基于鄰域均勻抽樣Bootstrap方法的水泥土無側(cè)限抗壓強度演化規(guī)律研究

陳昌富，陳兆君，蔡 煥

（湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院/建筑安全與節(jié)能教育部重點實驗室，湖南 長沙 410082）

0 引 言

水泥土是水泥類膠結(jié)材料與土充分拌合后形成的固結(jié)體[1]，廣泛應(yīng)用于土木、水利等工程的加固和防滲堵漏。與混凝土和水泥砂漿相比，水泥土的固化過程復(fù)雜而緩慢，水泥土的強度在齡期超過28 d后仍然增長明顯，只有當(dāng)齡期超過3個月后，其增長速率才逐漸減緩[1-4]。因此，深入研究水泥土的強度隨齡期的變化規(guī)律（即演化規(guī)律），建立相應(yīng)的演化方程，對于水泥土加固工程的設(shè)計計算和施工進度控制具有重要的理論和工程實際意義。

巖土工程參數(shù)測試費時費力，獲得的數(shù)據(jù)樣本容量通常較小，極易陷于無法確定總體樣本的分布函數(shù)和進行較準確的參數(shù)估計的困境。20世紀 70年代發(fā)展起來的Bootstrap方法[5]（又稱為自助法）及其改進方法[6]，可較好地解決上述困境，因為它無需提前假設(shè)估計統(tǒng)計量抽樣分布形狀的概率特征，而且不需要計算抽樣分布函數(shù)的分析函數(shù)便可做統(tǒng)計推斷[7]。因此，近年來有學(xué)者[8-11]引入Bootstrap方法對小容量樣本巖土參數(shù)進行統(tǒng)計分析。

本文首先通過大量的文獻調(diào)研，深度挖掘水泥摻入比在10%～25%之間、齡期在3～90 d范圍內(nèi)的黏性土水泥土無側(cè)限抗壓強度（Unconfined Compressive Strength，UCS）試驗數(shù)據(jù)，獲得相應(yīng)的試驗數(shù)據(jù)樣本；再通過改進現(xiàn)有的 Bootstrap方法，提出一種新的鄰域均勻抽樣Bootstrap方法對水泥摻入比分別為10%、15%、20%和25%時水泥土UCS在不同齡期下的均值進行估計；然后采用雙曲線型演化模型，對不同水泥摻入比下水泥土UCS均值的演化規(guī)律進行回歸分析，建立出不同水泥摻入比下黏性土水泥土 UCS的演化方程；最后通過回歸分析得到水泥土 UCS演化方程參數(shù)隨水泥摻入比的變化關(guān)系，建立綜合水泥摻入比的黏性土水泥土UCS演化方程。

1 基于鄰域均勻抽樣Bootstrap法的水泥土無側(cè)限抗壓強度均值估計方法

Bootstrap方法是按放回抽樣方式，相繼且獨立地從來自總體的原始樣本中抽取大量新樣本（即自助樣本），再通過自助樣本對總體進行統(tǒng)計推斷的統(tǒng)計方法[5-6]，它實際上是把小樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計問題轉(zhuǎn)化為大樣本問題進行分析，可很好地解決小樣本試驗評估問題。

鑒于傳統(tǒng) Bootstrap法極易產(chǎn)生樣本點相同的自助樣本，進而導(dǎo)致統(tǒng)計分析結(jié)果偏離真實分布[6]，于是本文提出一種新的基于鄰域均勻抽樣Bootstrap方法，來估計水泥土UCS的均值，具體步驟如下。

式中：λ為抽樣鄰域控制參數(shù)，由下式確定：

式中：n為原始樣本容量；α為λ函數(shù)形態(tài)調(diào)整系數(shù)，可取α=2～3，本文取α=2。

圖1 階梯型概率密度函數(shù)Fig. 1 Stepped probability density function

（5）分別求出B個改進自助樣本的均值和標(biāo)準差

2 不同水泥摻入比下水泥土無側(cè)限抗壓強度的均值估計

2.1 原始樣本數(shù)據(jù)收集

影響水泥土力學(xué)性能的因素有水泥摻入比、齡期，以及水-溫-力耦合環(huán)境效應(yīng)等[13]，但最主要的影響因素還是水泥摻入比和齡期。由于工程中常用的水泥摻入比范圍為10%～25%[14]，故本文統(tǒng)計了48篇文獻[15-62]中水泥摻入比在 10%～25%范圍內(nèi)，齡期在 3～90 d范圍內(nèi)的黏性土水泥土無側(cè)限抗壓強度（UCS）試驗數(shù)據(jù)。文中提到的水泥土均為黏性土水泥土，后文不再提及。通過對試驗數(shù)據(jù)整理得到摻入比分別為10%、15%、20%、25%的水泥土在不同齡期下的UCS試驗結(jié)果散點圖，如圖2～5所示。

圖2 10%水泥摻入比下水泥土UCS散點圖Fig. 2 Scatter plot of UCS of cement-soil under 10% cement ratio

圖3 15%水泥摻入比下水泥土UCS散點圖Fig. 3 Scatter plot of UCS of cement-soil under 15% cement ratio

圖4 20%水泥摻入比下水泥土UCS散點圖Fig. 4 Scatter plot of UCS of cement-soil under 20% cement ratio

圖5 25%水泥摻入比下水泥土UCS散點圖Fig. 5 Scatter plot of UCS of cement-soil under 25% cement ratio

2.2 不同水泥摻入比下水泥土無側(cè)限抗壓強度（UCS）演化規(guī)律

不少國內(nèi)外學(xué)者基于試驗結(jié)果研究了水泥土UCS演化規(guī)律，并提出了相應(yīng)的演化模型。

按其函數(shù)形式大致可分為5種類型（如表1）：

表1 常見的水泥土無側(cè)限抗壓強度演化模型Table 1 Common unconfined compressive strength evolution models of cement-soil

指數(shù)函數(shù)型[15,63]、對數(shù)函數(shù)型[16-18,49,64-74]、冪函數(shù)型[19-24,75-77]、雙曲線函數(shù)型[25-26,78]和組合函數(shù)型[79-80]。其中，雙曲函數(shù)演化模型形式簡單，在原理上能真實地反映全齡期下水泥土UCS的演化規(guī)律：即由它計算出的水泥土UCS值在齡期為0 d時為 0，而當(dāng)齡期趨于無限大時則收斂于一定值。其他演化模型雖然在一定范圍內(nèi)回歸效果較好，但在原理上都存在缺陷，比如，對數(shù)函數(shù)模型在齡期為0 d時水泥土UCS計算值為負無窮大，而冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)模型在齡期趨于無限大時水泥土 UCS計算值卻趨向于正無窮大。因此，本文選用雙曲線型演化模型來建立水泥土UCS的演化方程。

對收集到的所有原始樣本（見圖 2～5），采用本文提出的鄰域均勻抽樣 Bootstrap方法對水泥土UCS的均值進行估計，并基于MATLAB平臺編制了相應(yīng)的計算程序。

為了提高建模精度，將雙曲函數(shù)模型：

轉(zhuǎn)為下式形式：

再將每個摻入比下各齡期的水泥土 UCS均值估計值按照式（8）形式整理數(shù)據(jù)，通過回歸分析計算，就可得到T/qu與T的關(guān)系式（如圖6）及相應(yīng)的系數(shù)a、b值。然后將回歸得到的系數(shù)a、b值代入式（7），可得到各個單一的水泥摻入比下水泥土無側(cè)限抗壓強度（UCS）演化規(guī)律（圖7）和演化方程（表2）。

圖6 T/qu-T回歸曲線Fig. 6 Regression curve of T/qu-T relationship

表2 各單一水泥摻入比下水泥土UCS演化方程Table 2 Evolution equations of UCS of clay cement-soil under each cement ratio

2.3 綜合摻入比的水泥土無側(cè)限抗壓強度（UCS）演化方程

由圖7和表2可知，隨著水泥摻入比aw的提高，水泥土無側(cè)限抗壓強度的均值增大，而雙曲線函數(shù)型演化方程中的回歸系數(shù)a、b則隨之減小，如圖8和圖9所示。

圖7 各單一水泥摻入比下水泥土UCS演化規(guī)律Fig. 7 Evolution law of UCS of cement-soil under each single cement ratio

采用非線性最小二乘法對各摻入比下演化方程中回歸系數(shù)a、b與水泥摻入比的關(guān)系進行回歸分析，得如下回歸公式：

式中：aw為水泥摻入比。

相應(yīng)的回歸曲線如圖8和圖9所示。

圖8 回歸系數(shù)a與水泥摻入比關(guān)系Fig. 8 Fitting curve of relationship between fitting parameter a and cement ratio

圖9 回歸系數(shù)b與水泥摻入比關(guān)系Fig. 9 Fitting curve of relationship between fitting parameter b and cement ratio

將式（9）代入式（7），得到綜合水泥摻入比的水泥土無側(cè)限抗壓強度（UCS）演化方程為：

將由式（10）計算出的綜合水泥摻入比水泥土UCS演化曲線、各單一水泥摻入比下水泥土 UCS演化曲線和基于鄰域均勻抽樣 Bootstrap法得出的均值點均繪于圖10中，對比分析可以發(fā)現(xiàn)，綜合水泥摻入比水泥土 UCS演化方程的預(yù)測精度高，說明本文建立的演化方程可靠。

圖10 單一和綜合水泥摻入比的水泥土UCS演化方程曲線與估計均值點對比Fig. 10 Comparison between UCS evolution equation curve and estimated mean value of clay cement-soil with single and comprehensive cement ratio

根據(jù)前文研究結(jié)果，并與已有研究結(jié)果進行對比分析，可以得出以下結(jié)論：

（1）本文基于數(shù)據(jù)挖掘和非參數(shù)Bootstrap方法，回歸得到了水泥土無側(cè)限抗壓強度（UCS）雙曲線型演化方程，并分析確定出方程參數(shù)a和b的合理取值范圍為：a=3.0～9.0、b=0.2～0.4，當(dāng)水泥摻入比較大時，a和b取較小值；反之，取較大值。

（2）本文建立的演化方程僅適合于水泥摻入比在10%～25%范圍內(nèi)、齡期在0～90 d范圍內(nèi)的水泥土UCS值的估計。

（3）與其他學(xué)者根據(jù)各自的試驗結(jié)果回歸得出的演化方程相比，本文收集的試驗數(shù)據(jù)更廣泛，數(shù)據(jù)量更大，因此，本文建立的黏性土水泥土無側(cè)限抗壓強度（UCS）演化方程具有更好的適應(yīng)性。

3 結(jié) 論

（1）本文通過挖掘文獻數(shù)據(jù)，獲得了水泥摻入比分別為10%、15%、20%和25%時的黏性土水泥土，在其齡期為3、7、14、28、60和90 d時的無側(cè)限抗壓強度（UCS）試驗數(shù)據(jù)樣本。

（2）提出了一種基于鄰域均勻抽樣的Bootstrap方法，基于該法統(tǒng)計分析得到了不同水泥摻入比下黏性土水泥土在不同齡期時的無側(cè)限抗壓強度（UCS）均值。

（3）基于雙曲線型演化模型，分別建立了各個單一水泥摻入比下以及綜合水泥摻入比下黏性土水泥土無側(cè)限抗壓強度（UCS）的演化方程。

（4）本文研究結(jié)果表明，建立的基于雙曲線函數(shù)型黏性土水泥土UCS演化方程中參數(shù)a、b建議取值為：a=3.0～9.0，b=0.2～0.4，它們在水泥摻入比較大時取較小值，反之取較大值。