不確定結(jié)構(gòu)時(shí)域響應(yīng)分析的多項(xiàng)式維數(shù)分解法

趙 巖， 劉 凡， 孫曉旭

(大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 工程力學(xué)系，大連 116024)

1 引 言

不確定性因素廣泛存在于各工程領(lǐng)域，通常應(yīng)用的確定性模型只是實(shí)際結(jié)構(gòu)的一種近似模型化方式，以確定性分析嚴(yán)格作為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)將會(huì)帶來(lái)一定的風(fēng)險(xiǎn)。采用隨機(jī)結(jié)構(gòu)模型是實(shí)際結(jié)構(gòu)更為合理的模型化方法，目前，考慮不確定性因素在結(jié)構(gòu)中的傳播及合理度量不確定性因素對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響已經(jīng)成為動(dòng)力學(xué)研究的重要課題[1-3]。

在關(guān)于不確定性分析的研究工作中，最早應(yīng)用的攝動(dòng)技術(shù)是比較流行的方法，在實(shí)際應(yīng)用中通常采用二階截?cái)嗾归_(kāi),對(duì)于更高階情形的求解將會(huì)變得非常復(fù)雜。此外，攝動(dòng)法一般只適用于小尺度變異的隨機(jī)問(wèn)題，成為其固有的缺陷[4]。吳鋒等[5]提出了快速攝動(dòng)法，較好地解決了攝動(dòng)法的復(fù)雜展開(kāi)計(jì)算問(wèn)題。蒙特卡洛方法MC(Monte Carlo method)是處理不確定動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的另一種有效方法，其基于樣本分析的策略能夠有效應(yīng)用于線性和非線性問(wèn)題等各研究領(lǐng)域[6,7]；其較為明顯的不足之處在于收斂效率問(wèn)題，為了得到可靠的計(jì)算結(jié)果，需要較高的樣本數(shù)量[4]。目前，針對(duì)小樣本的MC方法成為研究的一個(gè)主要方向[8,9]。

對(duì)于不確定結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)，譜隨機(jī)方法植根于概率和測(cè)度空間的豐富數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之中，近年來(lái)成為處理不確定問(wèn)題的重要手段。Cameron-Martin定理指出，在L2空間中任意二階隨機(jī)過(guò)程可以由正交多項(xiàng)式序列予以均方逼近，成為譜隨機(jī)方法的核心出發(fā)點(diǎn)?；诙囗?xiàng)式逼近的Galerkin映射方法成功應(yīng)用于動(dòng)力學(xué)問(wèn)題分析。由于需要求解的方程組規(guī)模遠(yuǎn)大于原始隨機(jī)問(wèn)題，當(dāng)涉及隨機(jī)因素較多時(shí)，矩陣維度會(huì)顯著增加，該方法只能用于簡(jiǎn)單的分析模型[10,11]。維數(shù)分解法[12,13]采用一組變量維數(shù)逐次增加的成員函數(shù)對(duì)原高維隨機(jī)函數(shù)進(jìn)行分解，是一種有限、分層且收斂的展開(kāi)，實(shí)現(xiàn)了降維目的。之后，Rahman將成員函數(shù)進(jìn)行Fourier展開(kāi)，提出了多項(xiàng)式維數(shù)分解法，即PDD(Polynomial dimensional decomposition)方法[14]。該方法給出了原隨機(jī)函數(shù)關(guān)于隨機(jī)變量的簡(jiǎn)單映射關(guān)系，能夠根據(jù)展開(kāi)系數(shù)快速求得原隨機(jī)函數(shù)的統(tǒng)計(jì)矩，已廣泛應(yīng)用于靈敏度分析[15]、不確定性設(shè)計(jì)[16]和隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)頻域穩(wěn)態(tài)分析[17]等，顯示出良好的應(yīng)用前景。

本文將上述PDD方法推廣用于不確定結(jié)構(gòu)的時(shí)域響應(yīng)分析，采用參數(shù)概率模型來(lái)描述不確定性，建立隨機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程。將結(jié)構(gòu)不確定時(shí)域響應(yīng)表達(dá)為不確定參數(shù)的函數(shù)，進(jìn)一步將關(guān)心的不確定時(shí)域響應(yīng)進(jìn)行維數(shù)分解，并利用正交多項(xiàng)式進(jìn)行Fourier展開(kāi)。采用降維積分方法進(jìn)行展開(kāi)系數(shù)的計(jì)算，并最終進(jìn)行不確定結(jié)構(gòu)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)量隨時(shí)間演變過(guò)程的分析。數(shù)值算例中，通過(guò)具有解析解的不確定單自由度動(dòng)力響應(yīng)分析驗(yàn)證所提出方法的正確性，進(jìn)而采用具有不確定參數(shù)的多自由度桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行了方法的一般性應(yīng)用，并同MC方法進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證所建立方法的有效性。

2 具有不確定參數(shù)結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程

在實(shí)際的工程結(jié)構(gòu)中，由于不確定的材料物理參數(shù)和不可避免的加工制造誤差等廣泛存在的不確定性，使得結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量等參數(shù)也具有不確定性。假定結(jié)構(gòu)中所有的不確定參數(shù)均為服從特定概率密度分布的獨(dú)立隨機(jī)變量，并假定外荷載與結(jié)構(gòu)的不確定參數(shù)相互獨(dú)立。此時(shí)，具有不確定參數(shù)結(jié)構(gòu)在外荷載作用下的運(yùn)動(dòng)方程可表示為

(1)

x(t,ξ)=G(t,ξ1,ξ2,…,ξN)

(2)

由于結(jié)構(gòu)中存在不確定參數(shù)，使得結(jié)構(gòu)的時(shí)域響應(yīng)向量x(t,ξ)的每一個(gè)元素在任意時(shí)間t處都是關(guān)于不確定參數(shù)ξ的函數(shù)。對(duì)于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)而言，往往只關(guān)心結(jié)構(gòu)部分節(jié)點(diǎn)的響應(yīng)，假設(shè)x(t,ξ)是x(t,ξ)的某一個(gè)觀測(cè)自由度，將其表示為關(guān)于ξ的函數(shù)

x(t,ξ)=g(t,ξ1,ξ2,…,ξN)

(3)

本文利用PDD方法對(duì)式(3)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)函數(shù)在每個(gè)時(shí)間步處進(jìn)行維數(shù)分解和Fourier展開(kāi)，進(jìn)一步利用展開(kāi)系數(shù)計(jì)算得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

3 時(shí)域響應(yīng)分析的PDD方法

3.1 多項(xiàng)式維數(shù)分解法

將結(jié)構(gòu)時(shí)域響應(yīng)x(t,ξ)進(jìn)行維數(shù)分解并取P元近似，可表示為[14]

(4)

式(4)可視為對(duì)多元隨機(jī)函數(shù)x(t,ξ)，采用一組變量維數(shù)逐次增加的成員函數(shù)進(jìn)行分層近似，且這種分層近似在每一時(shí)間步t內(nèi)進(jìn)行。在式(4)中

(5)

將式(4)的成員函數(shù)進(jìn)行Fourier展開(kāi)，并取前m階截?cái)?，將其表示為展開(kāi)系數(shù)與正交多項(xiàng)式基底的乘積形式

(6)

式中P取1,2,3時(shí)分別對(duì)應(yīng)一元、二元和三元展開(kāi)系數(shù)。式(6)的展開(kāi)系數(shù)可按式(7)計(jì)算

(7)

式中Ψj(ξi)表示第i個(gè)隨機(jī)變量ξi的第j階正交多項(xiàng)式基底，關(guān)于展開(kāi)系數(shù)和正交多項(xiàng)式基底的內(nèi)容可參見(jiàn)文獻(xiàn)[14]。利用式(6)的Fourier展開(kāi)后，可將原來(lái)沒(méi)有顯示映射關(guān)系的成員函數(shù)近似表達(dá)為簡(jiǎn)單的函數(shù)映射關(guān)系，再根據(jù)式(4)，便能夠得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)函數(shù)x(t,ξ)的顯式函數(shù)映射關(guān)系。

在對(duì)結(jié)構(gòu)時(shí)域響應(yīng)進(jìn)行維數(shù)分解和Fourier展開(kāi)后，響應(yīng)的均值和方差可按式(8,9)計(jì)算[18]。

E[x(t,ξ)]=x0(t)

(8)

(9)

相應(yīng)地，可由式(9)得到結(jié)構(gòu)時(shí)域響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差SD(Standard deviation)的計(jì)算公式。

3.2 降維積分方法

在計(jì)算式(5)的x0(t)和式(7)的Ci1…iPj1…jP(t)時(shí)，需要進(jìn)行N維積分，當(dāng)隨機(jī)變量維數(shù)較大時(shí)，計(jì)算成本高昂，對(duì)此本文采用降維積分方法[14]。令c={c1,c2,…，cN}T為隨機(jī)變量ξ的均值，將x(t,ξ)的N-(R-q)個(gè)隨機(jī)變量用c相對(duì)應(yīng)的均值代替，得到x(t,ξ)的R-q階近似為

xR -q(t,ξ)=x(t,c1,c2,…,cq1-1,ξq1,cq1+1,…,

(10)

此處，P≤R≤N(q=0,1,…,R)。如當(dāng)R=1時(shí)，0維分量函數(shù)(對(duì)應(yīng)q=1)對(duì)于給定的時(shí)間t是一個(gè)常量x(t,c)，一維分量函數(shù)(對(duì)應(yīng)q=0)對(duì)于給定的時(shí)間t是N個(gè)一元函數(shù)x(t,ξ1,c2,…,cN)，x(t,c1,ξ2,c3,…,cN)，…，x(t,c1,c2,…,cN -1,ξN)。定義函數(shù)x(t,ξ)的R元近似

(11)

3.3 計(jì)算量分析

4 數(shù)值算例

給出2個(gè)數(shù)值算例，分別為具有不確定參數(shù)的單自由度系統(tǒng)和10桿桁架結(jié)構(gòu)，用于驗(yàn)證本文提出的PDD方法的精確性和計(jì)算效率。在單自由度系統(tǒng)算例中，系統(tǒng)僅含有1個(gè)不確定參數(shù)，主要用于研究PDD方法中多項(xiàng)式基底數(shù)目對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算精度的影響。在10桿桁架算例中，結(jié)構(gòu)中存在12個(gè)不確定參數(shù)，主要用于研究不同R值對(duì)均值的影響，以及研究不同R,P和m值對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算精度的影響。算例1中，解析解和MC模擬結(jié)果將作為PDD方法計(jì)算結(jié)果的參照。算例2中，MC模擬結(jié)果將作為PDD方法計(jì)算結(jié)果的參照。

4.1 單自由度系統(tǒng)

單自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程可表示為[1]

(12)

分別采用MC和PDD兩種方法計(jì)算系統(tǒng)位移響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，分析時(shí)間為0 s～15 s，時(shí)間步長(zhǎng)取0.01 s。MC方法的樣本數(shù)量取105，PDD方法中多項(xiàng)式基底數(shù)目取12，采用解析積分計(jì)算均值和展開(kāi)系數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)[1]給出的系統(tǒng)位移響應(yīng)均值以及標(biāo)準(zhǔn)差的解析表達(dá)式計(jì)算得到的結(jié)果，作為本文PDD方法的參照。

圖1給出了分別由PDD方法和MC方法計(jì)算得到的系統(tǒng)位移響應(yīng)均值曲線，可以看出，PDD方法計(jì)算得到的系統(tǒng)位移響應(yīng)均值與解析解及MC模擬結(jié)果吻合良好。實(shí)際上，在該算例中只有一個(gè)隨機(jī)變量，由PDD方法的展開(kāi)系數(shù)計(jì)算式(5)可知，當(dāng)采用解析積分時(shí)，PDD方法計(jì)算得到的均值與解析解是完全一致的。值得注意的是，對(duì)于算例中的隨機(jī)系統(tǒng)，其響應(yīng)的均值呈現(xiàn)出衰減的趨勢(shì)，當(dāng)時(shí)間t→∞時(shí)，響應(yīng)的均值為0。無(wú)阻尼確定參數(shù)系統(tǒng)的響應(yīng)不會(huì)隨時(shí)間衰減，這表明確定系統(tǒng)響應(yīng)和不確定系統(tǒng)響應(yīng)有顯著不同[1]。

圖1 位移響應(yīng)均值

圖2給出了PDD方法和MC方法計(jì)算得到的系統(tǒng)位移響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差?？梢钥闯?，當(dāng)基底數(shù)目很少時(shí)，PDD方法計(jì)算得到的標(biāo)準(zhǔn)差在初始的一段時(shí)間里能夠和MC模擬結(jié)果以及解析解相吻合，但隨著時(shí)間的增大，吻合程度逐漸變差。當(dāng)增加基底數(shù)目時(shí)，PDD方法計(jì)算得到的標(biāo)準(zhǔn)差在更長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)與MC模擬結(jié)果及解析解相吻合。由此可知，在PDD方法中可以通過(guò)增加基底數(shù)目以獲取更加精確的計(jì)算結(jié)果。由系統(tǒng)響應(yīng)均值和二階原點(diǎn)矩的解析表達(dá)式可知，當(dāng)t→∞時(shí)，響應(yīng)方差會(huì)逐漸收斂于穩(wěn)定值，因此可以只計(jì)算相對(duì)足夠長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)差即可。在此算例中，PDD方法取合適的基底數(shù)目(如m=12)便足夠，不需要取無(wú)窮多項(xiàng)。

圖2 位移響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差

4.2 10桿桁架

圖3 10桿桁架

表1 桁架隨機(jī)變量參數(shù)

圖4給出了采用PDD方法和MC方法計(jì)算得到的桿3軸向應(yīng)力均值?？梢钥闯?，PDD方法計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)均值曲線與MC方法結(jié)果吻合良好，即使取R=1，也能得到與MC方法相吻合的結(jié)果，這表明PDD方法具有足夠的精確性。

圖4 桿3軸向應(yīng)力均值

圖5給出了PDD方法和MC方法計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差。在PDD方法中，P分別取1，2和3用于對(duì)比不同P值對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差的影響。可以看出，當(dāng)P=1時(shí)，PDD方法計(jì)算得到的響應(yīng)曲線與MC方法模擬結(jié)果稍有偏差，但隨著P的增大，PDD方法計(jì)算結(jié)果與MC方法結(jié)果吻合程度更好，表明在PDD方法中可以通過(guò)增大P的取值來(lái)提高計(jì)算精度。

圖6和圖7分別給出了PDD方法在不同R和P值(R=P)以及不同多項(xiàng)式基底數(shù)目m時(shí)，計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差與MC方法模擬結(jié)果的對(duì)比曲線。可以看出，在PDD方法中，增大R，P或m的值均能夠提高計(jì)算精度。在該算例中，取R=P=2時(shí)便能夠得到與MC方法非常吻合的計(jì)算結(jié)果。

圖5 不同P值時(shí)的桿3軸向應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差

圖6 不同m值時(shí)的桿3軸向應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差

圖7 不同R值和P值時(shí)的桿3軸向應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)差

表2給出了PDD方法與MC方法所需的時(shí)域響應(yīng)分析次數(shù)，由表中數(shù)據(jù)可知，PDD方法所需時(shí)域響應(yīng)分析次數(shù)遠(yuǎn)少于MC方法。雖然本文給出了R=P=3的PDD方法計(jì)算結(jié)果，但實(shí)際上取R=P=2時(shí)便有與MC方法相當(dāng)?shù)木?，而PDD方法所需的時(shí)域分析次數(shù)僅為289次，不到MC方法所需次數(shù)的3%，采用PDD方法可節(jié)省大量的分析時(shí)間。對(duì)比PDD方法不同R和P值時(shí)的分析次數(shù)可知，隨著降維積分變量數(shù)目的增加，動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析所需的次數(shù)也會(huì)增加，在應(yīng)用PDD方法時(shí)，可以使P與R取相同的值，這樣既能提高精度，且不會(huì)增加額外的計(jì)算量。

表2 時(shí)域響應(yīng)分析次數(shù)

PDD方法中，在每個(gè)積分節(jié)點(diǎn)處進(jìn)行的時(shí)域響應(yīng)計(jì)算與確定參數(shù)結(jié)構(gòu)的時(shí)域響應(yīng)計(jì)算的基本原理是一致的，其計(jì)算精度和效率依賴(lài)于選取的時(shí)域積分方法和積分時(shí)間步長(zhǎng)。常用的時(shí)域積分方法如Newmark法和精細(xì)積分法等在PDD方法中均能適用。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)具有不確定參數(shù)結(jié)構(gòu)時(shí)域響應(yīng)求解問(wèn)題提出了PDD方法。首先將結(jié)構(gòu)時(shí)域響應(yīng)表達(dá)為關(guān)于結(jié)構(gòu)不確定參數(shù)的函數(shù)，然后采用一組變量數(shù)目逐次增加的成員函數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行維數(shù)分解，并對(duì)成員函數(shù)進(jìn)行Fourier展開(kāi)，利用正交多項(xiàng)式基底給出成員函數(shù)的近似表達(dá)，并給出了由展開(kāi)系數(shù)計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)均值和標(biāo)準(zhǔn)差的表達(dá)式。提出的方法將復(fù)雜且非顯式的函數(shù)映射關(guān)系表達(dá)為顯式的函數(shù)映射關(guān)系。此外，該方法利用了降維積分法，將原來(lái)的高維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更低維度的問(wèn)題，適用于多維和高維問(wèn)題的分析。數(shù)值算例結(jié)果表明，提出的方法具有足夠的精確性，且比MC方法更加高效，為具有不確定參數(shù)復(fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析提供了一種準(zhǔn)確和有效的求解方法。