基于一類(lèi)復(fù)混沌系統(tǒng)的圖像加密研究

楊文濤,葉 歡,李子龍,陳鵬飛,王 越,姜翠美*

1.齊魯工業(yè)大學(xué)(山東省科學(xué)院) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,濟(jì)南 250353 2.山東凱迪歐電氣有限公司,泰安 27100

地磁場(chǎng)在長(zhǎng)期變化中會(huì)出現(xiàn)極性反轉(zhuǎn)現(xiàn)象,地磁學(xué)家們對(duì)此做了大量研究,提出了很多模型,比如圓盤(pán)發(fā)電機(jī)模型、運(yùn)動(dòng)學(xué)發(fā)電機(jī)反轉(zhuǎn)模型、統(tǒng)計(jì)模型等等。在這些模型中,圓盤(pán)發(fā)電機(jī)模型作為最早的地磁起源及反轉(zhuǎn)模擬,起過(guò)很重要的作用。圓盤(pán)發(fā)電機(jī)模型包含單盤(pán)發(fā)電機(jī)模型[1]、雙盤(pán)發(fā)電機(jī)模型[2]、N圓盤(pán)耦合發(fā)電機(jī)模型[3]以及在這些模型的基礎(chǔ)上得到的各種各樣的圓盤(pán)發(fā)電機(jī)模型。雙盤(pán)發(fā)電機(jī)模型是日本地磁學(xué)家Rikitake在1958年首次提出,該模型在地磁起源及其反轉(zhuǎn)模擬起到過(guò)很重要的作用,且該模型具有良好的混沌特性[4]。基于Rikitake模型,很多學(xué)者提出并研究了多種類(lèi)型的雙盤(pán)發(fā)電機(jī)模型,比如：帶摩擦的Rikitake系統(tǒng)[5-6],變形的Rikitake雙盤(pán)耦合發(fā)電機(jī)模型[7]等等。雙盤(pán)發(fā)電機(jī)模型的動(dòng)力學(xué)行為及其同步的研究[8]在機(jī)電控制等方面具有重要的理論基礎(chǔ)和使用價(jià)值。

復(fù)混沌系統(tǒng)是指狀態(tài)變量處于復(fù)空間的混沌動(dòng)力系統(tǒng),與實(shí)混沌系統(tǒng)相比,復(fù)混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為更加復(fù)雜,產(chǎn)生的復(fù)混沌信號(hào)比實(shí)混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌信號(hào)更加復(fù)雜且難以預(yù)測(cè),是一種可靠的安全通信載體,應(yīng)用在網(wǎng)絡(luò)信息安全中可以更好地提高保密性能;而且比起實(shí)變量,復(fù)變量更容易由電容和電感實(shí)現(xiàn),從而具有更廣闊的應(yīng)用前景。近幾年,復(fù)混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性、同步及其應(yīng)用引起了學(xué)者們的極大關(guān)注[9-13]。目前,基于復(fù)混沌系統(tǒng)的圖像加密的研究[14]還不多,還需要進(jìn)一步的研究與應(yīng)用。

本文擬建立一個(gè)新的復(fù)混沌模型,該模型是雙盤(pán)發(fā)電機(jī)模型的推廣。利用分岔圖、Lyapunov指數(shù)和龐加萊截面等方法研究了該系統(tǒng)的混沌特性。通過(guò)Matlab仿真對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證,仿真結(jié)果表明,該混沌系統(tǒng)具有良好的混沌特性,并且研究了新的復(fù)混沌系統(tǒng)在數(shù)字圖像加密中的應(yīng)用。

1 復(fù)變形Rikitake混沌系統(tǒng)的提出

2014年,雷騰飛等在研究工程中的耦合發(fā)電機(jī)時(shí),基于地磁學(xué)家Rikitake提出的Rikitake模型[2],提出了新的發(fā)電機(jī)模型[7]如下：

(1)

其中,a,b,c,d是正常數(shù)。當(dāng)a=2,b=3,c=1,d=0.75時(shí),系統(tǒng)(1)是混沌的,該系統(tǒng)稱(chēng)為變形Rikitake雙盤(pán)耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)。

當(dāng)系統(tǒng)(1)中的變量m1,m2均為復(fù)變量時(shí),可以得到如下的復(fù)系統(tǒng)：

(2)

其中,m1=x1+jx2和m2=x3+jx4是復(fù)狀態(tài)變量;m3=x5是實(shí)狀態(tài)變量。 分離復(fù)變形Rikitake雙盤(pán)耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)(2)的實(shí)部和虛部,可以得到與其等價(jià)的實(shí)變量形式為：

(3)

當(dāng)參數(shù)取值為a=8,b=3,c=0.69,d=3.5時(shí),系統(tǒng)(3)是混沌的,如圖1-2。下面具體分析系統(tǒng)(3)的動(dòng)力學(xué)特性。

注：a) 吸引子在x1-x3-x5平面的側(cè)視圖;b) 吸引子在x3-x5平面的側(cè)視圖;c)吸引子在x1-x5平面的側(cè)視圖。圖1 在x1,x3,x5坐標(biāo)系上,復(fù)變形Rikitake系統(tǒng)的混沌吸引子

注：a)吸引子在x1-x2-x5平面的側(cè)視圖;b)吸引子在x2-x5平面的側(cè)視圖;c) 吸引子在x1-x5平面的側(cè)視圖。圖2 在x1,x2,x5坐標(biāo)系上,復(fù)變形Rikitake系統(tǒng)的混沌吸引子

2 動(dòng)力學(xué)分析

2.1 對(duì)稱(chēng)性和不變性

在系統(tǒng)(3)中引入下列坐標(biāo)變換：

(x1,x2,x3,x4,x5)→(-x1,-x2,-x3,-x4,x5)

系統(tǒng)保持不變,則系統(tǒng)(3)關(guān)于x5軸呈現(xiàn)對(duì)稱(chēng)性,而且這種對(duì)稱(chēng)性對(duì)所有參數(shù)a,b,c,d均成立。

2.2 耗散性

在系統(tǒng)(3)中引入下列坐標(biāo)變換：

(x1,x2,x3,x4,x5)→(-x1,-x2,-x3,-x4,x5)

因此,當(dāng)d-2(a+b)<0時(shí),系統(tǒng)(3)是耗散的,并以指數(shù)形式收斂。

系統(tǒng)(3)的所有軌跡線(xiàn)最終會(huì)被限制在一個(gè)體積為零的極限子集上,其運(yùn)動(dòng)將被固定在一個(gè)吸引子上,由此說(shuō)明了系統(tǒng)(3)存在吸引子。

2.3 李雅普諾夫指數(shù)和分?jǐn)?shù)維數(shù)

系統(tǒng)(3)的Jacobian矩陣為：

根據(jù)Wolf算法,計(jì)算可得到系統(tǒng)(3)在參數(shù)為a=8,b=3,c=0.69,d=3.5和初值為

x(0)=(1+2j,0,1)下的Lyapunov指數(shù)分別為：

λ1=1.014 713,λ2=0.012 757,λ3=-0.004 016,

λ4=-8.591 474,λ5=-10.840 152。

如圖3所示。此時(shí),可以計(jì)算出系統(tǒng)(3)的分?jǐn)?shù)維數(shù)為：

圖3 當(dāng)a=8,b=3,c=0.69,d=3.5時(shí),系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)

由此可見(jiàn),此系統(tǒng)具有兩個(gè)正的Lyapunov指數(shù),且維數(shù)為分?jǐn)?shù)維,這就意味著系統(tǒng)(3)具有超混沌行為。

2.4 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

E0=(0,0,0,0,0)

下面討論平衡點(diǎn)E0=(0,0,0,0,0)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)(3)在E0的Jacobian矩陣為

從而可得到矩陣JE0的特征方程為

(λ-d)(λ2+(a+b)λ+ab-c2)2=0。

根據(jù)Routh-Hurwitz[15]判據(jù)定理知,要使平衡點(diǎn)穩(wěn)定,其特征值必須滿(mǎn)足Re[λ]<0。因此,當(dāng)

d<0和ab>c2時(shí),E0是穩(wěn)定的,否則,E0是不穩(wěn)定的。類(lèi)似地,可以分析平衡點(diǎn)Eθ的穩(wěn)定性。

2.5 龐加萊截面

通過(guò)分析龐加萊截面[16]上截點(diǎn)的分布情況,可以確定系統(tǒng)的是否具有混沌特性,當(dāng)截面上僅有若干個(gè)離散的點(diǎn)時(shí),可判斷系統(tǒng)是周期的;當(dāng)截面上是一封閉曲線(xiàn)時(shí),可判定系統(tǒng)是準(zhǔn)周期的;當(dāng)截面上是成片的密集點(diǎn),并且具有層次結(jié)構(gòu)時(shí),可判定系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

從圖4可以看出,系統(tǒng)(3)在x1-x2方向、x1-x3方向、x1-x5方向和x3-x5方向上的龐加萊截面中,均出現(xiàn)了成片的密集點(diǎn),并且具有層次結(jié)構(gòu),表明系統(tǒng)(3)處于混沌狀態(tài)。

圖4 龐加萊截面圖

2.6 初值敏感性

不改變系統(tǒng)(3)的參數(shù),僅改變狀態(tài)變量x的初始值,x1由5變成5.000 1。圖5顯示,盡管狀態(tài)變量x的初始值的改變量很小,只改變了0.01%,但是x仍然發(fā)生了巨大偏差,由此可見(jiàn)系統(tǒng)(3)對(duì)初始條件敏感。

圖5 初值敏感性圖

2.7 0-1測(cè)試

設(shè)x(j)(j=1,2,…,N)為離散時(shí)間序列,選取c為區(qū)間(0,π)的隨機(jī)常數(shù),定義函數(shù)p(n)與q(n)[17]為：

如果函數(shù)p(n)與q(n)的軌跡是有界的,時(shí)間序列是非混沌的;如果函數(shù)p(n)與q(n)的軌跡表現(xiàn)為布朗運(yùn)動(dòng),則時(shí)間序列是混沌的。

對(duì)于第4個(gè)變量x4進(jìn)行0～1測(cè)試,得出p(n)與q(n)的運(yùn)動(dòng)軌跡,如圖6所示,故該系統(tǒng)(3)是混沌的。

圖6 p(n)-q(n)運(yùn)動(dòng)軌跡圖

3 圖像加密實(shí)現(xiàn)

作為整個(gè)加密實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ),本文先介紹置亂與擴(kuò)散兩種加密方式[18]。所謂置亂,即將原圖像的像素點(diǎn)打亂,然后再以某種方式將像素點(diǎn)放回的過(guò)程。擴(kuò)散是在不改變像素點(diǎn)位置的條件下,將任一明文像素點(diǎn)的信息隱藏在盡可能多的密文像素點(diǎn)中。值得注意的是,置亂方式是“單純”加密方式,僅用這一種加密方式顯然是不靠譜的。所以,本文用混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列作為偽隨機(jī)數(shù)列,應(yīng)用到置亂與擴(kuò)散算法中。先置亂,這個(gè)過(guò)程可以重復(fù)幾次,再擴(kuò)散,將置亂后的圖像用擴(kuò)散算法重復(fù)幾次,這就構(gòu)成一次加密,多次加密后的結(jié)果就是最終要輸出的密文圖像。

另外,加密圖像采用非常著名的Lean圖像,主要原因是該圖像包含很多適于圖像處理方面的細(xì)節(jié),平滑區(qū)、陰影、紋理等,非常適合測(cè)試各類(lèi)圖像處理算法。

加密算法流程如圖7所示：

圖7 加密算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程

3.1 混沌數(shù)字圖像加密實(shí)現(xiàn)

下面介紹加密方案的具體實(shí)現(xiàn)。

首先,置亂算法,我們采用二維圖像展成一維向量后的置亂方法,將具有M×N像素點(diǎn)的Lena圖像按行展成一維行向量,記為α,對(duì)于系統(tǒng)(3)產(chǎn)生的混沌序列,將其作為偽隨機(jī)數(shù)列A,另外,對(duì)于其中重復(fù)的偽隨機(jī)數(shù),允以去除,去除后的偽隨機(jī)數(shù)列,記為B。將行向量A中沒(méi)有出現(xiàn)在B中的數(shù)值添加到B的末尾,最后交換B中第i個(gè)與第MN-i+1個(gè)元素,以此完成無(wú)重復(fù)的位置置亂。

解密算法只需取上面過(guò)程的逆過(guò)程,相對(duì)比較容易實(shí)現(xiàn)。然后對(duì)置亂m次的圖像進(jìn)行擴(kuò)散處理。本文基于GF(217)有限域來(lái)實(shí)現(xiàn)擴(kuò)散處理,因?yàn)樵诔Ｒ?jiàn)的GF(24)有限域上,0作為乘數(shù)時(shí)有信息的損失,所以不能將GF(24)域上的乘法運(yùn)算直接用于擴(kuò)散算法中。

(4)

(5)

(6)

(7)

正向擴(kuò)散時(shí),借助于式(4),而式(5)是正向擴(kuò)散的逆運(yùn)算。

逆向擴(kuò)散時(shí),借助于式(6),而式(7)是逆向擴(kuò)散的逆運(yùn)算。

3.2 效果展示

下面展示加密一次的成果圖,如圖8和圖9：

圖8 Lean圖像與無(wú)重復(fù)置亂后的圖像

圖9 對(duì)置亂圖像進(jìn)行擴(kuò)散與解密結(jié)果圖像

3.3 安全性分析

下面從密鑰空間的大小,靈敏度分析和抗統(tǒng)計(jì)攻擊分析角度分析該圖像加密算法的安全性。

3.3.1 密鑰空間分析

在64位計(jì)算機(jī)中,采用精確到小數(shù)點(diǎn)后4位的浮點(diǎn)數(shù),本文加密算法的密鑰空間至少為2120>2100,滿(mǎn)足正常加密需求[19]。

3.3.2 靈敏度分析

注：a)明文Lean圖像;b)加密圖像;c)錯(cuò)解圖像。圖10 加密明文圖像、加密圖像、錯(cuò)解圖像

可以看出,用擾動(dòng)初值生成的序列來(lái)解密是不可行的,即當(dāng)初值某個(gè)分量的微小變化時(shí),會(huì)導(dǎo)致解密失敗。這說(shuō)明了復(fù)變形Rikitake系統(tǒng)對(duì)密鑰的敏感性較強(qiáng),即使兩個(gè)解密密鑰僅有微小的差別,解密結(jié)果也會(huì)有很大的差別。

3.3.3 抗統(tǒng)計(jì)攻擊分析

為直觀的觀察加密效果,首先展示圖11,加密一次的圖像及原圖像。而后展示加密一次后圖像的直方圖,即圖12,對(duì)比圖13原圖像的直方圖,可以看出原圖像的直方圖(圖13)具有起伏的特征,利于統(tǒng)計(jì)分析;而從加密一次后的圖像的直方圖(圖12)可以看出,標(biāo)準(zhǔn)偏差較大,像素分布較平均,對(duì)統(tǒng)計(jì)性的攻擊有很好的抵抗效果。

注：a)實(shí)施一次加密后的圖像;b)原圖像。圖11 加密一次的圖像及原圖像

圖12 加密一次的圖像直方圖

圖13 原圖像直方圖

圖14顯示了加密一次后和原圖像的紅綠藍(lán)通道直方圖,直觀地看出像素被均勻打亂,圖像的直方圖[20]均勻分布,沒(méi)有明顯的統(tǒng)計(jì)特性,很好的隱藏了原圖像的統(tǒng)計(jì)特征。

圖14 加密一次后圖像的紅綠藍(lán)通道直方圖與原圖像的紅綠藍(lán)通道直方圖

4 結(jié) 語(yǔ)

本文構(gòu)造了一類(lèi)復(fù)混沌系統(tǒng),通過(guò)耗散性、平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性、初值敏感性、Lyapunov指數(shù)和龐加萊截面分析了該系統(tǒng)的混沌特性。本文利用該系統(tǒng)進(jìn)行了圖像加密的研究,采用置亂加擴(kuò)散方式進(jìn)行加密,通過(guò)Matlab仿真分析發(fā)現(xiàn),加密解密效果良好。