航、惰行和最大制動。在此基礎(chǔ)上，學(xué)者們根據(jù)列車動力學(xué)的單質(zhì)點模型，采用了不同的算法來搜索最佳工況序列。文獻(xiàn)[4-6]分別采用遺傳算法在給定惰行點數(shù)量條件下求解最佳工況序列，或連續(xù)或基于時域離散或基于S域離散，一般設(shè)定每個站間的惰行點不超過2個。在這類給定惰行點數(shù)量的研究基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[7]進(jìn)一步拓展了研究，采用動態(tài)變化的染色體長度表示變化的惰行點數(shù)量，依此來搜索最佳惰行點，從而獲取最佳工況序列，這種考慮更貼近實際應(yīng)用場景。此外，部分學(xué)者探索了其他不同算法，如蟻群算法[8]、動態(tài)規(guī)劃算法[9]、迭代算法[10]和數(shù)值算法[11]等，這些算法都被廣泛應(yīng)用到最佳工況序列的節(jié)能運(yùn)行曲線規(guī)劃研究中。

實現(xiàn)列車牽引節(jié)能的另一個研究方向是列車站間冗余時分的分配策略。冗余時分的調(diào)整實際上是對線路站間運(yùn)行時間進(jìn)行了調(diào)整，因此這一類研究問題其實屬于列車運(yùn)行圖調(diào)整問題范疇。站間冗余時分被定義為列車實際運(yùn)行時分與最短運(yùn)行時分的差[12]。站間冗余時分的引入一方面是為了增強(qiáng)列車運(yùn)行圖的魯棒性，在發(fā)生一定程度的小干擾時，列車可快速恢復(fù)至計劃列車運(yùn)行圖狀態(tài)；另一方面，通過合理利用站間冗余時分，可以降低能耗。對于同一站間，分配的冗余時分越多，降低的能耗值越大。因此不同的冗余時分分配策略會造成不同的節(jié)能效果，部分學(xué)者就此開展了相關(guān)研究。文獻(xiàn)[13]針對城市軌道交通列車一體化優(yōu)化問題提出了一種迭代雙層優(yōu)化模型，其第一層決定牽引、惰行和制動這3種工況的轉(zhuǎn)換點，第二層則優(yōu)化冗余時間分配策略，遺傳算法也應(yīng)用在其模型中進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[14]也同樣考慮到城市軌道交通列車運(yùn)行圖與速度曲線一體化優(yōu)化問題，建立了雙層規(guī)劃模型，并提出了一種數(shù)值算法進(jìn)行合理求解。

本文針對城市軌道交通列車節(jié)能運(yùn)行曲線規(guī)劃問題，綜合考慮了列車牽引特性以及限速坡度等線路條件，建立了列車冗余時分分配與定時節(jié)能駕駛策略一體化優(yōu)化模型（一體化是指針對單條線路構(gòu)建列車運(yùn)行時分和速度曲線一體化優(yōu)化模型）。該模型采用混合整數(shù)線性規(guī)劃（mixed integer linear programming,MILP）框架，并通過Matlab調(diào)用商業(yè)軟件CPLEX進(jìn)行快速求解。

1 城市軌道交通列車一體化節(jié)能運(yùn)行曲線優(yōu)化模型

對于不同站間，能耗與運(yùn)行時分的函數(shù)關(guān)系不同，因此將相同的冗余時分分配至不同站間可以得到不同的節(jié)能效果。圖1示出站間冗余時分分配策略實現(xiàn)節(jié)能的原理。兩條曲線表示兩個站間（紅色線表示站間1，藍(lán)色線表示站間2）的能耗與運(yùn)行時分關(guān)系，即使分配相同的冗余時分ΔT，二者可以減少的能耗量也不同；在冗余時分分配過程中，應(yīng)盡可能把時間分配給節(jié)能效果好的站間。

圖1 冗余時分分配節(jié)能原理示意Fig. 1 Schematic diagram of reserved time distribution principle

1.1 列車動力學(xué)模型

由于線路條件（如限速、坡道等靜態(tài)信息）是基于位置給定的，因此考慮空間特性的城市軌道交通列車的運(yùn)行過程可采用經(jīng)典單質(zhì)點連續(xù)模型進(jìn)行描述：

式中：m——列車質(zhì)量；ρ——旋轉(zhuǎn)質(zhì)量因子，一般取1.06；E——單位質(zhì)量動能，E=0.5v2；v——列車速度；s——位置；u——控制變量，正值表示牽引力，負(fù)值表示制動力；R——基本阻力，與速度相關(guān)；G——附加阻力，本文僅考慮坡道阻力，故G與位置相關(guān)，表示為s的函數(shù)；t——時間。

由文獻(xiàn)[15]可知，單位基本阻力可表示為速度的二次函數(shù)。相較于牽引力和制動力，基本阻力數(shù)值較小，因此也可忽略速度的一次項部分，僅考慮常數(shù)項和二次項，將基本阻力轉(zhuǎn)換為與E相關(guān)的線性函數(shù)：

式中：g——重力加速度；a1——常數(shù)；a2——與速度相關(guān)的二次項系數(shù)。

坡道阻力G可用式(3)進(jìn)行計算：

式中：α——坡度千分?jǐn)?shù)，正值代表上坡，負(fù)值代表下坡。

1.2 一體化節(jié)能運(yùn)行曲線優(yōu)化模型

本文所考慮的城市軌道交通線路如圖2所示，其以降低牽引能耗為優(yōu)化目標(biāo)，建立考慮冗余時分分配及單站間定時節(jié)能的一體化優(yōu)化模型。

圖2 城市軌道交通線路布局圖Fig. 2 Layout of urban rail transit line

該一體化優(yōu)化模型為雙層框架，上層對站間冗余時分進(jìn)行分配，獲取最佳節(jié)能冗余時分分配策略；下層基于上層站間冗余時分分配方案給定的站間運(yùn)行時間優(yōu)化列車站間運(yùn)行速度曲線，具體框架如圖3所示。

圖3 優(yōu)化模型雙層框架Fig. 3 Double-level framework of the optimal model

模型中，目標(biāo)函數(shù)線路上的總牽引能耗J為各站間牽引能耗Ji之和。在不考慮再生制動能的條件下，牽引能耗可通過牽引力對位置積分計算，具體計算公式如下：

式中：i——站間索引，i∈{1, 2, …,I}；I——站間總數(shù)，即線路有I+1個站；sstart,i——第i個站間的起點；send,i——第i個站間的終點；ui(s)——第i個站間的控制變量。

為保證列車準(zhǔn)點、安全運(yùn)行，模型除了需滿足列車動力學(xué)約束條件即式(1)外，還需滿足線路限速、列車牽引特性以及邊界約束條件，具體如下：

式中：E(sstart,i)——列車在第i個站間的起點動能；Estart,i——列車在第i個站間的動能初始值；E(send,i)——列車在第i個站間的終點動能；Eend,i——列車在第i個站間的動能末值；Ti——列車在第i個站間的運(yùn)行時間；Emax,i——列車在第i個站間的最大動能；Ei(s)——列車在第i個站間的動能；umax——根據(jù)電機(jī)特性獲取的最大牽引/制動力；umin——根據(jù)電機(jī)特性獲取的最小牽引/制動力。

約束條件式(1)～式(8)為下層模型。約束條件式(5)表示列車在第i個站間的起點和終點動能應(yīng)為動能的初始值和末值，其中動能的初始值vstart,i為列車在第i個站間的起始速度，即為0。同理可得動能末值，vend,i為列車在第i個站間的末速度，也為0。由于式(1)中動能E位于分母位置，無法為0，因此本文設(shè)定動能初始值和末尾值均為0.1J。約束條件式(6)表示列車在第i個站間的運(yùn)行時間為Ti。約束條件式(7)表示列車在第i個站間的動能均不能超過Emax,i，限制列車實際運(yùn)行速度不能超過限速，。約束條件式(8)限制了列車實際控制量，牽引力不能超過根據(jù)電機(jī)特性獲取的最大牽引力，提供的制動力也不能超過最大制動力。

約束條件式(9)是上層模型，其為冗余時間分配約束條件條件?？紤]到準(zhǔn)點以及車輛銜接的需求，約束條件式(9)限制了列車總運(yùn)行時間，并使其保持不變；各站間運(yùn)行時間通過冗余時間的分配，可以在一定范圍內(nèi)變化。

由此構(gòu)建了一體化優(yōu)化模型，其既保證了線路總運(yùn)行時間不變，同時在各站運(yùn)行時間為Ti的條件下，又能滿足列車動力學(xué)模型約束條件以及邊界約束條件。由于連續(xù)空間的此類無限維度的優(yōu)化問題很難被求解，因此需對模型進(jìn)行離散化處理。即對每個站間基于S域進(jìn)行分段處理，每一個小區(qū)段內(nèi)的線路坡度值和限速值均為常數(shù)，并假設(shè)牽引/制動力也保持不變。將第i個站間分為Ni段，每段間隔長度Δsn,i，以n作為分段索引，離散后的優(yōu)化目標(biāo)如下：

離散后的優(yōu)化模型不僅仍需滿足線路限速、列車牽引特性以及邊界約束條件，見式(5)～式(9)，同時還需滿足根據(jù)列車動力學(xué)模型離散后獲取的動態(tài)方程約束條件：

式中：Ei(n)和ui(n)——簡寫的E(sn,i)和u(sn,i)，其中E(sn,i)表示第i個站間第n段的動能，u(sn,i)表示第i個站間第n段的控制變量；an,i，bn,i，cn,i——可求的系數(shù)。

狀態(tài)變量E的動態(tài)方程可通過微分方程求解用式(11)進(jìn)行表達(dá)[16]；式(12)則可由式(1)中狀態(tài)變量時間t的微分方程結(jié)合梯形積分公式獲得。為實現(xiàn)an,i、bn,i和cn,i這3個系數(shù)的簡單計算，本文采取了與文獻(xiàn)[16]不一樣且更為簡單的計算公式來獲取這3個系數(shù)的值，從而避免了復(fù)雜的指數(shù)計算。根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式可得

聯(lián)立式(11)，式(13)及式(14)，可得

由此，本文已構(gòu)建了考慮冗余時間分配和單站間定時節(jié)能的列車運(yùn)行曲線一體化優(yōu)化模型。該模型為一個混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型，其中仍存在諸多非線性項。

2 MILP模型求解算法

針對第1.2節(jié)所建立的混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型，本文考慮采用Piese-Wise-Affine（PWA）函數(shù)以及不同的線性化法則對所提列車運(yùn)行曲線一體化優(yōu)化模型中的非線性項進(jìn)行線性化近似或等效，將模型轉(zhuǎn)換為混合整數(shù)線性規(guī)劃模型進(jìn)行求解。

2.1 非線性函數(shù)線性化

由于在時間動態(tài)方程中存在非線性函數(shù)項，本文借鑒文獻(xiàn)[16]中的方法采用PWA函數(shù)進(jìn)行分段線性近似：

式中：α1，α2，β1，β2——分段后線性擬合系數(shù)；E1——特性曲線分段點。

引入邏輯變量δ1，令

則式(18)分段線性近似的f(E)被等效為

f(E)=δ1(α1E+β1)+(1-δ1)(α2E+β2) (20)同時還需引入式(21)所示約束條件來表示式(19)所示邏輯關(guān)系：

式中：ε——極小正值。

此外，式(8)約束條件中同樣存在非線性函數(shù)項umax，電機(jī)牽引特性通常分為恒轉(zhuǎn)矩、恒功率和自然特性區(qū)。同理，采用PWA函數(shù)對其進(jìn)行線性近似，見式(22)，其中E2和E3為特性曲線的兩個拐點且E3＞E2。

式中：θ1，θ2，θ3，μ1，μ2，μ3——分段后線性擬合系數(shù)。

引入邏輯變量δ2和δ3，令

則式(22)等效為

同理，需引入約束條件：

2.2 非線性乘積線性化

3 仿真案例

為驗證所提數(shù)據(jù)設(shè)計了仿真案例，其基于采用Intel ? Xeon R Gold 6136 CPU＠3.00GHz處理器和6GBRAM的計算機(jī)平臺，通過Matlab調(diào)用CPLEX函數(shù)求解節(jié)能運(yùn)行曲線優(yōu)化問題。

3.1 仿真參數(shù)配置

以上行方向為例，長沙地鐵4號線的線路如圖4所示，4號線共有25個站點即24個站間，線路與列車的基本參數(shù)分別如表1和表2所示。圖5展示了該線路不同站間的限速與坡度曲線。表3為非線性函數(shù)f(E)和umax分段線性近似的系數(shù)，二者均采用分兩段近似方法。由于列車速度在0～21.11 m/s范圍內(nèi)，為提高近似精確度，減小近似誤差，本文針對3段不同范圍的速度進(jìn)行分段近似。

圖4 長沙地鐵4號線站點布局圖Fig. 4 Layout of the Changsha subway No.4 line

圖5 長沙地鐵4號線線路限速及坡道曲線Fig. 5 Speed limits and grade profiles of the Changsha subway No.4 line

表1 長沙地鐵4號線基本參數(shù)Tab. 1 Parameters of the Changsha subway No.4 line

表2 列車基本參數(shù)表Tab. 2 Basic train parameters

表3 f (E)和umax 的PWA分段線性近似系數(shù)Tab. 3 Piece-wise-affine coefficients of f (E) and umax

在該仿真案例中，為了平衡計算精度與計算時間，將每個站間分為20段，每一段內(nèi)限速和坡道值相同，控制變量也保持不變。

3.2 仿真結(jié)果分析

CPU計算時間為14.37 s，gap值為0.03%，求得的優(yōu)化后的列車運(yùn)行速度曲線如圖6所示。這里，其中BP為整數(shù)連續(xù)后得到的最優(yōu)解，BF為當(dāng)前求解器求得的整數(shù)時的解。圖6中，所有速度值均滿足限速條件；惰行點在下坡點處時，通過下坡道提供的與基本阻力方向相反的附加阻力使得列車速度提升，以減少牽引能耗。優(yōu)化后的各站間運(yùn)行時間與牽引能耗如表4所示。由表可知，無論是相較于本公司現(xiàn)有ATO運(yùn)行數(shù)據(jù)，還是計劃運(yùn)行時間，線路中站間運(yùn)行時間都進(jìn)行了調(diào)整，部分站間運(yùn)行時間被縮短。例如茶子山站-濱江新城站（CB）線路，運(yùn)行時間由121.3 s縮短至112.5 s。將該線路站間冗余時分分配至節(jié)能更多的站間，導(dǎo)致另一部分站間運(yùn)行時間延長。例如阜埠河-碧沙湖(FB)線路，運(yùn)行時間由133.2 s增加至139.7 s，但全線總運(yùn)行時間與總計劃運(yùn)行時間2 475 s的偏差僅4.9 s，在允許偏差范圍內(nèi)。與現(xiàn)有控制結(jié)果相比較，優(yōu)化后可以達(dá)到(421.2-351.9)/421.2=16.5%的節(jié)能效果，證明了該算法的有效性。

圖6 全線速度曲線及牽引/制動力優(yōu)化結(jié)果Fig. 6 Optimal results of speed profiles and tractive/braking forces

表4 能耗與站間運(yùn)行時間優(yōu)化結(jié)果Tab. 4 Optimal results of energy consumption and running time between inter-stations

為展示算法實現(xiàn)節(jié)能的細(xì)節(jié)，本文以上行方向第22個站間線路（平陽-長沙火車南站）為例，優(yōu)化后的站間運(yùn)行曲線如圖7所示。在該站間線路，列車牽引至46 km/h左右后線路坡度轉(zhuǎn)為負(fù)值，列車將牽引工況切換為惰行工況，利用下坡時正的坡道阻力克服空氣阻力以保持車速，達(dá)到節(jié)能的目的。坡度由正轉(zhuǎn)負(fù)時，仍然采用惰行工況降低車速，以避免不必要的制動；同時也減少了因力的切換而引起的列車顛簸，提高了乘客的舒適度。

圖7 平陽-長沙火車南站間優(yōu)化運(yùn)行曲線Fig. 7 Optimal train trajectory between Pingyang and south Changsha railway stations

3.3 平臺驗證分析

為了進(jìn)一步驗證該算法的有效性，在Matlab仿真結(jié)果基礎(chǔ)上結(jié)合路網(wǎng)車一體化平臺對算法結(jié)果進(jìn)行驗證。該平臺是集城軌列車牽引、制動、供電及信號多個子系統(tǒng)為一體的半實物仿真平臺,可用于多車運(yùn)行條件下的城軌列車供電系統(tǒng)、關(guān)鍵子部件、信號系統(tǒng)的一體化綜合仿真試驗。平臺采用線性二次調(diào)節(jié)器LQR進(jìn)行曲線跟蹤控制，效果如圖8所示?？梢钥闯?，該曲線與規(guī)劃曲線基本貼近，偏差較小。為了更合理地評估算法結(jié)果，表5和表6分別示出目前已實現(xiàn)的一種單站間節(jié)能算法以及ATO一體化優(yōu)化算法結(jié)果與公司現(xiàn)有ATO控車算法結(jié)果的全線路周轉(zhuǎn)的牽引能耗與運(yùn)行時間對比?？梢钥闯?，MILP算法在節(jié)省運(yùn)行時間27.6 s的基礎(chǔ)上還能保持14.7%的節(jié)能效果。相比較單站間定時節(jié)能優(yōu)化算法，用MILP算法可以節(jié)約更多的牽引能耗；同時，若增加線路運(yùn)行時間，則節(jié)能效果將會更好。圖9給出了路網(wǎng)車一體化平臺半實物仿真測試的界面圖，由此清晰地看出能耗、運(yùn)行時間等數(shù)據(jù)并判斷控制算法效果。

圖8 平陽-長沙火車南站間跟蹤控制曲線Fig. 8 Tracking control train trajectory between Pingyang and South Changsha railway stations

圖9 路網(wǎng)車一體化平臺跟蹤控制曲線界面Fig. 9 Interface of tracking control train trajectory on the integrated platform of road-network-train

表5 全線往返能耗結(jié)果對比Tab. 5 Comparison of energy consumption between up direction and down direction lines

表6 全線往返運(yùn)行時間結(jié)果對比Tab. 6 Comparison of running time between up direction and down direction lines

4 結(jié)語

本文針對城市軌道交通列車一體化節(jié)能運(yùn)行曲線優(yōu)化問題進(jìn)行研究，選取時間和能耗為狀態(tài)變量，牽引/制動力為控制變量，基于空間位置對模型進(jìn)行離散處理，建立了一種考慮冗余時間分配和單站間定時節(jié)能一體化優(yōu)化模型；通過PWA函數(shù)以及線性化等效法則，將原非線性模型轉(zhuǎn)換為MILP模型，并通過Matlab調(diào)用CPLEX進(jìn)行求解。基于長沙地鐵4號線數(shù)據(jù)設(shè)計仿真案例對模型進(jìn)行驗證。仿真結(jié)果表明，采用本文所提出的基于MILP的城市軌道交通列車一體化節(jié)能運(yùn)行曲線優(yōu)化模型可以達(dá)到16.5%的節(jié)能效果。由于該模型尚未考慮再生制動能對能耗計算的影響，下一步將對結(jié)合再生制動能的節(jié)能策略開展列車運(yùn)行仿真算法研究。