不規(guī)則工作面開采地表沉陷線積分預(yù)計(jì)方法

滕永佳閻躍觀郭偉姜巖胡耀東

1. 中國礦業(yè)大學(xué)(北京)地球科學(xué)與測繪工程學(xué)院,北京 100083；2. 山東科技大學(xué)測繪與空間信息學(xué)院,山東青島 266590

礦山開采導(dǎo)致地下巖層原有的力學(xué)平衡被破壞,使地面發(fā)生沉降,損傷建筑物、水體、管道和通信輸電設(shè)施等[1-2]。礦山開采沉陷預(yù)計(jì)是開采沉陷學(xué)中的基本問題。自20 世紀(jì)60年代起,基于隨機(jī)介質(zhì)理論[3-4]創(chuàng)建的概率積分法在我國得到廣泛應(yīng)用[5-7]。針對不規(guī)則工作面開采地表沉陷預(yù)計(jì),已有學(xué)者基于概率積分法原理,采用各類算法對其進(jìn)行了優(yōu)化和改進(jìn)[8-10]。張華興、周萬茂等[11-12]提出利用數(shù)學(xué)方法對概率積分法公式進(jìn)行積分轉(zhuǎn)換的思想；吳侃、蔡音飛等[13-14]提出利用矩形單元剖分工作面,使用概率積分法計(jì)算各單元后將預(yù)計(jì)結(jié)果疊加；許冬等[15]提出將工作面按角點(diǎn)剖分為梯形單元,使用變步長辛普森積分計(jì)算各單元后進(jìn)行疊加處理；趙曉東等[16]提出使用非結(jié)構(gòu)化三角形單元剖分工作面,采用復(fù)合辛普森積分計(jì)算地表移動變形；李永樹、張兵等[17-18]提出通過劃分積分區(qū)間及疊加計(jì)算處理不規(guī)則工作面；周棒等[19]通過坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換,實(shí)現(xiàn)了在計(jì)坐算標(biāo)系中不規(guī)則工作面邊界的自動確定。這些方法的預(yù)計(jì)過程中往往需要使用不同幾何單元剖分工作面及轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系等,計(jì)算量較大,且?guī)缀螁卧拇笮︻A(yù)計(jì)結(jié)果精度有一定影響。

本文針對上述問題,開展了不規(guī)則工作面開采地表沉陷預(yù)計(jì)線積分方法的研究工作,該方法簡單易行,可為“三下”開采沉陷預(yù)計(jì)提供算法依據(jù)。概率積分法是開采沉陷預(yù)計(jì)的重要方法,但對于不規(guī)則工作面開采,其預(yù)計(jì)精度有待提高。本文利用格林公式(Green formula)對概率積分法公式進(jìn)行積分轉(zhuǎn)換,將對工作面的積分轉(zhuǎn)換為對采區(qū)邊界的線積分；將邊界簡化分割為多條直線段,分別對各直線段作積分計(jì)算；通過疊加計(jì)算完成地表任意點(diǎn)及地表沉陷盆地移動變形預(yù)計(jì)。

1 理論基礎(chǔ)

概率積分法和格林公式是本文提出的不規(guī)則工作面開采地表沉陷線積分預(yù)計(jì)方法的理論基礎(chǔ)。其中,概率積分法是開采沉陷預(yù)計(jì)的重要方法,其本質(zhì)是單元開采影響函數(shù)對工作面區(qū)域的積分；而格林公式的作用是進(jìn)行線面積分的相互轉(zhuǎn)換,利用其可以將概率積分法公式由面積分轉(zhuǎn)換為針對開采工作面邊界的線積分。因此,在計(jì)算過程中合理分割工作面邊界,即可提高不規(guī)則工作面開采地表沉陷的預(yù)計(jì)精度。

1.1 概率積分法

基于隨機(jī)介質(zhì)理論,從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā),可將整個采區(qū)分解成無數(shù)個微小單元,通過計(jì)算所有單元對巖層和地表影響的總和,即可得到整個采區(qū)開采引起的地表移動和變形值。此計(jì)算過程可以用概率積分法[6-7]完成,地表任意點(diǎn)的下沉預(yù)計(jì)值計(jì)算如下:

式中,W(x0,y0)為(x0,y0)位置處地表下沉預(yù)計(jì)值；Wmax為充分采動條件下地表最大下沉值；D為開采工作面區(qū)域(積分區(qū)域)；r為主要影響半徑。

1.2 格林公式

格林公式廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、工程、物理等相關(guān)專業(yè),其在積分問題上的主要作用是將函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的面積分與區(qū)域邊界上的線積分相互轉(zhuǎn)化[20-21]。格林公式的使用條件為,當(dāng)區(qū)域D是單連通區(qū)域,函數(shù)P(x,y)、Q(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時,則有

式中,S為積分區(qū)域D的邊界。

2 開采沉陷線積分預(yù)計(jì)方法的構(gòu)建與實(shí)現(xiàn)

2.1 方法原理與構(gòu)建

現(xiàn)代采煤技術(shù)中,工作面一般為矩形工作面,而在某些條件下,如在某些老采空區(qū)作業(yè)或地質(zhì)結(jié)構(gòu)復(fù)雜時,實(shí)際開采工作中容易出現(xiàn)多邊形工作面,即不規(guī)則工作面,如圖1 所示。

圖1 不規(guī)則工作面示例Fig.1 Examples of irregular shaped working face

處理不規(guī)則工作面的一般方法如圖2 所示。若使用矩形單元剖分工作面,單元大小會影響工作面邊界處地表變形預(yù)計(jì)精度。若矩形單元較大,則工作面邊界容易出現(xiàn)“鋸齒”現(xiàn)象,這種情況下預(yù)計(jì)精度較低；若減小矩形單元面積,則預(yù)計(jì)精度提高,而計(jì)算效率大大降低。因此,應(yīng)尋求一種同時兼顧邊界精度和簡化計(jì)算過程的地表變形預(yù)計(jì)方法。

圖2 矩形單元剖分方法Fig.2 Rectangular element division method

概率積分法本質(zhì)上就是單元開采的影響函數(shù)對開采工作面區(qū)域的積分。因此,結(jié)合格林公式的原理,使函數(shù)P(x,y)、Q(x,y)既能滿足在區(qū)域D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的條件,又能滿足式(3),即

就可以將概率積分法公式轉(zhuǎn)化為線積分形式:

假設(shè)函數(shù):

則地表任意點(diǎn)的下沉預(yù)計(jì)值計(jì)算如下:

2.2 工作面邊界簡化方法

工作面邊界簡化方法如圖3 所示。在實(shí)際計(jì)算中,一般可認(rèn)為工作面由多條直線段首尾相接圍繞而成。

圖3 工作面邊界簡化方法Fig.3 Simplification method of working face boundary

由線積分的計(jì)算原理可知,將邊界劃分為有限條直線段,方向?yàn)槟鏁r針,由于積分結(jié)果只與線段起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),與路徑無關(guān),所以可將各段向x、y方向分解,獨(dú)立計(jì)算x、y方向的積分。當(dāng)計(jì)算x軸方向積分時,由于dy=0,則對該方向積分結(jié)果為0,進(jìn)一步簡化了計(jì)算過程。工作面開采預(yù)計(jì)結(jié)果,可由各段積分結(jié)果疊加計(jì)算得到。于是地表任意點(diǎn)變形值的計(jì)算轉(zhuǎn)化成采區(qū)邊界的線積分計(jì)算,得到不規(guī)則工作面開采地表任意點(diǎn)下沉預(yù)計(jì)的線積分法公式如下:

式中,Li為組成工作面邊界的各直線段；(x0,y0)為待預(yù)計(jì)點(diǎn)的坐標(biāo)。

根據(jù)概率積分法中地表傾斜、水平移動、水平變形與地表下沉之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,可推導(dǎo)出不規(guī)則工作面開采地表傾斜、水平移動和水平變形公式如下:

地表傾斜預(yù)計(jì)公式:

水平移動預(yù)計(jì)公式:

水平變形預(yù)計(jì)公式:

2.3 方法流程實(shí)現(xiàn)

為實(shí)現(xiàn)不規(guī)則工作面開采預(yù)計(jì)地表下沉的目的,結(jié)合計(jì)算機(jī)技術(shù)與相關(guān)原理,使用MATLAB 進(jìn)行開采沉陷預(yù)計(jì)的流程化處理(圖4)。

圖4 程序流程Fig.4 Program flow

處理流程分為4 個階段:

(1) 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備。從已有資料中獲取采區(qū)工作面邊界坐標(biāo)、地表變形預(yù)計(jì)參數(shù),并以格網(wǎng)劃分地表待預(yù)計(jì)區(qū)域。

(2) 根據(jù)工作面信息確定積分區(qū)域與開采工作面邊界,結(jié)合邊界簡化與分割方法,確定工作面區(qū)域并分割工作面邊界。

(3) 疊加計(jì)算。獲取工作面邊界各端點(diǎn)坐標(biāo)后,分別對每個格網(wǎng)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算并將各段結(jié)果疊加,最后得到全部點(diǎn)的下沉預(yù)計(jì)值。

(4) 輸出結(jié)果?？蓪⒔Y(jié)果組織成文件并繪制成圖,獲取地表下沉盆地形態(tài)與特征,便于進(jìn)行地表三維模型建立、地表建筑物損壞分析、礦區(qū)生態(tài)環(huán)境治理等工作。

3 應(yīng)用實(shí)例對比分析

分別使用矩形單元分割法和線積分法,對峰峰礦區(qū)某工作面開采地表下沉進(jìn)行預(yù)計(jì),與實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析。峰峰礦區(qū)某礦于2016—2017年開采2141、2143 工作面,工作面水平投影為不規(guī)則多邊形(圖5)。平均開采深度為600 m,平均采高為4.2 m,煤層傾角為18°,下沉系數(shù)為0.75,主要影響角正切為2.0。

圖5 不規(guī)則工作面與地表Z 觀測線位置Fig.5 Location of irregular working face and Z observation line

實(shí)際觀測值、線積分法和概率積分法預(yù)計(jì)結(jié)果如圖6 所示。三者的對比情況見表1。由表1 可知,對遠(yuǎn)離工作面的觀測站,線積分法和概率積分法預(yù)計(jì)結(jié)果精度相當(dāng),而在接近工作面邊界處,線積分法的預(yù)計(jì)結(jié)果更接近實(shí)測值,精度高于常規(guī)的概率積分法。

表1 預(yù)計(jì)與實(shí)測結(jié)果對比Tab.1 Comparison between expected and measured results

圖6 實(shí)測值與預(yù)計(jì)結(jié)果Fig.6 Measured value and expected result

線積分法和概率積分法預(yù)計(jì)結(jié)果的精度評定見表2。由表2 可知,本文線積分法預(yù)計(jì)結(jié)果更接近實(shí)測值,精度優(yōu)于概率積分法。根據(jù)兩種方法的RMSE 值,線積分方法預(yù)計(jì)精度相比概率積分法提高了23% 。

表2 精度評定Tab.2 Assessment of accuracy

4 結(jié) 論

(1) 針對原有方法在不規(guī)則工作面開采預(yù)計(jì)方面的不足,使用格林公式對概率積分法公式進(jìn)行積分變換,提出線積分法公式。該方法將求取工作面開采造成的地表下沉值,轉(zhuǎn)化為求取工作面邊界的線積分計(jì)算值。

(2) 提出邊界分割與簡化方法。將工作面邊界分割為多條首尾相接的直線段,簡化了工作面的處理過程,避免了單元分割方法中常見的“鋸齒狀”邊緣及積分單元分割過程復(fù)雜的問題。

(3) 通過實(shí)例對比線積分法和概率積分法地表下沉預(yù)計(jì)結(jié)果,表明線積分法改善了原有方法對工作面邊緣計(jì)算不準(zhǔn)確的問題,能夠?yàn)椤叭隆遍_采沉陷預(yù)計(jì)提供依據(jù)。