三次方阻尼和間隙變化下的冷軋垂直顫振研究

趙 武，張鴻斌，孫超凡，Motasim Masood，黃 丹

(1.河南理工大學 機械與動力工程學院，河南 焦作 454003；2.河南理工大學 材料科學與工程學院，河南 焦作 454003)

軋制裝備的振動問題一直制約軋制產品質量的提高。隨著科技進步和工業(yè)化發(fā)展，對軋件產品質量的要求也不斷提高，研究軋機振動機理及其振動特性之間的轉化機制就顯得刻不容緩。軋制工藝過程中的振動現象，不僅會影響產品質量，甚至會造成生產事故。要求的軋薄能力越強，軋制精度越高，對軋制裝備的振動控制越嚴格[1]。

目前，對軋機振動的研究主要集中在垂直振動[2]、水平振動[3]、扭轉振動[4-5]以及不同方向的耦合振動。Tamiya等[6]建立了兩自由度軋機振動模型，研究了張力及輥縫變化導致的振動對軋制的影響。Tlusty等[7]在Tamiya研究的基礎上，深入探究后張力及接觸弧長度動態(tài)變化對軋機振動的影響，結果表明：后張力的動態(tài)變化會引發(fā)帶鋼張力的相位延遲，與軋制力之間形成負阻尼機制，會導致軋機在垂直方向發(fā)生振動失穩(wěn)。陳勇輝等[8]、Hu等[9-11]構建軋機振動模型及數值仿真，研究了冷軋機張力波動對三倍頻垂直顫振的誘發(fā)過程；指出支承輥的振動以五倍頻顫振為主，且在五倍頻顫振產生之前系統(tǒng)已經因三倍頻顫振而失穩(wěn)。Roberts[12]認為上、下支承輥存在直徑差并且支承輥周長為整數倍振動波長時，軋制系統(tǒng)易產生五倍頻顫振，提出合理選擇上、下支承輥直徑以及改變軋制速度并抑制振動。

侯東曉等[13-14]研究了動態(tài)軋制力作用下的軋機垂振以及垂直-水平耦合的非線性振動中，阻尼與剛度對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。劉彬等[15]研究壓下油缸的非線性剛度對軋機輥系垂振的影響，表明液壓缸的非線性剛度越大，系統(tǒng)振動越不穩(wěn)定。劉浩然等[16]考慮軋件的彈塑性變形引發(fā)的滯后非線性因素，構建垂直方向的非線性滯后振動模型，得到系統(tǒng)產生不同奇點的條件。孫韻韻等[17-20]研究了考慮軋輥表面形貌和粗糙度對輥系垂直非線性振動特性的影響。

文獻[21-22]既研究了軋機非線性垂直顫振的幅頻、主共振等特性，也研究了系統(tǒng)垂直參激振動對軋材成品厚度波動的影響機制[23-24]，獲得了非線性振動系統(tǒng)在不同影響因素下的穩(wěn)定參數的分布區(qū)域。

對軋機振動的研究模式，目前，一般分為兩種思路：其一為對軋機工作過程的實際測試研究，通過對軋機振動監(jiān)測數據的分析處理，來反映軋機的動特性和工作狀態(tài)；其二為通過理論建模方式研究軋機的非線性振動，對軋制系統(tǒng)的分析主要依賴于模型；隨研究的深入，目前的研究已發(fā)展為將監(jiān)測數據進行分析處理后，與理論模型的仿真結果進行對照[25-27]。本文是基于理論建模的仿真和分析，通過分析冷軋垂直系統(tǒng)的顫振對薄板成型精度的干擾，探究該系統(tǒng)三次方阻尼和間隙變化下的垂直顫振機理及其演化機制；通過建立冷軋機在考慮三次方阻尼和間隙變化下的垂直顫振模型，運用數值計算方法，分析頻率比、一次方剛度、一次方阻尼、三次方阻尼、偏心量以及間隙對冷軋垂直顫振系統(tǒng)分岔特性的影響，并利用雙參平面的分岔圖對系統(tǒng)在雙參量變化下的運動特性進行解析，明確了系統(tǒng)發(fā)生混沌運動以及周期運動的狀態(tài)轉化規(guī)律，為冷軋工藝參數的規(guī)劃設計及抑振減振提供了理論參考。

1 冷軋垂直顫振建模

1.1 冷軋垂直顫振的誘因分析

典型結構的四輥冷軋機如圖1所示。圖1中：Ⅰ和Ⅳ分別為上、下支承輥；Ⅱ和Ⅲ分別為上、下工作輥；Ⅴ為軋件；Ⅵ為機架。圖1(a)中虛線為不考慮偏心時上、下工作輥的理論位置；圖1(b)為上工作輥偏心放大圖。上工作輥理論旋轉中心為O1，實際旋轉中心為O2，上工作輥偏心量為a。

圖1 四輥冷軋機結構

冷軋薄板能耗低，板形精度高，是未來軋制的工藝發(fā)展趨勢。要想獲得板形、表面、尺寸公差及性能滿足要求的高質量冷軋薄板，就不能回避冷軋裝備振動引發(fā)的軋件精度難以提高的問題。冷軋薄板的工藝實施中，軋件的軋薄程度遠大于一般軋件，軋機于垂直方向的振動在軋件表面印記明暗相間條紋的發(fā)生概率，遠比一般冷軋工藝嚴重。

一般而言，同步軋制的垂振主要表現為頻率為100～200 Hz的三倍頻垂振和頻率為500～700 Hz的五倍頻垂振。軋機垂振系統(tǒng)的三倍頻振動頻率通常是二階頻率，該振動會造成軋材厚度不均勻、斷帶，甚至破壞設備；五倍頻的頻率通常是軋機垂振系統(tǒng)的四階頻率，該振動會造成軋材表面明暗相間條紋，影響產品精度。目前的文獻檢索表明：垂振會在軋材成型精度、軋薄能力及軋制效率等方面產生不良影響[28]。

四輥冷軋機結構中的支承輥和工作輥，會因存在有不同程度的安裝偏心，被軋制過程的力效應(會使機架窗口結構間隙偏移)、輥系熱膨脹效應等因素放大，進一步加大輥系間的偏心；加之冷軋中軋件塑變、輥系彎曲和不對中等產生的偏心力，都會使垂向軋制力頻繁波動和系統(tǒng)垂向輥縫的不均勻變化，進而影響軋材厚度成型一致性。另一方面，瞬態(tài)成型中的軋件不均勻厚度在垂向上反饋給軋制力形成誤差復映的軋制力波動，二者形成了垂振系統(tǒng)內部的反饋和能量持續(xù)供給的顫振發(fā)生條件，導致垂直顫振的持續(xù)發(fā)生，進而造成軋材成型質量進一步下降。

1.2 冷軋垂直顫振建模

如圖1所示的支承輥和工作輥偏心，考慮實際軋制過程的支承輥和工作輥的偏心量為a，兩輥的等效質量為m，轉速為ωB時，則偏心造成的離心力可寫為

(1)

假設偏心初始相位角為φ0，則偏心作用在系統(tǒng)垂向上引起的偏心力為

(2)

在圖1的結構中，考慮到軋機結構的對稱性與振動的對稱性，針對冷軋上部輥系結構，建立垂直顫振模型如圖2所示。其中，工作輥和支承輥等效質量為m，與機架間一次方等效阻尼為c1，與機架間三次方等效阻尼為c3，與機架間一次方等效剛度為k，輥系的結構間隙為2b，軋制力記為F，以冷軋垂直方向靜平衡位置為原點，向上為正方向，垂向振動位移為x。

圖2 冷軋垂直顫振模型

當偏心力的初始相位角為φ0=0時，偏心力為

(3)

機械結構間隙會減弱垂向系統(tǒng)剛度，降低抗變形能力，造成冷軋垂向的運動失穩(wěn)。把含有垂向結構間隙的位移分段表達，如圖3所示。彈性回復位移f(x)寫作

圖3 冷軋系統(tǒng)垂向的結構間隙的彈性回復位移

(4)

在穩(wěn)態(tài)軋制過程中，取冷軋垂直方向靜平衡位置為原點，向上為正方向，則初始位置為-x0，由牛頓定律，可寫出圖2所示的冷軋垂直顫振的運動微分方程

(5)

平衡位置的軋制力和偏離初始位置的彈性回復力相抵消，存在軋制力F=kx0，冷軋垂直振動系統(tǒng)在平衡位置附近發(fā)生振動，可對式(5)化簡得到

(6)

(7)

將式(7)代入式(6)，冷軋垂直顫振方程可化為

(8)

其中，

(9)

1.3 冷軋垂直顫振動力系統(tǒng)的勢阱分析

令U(z)為式(8)的勢能函數，可表示為

(10)

則冷軋垂直顫振動力系統(tǒng)的勢阱，如圖4所示。圖4中：L0為勢壘寬度；L1為勢壘高度；P和W分別為對稱的雙勢阱。冷軋系統(tǒng)發(fā)生垂直顫振，可以理解為系統(tǒng)中的機械構件表面的振動質點以振子群或孤立的質點(振子)的振動運動。振子群的運動范圍在勢阱P與W的勢阱內部或它們的勢阱外部的勢壘壁之間。一方面，對稱的勢阱P和W間存在寬度為L0的勢壘，該勢壘平臺能為軋制工藝提供穩(wěn)定運行的參數選擇空間，該參數域內實施的運行參數，保障軋制工藝系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性；另一方面，當振子進一步獲得能量在勢阱P和W間運動時，寬度為L0的勢壘能為運動中的振子進一步提供趨向更不穩(wěn)定的高能軌運動跳板，會使能量高的活躍振子在勢阱兩側勢壘壁外部，沿勢阱壁間發(fā)生碰撞和沖擊，造成冷軋工藝系統(tǒng)的垂直運動狀態(tài)復雜化。

圖4 冷軋垂直顫振勢阱曲線

2 冷軋垂直顫振的單參分岔特性

動力系統(tǒng)中的參量變化，會改變系統(tǒng)方程解的結構，尤其當某參量在臨界值附近發(fā)生微小變化時，會引起系統(tǒng)相空間軌線的拓撲突變，即形成分岔。考慮冷軋垂直顫振系統(tǒng)在三次方阻尼和間隙變化條件下的動特性，利用單參量變化的分岔和最大Lyapunov指數，探究系統(tǒng)的動力行為轉化機制。利用式(8)對冷軋垂直顫振系統(tǒng)的單參量分岔特性分析，以明確單參量變化對系統(tǒng)運動失穩(wěn)以及運動狀態(tài)改變的作用。

采用變步長4～5階Runge kutta法求解式(8)，以某廠2030軋機參數為例，上、下支承輥直徑1 530 mm，上、下工作輥直徑620 mm。其中：m=105×103kg；k=1.66×109N/m；c1=6.2×106N·s/m；c3=2.16×1010N·s/m；2b=0.176×10-3m。

2.1 頻率比對冷軋垂直顫振的影響

冷軋垂直顫振的頻率比Ω的分岔特性，如圖5所示。頻率比Ω變化時的最大Lyapunov指數，如圖6所示。最大Lyapunov指數大于零，表明冷軋垂直顫振系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài)，最大Lyapunov指數小于零，表明冷軋垂直顫振系統(tǒng)處于穩(wěn)定的周期運動狀態(tài)。

圖5 頻率比Ω變化下的分岔圖

圖6 頻率比Ω變化下的最大Lyapunov指數圖

綜合圖5和圖6分析頻率比Ω變化下的系統(tǒng)單參量分岔：當Ω<0.665時，最大Lyapunov指數大于零，系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài)；當Ω∈(0.665，0.775)時，最大Lyapunov指數小于零但接近于零，系統(tǒng)做不穩(wěn)定的單周期運動；隨Ω單調遞增至Ω∈(0.775，1.475)時，最大Lyapunov指數大于零且在零值附近小范圍波動，系統(tǒng)總體呈現混沌狀態(tài)，但存在瞬態(tài)的周期運動窗口；當Ω∈(1.475，1.935)時，最大Lyapunov指數小于零，系統(tǒng)做三周期運動；當Ω∈(1.935，2.035)時，最大Lyapunov指數大于零，系統(tǒng)做混沌運動；當Ω>2.035時，最大Lyapunov指數小于零，系統(tǒng)做周期運動。

可見，頻率比Ω對冷軋垂直顫振工藝系統(tǒng)的影響，主要是通過Ω變化引起輥系的偏心力波動，進一步誘導和促發(fā)偏心力對冷軋軋制力的波動，造成軋材厚度不一致，影響軋件成型后的精度。因此，需要將頻率比Ω控制在合理的工藝范圍內。

2.2 一次方剛度對冷軋垂直顫振的影響

冷軋垂直顫振的一次方剛度k的分岔特性，如圖7所示。一次方剛度k變化下的最大Lyapunov指數，如圖8所示。綜合圖7和圖8分析一次方剛度k變化下的系統(tǒng)單參分岔：當k<1.55×109N/m時，最大Lyapunov指數大于零，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；當k∈(1.55×109，1.64×109)N/m時，系統(tǒng)做周期運動；隨k逐漸單調遞增，系統(tǒng)大范圍處于混沌運動，存在少部分的瞬態(tài)周期運動窗口。

圖7 一次方剛度k變化下的分岔圖

圖8 一次方剛度k變化下的最大Lyapunov指數圖

隨一次方剛度k由小變大，冷軋垂直顫振系統(tǒng)歷經混沌-周期-混沌-周期的運動狀態(tài)交疊。從圖7可知，k改變的多數區(qū)間，系統(tǒng)在大范圍內做混沌運動，只出現小范圍周期運動窗口，這也反映出k的改變對系統(tǒng)動特性的變化影響不明顯。

2.3 一次方阻尼對冷軋垂直顫振的影響

冷軋垂直顫振的一次方阻尼c1的分岔特性，如圖9所示。一次方阻尼c1變化時的最大Lyapunov指數，如圖10所示。隨一次方阻尼c1的單調遞增，冷軋顫振系統(tǒng)歷經周期-混沌-多周期-混沌-多周期-混沌-多周期-混沌的系列變化交疊。c1的變化會影響振動速度，進而導致冷軋垂直顫振動力系統(tǒng)的拓撲結構變化。從圖9和圖10可知，c1改變的多數區(qū)間，系統(tǒng)在大范圍內做混沌運動，也存在小范圍的周期運動窗口，這也反映出c1的改變對系統(tǒng)動特性的變化影響不明顯。

圖9 一次方阻尼c1變化下的分岔圖

圖10 一次方阻尼c1變化下的最大Lyapunov指數圖

2.4 三次方阻尼對冷軋垂直顫振的影響

冷軋垂直顫振的三次方阻尼c3的分岔特性，如圖11所示。三次方阻尼c3變化時的最大Lyapunov指數，如圖12所示。隨三次方阻尼c3單調遞增，系統(tǒng)歷經混沌-六周期-混沌-三周期-混沌-五周期-混沌的運動狀態(tài)的交疊改變。三次方阻尼c3的變化，誘導和促發(fā)了冷軋顫振系統(tǒng)發(fā)生復雜的運動狀態(tài)改變：當冷軋垂直顫振系統(tǒng)處于混沌運動時，運動狀態(tài)將發(fā)生失穩(wěn)，影響軋件產品質量。

圖11 三次方阻尼c3變化下的分岔圖

圖12 三次方阻尼c3變化下的最大Lyapunov指數圖

2.5 偏心量對冷軋垂直顫振的影響

冷軋垂直顫振的偏心量a的分岔特性，如圖13所示。偏心量a變化時的最大Lyapunov指數圖，如圖14所示。隨著偏心量a的單調遞增，冷軋垂直顫振系統(tǒng)歷經混沌運動-七周期運動-混沌運動-單周期運動。當偏心量a=1.045×10-4m時，最大Lyapunov指數由正變?yōu)樨?，系統(tǒng)由混沌運動進入單周期運動狀態(tài)。

圖13 偏心量a變化下的分岔圖

圖14 偏心量a變化下的最大Lyapunov指數圖

偏心量a的變化會改變偏心力的大小，也影響垂直方向上輥縫大小的變化。當偏心量a>1.045×10-4m時，冷軋垂直顫振系統(tǒng)做單周期運動，說明偏心量在一定程度上會增強冷軋結構垂直方向上的表現剛度；但當偏心量a較大時，將會使輥縫在較大范圍內變化，將會降低軋制精度。在實際系統(tǒng)中，要合理進行偏心控制，進而有效保證軋件產品質量。

2.6 間隙對冷軋垂直顫振的影響

冷軋垂直顫振的間隙b的分岔特性，如圖15所示。間隙b變化時的最大Lyapunov指數圖，如圖16所示。隨間隙b的單調遞增，冷軋垂直顫振系統(tǒng)歷經混沌運動和周期運動的交替變化。冷軋機輥系與機架及其邊界之間或大或小存在一定的間隙，在冷軋過程中，由于零部件磨損、變形等原因，都會導致間隙發(fā)生變化，誘導冷軋垂直顫振系統(tǒng)穩(wěn)定性發(fā)生變化，發(fā)生復雜運動形式，進一步導致軋件產品質量降低。

圖15 間隙b變化下的分岔圖

圖16 間隙b變化下的最大Lyapunov指數圖

3 冷軋垂直顫振的雙參分岔特性

實際軋制過程的實施，是多參數共同作用的結果；反映了冷軋工藝系統(tǒng)作為復雜機電液系統(tǒng)的多輸入多輸出(multiple-input multiple-output，MIMO)關系，該系統(tǒng)的振動特性也受多工況參數的共同作用影響，對MIMO系統(tǒng)典型振動特性的分析會更復雜，利用系統(tǒng)方程最大Lyapunov指數能夠表征系統(tǒng)混沌以及周期運動的特點[29]，對雙參量變化下冷軋垂直顫振特性進行分析，冷軋垂直顫振系統(tǒng)在不同雙參量組合平面上的分岔特性，如圖17所示。圖17中Ch1為最大Lyapunov指數大于零區(qū)域，表征系統(tǒng)做混沌運動。

圖17 雙參量分岔特性圖

圖17(a)為三次方阻尼c3和一次方剛度k同時變化對冷軋垂直顫振特性的影響。Ch1區(qū)域表明系統(tǒng)做混沌運動，系統(tǒng)的運動不確定性增大，不利于保證軋件精度。圖17(b)為偏心量a和間隙b同時變化對冷軋垂直顫振特性的影響。Ch1區(qū)域既有片狀分布，也存在小區(qū)域分布，系統(tǒng)做混沌運動，該區(qū)域偏心量a和間隙b應該謹慎匹配選擇，盡量避開混沌運動狀態(tài)。

圖17(c)為頻率比Ω和三次方阻尼c3同時變化對冷軋垂直顫振特性的影響。當選擇的頻率比Ω和三次方阻尼c3匹配在Ch1區(qū)域時，系統(tǒng)將發(fā)生混沌運動，影響軋制產品質量，同時也會降低冷軋機組的穩(wěn)定運行精度。圖17(d)為頻率比Ω和偏心量a同時變化對冷軋垂直顫振特性的影響。Ch1區(qū)域主要集中在左方和左下方，當選擇的頻率比Ω和偏心量a匹配在Ch1區(qū)域，系統(tǒng)做混沌運動。

圖17(e)為頻率比Ω和一次方剛度k同時變化對冷軋垂直顫振特性的影響。當選擇的頻率比Ω和一次方剛度k匹配在Ch1區(qū)域時，系統(tǒng)做混沌運動。當頻率比Ω和一次方剛度k在Ch1區(qū)域邊界處變化時，最大Lyapunov指數將會發(fā)生零附近的躍動，引發(fā)系統(tǒng)運動狀態(tài)在混沌運動和周期運動的邊界頻繁轉換。圖17(f)為頻率比Ω和一次方阻尼c1同時變化對冷軋垂直顫振特性的影響。Ch1區(qū)域所占比例較大，當選擇的頻率比Ω和一次方阻尼c1匹配在Ch1區(qū)域時，系統(tǒng)做混沌運動。

圖17(g)為頻率比Ω和間隙b同時變化對冷軋垂直顫振特性的影響，當選擇的頻率比Ω和間隙b匹配位于Ch1區(qū)域時，系統(tǒng)做混沌運動，不利于保證軋件產品精度。圖17(h)為一次方剛度k和一次方阻尼c1同時變化對冷軋垂直顫振特性的影響。當選擇的一次方剛度k和一次方阻尼c1匹配在Ch1區(qū)域時，系統(tǒng)最大Lyapunov指數大于零，系統(tǒng)做混沌運動。

圖17(i)為一次方剛度k和偏心量a同時變化對冷軋垂直顫振特性的影響。Ch1區(qū)域主要分布在下方，并且在上部呈現“雨滴狀”散布，當選擇的一次方剛度k和偏心量a匹配在Ch1區(qū)域時，系統(tǒng)做混沌運動。圖17(j)為一次方阻尼c1和三次方阻尼c3同時變化對冷軋垂直顫振特性的影響。Ch1區(qū)域占據了圖中主要部分，當選擇的一次方阻尼c1和三次方阻尼c3匹配在Ch1區(qū)域時，系統(tǒng)做混沌運動，不利于保證軋件產品質量。

通過探究冷軋工藝過程中的相關雙參量的匹配變化對冷軋垂振系統(tǒng)顫振特性的發(fā)展變化的影響規(guī)律，能為冷軋系統(tǒng)的規(guī)劃設計以及軋制工藝參數的運行制定提供參考，合理選取與匹配相關的冷軋參數，規(guī)避不利于軋制穩(wěn)定工作的工藝參數，有利于提高軋件產品質量、精度及保證軋制裝備生產線的穩(wěn)定運行。

4 結 論

本文以冷軋工藝過程的垂直顫振為研究對象，建立了考慮三次方阻尼和間隙變化下的冷軋垂直顫振模型，依次對系統(tǒng)進行了勢阱分析、結合最大Lyapunov指數圖的單參分岔特性分析、雙參分岔特性分析，結論如下：

(1)冷軋垂直顫振系統(tǒng)的勢阱，存在一定寬度的勢壘，該勢壘若運用得當，可通過選擇匹配適合的運行參數，輸出的系統(tǒng)動特性如勢壘平臺一樣，是個穩(wěn)定的運行平臺，可保證軋制工藝系統(tǒng)的穩(wěn)定運行；同時，該勢壘也為運動中不斷吸能的高能振子(質點)提供了能軌躍遷的跳板，活躍振子能軌的遷移運動，會使振子群發(fā)生沖擊和碰撞到兩側的勢壘壁上，促發(fā)冷軋垂振系統(tǒng)工藝狀態(tài)的運動趨向復雜化。

(2)通過探究系統(tǒng)的單參分岔特性，得到系統(tǒng)隨頻率比Ω、一次方剛度k、一次方阻尼c1、三次方阻尼c3、偏心量a和間隙b等單參量變化的運動發(fā)展趨勢，表明冷軋垂直顫振系統(tǒng)的運動狀態(tài)隨上述單參量的改變，不斷在周期運動、混沌運動以及各類復雜運動狀態(tài)之間轉換變遷。

(3)通過分析系統(tǒng)的雙參分岔特性，得到了雙參量匹配變化時，系統(tǒng)做周期運動和混沌運動的參數區(qū)域，表明雙參量約束變化下，冷軋垂直顫振系統(tǒng)的動力學特性表現更加豐富。

通過上述研究和分析過程，明確了冷軋工藝過程發(fā)生垂直顫振時，系統(tǒng)混沌運動和周期運動的不同雙參量匹配區(qū)域。本文的研究揭示了冷軋垂直顫振系統(tǒng)發(fā)生混沌運動以及周期運動的參數變化規(guī)律，為冷軋工藝參數規(guī)劃設計及抑振減振提供了理論參考。