常微分方程波形松弛方法的收斂穩(wěn)定

范振成

(閩江學(xué)院 數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院, 福建 福州 350108)

在芯片(大規(guī)模集成電路)設(shè)計(jì)領(lǐng)域, 仿真計(jì)算作用重大。 描述芯片的數(shù)學(xué)模型一般是高維的微分代數(shù)方程組, 使用諸如線性多步法和Runge-Kutta方法等經(jīng)典數(shù)值方法進(jìn)行仿真計(jì)算時(shí), 因其計(jì)算量太大, 效果不理想。 描述芯片的高維微分代數(shù)方程組, 一般是由若干聯(lián)系微弱的小方程組構(gòu)成, 針對(duì)這個(gè)特點(diǎn), 基于解代數(shù)方程組的迭代法, Lelarasmee等[1]提出了解微分方程的波形松弛(WR)方法, 其基本想法是先利用迭代技術(shù)將大系統(tǒng)分成若干獨(dú)立的小系統(tǒng), 然后根據(jù)各小系統(tǒng)的特點(diǎn)選用適合的經(jīng)典數(shù)值方法進(jìn)行求解計(jì)算。與經(jīng)典方法相比, 波形松弛方法因具有并行性和多速率兩個(gè)優(yōu)點(diǎn), 而更具優(yōu)勢。當(dāng)實(shí)際計(jì)算時(shí), WR方法的初始值和中間過程不可避免存在誤差, 因此研究誤差的傳播規(guī)律(即穩(wěn)定性)是有意義的。

對(duì)WR方法的研究集中于收斂性, 穩(wěn)定性的研究不多見。Bellen A等[2]和范振成[3]專注于數(shù)值方法是否保持解析解的性質(zhì), 給出了離散WR方法的壓縮或絕對(duì)穩(wěn)定條件?？紤]初值和過程誤差是否可控問題, 范振成[4]提出了連續(xù)WR方法的收斂穩(wěn)定, 給出了泛函微分方程波形松弛方法收斂穩(wěn)定的條件。然而文獻(xiàn)[4]中的條件較嚴(yán)格, 很多常見情形不滿足。本文將證明在標(biāo)準(zhǔn)的Lipschitz條件下, 常微分方程初值問題的WR 方法是收斂穩(wěn)定的。

1 假設(shè)與準(zhǔn)備

對(duì)泛函微分方程

(1)

的連續(xù)WR方法(下文簡稱WR方法)

(2)

其中，分裂函數(shù)F(t,x,x,y(·))=f(t,x,y(·)), 初始解x0(t)=g(t),t∈I,k=0,1,…。文獻(xiàn)[4]證明了當(dāng)F滿足單邊Lipschitz條件(H1)和全局Lipschtiz條件(H2) 時(shí),F和g的微小變化所引起的解序列{xk}變化可控，文獻(xiàn)[4]中稱之為收斂穩(wěn)定, 說明了WR方法具有較強(qiáng)的抗干擾能力。然而文獻(xiàn)[4]中的條件(H1)較嚴(yán)格, 很多常見情形不滿足(H1)。

考慮常微分方程的初值問題

(3)

及其WR方法

(4)

其中，y,yk∈C1(J,Rn),F(t,x,x)=f(t,x)。此處和下文用Rn表示n維實(shí)數(shù)域,R表示實(shí)數(shù)域,R-表示負(fù)實(shí)數(shù)集,R+表示正實(shí)數(shù)集,C1(J,Q)表示區(qū)間J到數(shù)集Q上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)集,C(J,Q)表示J到Q上連續(xù)函數(shù)集。

假設(shè)分裂函數(shù)滿足以下兩個(gè)Lipschitz條件：

其中，〈·,·〉:Rn×Rn→R表示內(nèi)積,‖x‖=〈x,x〉1/2。

此時(shí),文獻(xiàn)[4]的結(jié)果變成：當(dāng)(H3)和(H4)成立時(shí), WR方法式(4)是收斂穩(wěn)定的, 即式(4)與其擾動(dòng)系統(tǒng)

(5)

解的差滿足：存在C>0使得

由于條件(H3)中的m(t)<0, 這是較嚴(yán)格的限制, 排除了諸如F(t,x,y)=x+y等常見情況, 考慮更寬松的標(biāo)準(zhǔn)Lipschitz條件：

式中，L可以取正數(shù), 因此(H1′)比(H3)更寬松, 在(H1′)使用L∈R而不是更簡單的L>0, 只是為了擾動(dòng)解的誤差上限更準(zhǔn)確, 后文將推出其與L+K有關(guān), 見式(8)。此外, 若(H4)成立, 則(H2′)成立, 這說明(H2′)比(H4)更寬松。

本文將證明當(dāng)(H1′)和(H2′)成立時(shí), WR方法(4)是收斂穩(wěn)定的。首先證明兩個(gè)引理。

引理1 .1當(dāng)(H1′)和(H2′)成立時(shí), WR方法式(4)產(chǎn)生的函數(shù)序列{yk}收斂于式(3)的解, 即

證明：由文獻(xiàn)[5]中定理7.3 或式(7.15), 易知本引理成立。

引理 1.2 假設(shè)u∈C1(J,R+),v∈C(J,R+),L1≠0,L2>0,γ1>0,γ2>0且

(6)

若存在γ≥max{γ1,γ2},V∈C(J,R+),U∈C1(J,R)滿足V(t)>v(t),t∈J和

(7)

則U(t)≥u(t),t∈J。

證明：式(7)減式(6)得

兩邊乘以e-L1t得

(e-L1t(U(t)-u(t)))′≥

e-L1tL2(V(t)-v(t))+e-L1t(γ-γ1)

兩邊從0到t積分得

e-L1t(U(t)-u(t))≥γ-γ2+

由引理?xiàng)l件, 上式右端大于零, 因此U(t)≥u(t),?t∈J. 證畢。

2 主要結(jié)果

定理2.1當(dāng)(H1′)和(H2′)成立時(shí), WR方法式(4)是收斂穩(wěn)定的, 即式(4)和它的擾動(dòng)系統(tǒng)式(5)生成的函數(shù)序列滿足：

(8)

由此式和內(nèi)積的性質(zhì), 得

由上式, (H1′)、 (H2′) 以及Cauchy-Schwarz不等式, 推導(dǎo)出

〈ηk+1(t),ηk+1(t)〉′≤2L‖ηk+1(t)‖2+

2K‖ηk+1(t)‖‖ηk(t)‖+2‖ηk+1(t)‖‖δk+1(t)‖

(9)

另一方面

〈ηk+1(t),ηk+1(t)〉′=(‖ηk+1(t)‖2)′=

2‖ηk+1(t)‖(‖ηk+1(t)‖)′

(10)

由式(9)和(10)得

(11)

(12)

由式(11) (12)和引理1.2, 不難證明

‖ηk(t)‖≤zk(t),?t∈J,?k=0,1,…

(13)

又由引理1.1, (12)生成的函數(shù)列收斂于下面微分方程的解

(14)

即

(15)

由式(13)(14)和(15), 易得

(16)

3 定理應(yīng)用

對(duì)于WR方法式(4), 若已知yk時(shí), 能夠準(zhǔn)確算出yk+1, 則得到的函數(shù)序列{yk}的極限為式(3)的解(引理 1.1)。然而, 對(duì)大多數(shù)方程, 這是不可能的, 一般利用數(shù)值方法和插值求近似等于yk+1的函數(shù)。常用的離散WR方法的算法如下：

第2步：選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法計(jì)算方程

(17)

在節(jié)點(diǎn){0=t0

第4步：k=k+1, 轉(zhuǎn)第2步重復(fù)計(jì)算, 直至收斂為止。

注意式(17)等價(jià)于

(18)

當(dāng)(H1′)和(H2′)成立時(shí), 由引理1.1和定理2.1, 知存在C>0使得

其中，y是方程(3)的解。

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

考慮方程(3)至方程(5), 選取f(t,y)=Ay+b(t),其中

J=[0,1],ξ=(1,0,1)T

(19)

為了簡單，選固定擾動(dòng)δk(t)≡δ,εk≡ε。使用Jacobi分裂函數(shù), 即

F(t,x,y)=A1x+A2y+b(t)

(20)

表1 滿足(19)(20)的方法(4)的不同擾動(dòng)引起的誤差uk