內(nèi)環(huán)向加筋對功能梯度圓柱殼模態(tài)頻率的影響

劉 超，劉文光，呂志鵬

(南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院，南昌 330063)

功能梯度材料(functionally graded materials,FGMs)是一種新型非均質(zhì)復(fù)合材料，其結(jié)構(gòu)內(nèi)部組分隨體積分?jǐn)?shù)和空間位置變化而連續(xù)變化。其中，金屬陶瓷功能梯度材料具有良好的耐熱、隔熱、緩和應(yīng)力集中等優(yōu)點(diǎn)，在航天飛機(jī)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中具有良好的應(yīng)用前景。由于功能梯度材料的物理屬性和傳統(tǒng)復(fù)合材料或者純金屬材料的物理屬性不同，使功能梯度結(jié)構(gòu)的振動行為與材料的熱物理屬性變化密切相關(guān)。

基于不同的板殼理論，研究者對FGMs結(jié)構(gòu)的振動行為開展了大量的研究?；贚ove薄殼理論，Loy等[1]采用Rayleigh-Ritz法計(jì)算了兩端簡支FGMs圓柱殼的模態(tài)頻率，Abdul等[2]采用能量法討論了FGMs組分變化對FGMs殼模態(tài)頻率的影響，劉文光等[3]探討了考慮熱應(yīng)力后溫度梯度對FGMs殼模態(tài)頻率的影響，葉曦等[4]研究了熱環(huán)境對FGMs殼頻散特性的影響?；赟anders薄殼理論，Qin等[5]研究了任意邊界條件下FGMs殼的自由振動行為，Hashemi等[6]研究了不同邊界條件下旋轉(zhuǎn)速度對FGMs殼模態(tài)頻率的影響?；贒onnell殼體理論，杜長城等[7]研究了FGMs薄圓柱殼的非線性自由振動，Hadi等[8]研究了熱環(huán)境載荷作用下軸向、橫向及熱載荷對FGMs圓柱殼非線性振動的影響?；贔lügge理論，梁斌等[9]利用波動法研究了環(huán)肋FGMs圓柱殼在靜水壓力作用下結(jié)構(gòu)固有頻率隨殼體幾何尺寸、肋條尺寸和肋條數(shù)目等參數(shù)的變化規(guī)律?；谝浑A剪切變形理論，Liu等[10]利用波動法研究了不同邊界下FGMs圓柱殼的自由振動行為，F(xiàn)arahani等[11]利用波動法研究了流體中FGMs殼在靜水壓力作用下的振動，蒲育等[12]利用廣義微分求積法研究了不同邊界條件下FGMs梁的自由振動。基于高階剪切變形理論，Punera等[13]討論了FGMs開孔圓柱殼的自由振動，Song等[14]研究了熱環(huán)境中碳納米增強(qiáng)FGMs殼的振動，郝育新等[15]結(jié)合Galerkin法和Hamilton原理研究了材料非線性和幾何非線性對FGMs板內(nèi)共振行為的影響。

分析表明，F(xiàn)GMs結(jié)構(gòu)的振動與其材料組分、熱環(huán)境變化、結(jié)構(gòu)幾何尺寸等因素有關(guān)。但是，要推進(jìn)FGMs在航天飛機(jī)圓柱殼設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，除考慮各種因素對FGMs圓柱殼振動行為的影響之外，還要保證圓柱殼在使用壽命范圍內(nèi)能夠盡量節(jié)省材料。因此，開始有研究者探究加筋對FGMs圓柱殼振動行為的影響?；诮?jīng)典薄殼理論，Dao等[16]研究了加強(qiáng)筋對FGMs圓柱殼振動特性的影響?；贒onnell薄殼理論，Phuong等[17]分析了加筋FGMs圓柱殼在熱環(huán)境下的振動穩(wěn)定性；基于一階剪切變形理論，Sheng等[18]研究了熱環(huán)境對加筋FGMs圓柱殼非線性振動的影響。

雖然研究者對加筋FGMs圓柱殼的振動開展了一些分析，但是鮮有分析采用高階殼體理論討論加筋變化對圓柱殼模態(tài)頻率的影響?，F(xiàn)有的文獻(xiàn)中，研究者一般忽略圓柱體和加筋的剪切和旋轉(zhuǎn)慣性。本工作主要采用三階剪切變形理論推導(dǎo)加筋圓柱殼的模態(tài)頻率方程，研究熱環(huán)境下內(nèi)環(huán)向加筋對FGMs圓柱殼模態(tài)頻率的影響。

1 功能梯度圓柱殼模型

1.1 圓柱殼幾何模型

加筋FGMs圓柱殼，圓柱殼的長度為L，厚度為h，圓截面的中面半徑為R，如圖1所示。在圓柱殼左端中面建立柱坐標(biāo)系(x,θ,z)，其中：x，θ和z分別為殼中面在軸向、環(huán)向和徑向的坐標(biāo)，u0，v0，w0分別為圓柱殼中面任一點(diǎn)沿坐標(biāo)(x,θ,z)方向的位移。在圓柱殼的內(nèi)表面設(shè)計(jì)若干條加筋，加筋的截面設(shè)計(jì)為矩形。假設(shè)第k條加筋位置距圓柱殼原點(diǎn)的距離xk，且加筋的寬和高分別為ak和bk。

圖1 加筋FGMs圓柱殼幾何模型

1.2 功能梯度材料模型

假設(shè)FGMs圓柱殼的外表面為純金屬，內(nèi)表面為純陶瓷。根據(jù)Mori-Tanaka模型[19]，F(xiàn)GMs的有效材料參數(shù)表達(dá)式為

(1)

式中：T為熱環(huán)境溫度；Gm和Gc分別為金屬和陶瓷的剪切模量；Km和Kc分別為金屬和陶瓷的體積模量；αm和αc分別為金屬和陶瓷的熱膨脹系數(shù)；Geff,Keff,αeff分別為FGMs的有效剪切模量、有效體積模量和有效熱膨脹系數(shù)；Vm和Vc分別為金屬體積分?jǐn)?shù)和陶瓷體積分?jǐn)?shù)(Vc+Vm=1)，具體表達(dá)式與圓柱殼的加筋設(shè)計(jì)方法有關(guān)。

本文采用分離式和整體式兩種方法對圓柱殼內(nèi)表面添加加強(qiáng)筋。分離式加筋是指加筋和圓柱體采用不同的陶瓷體積分?jǐn)?shù)。整體式加筋是指加筋和圓柱體采用相同的陶瓷體積分?jǐn)?shù)。

對于分離式加筋圓柱殼，陶瓷體積分?jǐn)?shù)表達(dá)式為

(2)

式中：Vc1和Vc2分別為加筋和圓柱體部分的陶瓷體積分?jǐn)?shù)；ψ1和ψ2分別為加筋和圓柱體部分的體積分?jǐn)?shù)指數(shù)。

對于整體式加筋圓柱殼，陶瓷體積分?jǐn)?shù)表達(dá)式為

(3)

式中，Vc3和ψ3分別為加筋圓柱殼的陶瓷體積分?jǐn)?shù)和體積分?jǐn)?shù)指數(shù)。

取h/bk=5，ψi=1(i=1，2，3)，分離式加筋和整體式加筋下FGMs圓柱殼的陶瓷體積分?jǐn)?shù)沿厚度方向的變化規(guī)律,如圖2所示。從圖2可知，不同設(shè)計(jì)準(zhǔn)則對材料組成與分布影響明顯。因此，不可忽視設(shè)計(jì)準(zhǔn)則對FGMs圓柱殼振動特性的影響。

圖2 陶瓷體積分?jǐn)?shù)沿厚度方向的變化

根據(jù)剪切模量、體積模量與彈性模量和泊松比的關(guān)系，可推出加筋和圓柱體部分的有效彈性模量和有效泊松比

(4a)

(4b)

根據(jù)Voigt混合率模型，加筋和圓柱體部分的有效質(zhì)量密度表示為

ρeff(z)=ρcVc(z)+ρm(1-Vc(z))

(5)

假設(shè)熱環(huán)境下FGMs的物理屬性與溫度變化之間服從非線性關(guān)系[20]

pc,m=p0(1+p1T+p2T2+p3T3)

(6)

式中：pc,m分別為陶瓷和金屬的物理屬性(例如：密度ρ/kg·m-3、彈性模量E/GPa、泊松比υ、熱膨脹系數(shù)α/1·K-1);p0，p1，p2，p3為材料的溫敏特性系數(shù)，具體取值如表1所示。

表1 ZrO2/Ti-6Al-4V溫敏特性系數(shù)

考慮熱環(huán)境下加筋圓柱殼溫升沿厚度方向服從線性梯度變化形式

(7)

式中:Tcm=Tin-Tout為加筋圓柱殼最內(nèi)層以及最外層的溫差；Tin，Tout分別為加筋圓柱殼最內(nèi)層、最外層被施加的溫度；T0為環(huán)境溫度(文中取T0=300 K)。

2 圓柱殼的模態(tài)頻率方程

2.1 加筋圓柱殼的能量模型

根據(jù)二維胡克定律，加筋FGMs圓柱殼的應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系可以表示為

{σ}=[Q]{ε}

(8)

式中：{σ}為應(yīng)力向量；{ε}為應(yīng)變向量；[Q]為簡化剛度矩陣。具體表達(dá)式為

{σ}={σxxσθθτxθτxzτθz}T

(9)

{ε}={εxxεθθγxθγxzγθz}T

(10)

(11)

式中：σxx,σθθ分別為x，θ方向的正應(yīng)力；τxθ為xθ面內(nèi)剪應(yīng)力；τxz和τθz為厚度方向剪應(yīng)力；εxx，εθθ分別為x，θ方向的正應(yīng)變；εxθ為xθ面內(nèi)剪應(yīng)變，γxz和γθz為厚度方向剪應(yīng)變；Qij(i=1,2,4,5，6)為簡化剛度元素，定義為

(12)

考慮加筋和圓柱體的剪切和旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，由三階剪切變形理論得到加筋FGMs圓柱殼的位移場，具體表達(dá)式為[21-22]

(13)

式中：u1，v1，w1分別為圓柱殼內(nèi)任一點(diǎn)沿x，θ和z方向的位移；φx和φθ為中面法線繞x和θ軸的偏轉(zhuǎn)角。

加筋圓柱殼的彈性應(yīng)變能等于

U=Us+Ur

(14)

式中：Us為圓柱體部分的應(yīng)變能;Ur為加筋部分的應(yīng)變能。具體表達(dá)式為

式中：若加筋和圓柱體厚度較小，則(R+z)可近似為R;δ(.)為Dirac函數(shù)；N為加筋的條數(shù)。

加筋圓柱殼的動能等于

K=Ks+Kr

(16)

式中：Ks為圓柱體部分的動能；Kr為加筋部分的動能。具體表達(dá)式為

(17)

式中：ρeff為FGMs的有效質(zhì)量密度；上標(biāo)‘·’為對時(shí)間求導(dǎo)。

考慮熱環(huán)境做功的影響，熱載荷對加筋圓柱殼做的功能等于

W=Ws+Wr

(18)

式中：Ws為熱載荷對圓柱體部分做的功；Wr為熱載荷對加筋部分做的功。具體表達(dá)式如下[23]

(19)

(20)

式中,ΔT(z)=T(z)-T0，為FGMs圓柱殼內(nèi)任一點(diǎn)的溫度與環(huán)境溫度的差值。

2.2 Rayleigh-Ritz法

假設(shè)加筋圓柱殼中面振型函數(shù)為[24]

(21)

式中：ξ1，ξ2，ξ3，ξ4和ξ5分別為圓柱殼各個(gè)方向的振動幅值；m，n分別為圓柱殼軸向和環(huán)向波數(shù)；f為圓柱殼的模態(tài)頻率。

根據(jù)Lagrange函數(shù)，加筋圓柱殼的能量函數(shù)為

Π=(Ks+Kr)max-(Us+Ur)max+(Ws+Wr)max(22)

式中，(Ks+Kr)max，(Us+Ur)max和(Ws+Wr)max分別為加筋圓柱殼的最大動能、最大應(yīng)變能以及最大熱載荷做功。取能量函數(shù)Π關(guān)于振幅的極值推導(dǎo)出模態(tài)頻率特征方程。根據(jù)齊次方程組有非零解的充要條件得到關(guān)于模態(tài)頻率的十次方程

a1f10+a2f8+a3f6+a4f4+a5f2+a6=0

(23)

式中，ai(i=1，…，6)為方程系數(shù)。

假設(shè)加筋等間距分布，且加筋圓柱殼由單一材料制成[25]，其材料物理性能為：E=206.832 GPa，v=0.3，ρ=7 826.4 kg/m3。圓柱殼的幾何尺寸為：R=0.103 7 m，h=0.001 2 m，L=0.942 m，加筋數(shù)量與模態(tài)頻率的對比關(guān)系，如圖3所示。

圖3 加筋數(shù)量與圓柱殼模態(tài)頻率的關(guān)系

從圖3可知，應(yīng)用本文模型計(jì)算加筋圓柱殼的模態(tài)頻率與Sheng等、Wang等研究中的模態(tài)頻率較吻合，說明上述推導(dǎo)模型有效。

3 加筋對FGMs圓柱殼模態(tài)頻率的影響

如無特殊說明時(shí)，以下算例研究所用加筋圓柱殼的幾何尺寸?。篟=1 m,L=1 m,h=0.01 m,ak=0.01 m和bk=0.1 m；軸向振動波數(shù)m=1；加筋數(shù)量N=8；加筋為等間距分布。分析發(fā)現(xiàn)，陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)只影響加筋FGMs圓柱殼模態(tài)頻率的大小，不改變加筋變化對模態(tài)頻率的影響趨勢。因此，以下討論取圓柱殼和加筋部分的體積分?jǐn)?shù)指數(shù)ψ=1，主要討論加筋的設(shè)計(jì)方式、加筋數(shù)量和位置、加筋的寬高比等對圓柱殼模態(tài)頻率的影響。

3.1 加筋的設(shè)計(jì)方式對模態(tài)頻率的影響

有無熱環(huán)境時(shí)加筋設(shè)計(jì)方式對FGMs圓柱殼模態(tài)頻率的影響,如圖4所示。

圖4 加筋設(shè)計(jì)方式對FGMs殼模態(tài)頻率的影響

從圖4可知，不同環(huán)向波數(shù)下，分離式設(shè)計(jì)加筋FGMs圓柱殼的模態(tài)頻率總是大于整體式設(shè)計(jì)加筋FGMs圓柱殼的模態(tài)頻率；溫度梯度增大，加筋圓柱殼的模態(tài)頻率逐漸下降，且分離式設(shè)計(jì)對溫度梯度敏感性相對更弱。因此，后續(xù)主要討論分離式加筋FGMs圓柱殼模態(tài)頻率的變化規(guī)律。

3.2 加筋數(shù)量對模態(tài)頻率的影響

加筋數(shù)量N對FGMs圓柱殼模態(tài)頻率的影響，如圖5所示。從圖5可知，在不同環(huán)向波數(shù)n下，模態(tài)頻率隨著N的增大基本呈現(xiàn)單調(diào)遞增的趨勢，但是模態(tài)頻率并非隨加筋數(shù)量的增大而成比例遞增。當(dāng)N達(dá)到約11時(shí)，模態(tài)頻率逐漸收斂，特別當(dāng)n=1時(shí)，圓柱殼的軸向振動頻率隨N的增大而逐漸減小。這說明加筋雖能提高結(jié)構(gòu)剛度，但也會引起增加質(zhì)量。進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，N對低環(huán)向波數(shù)時(shí)模態(tài)頻率影響較小，對高環(huán)向波數(shù)時(shí)模態(tài)頻率影響較為明顯。熱環(huán)境下，當(dāng)Tcm較小，N增大至14能有效提高模態(tài)頻率；隨著Tcm的增大，N對模態(tài)頻率的影響越來越不顯著，這說明N和Tcm對圓柱殼剛度的影響具有相互耦合的作用。結(jié)論表明，熱環(huán)境下加筋的數(shù)目并非越多越好，加筋雖能提高圓柱殼的高環(huán)向模態(tài)頻率，但這些模態(tài)頻率并不主導(dǎo)圓柱殼的動力學(xué)設(shè)計(jì)。

圖5 加筋數(shù)目對FGMs殼模態(tài)頻率的影響

3.3 加筋位置對模態(tài)頻率的影響

除等間距加筋分布之外，加筋在圓柱殼軸向也可能非均勻分布。為了便于描述加筋的分布位置，定義加筋的位置函數(shù)xk

(24)

式中：xk為第k根加筋與圓柱殼左端原點(diǎn)距離；N為加筋數(shù)量，若N為奇數(shù)，則第((N-1)/2+1)根加筋在圓柱殼軸向中間位置。τ為非均勻位置參數(shù)，當(dāng)0<τ<1時(shí)，加筋靠近軸向中心處較為密集分布；當(dāng)τ= 1時(shí)加筋為均勻分布形式；當(dāng)1<τ時(shí)加筋靠近圓柱殼的兩端密集分布，具體分布形式如圖6所示。

圖6 加筋位置分布形式

加筋位置對FGMs圓柱殼模態(tài)頻率的影響，如圖7所示。

從圖7可知，模態(tài)頻率隨著τ的增大呈先減小后增大的趨勢，當(dāng)0.4≤τ≤0.6時(shí),模態(tài)頻率出現(xiàn)最小。這說明加筋的分布越靠近圓柱殼兩端或軸向中心越有利于提高模態(tài)頻率。熱環(huán)境下，模態(tài)頻率隨著τ的增大呈先減小后增大后又減小的趨勢。當(dāng)τ≤1時(shí)，Tcm對加筋布置在圓柱殼軸向中心處的模態(tài)頻率影響較小，當(dāng)1≤τ時(shí)，Tcm對加筋布置在圓柱殼兩端的頻率影響很大。總的來說，非均勻參數(shù)τ應(yīng)盡量控制在τ≤0.4或1.2≤τ≤1.4內(nèi)，適當(dāng)調(diào)控加筋的分布位置可達(dá)到較大幅度提高圓柱殼模態(tài)頻率。

圖7 加筋位置對FGMs殼模態(tài)頻率的影響

不同殼體厚度下加筋位置對FGMs圓柱殼模態(tài)頻率的影響，如圖8所示。從圖8可知，隨著τ的增大模態(tài)頻率基本逐漸增大，且非均勻參數(shù)τ對低環(huán)向波數(shù)的模態(tài)頻率影響較大，高環(huán)向波數(shù)下影響較小。增大殼體厚度，環(huán)向波數(shù)大于4時(shí)，模態(tài)頻率隨著τ的增大逐漸減小。結(jié)論表明：加筋的非均勻位置參數(shù)τ對圓柱殼模態(tài)頻率的影響較為復(fù)雜，圓柱殼的振動特性可能取決于加筋位置參數(shù)和圓柱體參數(shù)之間的匹配關(guān)系。

圖8 不同厚度下加筋位置對FGMs殼模態(tài)頻率的影響

3.4 加筋的寬高比對模態(tài)頻率的影響

加筋寬度對殼模態(tài)頻率的影響，如圖9所示。從圖9可知，當(dāng)n=1或n=2時(shí)，模態(tài)頻率均隨ak的增大呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢；當(dāng)n>2時(shí)，模態(tài)頻率隨著ak的增大呈現(xiàn)先增大后趨于穩(wěn)定的趨勢。在0.4≤ak≤1.3內(nèi)，ak對模態(tài)頻率的影響很顯著。進(jìn)一步分析可發(fā)現(xiàn)，圓柱殼的基頻出現(xiàn)在n=3時(shí)，且在n=1和n=4時(shí)出現(xiàn)模態(tài)交叉現(xiàn)象，相應(yīng)振型發(fā)生改變；當(dāng)環(huán)向波數(shù)n=1時(shí)，模態(tài)頻率在Tcm= 300 K時(shí)隨著ak的增大呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢，而在Tcm>300 K時(shí)，模態(tài)頻率隨ak增大呈現(xiàn)單調(diào)遞減的趨勢。Tcm越大，圓柱殼的模態(tài)頻率隨ak增大而減小趨勢越明顯。因此，低溫環(huán)境下，ak在0.4≤ak≤1.3內(nèi)能一定程度提高圓柱殼的模態(tài)頻率；高溫環(huán)境下，溫度梯度對圓柱殼剛度的貢獻(xiàn)大于截面寬度對剛度的貢獻(xiàn)，設(shè)計(jì)中應(yīng)充分考慮溫度梯度的影響。

圖9 加筋截面寬度對FGMs殼模態(tài)頻率的影響

加筋高度對殼模態(tài)頻率的影響，如圖10所示。從圖10可知，圓柱殼模態(tài)頻率隨著bk的增大呈逐漸遞增的趨勢。當(dāng)16時(shí)，基頻發(fā)生在對應(yīng)(m,n)=(1,3)的波數(shù)。分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)環(huán)向波數(shù)n越大，模態(tài)頻率隨bk增大而上升的趨勢越明顯。熱環(huán)境下，當(dāng)Tcm較小，模態(tài)頻率隨bk增大逐漸增大。隨著Tcm的不斷增大，模態(tài)頻率隨bk的增大呈先增大后減小后又增大的趨勢，并在bk≥7時(shí)模態(tài)頻率由減小轉(zhuǎn)為增大。結(jié)論表明：bk≥7不僅有利于避免圓柱殼發(fā)生高環(huán)向共振，而且有利于提高高溫環(huán)境下圓柱殼的模態(tài)頻率。

圖10 加筋高度對FGMs殼模態(tài)頻率的影響

加筋在同一截面面積下，寬高比對圓柱殼模態(tài)頻率的影響，如圖11所示。從圖11可知，ak=0.01 m，bk=0.1 m和ak=0.1 m，bk=0.01 m條件下，圓柱殼的模態(tài)頻率的差值隨著環(huán)向波數(shù)增大而增加；ak=0.2 m，bk=0.005 m和ak=0.1 m,bk=0.01 m條件下，圓柱殼的模態(tài)頻率差值很??；ak=0.005 m,bk=0.2 m和ak=0.01 m，bk=0.1 m條件下，模態(tài)頻率差很大。這說明加筋的截面高度bk相對截面寬度ak對圓柱殼的剛度更為敏感，工程中應(yīng)盡量注重截面高度的合理設(shè)計(jì)，并選用較大的截面高度以提高圓柱殼基頻。

圖11 加筋截面寬高比對FGMs殼模態(tài)頻率的影響

4 結(jié) 論

考慮加筋圓柱殼的剪切和旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，計(jì)算了加筋圓柱殼的應(yīng)變能、動能和熱載荷做功。利用能量函數(shù)推導(dǎo)了加筋圓柱殼的模態(tài)頻率方程。探討了加筋的設(shè)計(jì)方式、數(shù)量和位置、截面變化等對圓柱殼模態(tài)頻率的影響。主要得到以下結(jié)論：

(1)分離式設(shè)計(jì)加筋相比整體式設(shè)計(jì)加筋對提高圓柱殼的模態(tài)頻率更為有利，而且對溫度梯度的敏感性更弱。

(2)加筋越多越能提高圓柱殼的模態(tài)頻率，但模態(tài)頻率的增加與加筋數(shù)目的增大并非比例關(guān)系，當(dāng)加筋數(shù)目約為11時(shí)，模態(tài)頻率趨于穩(wěn)定。

(3)加筋位置參數(shù)τ在τ≤0.4或者1.2≤τ≤1.4內(nèi)更有利于提高圓柱殼的模態(tài)頻率，且加筋的非均勻位置參數(shù)和圓柱殼參數(shù)之間存在匹配關(guān)系，對加筋圓柱殼模態(tài)頻率的變化規(guī)律影響較復(fù)雜，在圓柱殼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中應(yīng)當(dāng)注意。

(4)加筋截面的高度相對截面寬度對圓柱殼剛度更為敏感，低溫環(huán)境下0.4≤ak≤1.3時(shí)能提高圓柱殼模態(tài)頻率；但在高溫環(huán)境下，溫度梯度對圓柱殼剛度的貢獻(xiàn)大于截面寬度對剛度的貢獻(xiàn)，設(shè)計(jì)中應(yīng)充分考慮溫度梯度的影響，此時(shí)應(yīng)從增大截面高度的角度提高圓柱殼的模態(tài)，避免圓柱殼在高環(huán)向波數(shù)下發(fā)生共振。