建筑結(jié)構(gòu)基于巴斯金風(fēng)速譜的系列風(fēng)振響應(yīng)的簡明封閉解

李 暾， 張夢丹， 姜 琰， 葛新廣*,2

(1.廣西科技大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，柳州 545006; 2.上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海 200240)

1 引 言

近年來，隨著結(jié)構(gòu)分析和建筑水平的不斷提高，建筑結(jié)構(gòu)向著高、大、柔和細(xì)的方向發(fā)展，結(jié)構(gòu)風(fēng)振效應(yīng)更加突出。根據(jù)產(chǎn)生機(jī)理，風(fēng)對建筑結(jié)構(gòu)的振動影響分為順風(fēng)向和橫風(fēng)向振動。脈動風(fēng)是引起建筑順風(fēng)向隨機(jī)振動的主要因素，橫風(fēng)向振動則較為復(fù)雜，根據(jù)雷諾數(shù)將風(fēng)振細(xì)分為亞臨界、超臨界和跨臨界振動，其中亞臨界和跨臨界振動為確定性周期振動，而超臨界振動則具有隨機(jī)性，相對于順風(fēng)向振動影響較小[1-4]。風(fēng)工程領(lǐng)域研究風(fēng)對結(jié)構(gòu)的影響主要有風(fēng)洞試驗[5,6]和理論分析[7-14]，風(fēng)洞試驗?zāi)軠?zhǔn)確考慮風(fēng)場與建筑的相互作用，根據(jù)相似性準(zhǔn)則制作不同的縮尺模型，通過剛體測壓試驗獲得結(jié)構(gòu)表面的風(fēng)壓體型系數(shù)，通過節(jié)段模型試驗研究結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)，通過氣彈模型試驗研究結(jié)構(gòu)整體的氣動彈性特性，但試驗成本較高；而理論研究則通過分析大量試驗資料，利用功率譜概念來表述脈動風(fēng)對結(jié)構(gòu)的作用，所得結(jié)果基本能滿足工程精度要求。因此，風(fēng)的隨機(jī)理論分析是結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)分析的重要方法。工程上常采用風(fēng)速譜描述脈動風(fēng)的隨機(jī)過程，根據(jù)風(fēng)速譜的統(tǒng)計方法分為兩類，一類是將強(qiáng)風(fēng)記錄儀通過超低頻濾波器，直接獲得脈動風(fēng)的功率譜密度函數(shù)，Davenport譜[11]和Simiu譜[12]屬于這一類，均采用分?jǐn)?shù)指數(shù)形式表示，是根據(jù)強(qiáng)風(fēng)記錄，不易獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的簡明封閉解[2,3,7]；另外一類是將強(qiáng)風(fēng)記錄通過相關(guān)分析，得到相關(guān)曲線，再利用Wiener-Khinchin公式獲得風(fēng)速譜的功率譜密度函數(shù)，而巴斯金風(fēng)速譜屬于此類，其采用整數(shù)指數(shù)(有理式)形式，目前僅獲得偶數(shù)階響應(yīng)譜矩解[10,13]，且表達(dá)式也比較復(fù)雜，又無1階譜矩的響應(yīng)解，無法用于基于首超破壞準(zhǔn)則及Vanmark假設(shè)的動力可靠度分析[15,16]。

本文針對巴金斯譜激勵下結(jié)構(gòu)的風(fēng)振響應(yīng)分析解析解表達(dá)式復(fù)雜或者需要數(shù)值積分的問題，提出了一種分析結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)0～2階譜矩及4階譜矩的簡明封閉解法。首先，基于留數(shù)定律[17]提出了巴斯金譜的二次正交式；其次，利用復(fù)模態(tài)方法[7，18]和虛擬激勵法[19]提出了結(jié)構(gòu)系列響應(yīng)(結(jié)構(gòu)層絕對位移及其振動速度、層間位移及其變化率)的頻響函數(shù)的二次正交式，進(jìn)而獲得結(jié)構(gòu)系列響應(yīng)功率譜密度函數(shù)的二次正交式；最后，根據(jù)隨機(jī)振動理論中譜矩的定義[18]，獲得結(jié)構(gòu)風(fēng)振系列響應(yīng)的0～2階和4階的譜矩的簡明封閉解。

2 巴金斯譜的二次正交式

建筑結(jié)構(gòu)在強(qiáng)風(fēng)作用下的振動是由脈動風(fēng)壓引起，脈動風(fēng)壓與平均風(fēng)速相關(guān)并具有空間相關(guān)性，離地高度H的脈動風(fēng)載pf(H,t)表示為[7,10]

pf(H,t)=I0(H)B(H)u(t)

(1)

(2)

(3)

式中μs(H)和w0分別為離地H高度處的風(fēng)荷載體型系數(shù)和基本風(fēng)壓，A為結(jié)構(gòu)風(fēng)壓力計算的迎風(fēng)面積。

巴斯金風(fēng)速譜的功率譜采用有理式[2,13],

(4)

為了便于獲得簡明封閉解，利用留數(shù)定理[17]獲得其二次正交式，

(5)

由于脈動風(fēng)對建筑結(jié)構(gòu)順風(fēng)向作用具有顯著的空間相關(guān)性，且豎向高度相關(guān)性最為明顯，則考慮高度相關(guān)性的平穩(wěn)脈動風(fēng)壓力的功率譜SPf(Hi,Hj,ω)[7,10]為

(6)

(7)

3 結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜的簡明解

建筑結(jié)構(gòu)在橫風(fēng)向荷載pf(t)作用下的運動方程為

(8)

對于常規(guī)結(jié)構(gòu)，風(fēng)對建筑結(jié)構(gòu)的作用取前m個振型，則結(jié)構(gòu)的位移向量可由陣型表示為

x=φmq

(9)

式中φm為結(jié)構(gòu)前m振型矩陣，為n×m矩陣；q為廣義坐標(biāo)向量，q=[q1…qm]T; T為矩陣轉(zhuǎn)置。

把式(9)代入式(8)，并利用實模態(tài)的正交性，結(jié)構(gòu)的振動方程改寫為

(10)

引入狀態(tài)變量：

(11)

則式(10)改寫為

(12)

式中O2為m×m矩陣，其元素均為0;E1為m×m的單位對角矩陣。

根據(jù)復(fù)模態(tài)法理論[7]，式(12)存在左右特征向量V，U和特征值矩陣P使之解耦，三者存在關(guān)系，

(13)

式中特征值矩陣P為對角陣，其元素的實部為正實數(shù)。

引入復(fù)模態(tài)變換,

y=Uz

(14)

由復(fù)模態(tài)理論[7,19]，式(12)改寫為

(15)

由于P為對角陣，式(15)的分量形式為

(k=1～2m)(16)

根據(jù)虛擬激勵法[19]，式(16)的頻域解為

(17)

由式(9，11，14)，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的頻域解為

(18a)

(18b)

(18c)

(18d)

從式(18)可知，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的位移及速度、層間位移及其變化率可統(tǒng)一表示為

(19)

由虛擬激勵法[19]，Dl的響應(yīng)功率譜為

(20)

式(20)可獲得其更為簡明的表達(dá)式，

SDl(ω)=GDl(ω)Su(ω)

(21)

式中GDl(ω)為Dl的頻響響應(yīng)特征值函數(shù)，具體推導(dǎo)見附錄A，其二次正交式為

(22)

由式(21)可知，建筑結(jié)構(gòu)基于巴斯金風(fēng)譜的動力響應(yīng)功率譜可表示為結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)特征值函數(shù)和巴斯金風(fēng)速功率譜的代數(shù)乘積關(guān)系，具有表達(dá)式簡潔的特點。由式(5,22)可知，式(21)所表示的結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜為二次正交形式，為本文獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)譜矩和方差簡明封閉解奠定基礎(chǔ)。

4 風(fēng)振系列響應(yīng)譜矩的簡明封閉解

根據(jù)隨機(jī)振動理論[19]，線性結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的0階譜矩等于位移響應(yīng)的方差；位移響應(yīng)的2階譜矩等于速度響應(yīng)的0階譜矩等于速度響應(yīng)的方差；位移響應(yīng)的4階譜矩等于速度響應(yīng)的2階譜矩等于加速度響應(yīng)的0階譜矩，即加速度的方差。位移響應(yīng)的方差、速度響應(yīng)的方差及位移響應(yīng)的0～2階譜矩是基于Markov分布的動力可靠度分析的關(guān)鍵參數(shù)[15,16]。加速度方差是結(jié)構(gòu)風(fēng)振舒適度分析的主要參數(shù)[20,21]。為此,需要對結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的0～2階及4階譜矩進(jìn)行分析。

根據(jù)隨機(jī)振動理論，結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的譜矩為

(q=0～2)(23)

4.1 結(jié)構(gòu)響應(yīng)0～2階譜矩

把式(22)代入式(23)，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的q階譜矩為

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

4.2 結(jié)構(gòu)層絕對加速度的方差

建筑結(jié)構(gòu)風(fēng)振舒適度取決于結(jié)構(gòu)層風(fēng)振的絕對加速度[20,21]。由隨機(jī)振動理論可知，結(jié)構(gòu)絕對加速度的方差=絕對位移變化率的2階譜矩。由式(18b,24)可知，結(jié)構(gòu)層絕對加速度可表示為

(29)

5 算 例

5.1 巴斯金風(fēng)速譜的等效形式驗證

圖1為本文所提巴斯金譜的二次正交式與其有理式的對比，兩者完全重合，驗證了本文所提二次正交式的正確性。

5.2 位移功率譜對比分析

圖2和圖3為本文方法獲得的結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜與虛擬激勵法的響應(yīng)功率譜的對比?？梢钥闯鰞烧咄耆呛希f明本文所提結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜密度函數(shù)二次正交式的正確性。

圖1 風(fēng)速譜對比

圖2 1層位移功率譜對比

圖3 10層位移功率譜對比

5.3 譜矩分析

5.3.1 積分區(qū)間對虛擬激勵法精度的影響分析

虛擬激勵法的積分區(qū)間分別取[0，5] rad/s，[0，25] rad/s和[0，100] rad/s，而積分步長統(tǒng)一取0.01 rad/s，計算結(jié)構(gòu)各層位移及層間位移的譜矩并與本文方法進(jìn)行對比，如圖4～圖10所示。可以看出，隨著積分步長的增加，虛擬激勵法所得結(jié)果逼近本文方法，從而說明本文方法所得封閉解的正確性。

從圖4和圖8可以看出，對于0階譜矩，虛擬激勵法的積分區(qū)間取[0，5] rad/s可達(dá)到很高的精度；從圖5～圖7、圖9和圖10可以看出，對結(jié)構(gòu)響應(yīng)1階和2階譜矩及加速度方差，虛擬激勵法的積分區(qū)間取[0，25] rad/s可達(dá)到很高的精度。由此可知，虛擬激勵法分析不同階譜矩時要想達(dá)到高精度，必須試算積分區(qū)間。

圖4 位移0階譜矩區(qū)間對比

圖5 位移1階譜矩區(qū)間對比

圖6 位移2階譜矩區(qū)間對比

圖7 加速度方差區(qū)間對比

圖8 層間位移0階譜矩區(qū)間對比

圖9 層間位移1階譜矩區(qū)間對比

圖10 層間位移2階譜矩區(qū)間對比

5.3.2 積分步長對虛擬激勵法的影響

根據(jù)5.3.1的分析可得，當(dāng)積分區(qū)間為[0,100]時,虛擬激勵法與本文方法在計算譜矩時完全吻合。為了分析虛擬激勵法積分步長對其精度的影響，分別取3種積分步長，1 rad/s，0.25 rad/s和0.01 rad/s。圖11～圖17為不同積分步長下虛擬激勵法分析譜矩與本文方法的對比?？梢钥闯?積分步長越小，計算的譜矩與本文方法越接近，故可證明本文方法的正確性。

圖11 位移0階譜矩對比

圖12 位移1階譜矩對比

圖13 位移2階譜矩對比

圖14 加速度方差對比

圖15 層間位移0階譜矩對比

圖16 層間位移1階譜矩對比

圖17 層間位移2階譜矩對比

6 結(jié) 論

本文研究了基于巴斯金譜的建筑結(jié)構(gòu)順風(fēng)向振動的系列響應(yīng)0～2階譜矩及加速度方差的簡明封閉解，獲得如下結(jié)論。

(1) 利用留數(shù)定律獲得整數(shù)指數(shù)表示的巴斯金譜的二次正交式，其為獲得基于巴斯金譜描述的各類隨機(jī)激勵下結(jié)構(gòu)響應(yīng)簡明封閉解的關(guān)鍵所在。

(2) 利用復(fù)模態(tài)法和虛擬激勵法將線性結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行二次正交化，即將結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)函數(shù)表示為結(jié)構(gòu)振動特征值及圓頻率變量平方和倒數(shù)的線性組合，與巴斯金譜的二次正交式相乘即為結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜的二次正交式，為獲得結(jié)構(gòu)系列響應(yīng)0～2譜矩及加速度方差的簡明封閉解奠定基礎(chǔ)。

(3) 利用本文方法可以方便獲得結(jié)構(gòu)位移、結(jié)構(gòu)位移變化率、層間位移和層間位移變化率的統(tǒng)一顯示簡明表達(dá)式，便于工程應(yīng)用。

(4) 將本文所提封閉解與虛擬激勵法進(jìn)行對比分析，驗證了本文方法的正確性，同時也說明了虛擬激勵法在分析譜矩時的精度受積分步長和積分區(qū)間影響較大，需通過多次試算才能找到精度高的解。

附錄A 動力響應(yīng)功率譜的推導(dǎo)

對本文式(20)進(jìn)行整理，

(A-1)

(A-2a)

(A-2b)

(A-2c)

(A-2d)

將式(17)代入式(A-2c),

(A-3)

利用式(7)，式(A-3)簡化為

(A-4)

(A-5)

將式(17)代入式(A-2d)得

(A-6)

由式(8)，式(A-6)改寫為

(A-7)

(A-8)

針對式(A-7)的以下部分進(jìn)行簡化，

(A-9)

將式(A-9)代入式(A-7)得

(A-10)

將式(A-4，A-10)代入式(A-1)，則結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)壓力的動力響應(yīng)的功率譜為

SDl(ω)=GDl(ω)·Su(ω)

(A-11)

(A-12)

由式(A-12)可知，GDl(ω)與風(fēng)荷載無關(guān)，僅與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的復(fù)振動特征值有關(guān)。

(B -1)

(B -2)

(B -3)