復合材料板拉/壓-剪復合載荷屈曲相關(guān)方程

陳向明，陳普會，孫俠生，王彬文，王喆，張輝，柴亞南

1.中國飛機強度研究所，西安 710065 2.南京航空航天大學 航空學院，南京 210016 3.中國航空研究院，北京 100029

復合材料以其出色的減重特性、獨特的材料可設(shè)計性和良好的工藝性，愈來愈多地被應(yīng)用于航空飛行器結(jié)構(gòu)中。但由于技術(shù)水平的不完善，設(shè)計準則的過于保守，復合材料結(jié)構(gòu)的減重效果并不理想，特別是對于壁板穩(wěn)定性結(jié)構(gòu)[1]。飛機機體大量采用的薄壁加筋壁板結(jié)構(gòu)通常具有很長的后屈曲承載歷程[2-8]，亞聲速飛機機翼金屬加筋壁板的蒙皮通常允許在極限載荷的50%左右發(fā)生局部屈曲[9]，但由于復合材料結(jié)構(gòu)分析能力的限制，目前的飛機復合材料加筋壁板結(jié)構(gòu)的設(shè)計準則基本上都不允許在限制載荷以下出現(xiàn)蒙皮屈曲。因而，解決復合材料壁板后屈曲設(shè)計技術(shù)問題是復合材料結(jié)構(gòu)進一步減重的有效途徑，并且在該技術(shù)領(lǐng)域已經(jīng)開展了十多年的專題研究[6-8]。在剪切或壓縮載荷下的復合材料加筋壁板屈曲與后屈曲試驗與分析已經(jīng)開展了很多研究[10-14]，并且取得了很好的效果。但飛機壁板結(jié)構(gòu)真實的受力狀態(tài)一般不會是單一的壓縮或剪切，而是復合載荷狀態(tài)。比如，機翼的上蒙皮主要承受壓剪復合載荷，而下蒙皮則主要承受拉剪復合載荷，機身壁板也同樣存在這樣的復合載荷狀態(tài)。壓剪復合載荷狀態(tài)無疑是對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性最嚴酷的載荷形式，將在兩者都低于其屈曲臨界載荷的情況下結(jié)構(gòu)發(fā)生屈曲。但拉伸載荷下結(jié)構(gòu)不僅不會發(fā)生屈曲，而且會抑制剪切屈曲的發(fā)生[15]。因此，歷年來，人們不斷在尋求一種相關(guān)方程來預測不同比例的復合載荷下的屈曲臨界值。在進行結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性設(shè)計時，相關(guān)方程是獲取復合載荷下結(jié)構(gòu)屈曲臨界載荷的快速有效方法，可用于壁板結(jié)構(gòu)的初步設(shè)計和快速優(yōu)化。此外，在飛機研制過程中，要進行大量的機身與翼面在復合載荷下的壁板驗證試驗[16]，但復合載荷試驗成本和周期成為飛機研制的主要制約因素之一，而通過一個可靠的相關(guān)方程則可以僅通過單向載荷試驗便可預測復合載荷下的壁板屈曲性能，可以有效減少試驗數(shù)量，降低驗證成本。

對于長各向同性板在單軸壓縮和剪切組合載荷作用下，Stowell和Schwartz[15]基于能量法，假設(shè)筋條對平板的約束與屈曲波長無關(guān)，壓縮和剪切載荷在每個半波長上做的功之和等于半波長上的平板和筋條的應(yīng)變能之和，依此近似推導了壓縮和剪切載荷的相互作用方程

(1)

式中：R為組合加載狀態(tài)的當前荷載與相應(yīng)荷載的臨界值之比。下標x和s分別表示軸向荷載和剪切荷載。Stowell和Schwartz[15]表示方程式(1)給出的結(jié)果與數(shù)值解誤差在1%以內(nèi)。

Timoshenko[17]，Way[18]和Johnson[19]等提供了長各向同性板在純平面內(nèi)彎曲和剪切載荷聯(lián)合作用下的屈曲數(shù)據(jù)。Timoshenko[17]和Way[18]給出了他們的相關(guān)方程用來描述2種載荷的相互作用。

(2)

式中：b為純面內(nèi)彎曲載荷。文獻[17-19]聲稱式(2)對于簡支和固支邊界條件都給出了可接受的精度。但在參考文獻[20]的研究中對這一說法進行了評估，發(fā)現(xiàn)式(2)對屈曲載荷給出了一個保守的估計，其精度在20%以內(nèi)。

以上2種相關(guān)方程式(1)和式(2)，是基于合理假設(shè)的嚴謹推導的結(jié)果，在適用范圍內(nèi)具有很好的普適性，在各向同性加筋壁板的復合載荷穩(wěn)定性計算中得到了廣泛的應(yīng)用，尤其是式(1)。但由于其基本假設(shè)的限制，只適用于各向同性板，所以后來的學者在此基礎(chǔ)上做了很多改進工作，使其更有效地應(yīng)用于各向異性板。由于公式(1)中兩項指數(shù)的變化會改變相關(guān)曲線的凸凹性，指數(shù)越大則相關(guān)曲線越向外凸出。因此后來的關(guān)于該公式的改進基本上都是對該指數(shù)的修正。

Weaver和Nemeth[20]通過對式(1)中剪切項指數(shù)的修正給出了適用于縱向邊緣簡支或固支的長正交異性板在組合載荷作用下的屈曲相互作用的計算公式。

(3)

(4)

式中：Dij為經(jīng)典層合板理論中的層合板彎曲剛度。β的取值范圍為0<β<3，其中β=1時為各向同性或準各向同性材料。式中對剪切項的指數(shù)的修正是利用可以表征材料各向異性的無量綱參數(shù)β，通過擬合Rayleigh-Ritz方法的計算結(jié)果而來。不同的各向異性材料具有不同的β值，以此來表征材料的各向異性對復合載荷下的屈曲相關(guān)性的影響。

Beerhorst等[21]研究了考慮邊界彈性支持的板條在受均勻壓縮和面內(nèi)剪切復合載荷下的工程分析方法。針對各向異性板對壓剪復合的屈曲載荷相關(guān)方程的剪切項指數(shù)進行了修正，給出了與Weaver和Nemeth[20]類似的相關(guān)方程式(5)，不同的各向異性鋪層具有不同的指數(shù)，修正后的計算方法相對誤差的帶寬從5.5%降低到1.5%，但該方法也無非是將剪切項的系數(shù)從線性擬合變?yōu)槎螖M合，由于缺乏壓剪復合的試驗結(jié)果并沒有進行驗證。

(5)

α=0.007β2+0.1β+1.9

(6)

此處β同公式(4)。

文獻[15-21]提出的各向同性或各向異性板在復合載荷作用下的相互作用關(guān)系方程都是基于試驗或數(shù)值結(jié)果的擬合得到，或在此基礎(chǔ)上進行的經(jīng)驗性修正，以期使得式(1)能夠適用于各向異性板。而Johns[22]認為針對各向同性板的相互作用式(1)也適用于正交各向異性板，并引用了參考文獻[23]第5節(jié)中的結(jié)果證實了這一點，至少對于壓縮和剪切組合載荷下是如此。王彬文等[24]通過構(gòu)建相關(guān)函數(shù)的方法[25-27]，給出了工程上普遍使用的壓剪復合屈曲相關(guān)方程(式(1))的另一種理論推導過程，從理論上證明了式(1)能夠適用于正交各向異性板，并將其擴展為可考慮拉伸載荷的軸向與剪切載荷的屈曲相關(guān)方程，但依然沒能解決傳統(tǒng)屈曲相關(guān)方程式(1)不適用于復合材料板(尤其是非均衡鋪層復合材料板)的問題。

本文針對復合材料板，利用軸向拉伸/壓縮和面內(nèi)剪切載荷構(gòu)建了一個相關(guān)函數(shù)，并通過冪級數(shù)展開成二次多項式，利用軸向壓縮和面內(nèi)剪切單軸試驗結(jié)果確定多項式的各項待定系數(shù)，構(gòu)建了復合載荷下的復合材料板屈曲相關(guān)方程，預測的屈曲相關(guān)曲線與有限元分析結(jié)合和壓剪復合試驗結(jié)果吻合良好。利用本文的研究方法和思路也可以很容易得到其他復合載荷下的相關(guān)方程。

1 屈曲相關(guān)方程構(gòu)建

引起板結(jié)構(gòu)屈曲的載荷主要有軸向壓縮和剪切2種形式，軸向拉伸雖然不能引起結(jié)構(gòu)的屈曲，但可以抑制剪切屈曲的發(fā)生，因此可以通過軸向的拉/壓載荷Nx和剪切載荷Nxy來構(gòu)建復合材料板的屈曲相關(guān)函數(shù)

Fb=Fb(Nx,Nxy)

(7)

將相關(guān)函數(shù)Fb展開成2種載荷分量(Nx,Nxy)的冪級數(shù)形式：

(8)

式中：…代表3次及3次以上高階項。

通常二次多項式已經(jīng)具有足夠的精度來擬合試驗數(shù)據(jù)[28]，因此式(8)可以截止至二次項，即

(9)

式中：A1，A2，B1，B2和C12為待定系數(shù)。當Fb<1時，表示結(jié)構(gòu)未出現(xiàn)屈曲，當Fb=1時，則表示結(jié)構(gòu)達到了起始屈曲臨界狀態(tài)。則屈曲相關(guān)方程可表示為

(10)

復合材料板不同于均質(zhì)各向異性板，不同方向的剪切具有不同的剪切屈曲載荷，并且隨著其不均衡性(+45°和-45°鋪層數(shù)量一樣為均衡鋪層)的增大而增大。因此，在式(10)中與剪切載荷Nxy一次項有關(guān)的系數(shù)不能忽略，以下討論其確定方法。

(11)

(12)

聯(lián)立式(11)與式(12)可得

(13)

(14)

在軸向載荷的單獨作用下，式(11)變成了一個一元二次方程：

(15)

根據(jù)板在軸向載荷作用下的物理機制，此一元二次方程只有一正一負的2個實數(shù)解，正解為拉伸載荷下的屈曲臨界載荷，而負解為壓縮載荷下的屈曲臨界載荷，且拉伸載荷下的屈曲臨界載荷為無窮大。根據(jù)偉達定理，方程的2個解滿足以下條件：

(16)

(17)

要使其中一個解為無窮大，則必然有

A2=0

(18)

(19)

至此，式(10)僅剩C12未確定。

由于拉伸載荷會抑制面內(nèi)剪切屈曲的發(fā)生，因此可以假設(shè)在一定比例r下的拉伸和剪切載荷作用下的板具有極大的屈曲載荷，設(shè)

Nx=rN*,Nxy=N*

(20)

將式(20)代入式(10)可得

f=rA1N*+B1N*+B2(N*)2+

rC12(N*)2-1=0

(21)

將N*定義為r的一個隱函數(shù)

N*=N*(r)

(22)

找到一個最佳的比例使N*達到極大值，可以作為一個隱函數(shù)的極值問題來求解。為了找到N*的極值，需要使N*相對于r的導數(shù)為0。

為求對r的導數(shù)，需要對式(21)中f對r求偏導，如式(23)所示：

(23)

由式(23)可得

(24)

則N*具有極值的必要條件為

rA1+B1+2(B2+2rC12)N*≠0

(25)

A1N*+C12(N*)2=0

(26)

由式(26)可得

(27)

因為，在比例為r的拉伸和剪切載荷作用下的板具有極大的屈曲載荷，可以近似為無窮大，因而有

C12=0

(28)

因此，壓剪復合載荷下的復合材料板屈曲相關(guān)方程為

(29)

(30)

此處η表征了復合材料板的均衡性，將其定義為均衡系數(shù)，當η=1時，則復合材料板為均衡鋪層板，則可以近似為均質(zhì)正交各向異性板，面內(nèi)正負剪切載荷下具有相同的屈曲臨界載荷，則復合材料板屈曲相關(guān)方程可以退化為式(1)。

2 相關(guān)方程驗證

2.1 有限元分析對比

為驗證相關(guān)方程的有效性，分別建立了4種不同鋪層的100 mm×100 mm和150 mm×300 mm 復合材料平板有限元模型，鋪層見表1，材料為M21E/IMA復合材料，材料的彈性模量和泊松比見表2，單層厚度為0.155 mm。

表2 材料屬性

2種尺寸的復合材料平板采用4節(jié)點殼單元模擬，網(wǎng)格密度為1 mm×1 mm，平板四邊約束面外位移，四邊施加均勻的剪流，上下邊施加均布壓縮載荷，有限元模型如圖1所示。采用有限元線性特征值法，對2種尺寸4種鋪層的復合材料層壓板在不同壓剪比下的屈曲模態(tài)和相應(yīng)的特征值進行了計算分析，3種典型的屈曲模態(tài)如圖2和圖3所示，100 mm×100 mm板1階模態(tài)為1個半波，150 mm×300 mm板1階模態(tài)為2個反對稱半波。表1給出了2種尺寸平板4種鋪層分別對應(yīng)的均衡系數(shù)η。

圖2 100 mm×100 mm復合材料平板屈曲模態(tài)

圖3 150 mm×300 mm復合材料平板屈曲模態(tài)

表1 復合材料平板鋪層

圖1 復合材料平板有限元模型

圖4對2種尺寸6種不同均衡系數(shù)的復合材料板在軸向拉伸/壓縮和剪切載荷作用下通過有限元特征值法模擬的屈曲相關(guān)曲線進行了對比?？梢钥闯霾煌庀禂?shù)的鋪層具有不同的壓剪相關(guān)曲線，當層壓板為±45°相同的均衡鋪層時均衡系數(shù)η≈1，由于±45°在鋪層中所處的位置不同，兩者相差一個單層厚度，因此即使是均衡鋪層也不會像各向同性板一樣η= 1。也可以從表1中看出相同鋪層2種尺寸板計算所得均衡系數(shù)略有差別。由于鋪層2為均衡鋪層，理論上正反剪屈曲應(yīng)相同，均衡系數(shù)約等于1，而100 mm×100 mm板的均衡系數(shù)為1.33，說明利用長寬比為1∶1的非均衡鋪層板邊界效應(yīng)較明顯，計算屈曲載荷存在一定誤差。

隨著η小于1或大于1，相關(guān)曲線向外或向內(nèi)，雖然當η小于1在正剪和壓縮載荷下的屈曲包線面積更大，具有更好的壓剪屈曲性能，但是負剪-壓縮象限的屈曲包線較均衡鋪層面積小得多。因而，均衡鋪層具有更好的綜合性能，被廣泛應(yīng)用于飛機復合材料結(jié)構(gòu)中，但對一些具有特殊需求的結(jié)構(gòu)，如氣動剪裁機翼，非均衡鋪層則具有更好的壓剪復合屈曲性能。

為驗證本文提出的屈曲相關(guān)方程的有效性，對表1中的2種尺寸4種不同鋪層的復合材料層壓板壓剪屈曲相關(guān)曲線分別利用傳統(tǒng)相關(guān)方程(式(1))和本文提出的相關(guān)方程進行了預測，并與利用有限元特征值法計算的壓剪屈曲相關(guān)曲線進行了對比，如圖5和圖6所示?？梢钥闯霰疚奶岢龅南嚓P(guān)方程預測結(jié)果與有限元計算結(jié)果具有很好的一致性，而傳統(tǒng)相關(guān)方程僅對均衡系數(shù)接近1的，即可以近似為正交各向異性的均衡鋪層具有較好的預測精度，因為傳統(tǒng)相關(guān)方程來源于各向同性的金屬結(jié)構(gòu)，并不適用于各向異性的復合材料，尤其是非均衡鋪層的復合材料板。

圖5 100 mm×100 mm平板軸向拉/壓-剪切載荷作用下的屈曲相關(guān)曲線對比

圖6 150 mm×300 mm平板軸向拉/壓-剪切載荷作用下的屈曲相關(guān)曲線對比

2.2 復合材料壁板試驗驗證

2.2.1 試驗件及試驗方法介紹

為驗證本文提出的復合材料板屈曲相關(guān)方程的有效性，利用4種不同尺寸的5筋條帽型復合材料加筋壁板進行了壓剪復合載荷下的屈曲試驗。由于本試驗加筋壁板蒙皮屈曲時長桁并沒有產(chǎn)生局部屈曲和壁板的整體屈曲，因而用于驗證本文提出的復合材料板屈曲相關(guān)方程是合理的。

加筋壁板試驗件由蒙皮、長桁、框、側(cè)邊加強片及灌注段構(gòu)成，如圖7所示，其中蒙皮、長桁和加強片材料為M21E/IMA復合材料，單層厚度為0.186 mm，材料相關(guān)性能參數(shù)見表2；P1～P4蒙皮、長桁、加強片的鋪層順序見表3，其鋪層的0°沿長桁方向。試驗件包含5根帽型長桁，2個機身框。具有2種不同的長桁間距，分別為190 mm 和210 mm。機身框由L形剪切角片和Z形浮框組成，框的材料為鋁合金(2024-T42)。長桁與蒙皮采用共膠接工藝成型，框與蒙皮、L形剪切角片與Z形浮框均通過螺栓連接。

表3 加筋壁板幾何尺寸與鋪層

為了保證試驗件不在加載或約束區(qū)域首先屈曲或破壞，對試驗件四邊均進行了加強。兩側(cè)邊通過共膠接工藝各連接了2塊寬為106 mm的加強片，加強片材料與蒙皮相同，鋪層見表2。試驗件的上下兩端(見圖7)為約束段，灌封在裝滿樹脂的鋼制盒中,灌封盒的材料為A3高強鋼，彈性模量為200 GPa，泊松比為0.3。

圖7 加筋壁板試驗件構(gòu)型

試驗在中國飛機強度研究所設(shè)計研發(fā)的壓剪復合載荷壁板試驗裝置[16,29]上進行，試驗裝置分壓縮加載組件和剪切加載組件，如圖8所示，2部分可以分別獨立施加壓縮和剪切載荷，又可以協(xié)調(diào)施加任意比例的壓縮和剪切復合荷載。剪切組件是一個自平衡的加載框架，在試驗件兩側(cè)邊通過均載器主動施加均勻分布的剪切載荷，而上下兩端則通過自平衡框架被動施加剪切載荷。試驗裝置的載荷施加原理詳見參考文獻[29]。

圖8 壓剪復合試驗裝置

加筋壁板通過角盒固定到壓剪復合加載裝置的底座上，即壁板整體采用三邊簡支、底邊固支的支持方式，但由于接觸摩擦力的存在可能會使加載邊產(chǎn)生額外的約束，但這都不會對本文方法的驗證造成影響。為防止試驗件在試驗過程中發(fā)生不必要的整體彎曲或失穩(wěn)，試驗過程中約束了多處試驗件的面外位移。首先用球頭頂桿約束上端灌封盒側(cè)向面外位移，防止壁板發(fā)生整體彎曲。加筋壁板浮框兩端連接有面外隨動支持裝置，可以在與蒙皮平行的平面內(nèi)自由移動，只約束框架端部的面外自由度，防止壁板發(fā)生整體失穩(wěn)。

2.2.2 屈曲相關(guān)方程驗證

對4種壁板進行了包括單軸壓縮和剪切在內(nèi)的5種壓剪比的屈曲試驗，結(jié)果顯示蒙皮發(fā)生局部屈曲，而帽型筋條并未產(chǎn)生屈曲。根據(jù)試驗所測應(yīng)變判斷屈曲模態(tài)為每個蒙皮格子產(chǎn)生5個半波，由于是帽型筋條，具有較強扭轉(zhuǎn)剛度，因而每個蒙皮格子長桁左右波形成對稱分布，試驗所得各構(gòu)型壁板的屈曲載荷見表4。

利用本文提出的屈曲相關(guān)方程預測的屈曲相關(guān)曲線與表4中的試驗結(jié)果進行的了對比，如圖9所示。對于P1和P4兩類構(gòu)型壁板，利用本文相關(guān)方程計算的屈曲相關(guān)曲線與試驗結(jié)果有很好的一致性。P2類型壁板壓剪比為535 kN:170 kN時預測結(jié)果大于試驗值，但很明顯該試驗值與其他比例的屈曲載荷不在一條單調(diào)曲線上，因此可以認為該差別主要由試驗誤差引起。對于P3構(gòu)型壁板，計算結(jié)果略有差異，但計算結(jié)果是偏保守。由于缺少拉伸試驗數(shù)據(jù)，無法進行拉伸與剪切復合載荷作用下的壁板屈曲相關(guān)方程的驗證，但壁板在軸向拉伸載荷下不會產(chǎn)生屈曲，且拉伸能夠提高剪切下的壁板屈曲載荷，這與圖9中相關(guān)方程預測的趨勢是一致的。

表4 不同壓剪比下的屈曲載荷

圖9 軸向拉/壓-剪切載荷作用下的屈曲相關(guān)曲線預測結(jié)果與試驗結(jié)果對比

3 結(jié) 論

本文利用單軸試驗測試的復合材料板屈曲載荷，基于數(shù)學原理和合理的假設(shè)，推導構(gòu)建了軸向拉伸/壓縮和面內(nèi)剪切復合載荷下的復合材料板屈曲相關(guān)方程，通過對比分析與試驗驗證，得出以下結(jié)論：

1)利用本文提出的相關(guān)方程預測的非均衡鋪層復合材料板在軸向拉伸/壓縮和剪切載荷作用下的屈曲相關(guān)曲線與通過有限元特征值法模擬的結(jié)果具有很好的一致性。

2)通過均衡鋪層復合材料加筋壁板的壓剪復合試驗進一步證明了本文提出的相關(guān)方程的有效性。

3)傳統(tǒng)相關(guān)方程不適用于復合材料板，尤其是非均衡鋪層復合材料板，鋪層非均衡性越大傳統(tǒng)相關(guān)方程預測誤差越大。本文從數(shù)學上理性地解決了傳統(tǒng)屈曲相關(guān)方程不適用于復合材料板的問題。

本文方法還可以用于其他組合載荷下的相關(guān)方程構(gòu)建。

致 謝

感謝中國商飛上海飛機設(shè)計研究院提供的壁板試驗件。