基于模態(tài)反轉的半球諧振陀螺零位自校準方法*

潘覃毅，趙萬良，王 偉，于翔宇，孫湘鈺

(1. 上海航天控制技術研究所·上?！?01109；2.上海慣性工程技術研究中心·上?！?01109)

0 引 言

半球諧振陀螺(Hemispherical Resonator Gyroscope，HRG)是一種諧振式慣性敏感器，具有質量小、體積小、功耗低、工作壽命長、測量精度高、長期工作可靠等優(yōu)點，適用于航天、航空、車輛、船舶等慣性導航領域。

諧振子作為半球諧振陀螺的核心部件，一般由物理化學性質穩(wěn)定、高品質因數的熔融石英玻璃加工制成，并封裝在真空金屬罩中。諧振子的高精密加工存在缺陷，往往會引入一系列不理想因素，如薄殼壁厚、石英材料的密度分布以及金屬膜層厚度的不均勻性等，都會引起半球諧振陀螺的頻率裂解、阻尼不對稱等固有誤差[1-3]，產生半球諧振陀螺的零位誤差。諧振子作為軸對稱結構，引起半球諧振陀螺輸出零位包括兩部分，關于駐波角位置的對稱零位和非對稱常值零位[4]。半球諧振陀螺的非對稱常值零位誤差十分穩(wěn)定，不易受外界環(huán)境干擾，該零位不影響陀螺測量精度；而對稱性零位誤差與半球諧振陀螺自身的結構參數相關，易受環(huán)境溫度、電磁干擾、振動以及沖擊等影響，從而產生零位漂移，因此有必要對半球諧振陀螺輸出的對稱性零位誤差進行校準補償。

解決陀螺零位漂移的方法一般包括溫度控制[5]、建模補償[6-7]和校準[8-9]方法。溫度控制采取恒溫措施，使陀螺處于穩(wěn)定溫度場，抑制陀螺零位的溫度漂移。該方法增加了陀螺產品的體積、功耗、硬件電路成本等，同時還受設備溫控精度的影響。建模補償是通過外置熱敏電阻等溫度傳感器采集陀螺溫度，建立陀螺零位溫度漂移模型，測量過程中根據陀螺實測溫度進行補償。該方法的缺點是陀螺測量精度受漂移模型準確度的影響，因此建立的漂移模型具有較大誤差。零位校準的方法是基于陀螺的零位特性進行校準歸零，該方法不需要額外的硬件設備，不受外界環(huán)境變化影響，但對電路控制技術具有較高的要求，而基于模態(tài)反轉的電路控制技術是控制電路中常用的誤差消除方法。

針對半球諧振陀螺零位漂移問題，本文研究了基于模態(tài)反轉的零位自校準方法。首先，討論了半球諧振陀螺工作機理，考慮頻率裂解以及阻尼不對稱誤差引入非理想動力學模型，并分析了半球諧振陀螺的駐波漂移特性。其次，理論上分析了半球諧振陀螺零位自校準方法，并通過虛擬進動方法實現了駐波模態(tài)反轉。最后，通過仿真和實驗進行半球諧振陀螺零位自校準，驗證了該校準方法的有效性?；谀B(tài)反轉的零位自校準方法對半球諧振陀螺的測量精度提升和工程應用具有重大的意義。

1 半球諧振陀螺駐波漂移誤差分析

半球諧振陀螺通過激起諧振子上的彈性波在陀螺旋轉時產生的進動效應敏感載體角速度及旋轉角度[10]。在控制作用下半球諧振陀螺維持四波腹振型振動，四波腹振型以及振動周期T內四波腹振型的變化如圖1(a)和圖1(c)所示。當陀螺不旋轉時，波腹點和波節(jié)點的位置相對于殼體保持不變；陀螺發(fā)生旋轉時，在科氏加速度的作用下，振型相對外殼體發(fā)生進動，振型相對于殼體進動角度θ與陀螺外殼體繞其固定軸旋轉角度ψ的關系滿足θ=-βψ，β為Bryan系數，駐波的進動效應如圖1(b)所示。

(a)靜態(tài)下陀螺四波腹振型

半球諧振陀螺四波腹振動時，利用振動的分解與合成，諧振子的徑向振動W(φ,t)可由關于時間和空間的函數表示，如下所示

W(φ,t)=x(t)cos2φ+y(t)sin2φ

(1)

其中，x(t)、y(t)表示0°和45°方位諧振子自由端的振動位移函數;φ為諧振子自由端的圓心角位置。

半球諧振陀螺進行物理建模時，可近似為一個二階彈簧質量阻尼系統(tǒng)，其等效模型如圖2所示。諧振子自由端環(huán)向密度、品質因數不均勻的四次諧波偏差導致諧振環(huán)上存在著兩個分別成45°的固有頻率軸系和阻尼軸系[11]，包含頻率主軸和次軸、阻尼主軸和次軸。兩主軸分別對應了諧振頻率、品質因數的極值點。半球諧振陀螺的主軸定義如圖3所示，其中，阻尼軸方位角為θτ，頻率軸方位角為θω。

圖2 半球諧振陀螺等效模型

圖3 半球諧振陀螺阻尼軸和頻率軸定義

施加陀螺控制力作用，并考慮頻率裂解和阻尼不對稱誤差，半球諧振陀螺的二階動力學模型[12]為

(2)

(3)

其中，ω1、ω2(ω1<ω2)為固有頻率軸的諧振頻率，ω為平均諧振頻率，Δω為頻差，矩陣Mω為頻率裂解誤差矩陣；τ1、τ2(τ1<τ2)分別表示固有阻尼軸的衰減時間常數，2τ-1為平均衰減時間常數，Δ(τ-1)為阻尼不對稱系數，矩陣Mτ為阻尼不對稱誤差矩陣。fx、fy為系統(tǒng)施加在陀螺x、y振動方向上的控制力；K為進動因子，K≈0.277[11]；Ω為陀螺敏感角速率；meq為半球諧振陀螺等效質量。

(4)

在半球諧振陀螺的實際控制中，波腹點維持恒幅振動，波節(jié)點振動幅度為零。引入頻率裂解、阻尼不對稱固有誤差，并分析半球諧振陀螺的固有誤差影響，暫不考慮控制力作用，基于Lynch平均值法，推導半球諧振陀螺誤差方程[12]為

(5)

式中，a為駐波波腹點振幅；q為駐波波節(jié)點振幅，波節(jié)點幅值也用于表征正交誤差；n為諧振子環(huán)向波數，由半球諧振陀螺的工作模式決定，對于四波腹振動n=2；φ為半球諧振陀螺的振動相位。θ的微分方程表示為駐波進動誤差方程，直接表述了半球諧振陀螺的測量誤差特性。

由駐波進動誤差方程式(5)可知，半球諧振陀螺存在電極裝配偏差、阻尼不對稱等非理想因素，實際的阻尼軸方位與檢測驅動軸并非完全對齊，因此駐波極易發(fā)生漂移，其中阻尼不對稱誤差是引起駐波漂移最主要的原因[13]。

通過機械調平降低半球諧振陀螺頻差Δω、正交環(huán)路抑制正交誤差q，可化簡駐波進動誤差方程為

(6)

其中，ceq為等效阻尼不對稱導致的駐波漂移函數幅值。由式(6)可知，駐波漂移誤差為對稱性誤差，是關于駐波方位角的正弦函數關系。諧振子的阻尼不對稱性受環(huán)向機械阻尼以及腔體內殘余氣體阻尼分布不均勻的影響，因而間接地影響半球諧振陀螺零位與駐波方位角也呈現正余弦函數。在零輸入角速率下，阻尼方位角為5°，駐波的漂移速率隨方位角的關系如圖4所示。由圖4中可知，在駐波方位角為0°和45°處，駐波的漂移方向相反，其漂移引起的零位誤差同為對稱性誤差，本文正是基于此漂移特性進行半球諧振陀螺零位校準。

圖4 駐波漂移速率隨駐波方位角的變化

2 零位自校準方法

2.1 模態(tài)零位分析

在半球諧振陀螺傳統(tǒng)PID控制模式中，控制電路主要包括3個回路：(1)幅度控制回路維持主駐波進行恒幅振動，補充阻尼機制的能量損耗;(2)正交控制回路抑制正交波振動，降低正交誤差;(3)力反饋回路在波節(jié)點處施力，抑制駐波進動，保持四波腹振型的非進動狀態(tài)。為激勵半球諧振陀螺工作于四波腹振型，施加控制力的驅動頻率與陀螺諧振頻率ω保持一致，控制力表示如下

Fa=faccos(ωt+φ*)+fassin(ωt+φ*)Fq=fqccos(ωt+φ*)+fqssin(ωt+φ*)

(7)

其中，fas為相位控制力，fac為幅度控制力，fqs為正交控制力，fqc為力反饋控制力，分別表示施加在波腹點Fa和波節(jié)點Fq的控制力分量。同相cos(ωt+φ*)和正交sin(ωt+φ*)參考信號由數字鎖相環(huán)跟蹤實現，φ*為相位跟蹤誤差。力平衡模式正是通過反饋力來表征半球諧振陀螺敏感的外界角速度。

若存在外界角速度時，半球諧振陀螺受科氏力作用，四波腹振型進動，波腹點和波節(jié)點受外界角速度發(fā)生位置進動。因此施加在波腹點和波節(jié)點的控制力需要通過矢量合成的方式，旋轉投影到驅動電極軸上，旋轉角度即是駐波的進動角2θ?？刂屏Φ氖噶亢铣煽赏ㄟ^如下正交變換實現

(8)

傳統(tǒng)力平衡模式下，駐波方位位于0°角位置(θ=0°)，即駐波工作在x模態(tài)。在x振動模態(tài)下，駐波在0°方向進行恒定振幅A0的簡諧運動，振動形式為x=A0sinωxt，ωx為振動頻率，而45°角位置駐波振動為0，駐波四波腹振型不發(fā)生進動。將式(7)代入動力學方程，得到x、y方向的控制力以及所施加的反饋力為

(9)

(10)

φx表示x模態(tài)跟蹤相差，反饋力fqc表征外界角速度Ω，由式(10)可知x模態(tài)的標度因數為SFx=4mKA0ωx，零位為B0x=1/(4K)Δ(τ-1)sin4θτ。

當駐波工作在y模態(tài)時，駐波控制在45°角位置上(θ=45°)，即y模態(tài)的波腹軸在45°方位，波腹點振動為y=A0sinωyt，振動頻率為ωy，而0°角位置的波節(jié)點振動幅度為0。φy為y模態(tài)跟蹤相差，x、y方向的控制力大小為

(11)

將波腹點和波節(jié)點的振動形式以及控制力代入動力學方程，得到力反饋控制力為

(12)

當振動駐波工作于y振動模態(tài)時，陀螺的標度因數為SFy=4mKA0ωy，陀螺零位為B0y=-1/(4K)Δ(τ-1)sin4θτ。

由上述分析可知，在0°和45°不同的模態(tài)中，半球諧振陀螺的標度因數為SF≈4mKA0ωx≈4mKA0ωy，模態(tài)標度因數中僅有諧振頻率不同，其余項均相同。因此，可基于電負剛度方法[14]抑制諧振子x和y方向的頻差，使兩者頻差Δω≈0，此時認為0°與45°模態(tài)的標度因數一致，故兩模態(tài)的標度因數均為SF=4mKA0ω。不同的是0°模態(tài)和45°模態(tài)的零位B0大小均為1/(4K)Δ(τ-1)sin4θτ，但兩者極性相反，與上一小節(jié)的駐波漂移誤差特性分析一致。因此，可通過模態(tài)反轉的方式估計陀螺輸出零位并對其進行校準。

圖5 模態(tài)反轉示意圖

2.2 模態(tài)反轉控制

半球諧振陀螺敏感外界角速度時，受科氏力的作用，將不同模態(tài)的能量進行交換，未消耗能量，使駐波發(fā)生進動。當外界角速度小于陀螺閾值或無外界輸入角速度時，駐波不能實現進動，無法進行模態(tài)反轉，因此需要在陀螺控制端施加虛擬控制力，使之具有與科氏力相同的作用，駐波發(fā)生虛擬進動，與受外界角速度影響駐波的進動效果相同。在0°和45°模態(tài)上施加虛擬科氏力如式(13)

(13)

其中，Gvirt為虛擬旋轉的控制增益。

將虛擬旋轉控制電壓施加到x和y方向極板上，代入動力學方程可得

(14)

由Gvirt=4KmeqΩvirt確定虛擬轉速，即一定的虛擬旋轉增益Gvirt與已知的虛擬旋轉速率相對應。在給定虛擬轉速Ωvirt，若存在外界角速度Ω(t)，則相對于陀螺殼體駐波實際的進動角度為

(15)

式中，θ0為駐波初始方位角，仿真中θ0=0°。通過控制虛擬旋轉駐波進動角為45°，電氣上旋轉90°，實現模態(tài)反轉，并控制半球諧振陀螺在不同模態(tài)的工作時間、工作階段零位進行校準，模態(tài)反轉的控制時序如圖6(a)，模態(tài)反轉過程中振動軌跡李薩如圖形如圖6(b)，模態(tài)反轉前后陀螺零位變化如圖6(c)。

(a) 模態(tài)反轉控制時序圖

從上述仿真可知，模態(tài)反轉前后，半球諧振陀螺零位的極性發(fā)生變化。x模態(tài)的零位為36.1806(°)/h，y模態(tài)的零位為-36.6484(°)/h，滿足x模態(tài)和y模態(tài)的零位大小相等，符號相反，與2.1節(jié)理論推導相同。因此，基于上述推論，可通過模態(tài)反轉的電路控制技術切換輸出零位，取上一時刻和當前時刻模態(tài)的零位均值，估計下一個工作階段的半球諧振陀螺零位進行校準，以一定周期進行模態(tài)反轉，對零位進行周期性校準。

3 零位校準仿真與實驗

3.1 零位校準仿真

仿真中半球諧振陀螺的零位誤差模型采用式(6)，零位仿真數據包括角速率隨機游走和趨勢項，仿真的陀螺數據和校準數據如圖7所示。為驗證零位校準對陀螺性能的提升，仿真中分別設置了21組不同時間(30h～60h)的原始數據，并進行零位校準，對比校準前后長期、短期(1h)的零偏穩(wěn)定性(1σ)，繪制箱線圖如圖8所示。

圖7 半球諧振陀螺零位校準仿真

圖8 零位校準對(長期、短期)零偏穩(wěn)定性的影響

從仿真結果中可以看到，校準前后陀螺零位從38.8095(°)/h降低至0.0019(°)/h，大大降低了零位漂移誤差。基于模態(tài)反轉的零位校準方法大幅度地提高了長時間的零偏穩(wěn)定性，長期零偏穩(wěn)定性提高一個數量級，同時也提高了短期的零偏穩(wěn)定性(中位數)，因此通過仿真驗證了模態(tài)反轉的零位校準方法抑制零位漂移的有效性。

3.2 零位校準實驗

半球諧振陀螺控制系統(tǒng)主要包括陀螺表頭、前端模擬電路和FPGA數字控制系統(tǒng)，陀螺控制系統(tǒng)結構框圖如圖9所示。前端模擬電路模塊主要包括電荷放大器、差分濾波電路以及AD/DA、驅動電路。其中，電荷放大器用于檢測陀螺微弱振動信號，將其轉為電壓信號；差分濾波電路則對輸出進行放大濾波，可抑制共模噪聲，提高差模信號；AD/DA完成模擬信號與數字信號的轉換，用于陀螺的數字控制實現；驅動電路實現陀螺控制力的驅動放大作用。陀螺檢測的微弱信號經過鎖相環(huán)PLL實現頻率跟蹤，并進行解調濾波，組合運算以及環(huán)路誤差計算后，通過PID控制器進行半球諧振陀螺的閉環(huán)控制。

圖9 半球諧振陀螺控制系統(tǒng)

通過上位機軟件輸入半球諧振陀螺的控制參數，并在半球諧振陀螺起振及控制穩(wěn)定后進行模態(tài)反轉控制。模態(tài)反轉的控制周期為12min，受半球諧振陀螺高Q值以及控制電路實際的物理電壓限制，模態(tài)反轉間隔時間為1min，模態(tài)反轉駐波方位控制如圖10所示，模態(tài)反轉前后輸出零位如圖11所示。

圖10 模態(tài)反轉駐波方位控制

圖11 半球諧振陀螺模態(tài)反轉前后輸出零位

由圖11可以看到，模態(tài)反轉前后陀螺的零位值分別處于零刻度線的兩側，滿足零位符號相反，x和y模態(tài)零位大小為11(°)/h和15(°)/h。根據模態(tài)反轉前后的輸出零位，取零位均值估計下一個工作階段的陀螺零位，重復進行模態(tài)反轉，實現零位的周期性校準。校準前0°和45°模態(tài)零位大小以及校準后結果如圖12和表1所示。

圖12 不同模態(tài)零位及校準零位曲線

表1 原始輸出與零位自校準輸出對比

從表1中可以得到，相對于傳統(tǒng)力平衡模式，校準后陀螺零位大幅下降，從15(°)/h降低至2.0814(°)/h，降低了86.12%，長期穩(wěn)定性和短期穩(wěn)定性也有所提高，分別提高了45.86%和11.8%。結果表明,基于模態(tài)反轉的零位校準方法可有效地抑制對稱性零位漂移和降低零位誤差。3.1節(jié)仿真長期穩(wěn)定性提高了一個數量級，實驗結果與仿真具有一定的差異性，說明了半球諧振陀螺實際精度仍受頻率裂解、正交誤差等影響，因此后期仍需進一步研究半球諧振陀螺的誤差模型，優(yōu)化校準算法,提高測量精度。

4 結 論

本文提出了基于模態(tài)反轉的半球諧振陀螺零位自校準方法，解決了半球諧振陀螺的零位漂移問題。首先，討論了半球諧振陀螺的工作機理，分析了阻尼不對稱引起的駐波漂移誤差特性。其次，建立半球諧振陀螺零位校準方法并通過虛擬進動控制實現了模態(tài)反轉。最后，對半球諧振陀螺零位自校準進行了仿真和實驗。結果表明，校準零位大幅下降，從15(°)/h降低至2(°)/h，零位均值降低了86.12%，長期零偏穩(wěn)定性和短期穩(wěn)定性也提高了45.86%和11.8%，有效降低了陀螺測量誤差，進一步驗證了基于模態(tài)反轉的半球諧振陀螺零位自校準方法的有效性。