夏普比率：估算方法、適用性與實(shí)證分析

林紅梅，杜金艷，張少東

（上海對外經(jīng)貿(mào)大學(xué)統(tǒng)計與信息學(xué)院，上海 201620）

一、引言

在經(jīng)濟(jì)全球化深入發(fā)展的今天，中國證券市場作為一個新興證券市場，雖然起步較晚，但成長迅速，目前已經(jīng)取得了舉世矚目的成就，它在促進(jìn)國有企業(yè)改革、推動我國經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)調(diào)整和技術(shù)進(jìn)步方面發(fā)揮了重要作用。證券投資基金是市場上重要的投資渠道和理財產(chǎn)品，投資者通過將資金同時交給基金管理公司中的基金經(jīng)理進(jìn)行管理達(dá)到分散投資風(fēng)險和提高收益的目的。隨著人們投資意識的增強(qiáng)，越來越多的投資者傾向于將可自由支配的資金用于投資股票和基金，以期快速獲得更高收益。證券市場為了滿足不同消費(fèi)者的需求，大幅增長基金規(guī)模和不斷增加基金種類。截至2021 年9 月，全市場公募基金產(chǎn)品共有8 866 只，基金管理公司有151 家，對應(yīng)資產(chǎn)凈值合計為23.90 萬億元，較2019 年末的19.89 萬億元增長了4 萬多億元，由此可見基金業(yè)發(fā)展迅猛。目前，中國的證券投資基金已成為股票市場中最有實(shí)力的機(jī)構(gòu)投資者，已步入以基金為代表的機(jī)構(gòu)化投資時代。但應(yīng)當(dāng)注意，我國股票、期貨市場的投資者以散戶為主，大多缺乏專業(yè)投資知識和市場投資經(jīng)驗(yàn)，且證券投資基金的各種法規(guī)不健全，再加上證券市場會同時受到經(jīng)濟(jì)周期、國家政策、人為操縱、市場內(nèi)部因素、通貨膨脹、投資者情緒等多種因素的影響，導(dǎo)致投資者難以準(zhǔn)確把握未來市場變化的內(nèi)在規(guī)律而進(jìn)行盲目投資，增加了投資風(fēng)險。那么，如何從不斷變動的金融市場中挑選出優(yōu)秀的投資組合就成為了投資者重點(diǎn)關(guān)注的問題，為此，如何利用科學(xué)的指標(biāo)對基金績效做出客觀合理評價進(jìn)而引導(dǎo)投資者進(jìn)行有效投資就成為了學(xué)者重點(diǎn)研究的問題。為了在投資中給投資者提供更專業(yè)的指導(dǎo)，目前金融研究工作者針對基金的業(yè)績評價問題、選股與擇時能力、業(yè)績持續(xù)性等方面展開了進(jìn)一步研究，研究發(fā)現(xiàn)市場中存在低波動率異象，即波動率低的投資組合在長期投資中會比波動率高的投資組合獲得更高收益，這與馬科維茨組合理論中波動率越高則收益率越高的理論相違背。當(dāng)投資者獲得證券市場知識的普及后，理性的投資者會意識到面對眾多基金產(chǎn)品僅用收益來衡量基金業(yè)績是不全面的，只關(guān)注高收益而忽視風(fēng)險對投資的影響會導(dǎo)致投資決策錯誤，可以通過選擇不同的投資組合來分散風(fēng)險，得到收益最大化和風(fēng)險最小化的投資組合，因此使用風(fēng)險對收益進(jìn)行調(diào)整是基金業(yè)績評價的重要轉(zhuǎn)變。特雷諾比率（Treynor ratio）、詹森指數(shù)（Jensen index）和夏普比率（Sharpe ratio）是基于均值-方差模型調(diào)整的收益指標(biāo)，可以對投資績效做出有效評價。夏普比率作為評價基金收益和風(fēng)險的經(jīng)典三大指標(biāo)之一，反映了投資組合總體波動獲得的風(fēng)險補(bǔ)償，能夠?qū)ν顿Y組合進(jìn)行資源配置和績效評判，從而提供有效的決策方案，規(guī)避投資風(fēng)險，這對維護(hù)證券交易市場穩(wěn)定和促進(jìn)經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展有重要指導(dǎo)意義。

二、文獻(xiàn)綜述

Markowitz（1952）[1]將概率論和線性代數(shù)方法應(yīng)用于證券投資組合研究，建立了均值-方差投資組合模型，提高了投資者在投資時要同時關(guān)注收益和風(fēng)險兩個指標(biāo)的思想，其中投資收益用投資回報的期望值表示，投資組合收益的風(fēng)險用方差表示。Markowitz 還提出，投資者在預(yù)期收益相同時要選擇風(fēng)險承擔(dān)小的投資，在承擔(dān)風(fēng)險相同時要選擇預(yù)期收益高的投資，這種思想為現(xiàn)代西方證券投資理論奠定了基礎(chǔ)。同年，國外學(xué)者Roy（1952）[2]首次提出使用風(fēng)險報酬指標(biāo)評價投資組合的表現(xiàn)，結(jié)果顯示具有高回報率投資組合的排名更好。之后，Sharpe（1994）[3]簡化了Markowitz 的均值-方差模型，在資本資產(chǎn)定價模型（CAPM）的基礎(chǔ)上提出了夏普比率，其以資本市場線為評價基點(diǎn)，當(dāng)投資組合的夏普比率大于市場基準(zhǔn)組合的夏普比率時，該投資組合就位于資本市場線之上，表現(xiàn)好于市場，反之則該投資組合位于資本市場線之下，表現(xiàn)劣于市場。夏普比率是風(fēng)險調(diào)整后的收益率，能夠同時衡量投資組合的收益與風(fēng)險，已在金融領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，Sharpe 也因此獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。夏普比率的基本思想為，當(dāng)收益相近時選取風(fēng)險水平較小的基金，當(dāng)風(fēng)險水平相近時選取收益較高的基金，這可以幫助投資者跳出高收益必然要承擔(dān)高風(fēng)險的誤區(qū)，由此解決了基金在不同風(fēng)險和收益率情況下績效難以排名的問題。夏普比率的計算方法為，用基金凈值增長率的平均值減去無風(fēng)險利率再除以投資組合收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，代表單位總風(fēng)險上的超額收益，反映了單位風(fēng)險內(nèi)基金凈值增長率超過無風(fēng)險利率的程度。根據(jù)定義，傳統(tǒng)夏普比率的計算公式為：

其中，SR 為投資組合的夏普比率；μ 為投資組合的預(yù)期收益率；Rf為無風(fēng)險利率，通常假設(shè)為常數(shù)；σ 為投資組合收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，為投資組合總風(fēng)險的數(shù)學(xué)度量，同時考慮了系統(tǒng)風(fēng)險和非系統(tǒng)風(fēng)險。從公式（1）可以看出：當(dāng)SR 大于1 時，超額收益大于風(fēng)險；當(dāng)SR 小于1 時，超額收益小于風(fēng)險；當(dāng)SR等于0 時，超額收益為0；當(dāng)SR 小于0 時，投資后平均凈值增長率低于無風(fēng)險利率，表示投資是無意義的。在使用夏普比率時需要注意：單只基金夏普比率值的大小并無實(shí)際意義，需要在同類型基金中進(jìn)行比較才有意義，基金的夏普比率值越大，在單位風(fēng)險內(nèi)獲得的超額收益也越大，投資價值越高。

夏普比率的適用性很好，也在研究中得到了進(jìn)一步發(fā)展與應(yīng)用。Whitelaw（1994）[4]將夏普比率加入到了時間序列中并首次提出了時變夏普率（Timevarying sharpe ratio），與夏普比率相類似，都表示單位風(fēng)險的超額收益。但是，時變夏普比率的收益率與方差關(guān)系是通過回歸方法得到，因此呈現(xiàn)出隨時間而改變的特性，可以根據(jù)其變動趨勢進(jìn)行有效擇時，也可以對市場的漲跌方向做出有效判斷。目前學(xué)者們用滾動回歸模型結(jié)合ARMA 模型計算時變夏普比率，證明了時變夏普比率對買賣時機(jī)有一定的預(yù)測能力，能幫助投資者做出擇時策略。Vinod and Morey（1999）[5]研究了夏普比率的性質(zhì)，認(rèn)為夏普比率在小樣本分布下是非正態(tài)的，此時利用超額收益除以標(biāo)準(zhǔn)差的方法是有偏差的。由于夏普比率的抽樣分布和實(shí)現(xiàn)漸進(jìn)分布的樣本大小難以確定，因此無法在夏普指數(shù)點(diǎn)估計值中生成置信區(qū)間和進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。為解決計算夏普比率存在的抽樣誤差，Vinod and Morey（1999）[5]利用自助法（Bootstrapping Methodology）從原始收益率中重新抽取樣本，并用再生樣本估計風(fēng)險，提出了一個新的包含估計風(fēng)險的復(fù)夏普比率（Double Sharpe ratio），這是對夏普比率的一個改進(jìn)，它可以解釋組合風(fēng)險和估計風(fēng)險，且利用自助法計算出的夏普比率總是略高于傳統(tǒng)夏普比率的點(diǎn)估計。當(dāng)兩個不同的投資組合有相似的夏普比率點(diǎn)估計時，可以利用自助法計算得到估計風(fēng)險，從而選擇估計風(fēng)險較小的投資組合。Vinod and Morey（1999）[5]利用復(fù)夏普比率在實(shí)證分析中發(fā)現(xiàn)，30 只最大的成長型共同基金的夏普比率和雙夏普比率的排名有很大不同。余潤等（2003）[6]通過對復(fù)夏普比率和夏普比率進(jìn)行比較說明了復(fù)夏普比率的統(tǒng)計優(yōu)越性，驗(yàn)證了其在實(shí)證中的科學(xué)性和可行性。孫靜和邱菀華（2003）[7]對傳統(tǒng)夏普比率進(jìn)行了推廣，提出了用于投資基金績效評價的新決策準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則放寬了對自相關(guān)的要求，可以有效解決投資決策中的相關(guān)性問題，雖然其比傳統(tǒng)夏普比率的適用范圍更廣，但該準(zhǔn)則依然會受到均值-方差模型的限制，當(dāng)收益率序列呈非正態(tài)分布時是不適用的。高全勝（2005）[8]通過對傳統(tǒng)夏普比率進(jìn)行深度理解重新對夏普比率進(jìn)行了結(jié)構(gòu)性解釋，認(rèn)為夏普比率計算公式中的分母應(yīng)與分子部分保持一致，應(yīng)為投資組合風(fēng)險與無風(fēng)險資產(chǎn)風(fēng)險之差的標(biāo)準(zhǔn)差，對相容風(fēng)險測度下和純粹風(fēng)險資產(chǎn)組合下的夏普比率進(jìn)行了推廣，并提出了VaR （Value at Risk） 和CVaR（conditional value at risk）意義下的結(jié)構(gòu)夏普比率，且通過實(shí)證研究表明結(jié)構(gòu)夏普比率可以充分考慮投資組合結(jié)構(gòu)對風(fēng)險的影響。宋紅雨（2006）[9]提出，以市場指數(shù)為基準(zhǔn)用超額收益的標(biāo)準(zhǔn)差作為指數(shù)化投資的跟蹤誤差可得到信息比率，同時指出夏普比率并非越大越好，若基金相對于基準(zhǔn)為負(fù)，則會導(dǎo)致夏普比率為負(fù)值，此時就需要對其進(jìn)行修正后再進(jìn)行比較排名。目前夏普比率不僅被用于基金績效評估，還在多個領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。張海英（2008）[10]基于經(jīng)濟(jì)學(xué)中投資組合理論的相關(guān)內(nèi)容，提出了一種基于夏普比率的信息檢索系統(tǒng)性能評價方法，將信息檢索中的查全率和查準(zhǔn)率類比為經(jīng)濟(jì)學(xué)中的收益和風(fēng)險，該評價方法有利于信息檢索系統(tǒng)的開發(fā)和改進(jìn)。黃文強(qiáng)（2017）[11]以三年內(nèi)數(shù)據(jù)為標(biāo)準(zhǔn)計算了夏普比率，研究了債券市場各投資品種在買入持有策略下的夏普比率及其變化趨勢，得出利率債以及中等級、高等級信用債投資在短久期品種中具有更高的夏普比率和更好的投資績效，信用債的等級越低夏普比率值越高，由此提出了在債券市場投資時如何構(gòu)建具有更高夏普比率投資組合的策略。葉志強(qiáng)等（2010）[12]采用夏普比率和BDSS 模型從安全性、盈利性和流動性三個方面分析了我國企業(yè)債券市場和股票市場之間的關(guān)系，探究了企業(yè)債券市場不活躍的原因。鄧洪武等（2021）[13]針對提高深度學(xué)習(xí)模型的泛化能力提出了一種基于時不變穩(wěn)定性和夏普比率的深度學(xué)習(xí)模型泛化能力優(yōu)化方法，過程中可以利用夏普比率和注意力機(jī)制對模型中間輸出的分布進(jìn)行收益分析和組合優(yōu)化：首先利用Wasserstein 距離找到每個特征與最優(yōu)表達(dá)之間的最優(yōu)傳輸路徑，之后基于夏普比率的選擇性池化與連接思想選擇性構(gòu)建神經(jīng)元聚合結(jié)構(gòu)的最優(yōu)資產(chǎn)組合，這種優(yōu)化方法能夠降低模型泛化優(yōu)化過程中對于訓(xùn)練集規(guī)模和算力的要求，可以有效提高訓(xùn)練效率。呂之安和李少育（2021）[14]首次從企業(yè)投資的風(fēng)險-收益角度出發(fā)對影響企業(yè)夏普比率的因素進(jìn)行了研究，通過構(gòu)建夏普比率衡量了企業(yè)投資效率和資產(chǎn)配置的有效性。王一如和韋宏耀（2021）[15]用夏普比率衡量了家庭資產(chǎn)配置效率，并運(yùn)用Tobit 模型探究了數(shù)字金融對家庭資產(chǎn)配置效率的影響。

雖然傳統(tǒng)夏普比率的計算方法比較簡便且易于理解，但隨著在實(shí)踐中的頻繁使用，人們認(rèn)識到夏普比率本身存在一定的缺陷和限制條件，例如：夏普比率是一個點(diǎn)估計值，會受到不同統(tǒng)計特征樣本量的影響；均值-方差模型隱含的假設(shè)為收益率序列需服從正態(tài)分布，如此才可用股票收益率的均值和方差來衡量股票的收益和風(fēng)險，然而金融時間序列通常不滿足正態(tài)分布且方差具有時變性；在對沖基金中盲目使用夏普比率會忽略大量的極端風(fēng)險；利用標(biāo)準(zhǔn)差衡量風(fēng)險忽視了收益率的高階矩信息，且對時間序列的要求是平穩(wěn)的；夏普比率容易受人為操縱而創(chuàng)造出高左尾風(fēng)險分布的收益率序列，在這種情況下會產(chǎn)生“虛高”夏普比率，這樣利用夏普比率評價投資組合業(yè)績的結(jié)果會失去意義。丁庭棟和李富軍（2011）[16]基于這些問題總結(jié)了國內(nèi)外學(xué)者對夏普比率進(jìn)行的修正與調(diào)整方法，并介紹了不同版本的夏普比率。黃金波等（2018）[17]指出目前對傳統(tǒng)夏普比率的修正思路主要分為兩個方面：一方面，放松收益率需服從正態(tài)分布的假設(shè)并尋找更合適的分布函數(shù)，如Laplace 分布、Levy Tempered Stable 分布、Skewed-t 分布；另一方面，尋找符合尖峰厚尾和有偏性的其他風(fēng)險度量指標(biāo)代替標(biāo)準(zhǔn)差。學(xué)者認(rèn)為投資者通常更關(guān)心下跌的風(fēng)險，Dowd（2000）[18]證明了利用風(fēng)險價值衡量風(fēng)險的優(yōu)勢，其用下限風(fēng)險（Downside Deviation）取代夏普比率中的標(biāo)準(zhǔn)差，由此得到了修正的廣義夏普比率，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)廣義夏普比率對基金績效的評估結(jié)果要優(yōu)于傳統(tǒng)夏普比率。施炳寬（2018）[19]提出，基于VAR 的修正夏普比率和基于預(yù)期損失（Expected Shortfall，ES）修正的夏普比率可以彌補(bǔ)用標(biāo)準(zhǔn)差衡量風(fēng)險的不足。宋光輝等（2013）[20]和李雪（2017）[21]利用多重分形波動測度指標(biāo)代替標(biāo)準(zhǔn)差衡量風(fēng)險對傳統(tǒng)夏普比率進(jìn)行了修正，并證明了基于多重分形波動測度指標(biāo)的夏普比率能夠提高評估的準(zhǔn)確性。楊愛軍和孟德鋒（2012）[22]研究發(fā)現(xiàn)，基于傳統(tǒng)夏普比率和考慮收益率高階矩的廣義夏普比率的排名基本一致，表明傳統(tǒng)夏普比率在評價基金績效時仍能發(fā)揮重大作用。余湄等（2014）[23]提出了夏普概率值，即在收益率滿足非正態(tài)分布時計算得到的夏普比率高于給定基準(zhǔn)值的概率，它可以篩選出夏普比率“虛高”的投資組合和拒絕夏普比率存在“虛高”原假設(shè)所需要的最小樣本量，進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，延長樣本區(qū)間或提高抽樣頻率能降低收益率在非正態(tài)分布下夏普比率存在的“虛高”現(xiàn)象。Tajdini and Mehrara（2019）[24]采用條件標(biāo)準(zhǔn)差代替無條件標(biāo)準(zhǔn)差，為了克服傳統(tǒng)夏普比率引入的其他缺點(diǎn)，采用雙面均衡條件夏普比率（Double-sided balanced conditional Sharpe ratio）解決了盛衰周期的時間不對稱問題，這可以使投資者無論在繁榮時期還是衰退時期都能實(shí)現(xiàn)持續(xù)穩(wěn)定的利潤。

綜上所述，雖然傳統(tǒng)夏普比率在使用時會有一些限制條件，但在實(shí)際應(yīng)用中能有效反映基金分散風(fēng)險的能力，能夠?qū)ν顿Y組合績效做出有效的理論解釋并解決資產(chǎn)最優(yōu)配置問題。而且，在夏普比率基礎(chǔ)上發(fā)展出的不同版本夏普比率指標(biāo)在實(shí)際應(yīng)用中也能作為基金績效評價方法，但不同版本的夏普比率與傳統(tǒng)夏普比率相比缺乏一定的金融理論基礎(chǔ)?；诖?，找到準(zhǔn)確計算夏普比率函數(shù)的方法就成為了學(xué)者們不斷研究的對象。目前國內(nèi)外學(xué)者通過提出不同收益率序列的假設(shè)條件來不斷修正和完善計算方法，并使用參數(shù)法、非參數(shù)法、時間序列分析法、交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers）算法等多種方法對其展開研究，得到了更為準(zhǔn)確的夏普比率估計值。本文將在之前學(xué)者研究的基礎(chǔ)上對夏普比率指標(biāo)以及夏普比率函數(shù)的計算方法進(jìn)行研究綜述，以了解夏普比率的研究現(xiàn)狀。

三、夏普比率計算方法

通過查閱文獻(xiàn)，本文對現(xiàn)有計算夏普比率函數(shù)的主要方法進(jìn)行綜述，主要分為間接法和直接法。因夏普比率是超額收益與投資組合波動率的比值，若采用間接方法則問題轉(zhuǎn)化為分別求解收益率序列的均值和標(biāo)準(zhǔn)差后再進(jìn)行比值來計算得到夏普比率函數(shù)，若采用直接法則問題轉(zhuǎn)化為將收益率序列均值和方差的比值作為一個整體來直接計算得到夏普比率函數(shù)。目前計算均值和方差的方法有很多，其中最簡單的為矩估計法，具體是利用樣本一階矩來估計總體期望，利用二階樣本中心距來估計方差，即利用歷史收益率序列數(shù)據(jù)分別估計總體的均值和方差（Lo，2002）[25]。隨著異方差非參數(shù)回歸模型和非參數(shù)方法的引入，可以計算出收益率序列在異方差情況下的條件均值函數(shù)和條件方差函數(shù)（Fan and Gijbels，1996）[26]。Liu and Chen（2020）[27]提出，對對數(shù)收益率序列構(gòu)建ARMA-GARCH 模型可以分別對超額收益的均值和方差進(jìn)行預(yù)測，該方法和上述方法都是通過間接方法計算夏普比率。但隨著學(xué)者的進(jìn)一步研究，發(fā)現(xiàn)可以直接將均值和方差的比值作為整體進(jìn)行估計。Kim et al.（2018）[28]利用異方差非參數(shù)回歸模型的極大似然估計法將條件均值和條件方差的比值作為一個整體，重新參數(shù)化后將不易求解的非凸夏普比率函數(shù)轉(zhuǎn)化為等價的凸函數(shù), 并證明了其定義域也是凸的，之后利用多項(xiàng)式樣條法計算了夏普比率函數(shù)。Lin et al.（2021）[29]進(jìn)一步研究了異方差非參數(shù)回歸模型的局部極大似然估計問題，其利用局部線性估計直接估計了夏普比率函數(shù)，并利用牛頓迭代法和回切算法得到了收斂的夏普比率函數(shù)值，通過比較發(fā)現(xiàn)直接計算夏普比率得到的估計值與真實(shí)值之間的誤差減小，且計算效率較高，但隨著數(shù)據(jù)維度的增加可能會因樣本數(shù)據(jù)過少而遇到維數(shù)禍根問題，在高維空間下可能會有一定局限。劉媛媛（2020）[30]從數(shù)學(xué)角度求解金融問題，其把夏普比率的求解問題轉(zhuǎn)化為等價的二次規(guī)劃問題，將非凸的夏普比率函數(shù)轉(zhuǎn)化為凸函數(shù)，并在證明函數(shù)有凸的定義域后針對最小化非因子回報以及最大化夏普比率這兩個問題使用ADMM 算法將一個問題分成可分布式的多個問題，進(jìn)一步同時對多個問題進(jìn)行交替求解，找到全局最優(yōu)解，并通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性和收斂速度較快，此方法適合求解大規(guī)模分布式優(yōu)化問題，解決了在高維數(shù)據(jù)下最大化夏普比率問題。

比較各方法可見：參數(shù)法計算簡便但準(zhǔn)確度不高；非參數(shù)法計算效率高且能得到夏普比率函數(shù)的全局最優(yōu)解，但可能會因樣本量不足而造成維數(shù)災(zāi)難；時間序列分析法中構(gòu)建的ARMA-GARCH 模型可以消除收益率序列的異方差性，能更準(zhǔn)確地預(yù)測收益率和方差的變化，能夠利用估計出的參數(shù)直接帶入公式來估計夏普比率函數(shù)，計算簡便快捷；小波分析法通過設(shè)置不同的尺度參數(shù)計算多期夏普比率，解決了多期基金業(yè)績評價問題，實(shí)用性較強(qiáng)；ADMM 算法可以解決高維數(shù)據(jù)下的最大化夏普比率問題，并且在二次規(guī)劃算法中收斂速度較快。

（一）參數(shù)估計法

由此可見，利用參數(shù)方法計算夏普比率簡單快捷，但只利用了樣本低階矩，忽視了高階矩的信息。而且，在收益率服從獨(dú)立同分布的條件下，利用樣本數(shù)據(jù)計算出的夏普比率越高，越會產(chǎn)生較大標(biāo)準(zhǔn)差，導(dǎo)致夏普比率的置信區(qū)間不準(zhǔn)確。當(dāng)收益率不服從正態(tài)分布時，會增加夏普比率的方差，進(jìn)而縮短點(diǎn)估計的置信區(qū)間，導(dǎo)致產(chǎn)生誤差。

（二）非參數(shù)法

1.異方差非參數(shù)回歸模型介紹。非參數(shù)統(tǒng)計方法對總體分布的假定要求條件較寬泛，不需要事先給定解釋變量與被解釋變量之間的函數(shù)關(guān)系，而是通過未知函數(shù)建立響應(yīng)變量與解釋變量之間的關(guān)系。該方法根據(jù)從數(shù)據(jù)中獲取的信息進(jìn)行擬合，對整個回歸函數(shù)進(jìn)行估計，減小了因?qū)δＰ椭苯舆M(jìn)行設(shè)置而產(chǎn)生的誤差，具有較好的穩(wěn)定性和適應(yīng)性。在利用非參數(shù)法求解問題時，可以采用樣條方法將問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)估計問題進(jìn)行全局估計，也可以使用局部線性或局部多項(xiàng)式估計對參數(shù)進(jìn)行局部估計。異方差非參數(shù)回歸模型中的異方差體現(xiàn)在方差會隨觀測變量而改變，具有一定的靈活性。例如在證券市場中，由于受各種因素影響，股票價格在持續(xù)變動，其收益率序列的均值函數(shù)和方差函數(shù)也會發(fā)生改變，而異方差非參數(shù)回歸模型可以反映數(shù)據(jù)間的異方差性和序列相關(guān)性，因此異方差非參數(shù)回歸模型被廣泛應(yīng)用于金融、醫(yī)療等多個領(lǐng)域。

建立異方差非參數(shù)回歸模型：

其中，εi是獨(dú)立同分布，服從均值為0、方差為1的高斯分布，且εi與樣本點(diǎn){（xi，yi），i=1，2，…，n}相互獨(dú)立，則E（y|x）=μ（x），Var（y|x）=σ2（x），這里μ（x）為收益率的條件均值函數(shù)，σ2（x）為恒正的條件方差函數(shù)。

2.核函數(shù)與窗寬相關(guān)理論介紹。核函數(shù)是一個具有有界支撐的對稱密度函數(shù)，常用的核函數(shù)有均勻核函數(shù)、Epanechnikov 核函數(shù)、Quartic 核函數(shù)、Gaussian核函數(shù)、Triweight 核函數(shù)和Cosine 核函數(shù)。k（u）為非負(fù)的核函數(shù)，需要滿足五個條件：（1）對稱性，k（u）≥0，k（u）=k（-u）；（2）正則性，∫k（u）du=1；（3）∫uk（u）du=0；（4）0＜∫u2k（u）du<∞；（5）∫k2（u）du<∞。

對于窗寬h，在對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行估計擬合時應(yīng)選擇合適的窗寬，因?yàn)椋寒?dāng)窗寬h 過大時，估計的偏差會變小，但方差會增大，會得到過分光滑的估計曲線；當(dāng)窗寬h 過小時，估計的偏差會增大，方差會變小，會得到欠光滑的估計曲線。選取窗寬的一個合理辦法就是綜合考慮估計偏差和方差的影響，即通過極小化均方誤差（MSE）來平衡偏差和方差，以獲得最優(yōu)的窗寬h，使估計效果最佳。常用的選擇光滑參數(shù)的方法包括：交叉驗(yàn)證和廣義交叉驗(yàn)證。交叉驗(yàn)證（CV）是選擇窗寬h 的一種簡單實(shí)用的方法，可通過如下目標(biāo)函數(shù)選取窗寬：

其基本思想為：通過去掉第i 個樣本的（Yi，Xi）排除在觀測點(diǎn)x=Xi處過分夸大的作用，提高其他觀測點(diǎn)的重要程度，從而提高估計效果。在交叉驗(yàn)證中，對于每一個檢驗(yàn)的光滑參數(shù)估計量的計算都需要擬合n 條曲線，造成計算量巨大，但經(jīng)過研究已可以應(yīng)用軟件宏包里的交叉驗(yàn)證法選取最優(yōu)窗寬。

3.非參數(shù)方法計算夏普比率函數(shù)的具體應(yīng)用。對于異方差非參數(shù)回歸模型中的均值函數(shù)μ（x）和方差函數(shù)σ2（x），目前關(guān)于這些參數(shù)計算方法的研究成果較豐富，可以利用非參數(shù)法分別進(jìn)行估計（Fan and Gijbels，1996）[26]，如可以利用光滑樣條法、局部多項(xiàng)式回歸、局部常數(shù)回歸計算得到收益率的條件均值函數(shù)，基于殘差方法或基于差異方法計算得到條件方差函數(shù)。雖然對均值函數(shù)和方差函數(shù)的研究有很多，但目前沒有人將二者聯(lián)合起來進(jìn)行比值計算從而間接估計出夏普比率函數(shù)，其具體方法包括四步。

第一步，建立異方差非參數(shù)模型：

yi=μ（xi）+σ（xi）εi，i=1，2，…，n

第二步，計算條件均值函數(shù)μ（x），取獨(dú)立隨機(jī)樣本點(diǎn)（xi，yi），可以利用光滑樣條法、局部多項(xiàng)式回歸或局部核估計方法計算條件均值函數(shù)。

Kim et al.（2018）[28]聯(lián)系金融背景，將夏普比率建模為一個時變市場的光滑函數(shù)，并對該函數(shù)提出了一種帶有粗糙度懲罰的直接最大似然估計。在計算夏普比率函數(shù)時引入異方差非參數(shù)回歸模型，利用極大似然函數(shù)法將均值函數(shù)和方差函數(shù)的比值（夏普比率）作為一個整體，重新參數(shù)化，將夏普比率函數(shù)和逆波動率函數(shù)轉(zhuǎn)化為凸函數(shù)，并將同方差和異方差情況下的夏普比率估計問題轉(zhuǎn)化成求解有限維凸優(yōu)化問題，從而得到全局最優(yōu)解。該方法首次將夏普比率作為整體進(jìn)行求解，比分別計算均值函數(shù)和方差函數(shù)的兩步式間接計算方法的效率更高，且提高了計算的準(zhǔn)確性，該方法具體包括三步。

第一步，利用異方差非參數(shù)回歸模型通過擾動項(xiàng)的假設(shè)條件計算響應(yīng)變量y 的分布。

E（y）=E（μ（x）+σ（x）ε）=μ（x）

Var（y）=Var（μ（x）+σ（x）ε）=σ2（x）

則y～N（μ（x），σ2（x））

第三步，在同方差和異方差條件下，將問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化約束問題，并利用非參數(shù)三次樣條估計法構(gòu)造樣條空間和基函數(shù)進(jìn)行求解，得到f（x）的多項(xiàng)式樣條估計。

Kim et al.（2018）[28]只研究了夏普比率函數(shù)的估計方法，并未對其理論性質(zhì)進(jìn)行證明，而Lin et al.（2021）[29]則在此基礎(chǔ)之上利用局部線性回歸估計了夏普比率函數(shù)并進(jìn)行了理論證明。同樣采用異方差非參數(shù)回歸模型，并將條件方差函數(shù)取對數(shù)，從而保證σ（xi）滿足其非負(fù)性，計算過程為：首先，選擇核函數(shù)并利用最小二乘交叉驗(yàn)證法使積分均方誤差達(dá)到最小，選擇出最優(yōu)窗寬，并通過局部線性估計法估計夏普比率函數(shù)，此處局部回歸的思想為利用核函數(shù)在離x 較近的樣本點(diǎn)賦予較大權(quán)重，提取出更多關(guān)于密度函數(shù)的信息；其次，利用回切算法給定初始值，與牛頓迭代法一起計算得到收斂的夏普比率估計值，進(jìn)一步研究出估計量的漸進(jìn)正態(tài)分布。Lin et al.（2021）[29]通過蒙特卡洛模擬仿真和實(shí)例比較說明了該方法的有效性，并得到在樣本容量很大時估計的夏普比率值與真實(shí)值之間的誤差比Kim 提出的三次樣條估計法的誤差更小，且計算更加精確快捷。但需注意，當(dāng)局部區(qū)域內(nèi)數(shù)據(jù)太少或者帶寬較小時，Hessian 矩陣會成為奇異陣使模型失真，導(dǎo)致維數(shù)災(zāi)難，算法收斂緩慢。該具體方法包括四步。

為了得到兩個目標(biāo)函數(shù)的有效值，分別選取兩個窗寬h1和h2，此處涉及核函數(shù)的選取以及最優(yōu)窗寬的選擇。

第三步，將f（xi）、g（xi）在X=x 處進(jìn)行泰勒展開，則有：

第四步，利用回切法和牛頓迭代法計算參數(shù)值，具體為：

此目標(biāo)函數(shù)可以利用局部線性回歸計算出窗寬h1，并得到f（xi）的估計值，同時得到夏普比率函數(shù)f（x）的估計值β0，再利用回切法和牛頓迭代法對所估計的函數(shù)值進(jìn)行迭代修正，計算參數(shù)值，直到得到兩個收斂的函數(shù)估計值。最后得到夏普比率函數(shù)即β0的計算結(jié)果為：

Lin et al.（2021）[29]利用局部線性估計方法進(jìn)行蒙特卡羅模擬實(shí)驗(yàn)，研究了這種方法在有限樣本中的估計性能，與之前提出的三次樣條法、分別估計均值函數(shù)和方差函數(shù)的間接法以及當(dāng)方差函數(shù)已知時的夏普比率函數(shù)的oracle 估計進(jìn)行比較，可得估計的總體性能會隨著樣本量的增加而提高，驗(yàn)證了利用局部線性估計方法的有效性。

（三）時間序列分析法

在估計夏普比率函數(shù)時需要對均值函數(shù)和方差函數(shù)進(jìn)行建模，目前對波動率的預(yù)測模型可分為歷史信息法和隱含波動率法。歷史信息法中的GARCH模型可以利用金融市場中已有的歷史數(shù)據(jù)找到時間序列之間隱藏的規(guī)律。GARCH 模型是在ARCH 模型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究后建立的，它比ARCH 模型更加簡便，它加入了誤差項(xiàng)條件方差的滯后期，將影響因子擴(kuò)展為均方誤差和條件方差前期值，相比于ARCH 模型能夠在較低階數(shù)對高階的滯后過程進(jìn)行描述，能夠更好地解決波動集群問題，可有效排除資產(chǎn)收益率中的過度峰值。而且，建立GARCH模型可以解決收益率序列存在自相關(guān)性時的ARCH 效應(yīng)，能夠有效衡量波動集聚分布下股票收益率的風(fēng)險水平，從而更好地描述金融時間序列。目前，GARCH 模型已被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)金融時間序列的波動性研究。

Liu and Chen（2020）[27]將收益率序列建模為帶有條件異方差的隨機(jī)擾動的自回歸時間序列，在已知t 時刻的信息下，利用ARMA（p，q）模型計算出t+1 時刻的超前一步預(yù)測值，在假設(shè)預(yù)測值滿足正態(tài)分布后，根據(jù)隨機(jī)擾動項(xiàng)、原收益率序列、超前一步預(yù)測的收益率之間的方差關(guān)系推算出超額收益的方差，從而計算出夏普比率函數(shù)的表達(dá)式。然而，Liu and Chen（2020）[27]研究對數(shù)收益率在ARMA（p，q）-GARCH（r，s）模型下計算出的夏普比率估計值后發(fā)現(xiàn)，GARCH 模型雖然能夠衡量收益率的波動性，但夏普比率的結(jié)果不受GARCH 過程的影響，且只與ARMA 模型部分（均值方程）的系數(shù)有關(guān)，因此在對收益率序列建立最優(yōu)的ARMA（p，q）-GARCH（r，s）模型后，只需要利用均值函數(shù)部分的系數(shù)就可以計算出夏普比率。該方法具體包括九步。

第一步，設(shè)股票的收盤價序列為p0，p1，p2，…，pn，計算得出對應(yīng)的對數(shù)收益率為：

第五步，設(shè)預(yù)測原點(diǎn)為t，F(xiàn)t為在t 時刻所能得到的信息合集，則在已知t 時刻及t 時刻之前信息的條件下t+1 期的超前一步預(yù)測為：

第七步，制定投資策略。在假設(shè)無風(fēng)險收益率和成本交易率為零的條件下，t 時刻使單期超額收益期望值最大化的策略可以表示為：若ARMA-GARCH模型的超前一步預(yù)測值r^t+1＞0，則為在收盤價買入該指數(shù)；若r^t+1＜0，則為在收盤價賣出該指數(shù)。

第八步，根據(jù)投資策略計算出的單期超額收益μg與單期超額標(biāo)準(zhǔn)差σg分別為：

此處以ARMA（1，1）模型rt=φ1rt-1+εt+θ1εt-1為例，計算夏普比率：

（四）小波分析法

目前學(xué)者認(rèn)為，用VaR 作為風(fēng)險計量方法可以更加直觀、準(zhǔn)確地度量金融風(fēng)險。金融領(lǐng)域的時間序列不但具有趨勢性、周期性等特征，還存在隨機(jī)性、突變性以及“多時間尺度”結(jié)構(gòu)，具有多層次演變規(guī)律。小波分析具有時頻多分辨功能，適合處理非平穩(wěn)信號，可以更好地研究時間序列問題，能夠清晰揭示出隱藏在時間序列中的多種變化周期，充分反映系統(tǒng)在不同時間尺度中的變化趨勢，并對系統(tǒng)未來發(fā)展趨勢進(jìn)行定性估計。金秀和劉洋（2009）[31]基于小波分析和VaR 衡量風(fēng)險的優(yōu)點(diǎn)提出了多期夏普比率的計算方法：首先，采用VaR 代替標(biāo)準(zhǔn)差衡量風(fēng)險，當(dāng)收益率不滿足正態(tài)分布時，利用偏度和峰度修正VaR，并用得到修正后的風(fēng)險價值（MVaR）來衡量風(fēng)險（Gregoriou and Gueyie，2003；Amédée-Manesme and Barthélémy，2020）[32,33]；其次，根據(jù)小波具有多分辨率的特點(diǎn)，進(jìn)一步將小波分析引入到夏普比率的計算問題中，將收益率函數(shù)分解為不同尺度下的收益率函數(shù)，提取出尺度函數(shù)的系數(shù)，計算出不同尺度下的收益率，由此得到基于MVaR 和小波分析計算多期夏普比率的方法，該方法包括五步。

第三步，計算風(fēng)險價值VaR。風(fēng)險價值是在一定的持有期和給定的置信水平下，利率、匯率等市場風(fēng)險要素發(fā)生變化時可能對某項(xiàng)資金頭寸、資產(chǎn)組合或機(jī)構(gòu)造成的潛在最大損失。VaR 的金額表明在未來N 天內(nèi)，投資組合的損失不會超出VaR 的金額（c為顯著性水平）的概率理論上應(yīng)該只有1-c。在數(shù)學(xué)上的表達(dá)式如下：

其中，Prob 代表一個概率函數(shù)，ΔP 代表投資組合在持有期內(nèi)的損失金額，VaR 是置信水平1-c 條件下的風(fēng)險價值，其大小主要取決于持有期天數(shù)和置信水平。目前的估計方法主要有歷史模擬法、方差-協(xié)方差方法和蒙特卡羅模擬法。

當(dāng)投資組合收益率Rt（t=1，2，…，q）服從均值為μ 和方差為σ2的正態(tài)分布，P0為投資組合的初始價值，zc是置信水平為c 的臨界值時，依據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，在概率1-c 下能產(chǎn)生的最大波動幅度為zcσ，則風(fēng)險價值為：

第四步，計算無風(fēng)險利率Rf。無風(fēng)險利率采用投資期限內(nèi)中國人民銀行個人儲蓄存款的年利率，若期間銀行年利率進(jìn)行調(diào)整，可以用天數(shù)進(jìn)行加權(quán)平均計算得到年無風(fēng)險利率，再根據(jù)周期之間的關(guān)系計算不同尺度下的無風(fēng)險利率。例如，若2010 年1月1 日—2020 年12 月31 日期間銀行年利率進(jìn)行了12 次調(diào)整，則分別計算每次調(diào)整期限內(nèi)的天數(shù)和該期限內(nèi)的年利率，再進(jìn)行加權(quán)平均后計算得到年無風(fēng)險利率為2.41%。

第五步，將MVaR 及小波分析引入傳統(tǒng)夏普比率，使用不同尺度對應(yīng)不同期限構(gòu)建的多期夏普比率為：

其中，λj是分辨率為j 下的尺度，R（λj）為λj尺度下投資組合的收益率均值，Rf（λj）表示λj尺度下的無風(fēng)險收益率，MVaR（λj）表示λj尺度下投資組合的風(fēng)險程度，SR*表示投資組合基于MVaR 的小波多期夏普比率。

四、夏普比率與投資周期的關(guān)系

在探索投資周期與夏普比率的關(guān)系時，Lo（2002）[25]忽略復(fù)利的影響研究得到，夏普比率會隨著投資周期的增長而單調(diào)遞增。Lin and Chou（2003）[34]借助block bootstrap 探究了考慮復(fù)利時收益率序列的時間依賴性和不同投資周期夏普比率的變化趨勢，得到投資周期與夏普比率之間更為準(zhǔn)確的關(guān)系為：夏普比率會隨著投資周期的增長先增加后減小，且當(dāng)收益率序列正相關(guān)時增加投資周期會產(chǎn)生高風(fēng)險低夏普比率的投資組合，在投資組合中要盡量選擇不相關(guān)的股票分散風(fēng)險，并選取合適的投資周期以取得更高收益。接下來是計算q 個投資周期夏普比率的具體方法。

第一步：計算q 期收益率。當(dāng)股票價格pt（t=1，2，…，q）服從幾何布朗運(yùn)動，收益率Rt（t=1，2，…，q）為獨(dú)立同分布且均值為μ、方差為σ2時，則q 個投資周期后的債券價格為：

五、數(shù)值模擬

在數(shù)值模擬部分，通過建立AR（1）模型和ARMA（1，1）模型，將根據(jù)時間序列分析法提出的使單期超額收益最大化的投資策略和直接利用時間序列分析法計算的夏普比率的結(jié)果進(jìn)行對比，以驗(yàn)證利用時間序列分析法計算夏普比率估計值的有效性。

首先，利用AR（1）模型rt=a1rt-1+εt，選取8 組不同的參數(shù)a1、σ，分別產(chǎn)生10 000 個隨機(jī)數(shù)序列；其次，將根據(jù)策略模擬估計出的收益率均值μ1、標(biāo)準(zhǔn)差σ1與利用時間序列分析法推導(dǎo)出的公式估計出的單期超額收益μg、單期超額收益的標(biāo)準(zhǔn)差σg進(jìn)行對比，并進(jìn)一步將均值和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行比值計算得到夏普比率的估計值，分別記為SR1和SRg；最后，將六種指標(biāo)的計算結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果如表1 所示。

表1 一階自回歸模型模擬結(jié)果

同理，利用ARMA（1，1）模型rt=a1rt-1+εt+b1εt-1，選取不同的參數(shù)a1、b1和σ，并采取相同步驟，最后將六種指標(biāo)的計算結(jié)果進(jìn)行對比，如表2 所示。

表2 自回歸移動平均模型模擬結(jié)果

比較表1 和表2 的模擬結(jié)果可以得出以下結(jié)論：（1）根據(jù)買入并持有策略得到的結(jié)果與利用公式（24）直接計算的結(jié)果相近似，因此可以直接利用基于ARMA（p，q）-GARCH（r，s）模型推導(dǎo)出的公式計算夏普比率的值，驗(yàn)證了該方法在實(shí)際應(yīng)用中的可行性；（2）在隨機(jī)擾動項(xiàng)εt的方差σ2不同的情況下保證其余參數(shù)相同，此時計算出的夏普比率值相同，即夏普比率的值與隨機(jī)擾動項(xiàng)εt的方差σ2無關(guān)；（3）在AR（1）模型中a1值越大，夏普比率值也越大；（4）在AR（2）模型中|a1+b1|相同、隨機(jī)擾動項(xiàng)的方差σ2不同的情況下計算出的夏普比率值相同；（5）在AR（2）模型中|a1+b1|越大，夏普比率值也越大。

六、案例分析

本文選取上證綜合指數(shù)、美國標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)和滬深300 指數(shù)2006 年1 月4 日—2020 年12 月31日的日收盤價和月收盤價，對其收盤價的分布特征進(jìn)行分析。由于基金會受到多種因素的影響，導(dǎo)致其價格走勢并不穩(wěn)定，因此可以先采用差分法得到平穩(wěn)的對數(shù)收益率序列，之后通過構(gòu)建ARMAGARCH 模型建立均值和方差模型，從而計算夏普比率函數(shù)。

（一）數(shù)據(jù)選取

本文從Wind 數(shù)據(jù)庫中選取了同類型的三種指數(shù)型基金：上證綜合指數(shù)、美國標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)和滬深300 指數(shù)。在這三種指數(shù)中：上證指數(shù)包含了所有在上交所上市的個股，反映了上海證券交易所上市股票價格的變動情況；標(biāo)普500 指數(shù)作為衡量美國大盤股表現(xiàn)的最佳指標(biāo)，可以反映其行業(yè)分布特性；滬深300 指數(shù)包含了在滬深交易所上市的、精選出來的300 只優(yōu)質(zhì)個股，能代表中國優(yōu)質(zhì)企業(yè)的發(fā)展?fàn)顩r。數(shù)據(jù)選取時間為2006 年1 月4 日—2020 年12月31 日，期間上證綜合指數(shù)、美國標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)和滬深300 指數(shù)均有180 個月收盤價，日收盤價個數(shù)分別為3 649、3 774 和3 650。

圖1 為2006 年1 月—2020 年12 月收盤價時序圖。由圖1 再結(jié)合中國股市中發(fā)生的大事件可以看出，上證綜合指數(shù)和滬深300 指數(shù)在2007 年6月—2008 年6 月均呈下降趨勢，原因是從2007 年4月起開始顯現(xiàn)通脹壓力，政府不斷調(diào)高商業(yè)銀行的存款準(zhǔn)備金利率和存貸款利率，實(shí)行從緊的貨幣政策，打壓股市勢頭過猛上漲，導(dǎo)致了股市“5·30”事件。在2015 年6 月發(fā)生了將近一個月的很大程度下跌，此時中國資本市場股價都在下跌，對中國經(jīng)濟(jì)市場帶來了嚴(yán)重打擊，最后在中國政府的強(qiáng)力干預(yù)下股價才止跌。2018 年以來，隨著融資環(huán)境的惡化，中美在科技、金融、外交等領(lǐng)域產(chǎn)生的貿(mào)易摩擦打擊了中國經(jīng)濟(jì)，使得基金價格呈下跌趨勢。美國標(biāo)準(zhǔn)普爾

圖1 2006 年1 月—2020 年12 月收盤價時序圖

（二）數(shù)據(jù)分布特征

表3 顯示三種指數(shù)型基金對數(shù)收益率的峰度均大于3，說明相對于正態(tài)分布存在超額峰度，即是尖峰的。滬深300 指數(shù)的對數(shù)收益率序列偏度大于0且均值為正，說明該序列的分布是非對稱的且呈右偏態(tài)，具有長右厚尾的特征。上證綜合指數(shù)的偏度為-0.641 727，說明上證綜合指數(shù)的對數(shù)收益率序列是左偏的。三種指數(shù)型基金對數(shù)收益率序列JB 正態(tài)檢驗(yàn)的p-value<2.2e-16，表明其對數(shù)收益率均不滿足正態(tài)分布。由于三種指數(shù)型基金的建模過程與計算夏普比率的方法相同，故選擇上證綜合指數(shù)為例進(jìn)行建模與計算。

表3 三種指數(shù)型基金日對數(shù)收益率的描述性統(tǒng)計

從上證綜合指數(shù)對數(shù)收益率的密度直方圖（圖2）和QQ 圖（圖3）都可以看出，其對數(shù)收益率不滿足正態(tài)分布，且存在尖峰厚尾現(xiàn)象。

圖2 上證綜合指數(shù)對數(shù)收益率密度圖

圖3 上證綜合指數(shù)對數(shù)收益率QQ 圖

（三）構(gòu)建ARMA 模型

2.白噪聲檢驗(yàn)，即判斷序列是否呈白噪聲序列的特性。原假設(shè)為序列之間不存在相關(guān)關(guān)系，因此拒絕原假設(shè)則是序列之間存在相關(guān)關(guān)系，可建立ARMA 模型對序列中的信息進(jìn)行提取。在對對數(shù)收益率的滯后階數(shù)進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)后，結(jié)果為拒絕原假設(shè)，因此可進(jìn)行時間序列建模過程。

3.模型識別。在通過平穩(wěn)性、白噪聲檢驗(yàn)后，根據(jù)對數(shù)收益率的ACF 圖和PACF 圖識別模型（如圖4）無法初步確定ARMA 模型的階數(shù)，但可以根據(jù)AIC 信息準(zhǔn)則確定最適合的ARMA 模型階數(shù)，并對系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，建立均值方程。其中，AR、MA、ARMA 模型的基本性質(zhì)見表4。

表4 平穩(wěn)時間序列自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)特征

圖4 上證綜合指數(shù)對數(shù)收益率的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖

根據(jù)最小AIC 準(zhǔn)則，此處建立的均值方程為ARMA（1，5）模型，具體表示為：

4.模型檢驗(yàn)。對模型殘差進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，若殘差為白噪聲，則說明此均值方程對對數(shù)收益率序列中的信息提取充分，若殘差序列不為白噪聲，則需要重新建立合適的均值模型。通過對對數(shù)收益率的殘差序列進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，結(jié)果顯示都不拒絕原假設(shè)，說明均值方程已充分提取序列中的信息。殘差序列的白躁聲檢驗(yàn)結(jié)果如表5 所示。

表5 殘差序列的白躁聲檢驗(yàn)結(jié)果

（四）構(gòu)建ARMA-GARCH 模型

1.ARCH 效應(yīng)檢驗(yàn)。由圖5 可得殘差序列無顯著相關(guān)性，但由圖6 可以看出殘差序列平方有顯著相關(guān)性，即序列可能存在ARCH 效應(yīng)，此處采用拉格朗日乘子法對ARCH 效應(yīng)進(jìn)行檢驗(yàn)。構(gòu)造思想為，如果殘差序列方差非齊，具有集群效應(yīng)，則殘差平方序列有自相關(guān)性，那么應(yīng)使用自回歸模型擬合殘差平方序列，于是方差齊性檢驗(yàn)就可以轉(zhuǎn)化成是否具有顯著性成立的檢驗(yàn)。

圖5 殘差序列的自相關(guān)圖與偏自相關(guān)圖

圖6 殘差序列平方的自相關(guān)圖與偏自相關(guān)圖

H0：殘差平方序列純隨機(jī)。

H1：殘差平方序列具有自相關(guān)性。

當(dāng)LM（q）檢驗(yàn)統(tǒng)計量的p 值小于顯著性水平時，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該序列方差非齊，可以用q 階自回歸模型擬合殘差平方序列中的自相關(guān)關(guān)系。

表6 的拉格朗日乘子檢驗(yàn)結(jié)果顯示，殘差自回歸函數(shù)的系數(shù)顯著，說明序列存在自相關(guān)，拒絕原假設(shè)，意味著對數(shù)收益率序列存在顯著的ARCH 效應(yīng)。因此，進(jìn)行異方差性檢驗(yàn)后根據(jù)AIC 信息準(zhǔn)則確定最適合的ARMA（p，q）-GARCH（r，s）模型。

表6 拉格朗日乘子檢驗(yàn)結(jié)果

表7 的模型比較結(jié)果顯示，利用AIC、BIC、SIC、HQIC 等指標(biāo)選取的模型均為GARCH（1，1），聯(lián)合構(gòu)建均值方程可以得到上證綜合指數(shù)對數(shù)收益率的ARMA（1，5）-GARCH（1，1）模型，為：

表7 模型比較

其中，zt是獨(dú)立同分布的隨機(jī)擾動序列，E（zt）=0，Var（zt）=1，zt和εt-1是獨(dú)立的。

基于上面時間序列的建模步驟，對其余兩個指數(shù)型基金的時間序列建立ARMA-GARCH 模型。其中，美國標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)對數(shù)收益率的MA（1）-GARCH（1，1）模型為：

（五）計算夏普比率

因GARCH 部分的系數(shù)與夏普比率結(jié)果無關(guān)，因此在建立ARMA-GARCH 模型后只需要利用均值模型部分中ARMA 模型中的參數(shù)并保證其顯著性，不需要考慮波動率方程中GARCH 部分的參數(shù)。在建立ARMA-GARCH 模型后，進(jìn)一步利用式（24）估計超額單期收益的均值函數(shù)和方差函數(shù)，進(jìn)行比值計算進(jìn)而得到夏普比率函數(shù)的估計值。本文通過前文提到的時間序列分析法計算出了上證綜合指數(shù)、美國標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)和滬深300 指數(shù)的日夏普比率，分別為0.047、0.040 和0.035。

采用三種指數(shù)型基金月對數(shù)收益率建立的均值模型分別為：

同理，利用三種指數(shù)型基金的月對數(shù)收益率進(jìn)行建模并計算出夏普比率，分別為0.162、0.087 和0.109。

對比三種指數(shù)的日夏普比率發(fā)現(xiàn)，上證綜合指數(shù)的日夏普比率高于另外兩種股指，但在三種股指的月夏普比率排名中滬深300 指數(shù)的夏普比率值最大，這反映出夏普比率是不斷變動的，排名不具有可持續(xù)性。鑒于此，在投資時需要考慮長期的超額收益和波動率的變動情況，因?yàn)檩^長周期內(nèi)的夏普比率值才有更好的參考性。根據(jù)計算結(jié)果可以得出，滬深300 指數(shù)在單位風(fēng)險內(nèi)獲得的回報最高，比其他指數(shù)股票表現(xiàn)更好，同時也可得出上證綜合指數(shù)的表現(xiàn)略優(yōu)于美國標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)。

若假設(shè)對數(shù)收益率獨(dú)立同分布，則由周期與夏普比率的關(guān)系即利用日夏普比率計算出的月夏普比率結(jié)果分別為0.210、0.179 和0.156，這比利用時間序列分析法計算出的月夏普比率值都偏高，因此忽略單期收益率之間的相關(guān)性會導(dǎo)致估計的夏普比率值誤差較大。

七、結(jié)語

目前來看，學(xué)者們主要通過對收益率序列提出不同假設(shè)條件來計算夏普比率函數(shù)，并使其計算方法在發(fā)展中不斷得到完善。通過閱讀國內(nèi)外文獻(xiàn)，本文總結(jié)了現(xiàn)有估計夏普比率函數(shù)的方法，主要包括參數(shù)法、非參數(shù)法、時間序列分析法、小波分析法四種方法，根據(jù)前文對模型和方法的介紹現(xiàn)總結(jié)這四種方法在使用時的優(yōu)缺點(diǎn)。

參數(shù)法操作簡單、計算速度快、使用廣泛，但需滿足收益率服從正態(tài)分布并保持平穩(wěn)性的假設(shè)條件，且在計算時忽略復(fù)利的影響會導(dǎo)致參數(shù)法估計的夏普比率值有偏差，并隨著投資周期的增長而增大。

非參數(shù)法利用異方差非參數(shù)回歸模型經(jīng)變形后將條件均值函數(shù)和方差函數(shù)的比值作為整體，相比于先分別估計條件均值函數(shù)和方差函數(shù)后再進(jìn)行比值計算得到的夏普比率估計值，根據(jù)三次樣條法和局部線性核估計法直接估計出的夏普比率函數(shù)值更加精確。利用非參數(shù)法可以將不易求解的夏普比率函數(shù)轉(zhuǎn)化為凸函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題，從而得到全局最優(yōu)解。模擬后發(fā)現(xiàn)，局部線性核估計法比非參數(shù)三次樣條法在大樣本情況下的誤差更小。但是，使用非參數(shù)法可能會因樣本數(shù)據(jù)過少而遇到維數(shù)禍根問題，且該方法在假設(shè)誤差項(xiàng)滿足正態(tài)分布的情況下才可使用，對于誤差項(xiàng)服從不同分布時的夏普比率計算還需進(jìn)一步研究。

時間序列分析法中的GARCH 模型不僅可以消除異方差性，還可以同時估計股票收益率的條件均值和條件方差，并因考慮了擾動異方差的滯后期可以更好地衡量股票的波動情況，能更準(zhǔn)確地預(yù)測收益率的變動情況，是金融風(fēng)險預(yù)測最常用的工具。在模擬實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，夏普比率與隨機(jī)擾動項(xiàng)的方差無關(guān)，時間序列分析法先對股票收益率序列構(gòu)建最優(yōu)ARMA-GARCH 模型，在得到模型參數(shù)后再將其帶入推導(dǎo)出的計算公式，可直接得到單期夏普比率函數(shù)的估計值。計算出的日夏普比率和月夏普比率估計值顯示，夏普比率排名不具有可持續(xù)性。時間序列分析法計算簡單，但對數(shù)收益率序列要滿足平穩(wěn)性才能建立時間序列模型。該方法雖然具有合理性，但每次對不同時段的日數(shù)據(jù)或月度數(shù)據(jù)都要建立時間序列模型，因此需要多次計算才能得到不同時期的夏普比率值。而且，模型在能有效擬合對數(shù)收益率序列時才能估計出精確的夏普比率值，這對模型系數(shù)的顯著性要求較高。

小波分析法適用于測度非平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)，因此不要求收益率序列滿足平穩(wěn)性。用VaR 修正后的MVaR 衡量風(fēng)險能解決收益率在非正態(tài)分布時的風(fēng)險度量問題。小波分析法通過選取不同尺度計算出多期夏普比率的值，該方法不僅可以對同一時期的不同基金績效做出評價，還可以對不同持有期的同一基金績效做出評價，進(jìn)而找出基金的最佳投資持有期?；贛VaR 和小波分析計算的多期夏普比率雖操作復(fù)雜，但在實(shí)證分析中應(yīng)用更加廣泛。