雙寡頭企業(yè)混合博弈的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)分析

張 亞 鵬

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 甘肅 蘭州 730070)

寡頭之間的競(jìng)爭(zhēng)可以是橫向的亦可以是縱向的。對(duì)于上下游寡頭博弈的研究，以前側(cè)重于靜態(tài)分析，從復(fù)雜性角度進(jìn)行的動(dòng)態(tài)分析很少。1984年，SINGH等首次構(gòu)建了古諾-伯川德混合博弈模型[1]，在該模型中，一個(gè)寡頭企業(yè)選擇調(diào)整產(chǎn)量作為唯一的競(jìng)爭(zhēng)手段，另一個(gè)選擇調(diào)整價(jià)格作為唯一的決策手段。到目前為止，關(guān)于古諾-伯川德混合模型的研究成果相對(duì)較少[2-8]。XIN等[9]建立了一個(gè)上下游動(dòng)態(tài)主從博弈模型，分析了該模型的平衡點(diǎn)，通過(guò)數(shù)值模擬展示了該模型的最大Lyapunov指數(shù)、分岔、時(shí)間序及相圖，討論了價(jià)格波動(dòng)和混亂控制對(duì)企業(yè)福利的影響。張軍果等[10]研究指出雙方合作時(shí)可達(dá)雙贏，計(jì)算出了Pareto改進(jìn)條件下的最優(yōu)結(jié)果。趙萍等[11]基于最優(yōu)反應(yīng)決策和信念更新兩種新模式提出了博弈問(wèn)題的均衡解。盧亞麗[12]提出了一個(gè)雙寡頭主從Bertrand價(jià)格博弈模型,兩個(gè)寡頭分別采取適應(yīng)性策略和有限理性策略，發(fā)現(xiàn)持有有限理性預(yù)期的寡頭策略調(diào)整速度對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有更大的影響。如果調(diào)整速度過(guò)快,系統(tǒng)會(huì)經(jīng)由倍周期分岔進(jìn)入混沌。周偉等[13,14]基于研發(fā)溢出研究了雙寡頭模型的動(dòng)力學(xué)行為。張雅慧等[15]基于延遲有限理性建立含溢出效應(yīng)的雙寡頭壟斷市場(chǎng)博弈模型，研究表明，合理調(diào)整企業(yè)速度可使系統(tǒng)盡可能長(zhǎng)地處于穩(wěn)定狀態(tài)。趙娜等[16]在有限理性的基礎(chǔ)上建立動(dòng)態(tài)混合雙寡頭模型，發(fā)現(xiàn)通過(guò)使用延遲控制能使系統(tǒng)的混沌狀態(tài)得到有效控制。

本文利用非線性動(dòng)力學(xué)理論和博弈理論，在國(guó)內(nèi)外關(guān)于古諾-伯川德混合博弈研究成果的基礎(chǔ)上，建立了制造業(yè)上下游寡頭博弈的博弈模型。計(jì)算分析均衡點(diǎn)的存在性及穩(wěn)定性，研究寡頭企業(yè)的股權(quán)份額及調(diào)整速度等決策對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定域的影響，分析各變量對(duì)各寡頭企業(yè)利潤(rùn)的影響，采用分岔圖、最大Lyapunov指數(shù)圖、時(shí)間序列圖及吸引盆等研究混合博弈模型的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。

1 模型建立

建立由上游企業(yè)進(jìn)行價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)和下游企業(yè)進(jìn)行產(chǎn)量競(jìng)爭(zhēng)雙寡頭企業(yè)博弈模型，上游企業(yè)的產(chǎn)品是向整個(gè)市場(chǎng)提供的，上游寡頭的上游產(chǎn)品需求函數(shù)(產(chǎn)量)和下游企業(yè)的采用上游企業(yè)產(chǎn)品的合成品的逆需求函數(shù)(價(jià)格)分別為

(1)

其中：ai>0為公司i的潛在需求量；d為上游企業(yè)價(jià)格變動(dòng)對(duì)下游企業(yè)價(jià)格的影響程度，d∈(0,1)；q1和p1分別為上游企業(yè)的上游產(chǎn)品的產(chǎn)量和價(jià)格；p2和q2分別為下游企業(yè)的產(chǎn)量和價(jià)格。 假設(shè)各企業(yè)的成本函數(shù)為二次函數(shù)，則

Ci=ciqi2

(2)

其中ci>0。由于下游企業(yè)從上游企業(yè)處獲得產(chǎn)品進(jìn)行加工合成，且上游企業(yè)對(duì)下游企業(yè)進(jìn)行參股既可獲得市場(chǎng)又可獲得利潤(rùn)，設(shè)其參股比例為θ(θ∈(0,1))。則可得下游企業(yè)利潤(rùn)函數(shù)

π2=p2q2-C2=(a2-(b2+c2)q2+dp1)q2

(3)

進(jìn)而可得上游企業(yè)的利潤(rùn)函數(shù)為

π1=p1(a1-b1p1)-c1(a1-b1p1)2+θ(a2-(b2+c2)q2+dp1)q2

(4)

兩個(gè)企業(yè)的相對(duì)利潤(rùn)[17]分別為

(5)

分別關(guān)于p1,q2求一階偏導(dǎo)可得系統(tǒng)的邊際相對(duì)利潤(rùn)為

(6)

在現(xiàn)實(shí)的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中，企業(yè)間不能獲得完全的信息，他們不知道對(duì)方的價(jià)格或產(chǎn)量決策，無(wú)法通過(guò)計(jì)算邊際函數(shù)獲得最優(yōu)選擇。 本文假設(shè)兩企業(yè)均為有限理性，即如果企業(yè)在第t個(gè)調(diào)價(jià)周期的邊際相對(duì)利潤(rùn)是正的，則企業(yè)在第t+1期將會(huì)增加產(chǎn)量(價(jià)格)。否則，如果企業(yè)第t期的邊際相對(duì)利潤(rùn)是負(fù)的，則企業(yè)在第t+1期將采取相反的決策。進(jìn)而該上下游企業(yè)的動(dòng)態(tài)博弈系統(tǒng)可以表示為：

(7)

其中:ξ1和ξ2分別表示兩個(gè)企業(yè)的決策調(diào)整速度，ξ1和ξ2體現(xiàn)了各企業(yè)調(diào)價(jià)周期的長(zhǎng)短;p1(t+1)和p1(t)分別表示公司1在第t+1期和第t期的價(jià)格決策;q2(t+1)和q2(t)分別表示公司2在第t+1期和第t期的產(chǎn)出決策。

2 均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

為研究系統(tǒng)(7)的穩(wěn)定性變化，令p1(t+1)=p1(t)，q2(t+1)=q2(t)，可得

(8)

計(jì)算可得系統(tǒng)的四個(gè)均衡點(diǎn)分別為

E0,E1,E2位于坐標(biāo)平面的邊界上，稱為邊界均衡點(diǎn)；E*位于坐標(biāo)平面內(nèi)部，稱為納什均衡點(diǎn)。由于均衡點(diǎn)的非負(fù)性及參數(shù)的非負(fù)性，可得Yi>0(i=1,2,3)，Z>0，X，F(xiàn)，G同號(hào)，進(jìn)而可得R>0，由于G=2b1R+dZ，結(jié)合前面的參數(shù)分析可得G>0，因此可得X>0，F(xiàn)>0。綜合可得系統(tǒng)的參數(shù)需滿足的可行集為

Γ={(X,Yi,Z,R,F,G)|X,Yi,Z,R,F,G>0}。

(9)

對(duì)均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，可計(jì)算其Jacobi矩陣的特征值分析。首先給出決策變量(p1,p2)的Jacobi矩陣J=(p1,p2)，即

(10)

其中，存在以下的四個(gè)關(guān)系式：

J11=1+ξ1[a1Y1-4b1p1Y3-Zq2];J12=-ξ1p1Z;J21=ξ2q2Z;J22=1+ξ2[(1-θ)(a2-2Y2q2)+Zp1]。很容易證明唯一的納什均衡點(diǎn)E*存在，邊界均衡點(diǎn)E0，E1，E2不穩(wěn)定。

命題1 邊界均衡點(diǎn)E0為一不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)。

證明：將E0=(0,0)帶入式(10)可得其Jacobi矩陣為對(duì)角陣

其特征值為其對(duì)角線元素，即λ1=1+ξ1a1(1+2b1c1)和λ2=1+ξ2a2(1-θ)，結(jié)合前文參數(shù)分析可得|λ1|>1，|λ2|>1，因此，E0為一不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)。

對(duì)于納什均衡點(diǎn)E*的局部穩(wěn)定性，考慮其Jacobi矩陣

(11)

其特征值滿足特征方程Φ(λ)=λ2-λTr(E*)+Det(E*)=0，Tr(E*)為Jacobi矩陣的跡，Det(E*)為行列式，有

(12)

(13)

當(dāng)且僅當(dāng)滿足Jury穩(wěn)定性判據(jù)時(shí)納什均衡點(diǎn)局部穩(wěn)定，Jury判據(jù)為

(14)

(15)

(16)

2G-2ξ1b1XY3-ξ2(1-θ)FY2>0

(17)

2ξ1b1XY3+ξ2(1-θ)FY2-2ξ1ξ2(1-θ)FX>0

(18)

綜上可得，當(dāng)且僅當(dāng)滿足

(19)

時(shí)，可得Nash均衡點(diǎn)E*局部漸近穩(wěn)定。

基于上述對(duì)E*的局部穩(wěn)定性所做的分析，可在調(diào)整速度(ξ1,ξ2)平面結(jié)合其穩(wěn)定域做進(jìn)一步的解釋。 固定一組參數(shù)a1=1.062 5，a2=1.509 1，b1=0.097 6，b2=0.313 1，c1=1.160 4，c2=2.178 8，d=0.121 5，θ=0.605 7。當(dāng)初值為(p1,q2)=(1.260 8,0.639 1)時(shí)，可得系統(tǒng)在調(diào)整速度(ξ1,ξ2)平面上的穩(wěn)定域如圖1所示，圖中的棕色區(qū)域表示系統(tǒng)在這組參數(shù)下的穩(wěn)定域，白色區(qū)域?yàn)榉欠€(wěn)定域。固定其他參數(shù)，隨著調(diào)整速度的逐步增加系統(tǒng)會(huì)逐漸失去其穩(wěn)定性，因而當(dāng)ξ1和ξ2取較小的值時(shí)會(huì)更有利于系統(tǒng)的穩(wěn)定。改變?chǔ)戎禃r(shí)的分岔曲線圖如圖1所示，圖中紅、黑、藍(lán)表示的3條穩(wěn)定域的分岔曲線分別對(duì)應(yīng)于θ=0.405 7、θ=0.605 7、θ=0.705 7，可觀察到隨著θ值的增加系統(tǒng)的穩(wěn)定域會(huì)逐漸增大，其形狀沒(méi)有明顯的變化，穩(wěn)定域在橫軸上基本也沒(méi)有變化，其變化主要體現(xiàn)在縱軸上，且在縱軸上會(huì)有一定程度的擴(kuò)展。

圖1 系統(tǒng)在調(diào)整速度平面(ξ1,ξ2)上的穩(wěn)定域及變化θ值時(shí)的分岔曲線圖

3 數(shù)值模擬

為進(jìn)一步研究該系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為，通過(guò)應(yīng)用數(shù)值模擬找出參數(shù)在市場(chǎng)動(dòng)態(tài)演化中的作用如圖2所示。首先取(ξ1,ξ2)作分岔參數(shù)得系統(tǒng)雙參圖，在圖1參數(shù)的基礎(chǔ)上固定θ=0.605 7，通過(guò)圖2(a)所示的雙參圖對(duì)其進(jìn)入混沌的路徑進(jìn)行研究。

(a) 系統(tǒng)的雙參圖 (b) 區(qū)域[1.5,1.7]×[2.6,2.9]的局部放大

(c) 區(qū)域[1.56,1.618]×[2.66,2.76]的局部放大 (d) 圖(c)對(duì)應(yīng)的雙參最大Lyapunov指數(shù)圖

在圖2(a)中，不同的顏色對(duì)應(yīng)于不同的周期數(shù)，顏色棒中的顏色從下至上逐步進(jìn)入混沌甚至逃逸域。圖中的棕色區(qū)域與圖1(a)中的穩(wěn)定域相一致，圖2(a)中的黑色區(qū)域?yàn)榛煦缬颍鋵?duì)應(yīng)的周期數(shù)大于100，從該區(qū)域開(kāi)始的軌跡收斂為大周期、準(zhǔn)周期或者混沌吸引子，而白色區(qū)域表示系統(tǒng)的逃逸域，區(qū)域中開(kāi)始的軌跡經(jīng)有限次迭代后均是發(fā)散的。從圖2(a)中可觀察到系統(tǒng)會(huì)經(jīng)由兩條路徑進(jìn)入混沌，分別為flip和Neimark-Sacker路徑。在圖2(a)中可發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在區(qū)域[1.5,1.7]×[2.6,2.9]上具有更為豐富的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，對(duì)其進(jìn)行局部放大可得圖2(b)，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在大量的周期“舌”，表現(xiàn)為一種周期振蕩現(xiàn)象，市場(chǎng)可以通過(guò)控制或調(diào)整ξ1或ξ2使市場(chǎng)能夠從混沌回到可控的局面。ξ1和ξ2的值越小，表明企業(yè)的調(diào)整速度越慢，企業(yè)的利潤(rùn)趨于穩(wěn)定。較高的ξ1或ξ2值表示企業(yè)在某一個(gè)時(shí)期內(nèi)的價(jià)格或產(chǎn)量有大的增量，此時(shí)系統(tǒng)將會(huì)變得不可控。 當(dāng)系統(tǒng)陷入混沌時(shí)，企業(yè)將無(wú)法獲利，導(dǎo)致競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手占據(jù)主導(dǎo)地位，這是市場(chǎng)各個(gè)企業(yè)都不愿看到的現(xiàn)象。

對(duì)圖2(b)中區(qū)域[1.56,1.618]×[2.66,2.76]進(jìn)行放大可得圖2(c)，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)有類似“混沌眼”的存在，其相對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov雙參指數(shù)圖如圖2(d)所示。當(dāng)系統(tǒng)處于周期狀態(tài)時(shí)其Lyapunov指數(shù)小于零，用紅色到黃色漸變色表示;黃色與黑色的交界處表示Lyapunov指數(shù)為零，此時(shí)雙參圖為擬周期狀態(tài)，如果對(duì)應(yīng)指數(shù)大于零小于2，則雙參圖對(duì)應(yīng)的是系統(tǒng)由擬周期進(jìn)入混沌的狀態(tài)，用黑色到灰色的漸變色表示;若雙參圖中系統(tǒng)是逃逸狀態(tài)，則其Lyapunov指數(shù)大于2，為了便于編程進(jìn)行數(shù)值模擬，對(duì)于Lyapunov指數(shù)大于2的情況都以等于2來(lái)表示，在這種狀態(tài)下，企業(yè)會(huì)被強(qiáng)制退出市場(chǎng)。右側(cè)的顏色棒表示相應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)的值。由圖2(d)可知此時(shí)雙參最大Lyapunov指數(shù)圖最大值為0.5，可得在該區(qū)域系統(tǒng)不存在逃逸域。

固定ξ2=2.194 3，取ξ1作分岔參數(shù)得系統(tǒng)的單參圖，如圖3所示。可觀察到圖中紅藍(lán)兩條曲線的變化趨勢(shì)是一致的。系統(tǒng)的初始態(tài)均為一周期的穩(wěn)定態(tài)，隨著調(diào)整速度ξ1的增加，系統(tǒng)在ξ1=1.62處發(fā)生第一次分岔，由一周期直接進(jìn)入混沌，分岔方式為Neimark-Sacker分岔。在一個(gè)短暫的混沌后在ξ1=1.718處會(huì)重新進(jìn)入周期，然后通過(guò)flip分岔逐步的進(jìn)入混沌，這與雙參圖中的所體現(xiàn)的動(dòng)力學(xué)行為是一致的。圖3(b)為其相對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)圖，指數(shù)小于零、等于零和大于零時(shí)系統(tǒng)分別對(duì)應(yīng)于周期、擬周期、混沌或逃逸。

圖3 單參圖及最大Lyapunov指數(shù)圖

在圖3(a)的基礎(chǔ)上，改變調(diào)整速度ξ1的值，去觀察吸引子的演化過(guò)程，在ξ1∈[1.5,1.7]區(qū)間上時(shí)，系統(tǒng)會(huì)存在一組不變環(huán)的演化，如圖4所示。當(dāng)ξ1=1.584 5時(shí)吸引子為一焦點(diǎn)如圖4(a)所示，隨著ξ1值的增加；當(dāng)ξ1=1.619時(shí)系統(tǒng)發(fā)生Neimark-Sacker分岔產(chǎn)生內(nèi)吸引的不變環(huán)，如圖4(b);當(dāng)ξ1進(jìn)一步增加至1.625 7時(shí)，不變環(huán)增大，毛邊減少，如圖4(c)所示;當(dāng)ξ1繼續(xù)增加，不變環(huán)的毛邊會(huì)逐漸消失，最終在ξ1=1.687 2時(shí)不變環(huán)趨于穩(wěn)定，如圖4(d)所示。

(a)ξ1=1.584 5 (b)ξ1=1.619

(c)ξ1=1.625 7 (d)ξ1=1.687 2

(a)系統(tǒng)的博弈時(shí)間序列圖 (b)系統(tǒng)博弈的差值時(shí)間序列圖

(c)利潤(rùn)的時(shí)間序列圖 (d)相對(duì)利潤(rùn)的時(shí)間序列圖

圖2(b)中白色直線所對(duì)應(yīng)的單參數(shù)分岔圖如圖6所示，由圖6可得該白色直線對(duì)應(yīng)的方程為ξ2=-5.95ξ1+12.320 5，可觀察到ξ1的取值范圍為[1.5,2.3]；紅色曲線對(duì)應(yīng)于下游企業(yè)銷量的變化趨勢(shì)；藍(lán)色曲線對(duì)應(yīng)于上游企業(yè)銷售價(jià)格的變化趨勢(shì)，同時(shí)可觀察到紅藍(lán)兩條曲線的變化趨勢(shì)在ξ1>2.134時(shí)會(huì)出現(xiàn)明顯的差異。系統(tǒng)的初始狀態(tài)為周期態(tài)，隨著ξ1值的增加系統(tǒng)會(huì)進(jìn)入混沌，然后進(jìn)入擬周期，再進(jìn)入混沌，之后進(jìn)入2周期，然后藍(lán)色曲線會(huì)經(jīng)過(guò)flip分岔徹底進(jìn)入混沌，出現(xiàn)一個(gè)明顯的“周期窗口”，紅色曲線會(huì)在ξ1=2.071處突降為零，之后就一直處于q2=0的狀態(tài)。在ξ1∈[1.5,1.7]的范圍內(nèi)單參圖中會(huì)出現(xiàn)“跳躍”的間斷點(diǎn)，系統(tǒng)可能存在有吸引子共存的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。

在非線性系統(tǒng)中，分岔會(huì)隨著參數(shù)的變化導(dǎo)致解的數(shù)目發(fā)生改變和多個(gè)吸引子共存的現(xiàn)象。 多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象的出現(xiàn)也是吸引子共存所造成的，因此多穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)與分岔現(xiàn)象密切相關(guān)。吸引子共存是指選取不同的初值(p1,q2)，在經(jīng)過(guò)迭代之后，出現(xiàn)幾種吸引子同時(shí)存在的情況。吸引子的吸引盆實(shí)質(zhì)上表現(xiàn)的是一種路徑依賴現(xiàn)象，即在吸引子的吸引域中選取任意一個(gè)初始值，最終都會(huì)匯聚在這個(gè)吸引子上。對(duì)其進(jìn)行詳細(xì)的分析研究，得到如圖7所示的吸引子共存的吸引盆演化。

圖6 單參數(shù)分岔圖

圖7 吸引子共存的吸引盆演化

吸引子共存的吸引盆演化如圖7所示。圖7(a)中觀察到紅、藍(lán)兩種吸引子的吸引域分別為圖中白色和黃色區(qū)域，圖中藍(lán)色區(qū)域?qū)?yīng)于系統(tǒng)逃逸域。在第一幅圖中，紅藍(lán)兩組吸引子均為周期吸引子，在吸引域的內(nèi)部存在數(shù)個(gè)“洞”，隨著ξ1值的逐漸增加，紅色吸引子會(huì)逐漸成環(huán)并逐步演化為混沌吸引子，最終又演化為環(huán)狀吸引子。藍(lán)色吸引子先演化為混沌吸引子后又變?yōu)?周期吸引子，如圖7(b)所示。在ξ1=1.576 7時(shí)紅藍(lán)兩種吸引子均演化為混沌吸引子且相互重合。整個(gè)演化過(guò)程中紅色吸引子的吸引域逐漸增大，藍(lán)色吸引子的吸引域逐漸減小，吸引域內(nèi)部的“洞”不斷減小直至完全消失，紅色吸引子的吸引域變?yōu)樨Q條狀，同時(shí)可行域右側(cè)的缺口也有一定程度的減小。

4 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)改變調(diào)整速度及上游企業(yè)在下游企業(yè)的持股比例參數(shù)建立上下游雙寡頭企業(yè)進(jìn)行混合博弈的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。分析了系統(tǒng)的3個(gè)邊界均衡點(diǎn)和唯一Nash均衡點(diǎn)的類型及其局部穩(wěn)定性，應(yīng)用數(shù)值模擬對(duì)系統(tǒng)在調(diào)整速度平面的穩(wěn)定域、分岔行為、混沌及時(shí)間序列圖等動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究。研究系統(tǒng)的穩(wěn)定域及分岔曲線圖發(fā)現(xiàn)較小的調(diào)整速度會(huì)更有利于系統(tǒng)的穩(wěn)定，大的持股比例θ會(huì)增加系統(tǒng)的穩(wěn)定域更有利于系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。通過(guò)系統(tǒng)的雙參數(shù)分岔圖研究發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)會(huì)通過(guò)flip和Neimark-Sacker兩種分岔方式進(jìn)入混沌。進(jìn)一步通過(guò)單參數(shù)分岔圖研究對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行研究，繪制系統(tǒng)博弈的時(shí)間序列圖和差值的時(shí)間序列圖可得系統(tǒng)對(duì)初值的敏感性較為穩(wěn)定，通過(guò)利潤(rùn)和相對(duì)利潤(rùn)的時(shí)間序列圖，發(fā)現(xiàn)利潤(rùn)的序列圖會(huì)長(zhǎng)時(shí)間地停留在多周期態(tài)而相對(duì)利潤(rùn)的時(shí)間序列圖則長(zhǎng)期停留在2周期態(tài)。 結(jié)合吸引子共存的吸引盆發(fā)現(xiàn)單參圖中的“跳躍”點(diǎn)處存在吸引子共存現(xiàn)象。因此選擇合適的調(diào)整速度和持股比例會(huì)使系統(tǒng)更易趨于穩(wěn)定，合理的選擇相對(duì)利潤(rùn)做目標(biāo)函數(shù)更有利于系統(tǒng)的可控，市場(chǎng)更易進(jìn)行長(zhǎng)期且穩(wěn)定的競(jìng)爭(zhēng)。