次表面偏折裂紋尖端力學(xué)行為的分布位錯(cuò)理論分析

張雪朋，李文俊，李楠，江曉禹

（西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031）

大多數(shù)情況下，材料斷裂是由于裂紋擴(kuò)展導(dǎo)致的，這是一種非常危險(xiǎn)的失效方式。裂紋在材料內(nèi)部或表面萌生之后發(fā)生擴(kuò)展，使得材料失效，甚至斷裂[1-2]。對(duì)于材料中的裂紋，其尖端部位最危險(xiǎn)。裂紋中的主要應(yīng)力集中在裂紋尖端[3]。材料的抗斷裂性和疲勞強(qiáng)度會(huì)受到裂紋幾何特征等方面的影響。當(dāng)裂紋的尺寸與材料的特征長(zhǎng)度相當(dāng)時(shí)，這種現(xiàn)象尤其明顯（如金屬材料中的晶粒尺寸，脆性材料中的微空隙或夾雜物）。它可以用來(lái)量化材料的斷裂強(qiáng)度[4]。

在外部受到載荷或材料內(nèi)部缺陷的影響下，裂紋擴(kuò)展偏離其原始方向并出現(xiàn)偏折。偏折裂紋在裂紋擴(kuò)展中經(jīng)常出現(xiàn)，許多學(xué)者研究了偏折裂紋的力學(xué)問(wèn)題[3]。G. R. MILLER[5]分析了表面壓載荷作用下水平次表面裂紋分支行為，其中包含埋置偏折裂紋。D. J.MUKAI[6]采用復(fù)雜變量二維彈性方程，分析了剛性圓柱壓頭下次表面偏折裂紋。H. G. BEOM 等[7]研究了不同各向異性材料在反平面變形作用下彎曲界面裂紋的漸近問(wèn)題。K. K. LO 研究了包含偏折裂紋在內(nèi)的非對(duì)稱(chēng)分支裂紋、對(duì)稱(chēng)分支裂紋和雙對(duì)稱(chēng)分支裂紋等問(wèn)題[8]。N. HALLB?CK 等人[9]分析了彈性半平面中存在多扭結(jié)裂紋的情況。XIE 等人[10]研究了在拉伸條件下裂紋偏折和分支的理論說(shuō)明。CHEN[11]采用權(quán)函數(shù)法估算了偏折裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子。LI 等人[12]研究了拉伸載荷條件下的單裂紋、邊扭結(jié)裂紋和雙扭結(jié)裂紋。JIN 等人[13]研究了在移動(dòng)赫茲作用下，用半無(wú)限平面內(nèi)的多偏折次表面裂紋模擬充液地下裂紋生長(zhǎng)規(guī)律的數(shù)值結(jié)果。JIN 等人[14]利用分布位錯(cuò)的方法，解決了含有多邊裂紋的彈性半平面的數(shù)值解。LI等人[15]采用分布位錯(cuò)，求解在拉伸條件下無(wú)限平面內(nèi)微裂紋與主裂紋長(zhǎng)度比對(duì)主裂紋擴(kuò)展的影響。D. A.Hills[16]和LI[17-18]分析了在均勻拉伸作用下半無(wú)限平面內(nèi)一個(gè)或多個(gè)角不連續(xù)的直段二維裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子，但是要求其裂紋必需保持全部張開(kāi)，且裂紋都是在特定的角度下求解的。分布位錯(cuò)法是解決裂紋問(wèn)題的一種有效方法，其核心是用連續(xù)分布的位錯(cuò)等價(jià)地替換裂紋[16]。

上述學(xué)者分別采用了復(fù)變函數(shù)法、權(quán)函數(shù)法以及分布位錯(cuò)法解決各種裂紋問(wèn)題，考慮了在無(wú)限平面內(nèi)、半無(wú)限平面內(nèi)、單個(gè)偏折裂紋、多重偏折裂紋、裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)、塑性區(qū)等問(wèn)題，多數(shù)研究是基于無(wú)限平面內(nèi)裂紋。但在實(shí)際應(yīng)用上不可能出現(xiàn)無(wú)限平面的情況，而在半無(wú)限平面內(nèi)，關(guān)于偏折裂紋的研究相對(duì)較少。本文考慮了半無(wú)限平面內(nèi)的埋入偏折裂紋在復(fù)雜載荷作用下裂紋尖端的力學(xué)性質(zhì)以及偏折裂紋的擴(kuò)展方向，對(duì)比裂紋長(zhǎng)度比、埋置深度、載荷比對(duì)裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子以及偏折裂紋擴(kuò)展方向的影響，為以后求解裂紋擴(kuò)展方向及路徑提供參考。

1 理論求解

1.1 疊加原理

利用分布位錯(cuò)方法和疊加原理可以將圖1 所示的裂紋轉(zhuǎn)化為兩個(gè)子問(wèn)題：（1）在一個(gè)半無(wú)限平面內(nèi)，沒(méi)有外載荷作用下，含有兩列位錯(cuò)的問(wèn)題；（2）只受均勻外載荷的平面應(yīng)力問(wèn)題[1]。通過(guò)疊加原理，將二者聯(lián)立，從而可求得其模型的應(yīng)力組合狀態(tài)：

對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解，將偏折裂紋上的兩列位錯(cuò)分別建立坐標(biāo)系x-o-y和x?-o?-y?，分別表示為“1”和“2”，并利用d和α來(lái)表示它們之間的未知關(guān)系，d表示主裂紋中點(diǎn)到半無(wú)限邊界的距離，α表示偏折角度。將α的正方向設(shè)置為逆時(shí)針。其示意圖見(jiàn)圖2。

1.2 建立位錯(cuò)密度積分方程

在半無(wú)限大平面內(nèi)，位于坐標(biāo)系x-o-y內(nèi)的位錯(cuò)產(chǎn)生的應(yīng)力場(chǎng)可以表示為[18-23]：

式中：μ表示剪切模量[18]；κ是 Kolosov 常數(shù)[24]，κ= 3 - 4ν為平面應(yīng)變狀態(tài)[24]，κ= (3-ν) / (1+ν)為平面應(yīng)力狀態(tài)[25-26]；bx和by是刃型位錯(cuò)博格斯矢量在x和y方向上的分量；Gijk表示影響函數(shù)，其中i表示博格斯矢量分量方向，j、k表示應(yīng)力分量方向[16,27]，其表達(dá)式見(jiàn)式（4）。位錯(cuò)列“1”處的位錯(cuò)在位錯(cuò)列“1”上產(chǎn)生的應(yīng)力見(jiàn)式（5）。

其中，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后的影響函數(shù)推導(dǎo)過(guò)程如下[16]：

令y? =0 ，可以得到位錯(cuò)列“1”處的位錯(cuò)在位錯(cuò)列“2”上產(chǎn)生的應(yīng)力，其公式為：

2 數(shù)值求解位錯(cuò)密度積分方程

將式（10）—（11）代入式(12)，建立積分方程，但積分方程較難求解，因此改用高斯切比雪夫求積法[19-20]來(lái)進(jìn)行數(shù)值求解。將積分區(qū)域[d-a,d+a]和[-b,b]無(wú)量綱化到[-1, 1]，其推導(dǎo)過(guò)程根據(jù)文獻(xiàn)[16]的推導(dǎo)方法：

其中N個(gè)離散積分點(diǎn)SI、和N-1 個(gè)相應(yīng)的配置點(diǎn)tk、可以從文獻(xiàn)[16]中得到，其具體情況如文獻(xiàn)[16]中情況一，主裂紋兩端都是奇異的，同理，偏折裂紋也是如此。故根據(jù)文獻(xiàn)[16]得到：

將偏折裂紋當(dāng)成是由幾段直裂紋組成的，只需保證拐點(diǎn)處的連續(xù)性即可，這樣的簡(jiǎn)化已經(jīng)被證明是合理的[21]。兩段的每一端都是奇異的，位錯(cuò)密度亦是，將Bi(s)當(dāng)作基本函數(shù)主裂紋ω(s)與主裂紋未知函數(shù)?(s)的乘積[22]，從文獻(xiàn)[16]中得到位錯(cuò)密度函數(shù)：

其離散化線性方程組為：

偏折裂紋的拐點(diǎn)處需要保證其位移的連續(xù)性，因此在x、y兩個(gè)方向上分別建立方程：

方程數(shù)的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)一致，通過(guò)計(jì)算軟件編寫(xiě)4N×4N矩陣方程組，求解4N個(gè)數(shù)值解。為了讓精度更加準(zhǔn)確，其中N=70 。相應(yīng)的參量由此可得。

所求解的?i(si)（i=x,y,x?,y?）可用于求解應(yīng)力強(qiáng)度因子，其求解方法可在參考文獻(xiàn)[16]中獲得，見(jiàn)公式（20）。

對(duì)于裂紋的擴(kuò)展方向，選取最大周向應(yīng)力判定。該方法可較好地判斷材料斷裂方向[23]。其原理是裂紋會(huì)向裂紋尖端周向拉應(yīng)力最大的方向擴(kuò)展[23,25]。裂紋的擴(kuò)展方向可以用應(yīng)力強(qiáng)度因子來(lái)進(jìn)行計(jì)算，其公式為：

為方便進(jìn)行集中處理以及更好地展示和分析，將文中所求的應(yīng)力強(qiáng)度因子用*K來(lái)無(wú)量綱化，并進(jìn)行歸一化處理：

3 結(jié)果驗(yàn)證

利用軟件ANSYS 建模，以此來(lái)驗(yàn)證其理論方法的正確性，有限元模型見(jiàn)圖3。將模型中復(fù)雜載荷簡(jiǎn)化為拉伸載荷，分別選取d/a=1.5、b/a=0.1 及d/a=1.5、α=30o，在拉伸作用下，不同角度以及不同長(zhǎng)度比下的理論數(shù)據(jù)與有限元模擬數(shù)據(jù)如圖4a—b 所示。在一定誤差下，對(duì)比數(shù)據(jù)相差無(wú)幾，模擬結(jié)果與理論結(jié)果計(jì)算誤差約為0.1%，故本文使用的分布位錯(cuò)結(jié)果可靠。

圖3 有限元模型Fig.3 Finite element model

圖4 模擬與理論數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.4 Comparison of simulation and theoretical data

分布位錯(cuò)的方法也可以用于多段偏折裂紋，只需要保持每?jī)啥沃g偏折拐角處位移的連續(xù)性，沿著分支I和分支I+1 的位錯(cuò)密度的值相等，同時(shí)保證每條裂紋均是張開(kāi)狀態(tài)，也就是在x、y兩個(gè)方向上分別建立方程：

4 結(jié)果與分析

4.1 埋置深度對(duì)其兩端 KII 和 KI 的影響

取裂紋長(zhǎng)度之比（b/a=0.1）以及載荷比（=1）為定值，在改變偏折裂紋埋置深度的情況下，裂紋兩端的KII和KI的變化如圖5 所示。

在裂紋長(zhǎng)度之比（b/a=0.1）以及載荷比（=1）不變的情況下，其應(yīng)力強(qiáng)度因子只受埋置深度的影響。由圖5 可知，裂紋兩端的KII和KI會(huì)隨著與主裂紋長(zhǎng)度之比（d/a）的增大而減小。由圖5a 可知，偏折裂紋段尖端KII( +b) 隨著偏折角的增加，先呈一定比例增加，達(dá)到峰值后開(kāi)始減小，其峰值在21o左右，此時(shí)裂紋最容易發(fā)生擴(kuò)展。如圖5b 所示，偏折裂紋尖端KI( +b) 在偏折角度33o左右，其值約為0，可以看出裂紋的埋置深度對(duì)其閉合角的影響并不大，若超過(guò)此值，應(yīng)考慮其閉合時(shí)對(duì)裂紋的影響。分別對(duì)比裂紋兩端的KII和KI，其中圖5c、d 的應(yīng)力強(qiáng)度因子均大于圖5a、b，說(shuō)明裂紋更容易向外部擴(kuò)展而形成表面裂紋。

圖5 裂紋埋置深度對(duì)歸一化 KII 和 KI 的影響Fig.5 The influence of crack embedding depth on normalized KII and KI

4.2 長(zhǎng)度比對(duì)其兩端 KII 和 KI 的影響

取裂紋埋置深度與主裂紋長(zhǎng)度之比（d/a=1.1）以及載荷比（=1）為定值，在改變主裂紋與偏折長(zhǎng)度大小的情況下，裂紋兩端的KII和KI的變化如圖6 所示。

在裂紋埋置深度與主裂紋長(zhǎng)度之比（d/a=1.1）以及載荷比（=1）不變的情況下，其應(yīng)力強(qiáng)度因子只受裂紋長(zhǎng)度之比（b/a）的影響。由圖6 可知，隨著b/a的增加，裂紋兩端KII和KI的值逐漸增加。由圖6a 可知，偏折裂紋段尖端KII( +b)隨著偏折角的增加，先呈一定比例增加，達(dá)到峰值后開(kāi)始減小，其峰值在16o左右，此時(shí)裂紋最容易發(fā)生擴(kuò)展。由圖6b可知，偏折裂紋尖端KI(+b)在偏折角度30o～33o處，其值約為0，若超過(guò)此值，應(yīng)考慮其閉合時(shí)對(duì)裂紋的影響。隨著偏折裂紋部分長(zhǎng)度的增加，其應(yīng)力強(qiáng)度因子KI( +b)接近于0 的角度逐漸變小。由此說(shuō)明，偏折裂紋的偏折角受裂紋長(zhǎng)度的影響較大。對(duì)比裂紋兩端KII和KI的變化，如圖6 所示，KII(-a)以及KI( -a)均大于KII( +b)和KI(+b)，說(shuō)明裂紋更容易向外部擴(kuò)展而形成表面裂紋。

圖6 裂紋長(zhǎng)度對(duì)歸一化 KII 和 KI 的影響Fig.6 The influence of crack length on normalized KII and KI

4.3 載荷比對(duì)裂紋兩端 KII 和 KI 的影響

取裂紋長(zhǎng)度之比（b/a=0.1）以及裂紋埋置深度與主裂紋長(zhǎng)度之比（d/a=1.1）為定值，在改變載荷比的情況下，左、右兩端KII和KI的變化曲線如圖7 所示。

在裂紋長(zhǎng)度之比（b/a=0.1）以及裂紋埋置深度與主裂紋長(zhǎng)度之比（d/a=1.1）不變的情況下，其KII和KI只受橫剪載荷比()的影響，兩段裂紋的KII和KI大小會(huì)有所不同。由圖7 可知，在條件不變的情況下，隨著載荷比的增大，應(yīng)力強(qiáng)度因子KII逐漸增大，應(yīng)力強(qiáng)度因子KI逐漸減小，與在只有拉伸情況下應(yīng)力強(qiáng)度因子KII和KI大小的變化曲線剛好相反，其原因在于，受到拉伸作用，增加剪切會(huì)減小應(yīng)力強(qiáng)度因子KI。觀察圖7a 可知，隨著偏折角以及載荷比()的增加，偏折段裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子KII( +b)逐漸增大，其值變化增量逐漸減小，且載荷比越大，裂紋越容易發(fā)生擴(kuò)展。觀察圖7b 可知，改變載荷比的大小，偏折紋閉合時(shí)的角度隨之有較大的變化，KI會(huì)隨著()的增大而逐漸減小。對(duì)比裂紋兩端KII和KI的變化，如圖7 所示，KII( -a)以及KI(-a)均大于KII( +b)和KI( +b)，說(shuō)明裂紋更容易向外部擴(kuò)展而形成表面裂紋。

圖7 載荷大小對(duì)歸一化 KII 和 KI 的影響Fig.7 The influence of load size on normalized KII and KI

4.4 裂紋埋置深度對(duì)裂紋擴(kuò)展方向的影響

取裂紋長(zhǎng)度之比（b/a=0.1）以及載荷比（=1）為定值，在改變裂紋埋置深度的情況下，裂紋左、右兩端擴(kuò)展方向的變化曲線如圖8a、b 所示。

在裂紋長(zhǎng)度之比（b/a=0.1）以及載荷比（=1）不變的情況下，其裂紋擴(kuò)展方向只受埋置深度的影響，并隨著偏折角度的改變而變化。圖8a 為偏折裂紋部分?jǐn)U展角度沿順時(shí)針走向，改變裂紋深度對(duì)其影響不大，其擴(kuò)展方向隨著裂紋偏折角度的增加而逐漸增加。圖8b 為主裂紋部分發(fā)生擴(kuò)展時(shí)的方向，改變裂紋深度會(huì)減小其擴(kuò)展方向角度，并且偏折角度增加，其擴(kuò)展角度也隨之增加。

圖8 裂紋埋置深度對(duì)裂紋擴(kuò)展方向的影響Fig.8 The influence of crack embedment depth on crack propagation direction: a)the extension angle of the deflection crack is clockwise , b)the direction of the main crack when it propagates

4.5 裂紋長(zhǎng)度對(duì)裂紋擴(kuò)展方向的影響

取裂紋埋置深度與主裂紋長(zhǎng)度之比（d/a=1.1）以及載荷比（=1）為定值，在改變主裂紋與偏折裂紋長(zhǎng)度比的情況下，裂紋兩端擴(kuò)展方向的變化曲線如圖9a、b 所示。

在裂紋埋置深度與主裂紋長(zhǎng)度之比（d/a=1.1）以及載荷比（=1）不變的情況下，裂紋裂紋擴(kuò)展方向只受埋置深度的影響，并隨著偏折角度的改變而變化。圖9a 為偏折裂紋部分?jǐn)U展角度沿順時(shí)針走向，在相同偏折角度的情況下，裂紋擴(kuò)展角度隨著長(zhǎng)度比的增大而增大，同時(shí)在相同長(zhǎng)度比的情況下，隨著偏折角度的增加，裂紋擴(kuò)展角度也隨之逐漸增大。圖9b 表示主裂紋部分發(fā)生擴(kuò)展時(shí)的方向，與圖9a類(lèi)似，在相同偏折角度的情況下，裂紋擴(kuò)展角度隨著長(zhǎng)度比的增大而增大，同時(shí)在相同長(zhǎng)度比的情況下，隨著偏折角度的增加，裂紋擴(kuò)展角度也隨之逐漸增大。

圖9 長(zhǎng)度對(duì)裂紋兩端擴(kuò)展的改變Fig.9 The change of length to the propagation of both ends of the crack: a)the extension angle of the deflection crack is clockwise, b)the direction of the main crack when it propagates

4.6 載荷比對(duì)裂紋擴(kuò)展方向的影響

取主裂紋與偏折裂紋長(zhǎng)度的比值（b/a=0.1）以及裂紋埋置深度與主裂紋長(zhǎng)度之比（d/a=1.1）為定值，計(jì)算在改變載荷比的情況下，裂紋兩端擴(kuò)展方向的變化，如圖10 所示。

在主裂紋與偏折裂紋長(zhǎng)度的比值（b/a=0.1）以及裂紋埋置深度與主裂紋長(zhǎng)度之比（d/a=1.1）不變的情況下，其裂紋擴(kuò)展方向只受載荷比（）的影響。擴(kuò)展方向會(huì)隨著偏折角度的改變而改變。裂紋的擴(kuò)展方向由公式(21)可知，KII是造成偏折的主要因素，而KI則不會(huì)。圖10a 表示偏折裂紋部分發(fā)生擴(kuò)展時(shí)的方向，其角度為順時(shí)針?lè)较?。由于載荷比不同，其擴(kuò)展方向的初始值會(huì)發(fā)生變化。與只有拉伸的情況下相比，增加載荷比時(shí)裂紋的初始擴(kuò)展方向及增加偏折角時(shí)裂紋的擴(kuò)展方向均更大。圖10b 表示主裂紋部分發(fā)生擴(kuò)展時(shí)的方向。在只有拉伸的情況下，隨著偏折角度的增加，其擴(kuò)展角度逐漸增大。在存在載荷比的作用下，裂紋擴(kuò)展角度也隨著載荷比的增大而增大，同時(shí)對(duì)于裂紋偏折角度的增加，裂紋擴(kuò)展角度逐漸減小到趨于平緩。

5 結(jié)論

1）由以上理論推導(dǎo)可知，此方法進(jìn)行推導(dǎo)裂紋是一種可靠且值得信賴的方法。同理可知，此方法可用于更加復(fù)雜的情況（多段偏折、微裂紋影響等）。

2）在復(fù)雜載荷作用下，埋置深度與主裂紋長(zhǎng)度比逐漸增大，其應(yīng)力強(qiáng)度因子的值逐漸減小，裂紋更容易在主裂紋方向朝表面擴(kuò)展，其主裂紋擴(kuò)展方向隨著深度的增加而逐漸減小，并隨著偏折角度的增加而逐漸增加。偏折裂紋部分的擴(kuò)展方向不受深度的影響，并隨著偏折角度的增加而逐漸增加，裂紋兩端的擴(kuò)展方向均是順時(shí)針。

3）在復(fù)雜載荷作用下，偏折裂紋與主裂紋長(zhǎng)度比逐漸增大，其應(yīng)力強(qiáng)度因子的值逐漸增大。裂紋更容易在主裂紋方向朝表面擴(kuò)展，其主裂紋擴(kuò)展角度隨著長(zhǎng)度比的增大而逐漸增大，并隨著偏折角度的增加而逐漸增加；其偏折裂紋部分的擴(kuò)展角度亦是如此，裂紋兩端的擴(kuò)展方向均是順時(shí)針。

4）在不同載荷比作用下，其應(yīng)力強(qiáng)度因子隨著載荷比的增大而逐漸增大。裂紋更容易在主裂紋方向朝表面擴(kuò)展。隨偏折角的增大，主裂紋的擴(kuò)展角會(huì)先減小，后漸進(jìn)不變；其偏折裂紋部分的擴(kuò)展角度，隨著載荷比的增加而逐漸增加，并隨著偏折角的增加而逐漸增大，裂紋兩端的擴(kuò)展方向均是順時(shí)針。