一類半離散可積方程族的無窮守恒律

張艷妮，邢 維，李 雯

(1.吉林建筑科技學院基礎(chǔ)科學部，吉林 長春 130114；2.海軍大連艦艇學院基礎(chǔ)部，遼寧 大連 116013；3.吉林大學數(shù)學學院，吉林 長春 130012)

0 引言

可積方程是一類特殊的非線性系統(tǒng)，在物理學、生物學、光學等領(lǐng)域中有著重要的應用.按照變量的不同，可積方程可以分為連續(xù)的、半離散的和全離散的.對于可積性，目前還沒有嚴格的統(tǒng)一定義，但普遍認為，可積方程應該具有一對線性譜問題(Lax對)，或有非常豐富的數(shù)學結(jié)構(gòu)，例如無窮守恒律、無窮多對稱、雙Hamiltonian結(jié)構(gòu)等.此外，人們發(fā)現(xiàn)可積方程普遍存在孤立子解，對可積方程的研究已有很多重要成果[1-4].無窮守恒律是可積方程的一個重要性質(zhì)，自1968年Miura[1]發(fā)現(xiàn)KdV方程的無窮守恒律以來，很多學者嘗試給出構(gòu)造方程的無窮守恒律的方法[5-7].2002年，Zhang等[3]基于Lax對，通過研究Ricatti方程給出了一種行之有效的構(gòu)造方程無窮守恒律方法.近年來，F(xiàn)an等[8-9]成功地利用該方法構(gòu)造了一些方程的無窮守恒律.

迄今為止人們已經(jīng)發(fā)展了多種構(gòu)造可積方程的方法，如屠格式[10]、AKNS方法[11]等.屠格式不僅可以構(gòu)造Lax可積的方程族，還可以通過變分、跡恒等式等方法給出Hamiltonian結(jié)構(gòu)和Liouville可積的計算方法.AKNS方法一般從線性散射問題的空間部分出發(fā)，展開求解線性散射問題的時間部分，從而得到可積系統(tǒng).這些構(gòu)造可積系統(tǒng)的方法為孤子理論和非線性科學提供了豐富的研究對象和內(nèi)容.

2004年，Xu等[12]考慮了如下離散譜問題：

(1)

其中：φn=(φ1，n，φ2，n)T是特征函數(shù)；rn，sn是勢函數(shù)；λ是譜參數(shù)，λt=0.從譜問題(1)出發(fā)，利用屠格式構(gòu)造了一類方程族，并研究了方程族的可積性，建立了相應的辛映射.

2006年，Sun等[13]提出如下譜問題：

(2)

從譜問題(2)出發(fā)，利用屠格式構(gòu)造了正向和負向的可積方程族，建立了對應的耦合可積方程.

基于譜問題(1)和(2)，本文將考慮如下廣義的離散譜問題：

(3)

從譜問題(3)出發(fā)，利用屠格式構(gòu)造新的半離散可積方程族，并借助Ricatti方程構(gòu)造法建立無窮守恒律，研究方程的可積性質(zhì).

1 預備知識

設(shè)fn=f(n，t)是格函數(shù)，移位算子E、逆算子E-1和差分算子Δ定義如下：

Ef(n，t)=f(n+1，t)=fn+1；

E-1f(n，t)=f(n-1，t)=fn-1；

Δf(n，t)=(E-1)f(n，t)=fn+1-fn.

考慮半離散方程

un，t=f(un-N，un-N+1，…，un，…，un+M-1，un+M)，

(4)

Eφn=Unφn，φn，t=Vnφn

(5)

的相容條件，即Un，t=(EVn)Un-UnVn，則稱方程(4)是Lax意義下可積的，稱譜問題(2)為方程的Lax對.這里：φn是m維向量函數(shù)，被稱為特征函數(shù)；Un，Vn是m階矩陣，其元素中包含譜參數(shù)λ，un以及un的移位，un被稱作勢函數(shù).

如果存在標量函數(shù)

ρn=ρn(un-m1，un-m1+1，…，un+m2)，Jn=Jn(un-r1，un-r+1，…，un+r2)，

使得

Dtρn=ΔJn，

(6)

則稱(6)式是方程(4)的局部守恒律，ρn和Jn分別稱為相應的守恒密度和流.

2 一類新的半離散可積方程族

從廣義譜問題(3)出發(fā)，通過屠格式構(gòu)造新的半離散可積方程族.求解如下駐定的離散零曲率方程：

即

(7)

將

(8)

令

其中“+”表示選取λ的正次冪.利用遞推關(guān)系(8)式，直接計算得

(9)

不難看出，此時(9)式和Un，tm是相容的.因此，當

(10)

(11)

由(11)式可得到如下新的半離散方程族：

(12)

其中譜問題(3)和(10)構(gòu)成了方程族(12)的Lax對，即方程族(12)是Lax意義下可積的.

當m=1時，由(12)式可得如下Lax可積的半離散方程：

(13)

Lax對為

(14)

且

(15)

3 無窮守恒律

利用Ricatti方程構(gòu)造法給出方程(13)的無窮守恒律.根據(jù)(14)式得

φ1，n+1=λrnφ2，n，

(16)

φ2，n+1=λsnφ1，n+(λ2+qn)φ2，n.

(17)

由(15)式得

(18)

令Γn=φ2，n/φ1，n由(16)和(17)式知

λrnΓnΓn+1=λsn+(λ2+qn)Γn.

(19)

進一步將(19)式表示為

(20)

假設(shè)

(21)

根據(jù)(16)和(18)式得

(22)

將(22)式帶入恒等式

中，可得

(23)

其中

這里

將Φn和Ψn帶入(23)式，對比等式兩端λ的同次冪系數(shù)，得到方程(13)的無窮守恒律

(24)

其中：