具比率依賴Holling Ⅲ型功能性反應(yīng)的非自治捕食者-食餌系統(tǒng)的正周期解

馬 超， 趙治濤

(黑龍江大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 哈爾濱 150080)

0 引 言

種群動(dòng)力學(xué)是生態(tài)學(xué)與生物數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支,主要研究種群與種群、種群與環(huán)境之間的相互作用關(guān)系。捕食者與食餌之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系是種群動(dòng)力學(xué)中最重要、最普遍的關(guān)系,在保護(hù)生物物種、維護(hù)生態(tài)平衡等方面具有重要應(yīng)用。因此,捕食者-食餌模型一直受到國內(nèi)外生態(tài)學(xué)家和數(shù)學(xué)家的關(guān)注,并且已經(jīng)取得了很多具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的研究成果。

在對捕食者-食餌系統(tǒng)的研究中,功能性反應(yīng)占有非常重要的地位,它表示單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)捕食者殺捕食餌的數(shù)量,刻畫了在不同營養(yǎng)等級之間的生物轉(zhuǎn)移量。針對不同的生物種群模型,分別建立了Holling型功能性反應(yīng)、Hassell-Varley型功能性反應(yīng)、Beddington-DeAngelis型功能性反應(yīng)、比率依賴型功能性反應(yīng)等,并得到了國內(nèi)外生態(tài)學(xué)家與數(shù)學(xué)家廣泛而深入的研究。捕食者的捕食能力,通常隨食餌數(shù)量的變化而變化。當(dāng)捕食者偏愛的食餌數(shù)量減少時(shí),捕食者的捕獲率會相應(yīng)地減少,這種關(guān)系最早是被Leslie和Gower發(fā)現(xiàn)的,并據(jù)此建立了Leslie-Gower模型[1]。為了彌補(bǔ)捕食者偏愛食餌嚴(yán)重缺失的情況,學(xué)者們又建立了修正的Leslie-Gower模型[2]。對于Leslie-Gower模型以及相關(guān)的修正模型的研究,已經(jīng)取得了許多有價(jià)值的研究成果[3-7]。近年來,盡管基于比率依賴型的捕食模型已經(jīng)吸引了越來越多的學(xué)者關(guān)注[8-17],但是,對基于比率依賴Holling Ⅲ型功能性反應(yīng)的捕食模型的研究成果還不夠豐富。因此,研究具有比率依賴Holling Ⅲ型功能性反應(yīng)的Leslie-Gower捕食模型不僅具有理論意義,更具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

然而,由于受到天氣、食物供應(yīng)、動(dòng)物的交配習(xí)性等因素影響,種群的出生率、死亡率以及影響種群的其他重要因素會隨時(shí)間發(fā)生相應(yīng)的變化,于是,建立非自治捕食模型將會更加符合實(shí)際。基于此,本文將研究一類具比率依賴Holling Ⅲ型功能性反應(yīng)的非自治捕食者-食餌系統(tǒng)：

(1)

式中：x(t)和y(t)分別表示在t時(shí)刻食餌種群和捕食者種群的密度；a(t),b(t),c(t),d(t),m(t),n(t)都是非負(fù)的連續(xù)函數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)是周期函數(shù)時(shí),研究系統(tǒng)(1)的正周期解的存在性,并借助于數(shù)值模擬驗(yàn)證本文所得理論結(jié)果的有效性。

1 周期解的存在性

在本節(jié)中,將利用重合度的延拓定理與微分方程的比較定理,研究系統(tǒng)(1)的正周期解的存在性。為此,首先假設(shè)系統(tǒng)(1)中的所有參數(shù)關(guān)于時(shí)間t是以正數(shù)ω為周期的。為敘述方便,引入如下記號:

式中g(shù)是以正數(shù)ω為周期的連續(xù)實(shí)函數(shù),即對任意的t∈,都有g(shù)(t+ω)=g(t)。

接下來,介紹重合度的延拓定理,也可參考文獻(xiàn)[18]。

(i) 對于任意λ∈(0,1),Lz=λNz的任意解z均滿足z??Ω；

(ii) 對于任意z∈?Ω∩kerL,有QNz≠0,并且其Brouwer度為：

deg{JQN,Ω∩kerL,0}≠0

為考慮系統(tǒng)(1)周期解的存在性,需要將問題放在重合度理論框架之下。為此,設(shè)

則Вω關(guān)于范數(shù)‖·‖構(gòu)成一個(gè)Banach空間。再設(shè)

證明首先,系統(tǒng)(1)經(jīng)過點(diǎn)(x(0),y(0))的解軌線可寫為

令

則系統(tǒng)(1)變形為:

(2)

令X=Z=Вω,并定義

進(jìn)而得到

為利用重合度延拓定理,還需構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)挠薪玳_集Ω,因此,定義如下的算子方程

即

(3)

(4)

根據(jù)式(3)和式(4),可知

(5)

(6)

根據(jù)式(6)和式(4)的第一個(gè)等式可得

因而得到：

于是

(7)

另一方面,根據(jù)式(6)和式(4)的第一個(gè)等式也可以得到：

(8)

整理即得

進(jìn)而可以推得

(9)

因此,結(jié)合式(7)和式(9)得

另一方面,根據(jù)式(6)和式(4)的第二個(gè)等式,可得

(10)

整理可得：

于是得到：

(11)

同理,根據(jù)式(6)和式(4)的第二個(gè)等式,也可推得

(12)

整理即得

從而

(13)

于是,結(jié)合式(11)和式(13)可得：

顯然,C1和C2的取值與參數(shù)λ無關(guān)。取C=C1+C2+C3,其中C3為充分大的正數(shù),且滿足

C3≥|A1|+|A2|+|A3|+|A4|

考慮代數(shù)方程

(14)

(15)

定義

為了計(jì)算Brouwer度,考慮同倫映射

式中

deg(JQN,Ω∩KerL,0)=deg(QN,Ω∩KerL,0)=deg(G,Ω∩KerL,0)≠0,

則(x*(t),y*(t))是系統(tǒng)(1)的一個(gè)正ω周期解。 證畢。

2 數(shù)值模擬

通過數(shù)值模擬來驗(yàn)證上述所得的理論結(jié)果。令

a(t)=5.7[2+0.1sin(πt)],b(t)=3.15[0.045+0.01sin(πt)]

c(t)=0.2[1.5+5sin(πt)],d(t)=2[15+0.1cos(πt)]

m(t)=2[0.3+0.2cos(πt)],n(t)=0.07[0.35+0.3sin(πt)]

并且滿足初始條件x(0)=70,y(0)=25,那么系統(tǒng)(1)存在一個(gè)周期為2的周期解,如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)(1)的周期解Fig.1 Periodic solutions of system (1)