剛性圓環(huán)平面運(yùn)動(dòng)的力學(xué)分析

高彩云，劉 越

（1.山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009；2.山西大學(xué)理論物理研究所，山西太原 030006）

日常生活中乒乓球、足球、籃球等在桌子上或地板上滾動(dòng)，各種輪子在道路上滾動(dòng)等現(xiàn)象，不僅顯現(xiàn)出豐富的運(yùn)動(dòng)圖像[1-3]，而且經(jīng)常作為力學(xué)問題進(jìn)行研究[4-6]。物體的形狀和運(yùn)動(dòng)的初始條件，以及圓形物體運(yùn)動(dòng)時(shí)與地面間的相互作用可以導(dǎo)致復(fù)雜的、有時(shí)甚至是不可預(yù)測(cè)的結(jié)果。例如，乒乓球放在桌子上，按動(dòng)其背面，球開始滾動(dòng)并向前滑動(dòng)一定距離之后又返回；在體操比賽中，吊環(huán)被扔出后會(huì)回到運(yùn)動(dòng)員手中。文章以剛性圓環(huán)（簡(jiǎn)稱圓環(huán)）為例研究圓形物體(球形、環(huán)形)在水平面上的運(yùn)動(dòng)。

1 剛性圓環(huán)模型假設(shè)

假設(shè)均質(zhì)剛性圓環(huán)的質(zhì)量為m，半徑為r，質(zhì)心速度為vc，角速度為ω，圓環(huán)與地面接觸的點(diǎn)（著地點(diǎn)）P的速度為vp，簡(jiǎn)化模型如圖1所示。

圖1 圓環(huán)水平面滾動(dòng)簡(jiǎn)化模型

根據(jù)上述假設(shè)，剛性圓環(huán)在水平面上平行運(yùn)動(dòng)，在豎直方向，向下的重力與向上的支持力，這兩個(gè)力是平衡的；在水平方向，地面施加的摩擦力是靜摩擦力或滑動(dòng)摩擦力，由圓環(huán)與地面相對(duì)地面的接觸點(diǎn)（著地點(diǎn)）P 點(diǎn)的速度決定，如果接觸點(diǎn)速度為零，則水平力為靜摩擦力；如果不為零，則水平力是滑動(dòng)摩擦力。根據(jù)圓環(huán)運(yùn)動(dòng)的初始條件，可以確定著地點(diǎn)P相對(duì)于地面的速度vp，圓環(huán)對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和地面粗糙程度決定了vp是怎么隨時(shí)間變化的，從而決定了圓環(huán)運(yùn)動(dòng)特征的變化情況[7]。著地點(diǎn)P相對(duì)于地面的速度vp是質(zhì)心速度和圍繞質(zhì)心速度的疊加[8]，所以需要更詳細(xì)地討論。

2 剛性圓環(huán)運(yùn)動(dòng)分析

設(shè)圓環(huán)質(zhì)心初速度為vc0，初始角速度為ω0，著地點(diǎn)隨圓環(huán)旋轉(zhuǎn)線速度為vc0，則vp0=ω0r。

2.1 當(dāng)vc0與vp0反向時(shí)圓環(huán)運(yùn)動(dòng)分析

1)vc0=ω0r

初始狀態(tài)vc0與vp0是方向相反，矢量之和為零，圓環(huán)著地點(diǎn)P 點(diǎn)相對(duì)于地面速率0，即圓環(huán)進(jìn)行滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)而不滑動(dòng)。在水平方向，環(huán)受到靜摩擦力，其大小在0～fmax范圍內(nèi)，fmax≈μN(yùn)，方向與環(huán)P 的運(yùn)動(dòng)方向相反。下面用反論證法分析下一時(shí)刻環(huán)在水平方向上的摩擦力，分析此時(shí)環(huán)受到地面的摩擦力是靜摩擦力還是滑動(dòng)摩擦力[9]。若摩擦力f的方向向右，則vc變大、ω變小，而此時(shí)圓環(huán)與地面接觸點(diǎn)P的速度vp大小不為0，而且方向是向右的，因此可以推斷此時(shí)水平方向摩擦力的方向應(yīng)向左，這個(gè)結(jié)果與假設(shè)是矛盾的；若摩擦力f的方向向左，則vc變小、ω變大，而此時(shí)圓環(huán)與地面接觸點(diǎn)P 的速度vp大小不為0，而且方向是向左的，因此可以推斷此時(shí)水平方向摩擦力的方向應(yīng)該向右，這個(gè)結(jié)果與假設(shè)也是矛盾的。由以上的分析可以得到，在vc0與vp0相反方向且矢量和為0 的初始條件下，圓環(huán)在水平方向上受到的摩擦力為0。

因此可以得到結(jié)論：在圓環(huán)與地面接觸點(diǎn)P的速度vp為0 之后，圓環(huán)在水平方向上受到地面的摩擦力為0，而且圓環(huán)作的是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)速度vc0和旋轉(zhuǎn)角速度ω0都保持不變的運(yùn)動(dòng)，也就是沒有滑動(dòng)只有滾動(dòng)的無(wú)滑滾動(dòng)，可以將這種無(wú)滑滾動(dòng)認(rèn)為是保持穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。

2)vc0＜ω0r

當(dāng)vc0與vp0反向且vc0＜ω0r時(shí)，在初始時(shí)刻的下一時(shí)刻，圓環(huán)著地點(diǎn)P 的速度的方向就會(huì)向左，且與質(zhì)心速度vc反向，著地點(diǎn)P 點(diǎn)和圓環(huán)整體都會(huì)受到方向向右的滑動(dòng)摩擦力f=μmg，f會(huì)使vc增大、ω減小和vp減小。由剛體運(yùn)動(dòng)的質(zhì)心定理和質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)定理[6]可以得到:

由此可得著地點(diǎn)速率：

如果質(zhì)心速度vc為正，則表示環(huán)正向運(yùn)動(dòng)。如果質(zhì)心速度vc為負(fù)，則表示環(huán)向相反方向運(yùn)動(dòng)。正轉(zhuǎn)速ω表示環(huán)繞中心正方向旋轉(zhuǎn)，負(fù)轉(zhuǎn)速意味著環(huán)繞中心負(fù)方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)P 點(diǎn)速度vp為正時(shí)，意味著環(huán)上的摩擦力是滑動(dòng)摩擦力，當(dāng)P 點(diǎn)速度減小到0 時(shí)，環(huán)上的摩擦力變?yōu)殪o摩擦力。

分別令著地點(diǎn)速度的大小vp、質(zhì)心速度的大小vc和旋轉(zhuǎn)角速度ω為0，得到了3 個(gè)時(shí)刻t1、t′1和t″1，t1=(ω0r-vc0)，t′1在這種情況下不存在，t″1=ω0r/μg。公式(1)～(3)適用的時(shí)間段為t∈[0，t1]。根據(jù)(1)～(3)式，在t∈[0，t1]時(shí)間段內(nèi)，質(zhì)心速率vc不斷的增加而著地點(diǎn)的速率不斷的減小最終會(huì)減小到0，旋轉(zhuǎn)角速度ω不斷的減小。直到t=t1時(shí)，vp(t)=0，在t1之后，圓環(huán)會(huì)保持無(wú)滑滾動(dòng)的平衡狀態(tài)不變?？傊?，在這種條件下圓環(huán)移動(dòng)的方向不發(fā)生變化、運(yùn)動(dòng)速度隨時(shí)間增加，增大到一定時(shí)刻不改變，旋轉(zhuǎn)方向不改變，旋轉(zhuǎn)速度隨時(shí)間降低，在滿足要求vp(t)=vc-ωr=0之后，旋轉(zhuǎn)速度也不再變化。

在vc0與vp0反向且v0＜ω0r時(shí)，圓環(huán)作滾動(dòng)減慢，移動(dòng)加快的運(yùn)動(dòng)，它會(huì)一直向前運(yùn)動(dòng)，不會(huì)作回滾運(yùn)動(dòng)，最終達(dá)到無(wú)滑滾動(dòng)的平衡狀態(tài)。

3)vc0＞ω0r

當(dāng)vc0與vp0反向且vc0＞ω0r時(shí)，在初始時(shí)刻的下一時(shí)刻，圓環(huán)著地點(diǎn)P 的速度vp的方向會(huì)與質(zhì)心速度vc同向，即向右。所以著地點(diǎn)P 點(diǎn)會(huì)受到向左的滑動(dòng)摩擦力f=μmg，f會(huì)使vc減小、ω增大和vp減小，可以得到：

由此可得著地點(diǎn)速率：

分別令著地點(diǎn)速度的大小vp、質(zhì)心速度的大小vc和旋轉(zhuǎn)角速度ω分別為0，得到了3個(gè)時(shí)刻、和t2、t′2和t″2，t2=(vc0-ωr)/2μgt，t′2=vc0/μg,t″2在這種情況下不存在。公式(4)～(6)適用的時(shí)間段為t∈[0,t2]。根據(jù)(4)～(6)式，在時(shí)間段內(nèi)，質(zhì)心的速率vc不斷減小但沒有減小到0，著地點(diǎn)速率vp不斷減小且減小到0，旋轉(zhuǎn)角速度不斷增大。直到t=t2時(shí)，vp(t)=0；在t2之后，圓環(huán)會(huì)保持無(wú)滑滾動(dòng)的平衡狀態(tài)不變。因此，在t2時(shí)刻圓環(huán)的移動(dòng)的方向不發(fā)生變化、運(yùn)動(dòng)速率減小直到一定時(shí)刻不改變，旋轉(zhuǎn)方向不改變、旋轉(zhuǎn)速度增加，在滿足要求vp(t)=vc-ωr=0 后，旋轉(zhuǎn)速度也不再變化。

在vc0與vp0反向且vc0＞ω0r 時(shí)，圓環(huán)作滾動(dòng)加快，移動(dòng)減慢的運(yùn)動(dòng)，它會(huì)一直向前運(yùn)動(dòng)，不會(huì)作回滾運(yùn)動(dòng)，最終達(dá)到無(wú)滑滾動(dòng)的平衡狀態(tài)。

2.2 當(dāng)vc0與vp0同向時(shí)圓環(huán)運(yùn)動(dòng)分析

當(dāng)初始條件為vc0與vp0同向時(shí)，環(huán)在開始時(shí)刻處于打滑狀態(tài)。這里允許與可以分別為0則，對(duì)應(yīng)兩個(gè)速度特例，即在圓環(huán)運(yùn)動(dòng)開始的時(shí)候只有轉(zhuǎn)動(dòng)沒有平動(dòng)或只有平動(dòng)沒有轉(zhuǎn)動(dòng)。圓環(huán)著地點(diǎn)初始速度方向水平向右，受到地面的摩擦力應(yīng)該是滑動(dòng)摩擦力，大小為f=μN(yùn)=μmg、方向水平向左。可以得到：

由此可得著地點(diǎn)P在任一時(shí)刻速率：

分別令著地點(diǎn)速率vp、質(zhì)心速率vc和旋轉(zhuǎn)角速度ω分別為0，得到了3 個(gè)時(shí)刻t3、t′3、t″3，t3=(vc0+ωr)/2μg，t′3=vc0/μg，t″3=ω0r/μg。(7)～(9) 式是在著地點(diǎn)P 的速度vp方向向右，滑動(dòng)摩擦力向左條件下得到的，所以適用的時(shí)間段為t∈[0,t3]。根據(jù)(7)～(9)式，在t∈[0,t3]時(shí)間段內(nèi)，質(zhì)心速率vc、旋轉(zhuǎn)角速度ω和著地點(diǎn)速率vp都會(huì)不斷增大；在t=t3時(shí)，vp(t)=0；在t3之后，圓環(huán)會(huì)保持無(wú)滑滾動(dòng)的平衡狀態(tài)不變。在vc0與vp0同向的初始條件下，圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)會(huì)存在兩種情形。

1)vc0＜ω0r

如果vc0與vp0同向且vc0＜ω0r時(shí)，根據(jù)圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)情況可知：t′3＜t3＜t″3，在t=t3時(shí)，vc(t3)=(vc0-ω0r)/2 ＜0，ω(t3)=(vc0-ω0r)/2 ＞0。在t∈[0,t3]時(shí)間段內(nèi)，圓環(huán)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方向沒有發(fā)生變化，但是運(yùn)動(dòng)的速度不斷減小直到減小到0為止；圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)方向也沒有發(fā)生改變，轉(zhuǎn)動(dòng)速度隨時(shí)間減小但沒有減小到0。在t∈[t′3,t3]時(shí)間段內(nèi)，圓環(huán)出現(xiàn)反向運(yùn)動(dòng)（即圓環(huán)回滾現(xiàn)象），圓環(huán)反向加速運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)速度仍然減小，但轉(zhuǎn)動(dòng)的方向依舊不變。直到著地點(diǎn)vp的速度為0，也就是到了t3時(shí)刻，摩擦力變?yōu)榱遂o摩擦力。在t3時(shí)刻之后，圓環(huán)會(huì)保持無(wú)滑滾動(dòng)的平衡狀態(tài)不變。圓環(huán)在t∈[0,t′3]內(nèi)質(zhì)心移動(dòng)的最大距離為：

式中，距離公式中的平方項(xiàng)表示此距離與質(zhì)心的初速度和圓環(huán)與地面的摩擦系數(shù)密切相關(guān)。

總之，當(dāng)初始條件為vc0與vp0同向且vc0＜ω0r時(shí)，圓環(huán)質(zhì)心移動(dòng)的方向會(huì)改變，出現(xiàn)圓環(huán)回滾現(xiàn)象，移動(dòng)的速度會(huì)不斷減小，減小到0之后反向加速且速度增大到一定時(shí)刻不在發(fā)生變化；圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)方向不發(fā)生變化，轉(zhuǎn)動(dòng)的速度會(huì)不斷變小，最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

因此，當(dāng)vc0與vp0同向vc0＜ω0r且時(shí)，圓環(huán)作滾動(dòng)減慢，移動(dòng)先變慢然后反向加速的運(yùn)動(dòng)，它會(huì)出現(xiàn)回滾現(xiàn)象，最終達(dá)到無(wú)滑滾動(dòng)的平衡狀態(tài)。

2)vc0＞ω0r

如果vc0與vp0同向且vc0＞ω0r時(shí)，根據(jù)圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)情況可知t′3＜t3＜t″3；在t=t3時(shí)刻，vc(t3)=(vc0-ω0r)/2 ＜0，ω(t3)=(vc0-ω0r)/2 ＞0。在t∈[0,t″3]時(shí)間段內(nèi)，圓環(huán)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的速度減小但沒有減小到0，運(yùn)動(dòng)的方向沒有發(fā)生改變；圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的方向不變，轉(zhuǎn)動(dòng)的速度不斷減小直到減小到0 為止。在t∈[t″3,t3]時(shí)間段內(nèi)，圓環(huán)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的方向繼續(xù)不變，運(yùn)動(dòng)的速度也繼續(xù)減小；圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的方向發(fā)生變化，與原來(lái)反向，轉(zhuǎn)動(dòng)的速度隨時(shí)間增大。在t3時(shí)刻之后，圓環(huán)會(huì)保持無(wú)滑滾動(dòng)的平衡狀態(tài)不變。

總之，當(dāng)初始條件為vc0與vp0同向且vc0＞ω0r時(shí)，圓環(huán)質(zhì)心移動(dòng)的方向保持不變，移動(dòng)的速度不斷減小，減小到一定時(shí)刻不再改變；圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的方向會(huì)改變，轉(zhuǎn)動(dòng)的速度先隨時(shí)間減小，減小到0之后，反向加速轉(zhuǎn)動(dòng)加速到一定時(shí)刻不再發(fā)生改變。因此，當(dāng)vc0與vp0同向且vc0＞ω0r時(shí)，圓環(huán)作移動(dòng)減慢，滾動(dòng)先減慢然后反向加速的運(yùn)動(dòng)，它會(huì)一直向前運(yùn)動(dòng)，不會(huì)作回滾運(yùn)動(dòng)，最終達(dá)到無(wú)滑滾動(dòng)的平衡狀態(tài)。

3 結(jié)語(yǔ)

圓環(huán)的初始運(yùn)動(dòng)情形對(duì)于分析圓環(huán)的回滾運(yùn)動(dòng)具有重要意義。當(dāng)vc0與vp0反向且vc0=ω0r時(shí)，圓環(huán)不受到地面摩擦力的作用，在圓環(huán)與地面接觸點(diǎn)P的速度為0之后，圓環(huán)作質(zhì)心速度和旋轉(zhuǎn)角速度不變的運(yùn)動(dòng)，也就是保持平衡狀態(tài)；當(dāng)vc0與vp0反向且vc0＜ω0r時(shí)，地面的滑動(dòng)摩擦力作用于圓環(huán)，圓環(huán)會(huì)繼續(xù)保持前行，滾動(dòng)減慢，平動(dòng)加快，最后達(dá)到平衡狀態(tài)；當(dāng)vc0與vp0反向且vc0＞ω0r時(shí)，地面的滑動(dòng)摩擦力也作用于圓環(huán)，圓環(huán)會(huì)繼續(xù)保持前行，滾動(dòng)加快，平動(dòng)減慢，最后達(dá)到平衡狀態(tài)。故在vc0與vp0反向時(shí)，圓環(huán)沒有出現(xiàn)回滾現(xiàn)象；當(dāng)vc0與vp0同向且vc0＜ω0r時(shí)，地面的滑動(dòng)摩擦力作用于圓環(huán)，圓環(huán)會(huì)繼續(xù)保持前行，滾動(dòng)減慢，平動(dòng)加快，最后達(dá)到平衡狀態(tài)；當(dāng)vc0與vp0同向且vc0＞ω0r時(shí)，地面的滑動(dòng)摩擦力作用于圓環(huán)，圓環(huán)會(huì)前行一段后反向加速，滾動(dòng)減慢，最后達(dá)到平衡狀態(tài)。